Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai

19 Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình toán tử loại haivới toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz .... Những phương pháp thường được sử dụng hoặc cải biên,

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS.Khuất Văn Ninh

Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc PGS.TS.Khuất Văn Ninh, người đã

luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận

văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các

thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, các đồng nghiệp

trong Trường THPT Võ Thị Sáu đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi

để tôi hoàn thành bản luận văn này

Nguyễn Đăng Long

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng

tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Nguyễn Đăng Long

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

BẢNG KÝ HIỆU 5

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 9

1.1.1 Không gian metric 9

1.1.2 Không gian tuyến tính 12

1.1.3 Không gian định chuẩn 13

1.1.4 Không gian Hilbert 16

1.2 Phương trình toán tử 17

1.2.1 Khái niệm 17

1.2.2 Một số khái niệm về toán tử đơn điệu 17

1.2.3 Một số khái niệm về toán tử liên tục 19

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình toán tử loại haivới toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz 21

2.1 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và không gian định chuẩn 21

2.1.1 Trong không gian Hilbert 21

2.1.2 Trong không gian định chuẩn 24

2.2 Phương pháp thác triển theo tham số 25

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm 25

2.2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ 31

Chương 3 Ứng dụng giải phương trình toán tử loại 2 35

3.1 Ví dụ giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến 35

3.2 Ứng dụng giải số trên máy tính điện tử 43

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Rất nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế,

kỹ thuật, cuộc sống có thể dẫn đến việc nghiên cứu phương trình toán tử

Ax y= (1) trong đó A là toán tử từ một tập X đến một tập Y, x X y Y∈ , ∈ Toán tử A

có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến, đơn trị hoặc đa trị (lúc đó y Ax∈ ) A cũng có thể ký hiệu cho toán tử được xác định bởi các bài toán biên cổ điển hoặc không cổ điển, với biên trơn hoặc không trơn Chính vì vậy phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn Phạm vi ứng dụng này càng rộng và càng có hiệu lực thực tiễn trước sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình nghiên cứu xấp xỉ các phương trình có dạng (1)

Về các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1) cũng khá phong phú, đa dạng Những phương pháp thường được sử dụng hoặc cải biên, phát triển thêm là các phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp điều chỉnh, phương pháp thác triển theo tham số…

Phương pháp thác triển theo tham số được dùng để nghiên cứu phương

trình toán tử loại hai x Ax+ = trong công trình của J Schauder và S N f

Bertein, nhiều công trình theo hướng này đã hạn chế việc nghiên cứu đối với các toán tử phi tuyến khả vi, một số khác như V A Trenoghin, J L Gaponenko thì nghiên cứu các toán tử phi tuyến không khả vi, chẳng hạn như toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về giải xấp xỉ phương trình toán

tử và dưới sự hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài:

“Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai”.

làm đề tài khóa luận tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích

Ở đây chúng tôi sẽ trình bày phương pháp thác triển nói trên đối với toán

tử đơn điệu và liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach tùy ý Phương pháp này là một quá trình lặp sử dụng một số hữu hạn các bước theo tham biến ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về phương pháp thác triển tham số đối với phương trình loại hai với các toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

- Nghiên cứu giải phương trình toán tử loại hai trên máy tính điện tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cụ thể phương pháp thác triển theo tham số giải phương

trình loại hai x Ax+ = f

- Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi tích phân với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: nghiên cứu phương pháp trên đối với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

- Phạm vi nghiên cứu: Các giáo trình, tài liệu liên quan đến phương pháp thác triển theo tham số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng một số kỹ thuật của giải xấp xỉ phương trình toán tử: phương pháp lặp, đánh giá sai số

- Thu thập và nghiên cứu các giáo trình, tài liệu liên quan

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

6 Dự kiến đóng góp mới của luận văn

- Trình bày một cách hệ thống về ứng dụng của phương pháp thác triển

theo tham số giải phương trình vi tích phân phi tuyến

- Giải phương trình vi tích phân phi tuyến trên máy tính điện tử

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d x y gọi là khoảng cách giữa hai phần ( ),

tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiền đề 1), 2), 3) gọi là hệ

tiên đề metric

Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm ( )x n ,n=1,2, trong không gian metric

Tương tự, tập hợp

được gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric X Mỗi

hình cầu mở B a r được gọi là một lân cận của phần tử a trong X ( ),

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( )x được gọi là dãy cơ bản trong không gian n

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X

Định nghĩa 1.1.5 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

:

f X → được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số Y α với 0 ≤ < sao cho α 1

( ) ( )

( , ' ) ( , ')

Định lý 1.1.1 ( Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian

1.1.2 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.6 Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi

x X ∈ thì phần tử ϕ( )k x, được gọi là tích ngoài của số k với phần tử x và được kí hiệu là kx Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 (X,+ là một nhóm Abel với phần tử trung hòa ) θ, nghĩa là:

b) x y+ = +y x, ∀x y X, ∈

Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên \ và mỗi phần

tử x X∈ được gọi là một vecto; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề

về không gian tuyến tính Người ta cũng nói X là không gian tuyến tính thực

Bằng cách tương tự, ta có định nghĩa không gian tuyến tính phức

Định nghĩa 1.1.7 Cho hệ n vecto x x1, , ,2 x trong không gian tuyến tính X n Xét đẳng thức vecto:

1 1x 2 2x n n x

α +α + +α = θ

Nếu đẳng thức trên xảy ra với α α1= 2 = = αn = thì ta nói hệ n vecto đó 0

1

0

n i i

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử X là không gian tuyến tính trên X Xét x x là 1, 2

hai phần tử thuộc X , khi đó tập hợp các phần tử trong X có dạng

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử X là không gian tuyến tính trên \ Tập con X0

của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X , nếu

0

Định nghĩa 1.1.10 Giả sử X , Y là hai không gian tuyến tính trên \ Khi đó

1.1.3 Không gian định chuẩn

Cho X là không gian vecto thực hay phức

Định nghĩa 1.1.11 Một chuẩn, kí hiệu , trong X là một ánh xạ đi từ X vào \ thỏa mãn điều kiện:

1) x ≥0, ∀ ∈ , x X x = ⇔ = (0 x θ θ là kí hiệu phần tử không) 2) λx = λ x ,∀ ∈\ hoặc λ λ∈^ và x X ∀ ∈

Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x X∈ Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay phức)

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn, với mọi x y X, ∈ , đặt

( ),

Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.12 Dãy ( )x trong không gian định chuẩn X được gọi là n

1) A x y( + )=Ax Ay+ , với mọi , x y X ∈ ;

2) A( )αx =αAx , với mọi x X∈ , α∈ P

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì

A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là

toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.16 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính

A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0

sao cho:

Ax ≤c x , với mọi x X ∈

Định nghĩa 1.1.17 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu L X Y ( , )

là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y

Ta đưa vào L(X,Y) hai phép toán:

• Tổng của hai toán tử A B L X Y, ∈ ( , ) là toán tử, kí hiệu A+B, xác định bởi biểu thức

Dễ kiểm tra được rằng A B L X Y+ ∈ ( , ),αA L X Y∈ ( , ) và hai phép

toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập L(X,Y) trở thành một không gian tuyến tính trên trường P

Định lý 1.1.3 Nếu Y là một không gian Banach, thì L(X,Y) là không gian Banach

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.17 Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P= \ hoặc

P=^) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích

Descartes X X × vào trường P, kí hiệu ( )⋅ ⋅ thỏa mãn các tiên đề: ,

1) ( ) ( )y x, = x y, với mọi , x y X ∈ ;

2) (x y z+ , ) ( ) ( )= x z, + y z, với mọi , , x y z X ∈ ;

3) (αx y, )=α( )x y, với mọi số α∈ và mọi , P x y X ∈ ;

4) ( )x x, ≥ , nếu x0 ≠ (θ θ là kí hiệu phần tử không), với mọi x X ∈ ;

5) ( )x x, = , nếu x0 = , với mọi x Xθ ∈

Các phần tử , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số ( )x y ,gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

Nhận xét: Nếu X là một không gian tuyến tính, trên đó xác định một tích vô

hướng ( )⋅ ⋅ , khi đó ánh xạ , ⋅ : X →\ xác định bởi x = ( )x x, là một chuẩn trên X, và X cùng với chuẩn đó là một không gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô

hướng

Định nghĩa 1.1.18 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích

vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tiền Hilbert Với mỗi x X ∈ , ta đặt

( ),

x = x x Khi đó, ta có bất đẳng thức sau ( gọi là bất đẳng thức Schwarz)

Định nghĩa 1.1.19 Ta gọi không gian tuyến tính H ≠ ∅ trên trường P là

không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn điều kiện:

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn x = ( )x x, với x X ∈

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

trong đó f cho trước, f ∈ , tham số X λ∈ ( P = P \ hoặc P=^) được gọi

là phương trình toán tử loại II

1.2.2 Một số khái niệm về toán tử đơn điệu

Cho X là không gian Banach, X là không gian liên hợp của X và *

trong đó α là hàm đơn điệu tăng trên ( )a b ,

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu

(Au Av u v− , − ≥) ρ( u v− )

trong đó ρ là hàm tăng nghiêm ngặt trên [0,+ ∞), ρ( )0 = 0

Định nghĩa 1.2.5 Toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh với hằng số đơn điệu m nếu

α

→∞ < +∞ ∀ ∈ Theo định lý Banach-Steinhauss ta có

1

ons

n n

1.2.3 Một số khái niệm về toán tử liên tục

Cho X là không gian Banach, X là không gian liên hợp của X và *

là hàm số liên tục trên đoạn [ ]0,1

Định nghĩa 1.2.7 Toán tử A được gọi là hêmi liên tục nếu với mọi , , u v h cố

định thuộc X thì hàm số biến số thực

liên tục trên đoạn [ ]0,1

Định nghĩa 1.2.8 Toán tử A được gọi là đêmi liên tục nếu từ điều kiện:

n

u → trong X thì u Au hội tụ yếu tới Au trong X, suy ra n

Định nghĩa 1.2.10 Toán tử A được gọi liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại

một hàm số μ đơn điệu tăng trên [0,+ )∞ sao cho

trong đó R=max( u v, ),∀u v X, ∈

Chương 2

Phương pháp thác triển theo tham số

đối với phương trình toán tử loại hai

với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

2.1 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

và không gian định chuẩn

2.1.1 Trong không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert trên trường số phức với tích vô hướng

( )⋅ và D A( )⊂H là miền xác định của toán tử A

Ta xét phương trình có dạng

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử T tác dụng từ D A( )⊂ H vào H được gọi là đơn

Định lý 2.1.1 Giả sử các điều kiện sau đây được thực hiện :

Khi đó tồn tại hình cầu S x r( )*, với tâm tại x , bán kính r và số *

dương K sao cho với số C tùy ý lớn hơn K và đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý

Thật vậy, nếu tồn tại nghiệm y* ≠ thì x*

x + Ax = , và f y* +Ay* = f

Từ các đẳng thức này và từ tính chất đơn điệu của toán tử T ta thu

được điều mâu thuẫn sau:

( * * * *) ( * * * *) ( * * * *)

0≤ Ay − Ax y, − x = f − y − +f x y, − x = − y −x y, − x < 0

Theo định lý Rockafella thì toán tử đơn điệu sẽ bị chặn địa phương tại

mỗi điểm trong của miền xác định của toán tử, do đó tồn tại hình cầu S x r( )*,

với tâm tại x , bán kính r , * S x r( )*, ≡ ⊂S D( )A Ta kí hiệu

ý x1∈S và dựng dãy { }x theo công thức (2.1.2) n

Ta có thể chứng minh bằng quy nạp dãy { }x được chứa trong n S x r( )*,

và hội tụ tới x với ước lượng *

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Và như vậy ta đã chứng minh dãy { }x hội tụ đến n x với ước lượng *

( )

n

Hệ quả 2.1.1 Giả sử A là toán tử đơn điệu liên tục và miền D A mở trong ( )

không gian Hilbert H, y R I∈ ( + A) Khi đó tồn tại hình cầu S S x r= ( *, ) với

và một số dương C sao cho dãy { }z với xấp xỉ ban đầu n z S1∈ được dựng bởi 1công thức

1

Z + = − +Z n C − Z +AZ −y (2.1.6) Hội tụ đến x* với tốc độ O n( )− 1 2 Từ tính chất liên tục của toán tử T tại điểm

*

x suy ra tồn tại một lân cận S của điểm x sao cho C xấp xỉ đầu tiên của *

dãy (2.1.5) (số C có thể lấy là số nguyên dương) được chứa trong S Lấy 1

1 c

z x= và dựng { }z theo công thức (2.1.6) ta có n x n =Z n − + với n C C 1 ≥

Dãy này được chứa trong D A và ( ) *

2.1.2 Trong không gian định chuẩn

Ta sẽ mở rộng định lý 2.1.2 cho trường hợp toán tử A tác dụng trong

không gian định chuẩn

Định lý 2.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ miền D A( )⊂ vào X Giả thiết những điều sau đây được thực hiện: X

1) Phương trình (2.1.1) có nghiệm tại điểm trong x của miền * D A ; ( )

2) Đối với số a dương tùy ý, và đối với các , x y tùy ý thuộc D A( ) ta có bất đẳng thức

điều kiện đơn điệu của toán tử A khi không gian là Hilbert

2.2 Phương pháp thác triển theo tham số

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm

Xét phương trình loại hai

trong đó A là toán tử tác dụng trong không gian Banach X vào X , f là phần

tử cho Để đơn giản việc trình bày ta sẽ giả thiết A( )θ = 0

Định nghĩa 2.2.1. Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach

X được gọi là liên tục Lipschitz nếu đối với các phần tử tùy ý x x1, 2∈ ước X

lượng sau đây đúng:

A x −A x ≤L x −x (2.2.2)

trong đó là chuẩn của không gian X L c, = onst>0

Định nghĩa 2.2.2 Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X

được gọi là đơn điệu nếu đối với các phần tử tùy ý x x1, 2∈ và đối với số X

Nhận xét: Nếu không gian X là Hilbert thì điều kiện đơn điệu (2.2.3) tương

đương với điều kiện cổ điển

Re A x − A x x, −x ≥ ∀0, x x, ∈X,

trong đó ( , ) là tích vô hướng trong không gian Hilbert X

Định lý 2.2.1. Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu trong không gian

Banach X Khi đó đối với các phần tử tùy ý x x1, 2∈ và đối với các số X

dương tùy ý ε ε1, ,02 < ≤ bất đẳng thức sau đây đúng ε ε1 2

( ) ( )

x − x ≤ x − +x ε A x − A x < x − +x ε A x − A x (2.2.5) Mặt khác, đối với các phần tử tùy ý ,x y X∈ phụ thuộc điều kiện

x < + thì bất đẳng thức x y

x y+ < + +x ε y ∀ >ε (2.2.6) đúng

Thật vậy, hình cầu K r( )≡{v v X v: ∈ , ≤r} là một tập bị chặn, đóng và lồi

trong không gian Banach X Do đó giao của hình cầu K r( ) với tia

P≡ v v x ty x y X= + ∈ ≤ ≤ ∞ với điều kiện t x <r y, > là một đoạn 0

được xác định từ điều kiện x t r y+ ( ) = Vì r K r( )1 ⊂K r( )2 khi r1< nên r2

hàm t r( ) tăng khi r tăng Từ điều kiện t r( ) tăng với r∈( x ,+∞) và từ bất

x x≡ −x y≡ε A x − A x ε = ε −ε ε (2.2.8) Khi đó hệ thức (2.2.5) có thể viết dưới dạng sau đây

So sánh (2.2.6) và (2.2.9) ta thấy sự mâu thuẫn

Như vậy định lý đã được chứng minh

Bây giờ ta sẽ xét phương pháp sau đây

Xét họ một tham biến các phương trình toán tử

, 0 1

x+ε A x= f ≤ ≤ , ε (2.2.10) với 0ε = ta có phương trình thường x f= , còn với 1ε = , ta có phương trình (2.2.1) Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì rõ ràng

có thể chỉ ra ε0 > sao cho 0 ε0L< Khi đó phương trình 1 x+ε A x= f, sẽ xác định một toán tử co ε0A Ta ký hiệu nghiệm của phương trình (2.2.10) là ( )

x ε và giả sử rằng x( )ε0 tìm được Như vậy ta đã cho trượt một bước ε0

theo tham biến ε từ phần tử x( )θ = theo hướng đến phần tử f x( )1 = u

Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến ε sẽ có thể đến nghiệm phải tìm của phương trình (2.2.1) sau một số hữu hạn bước

Giả sử ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L Ta cố

định một số tự nhiên N sao cho N > và đặt L ε0 =1 / N

Định lý 2.2.2. Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X

là liên tục Lipschitz và đơn điệu Khi đó phương trình (2.2.1) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý f ∈ X

Sau các phép thay biến (2.2.12) phương trình (2.2.1) có dạng

q=ε L< Chú ý rằng toán tử ε0A là toán tử co, do đó với y tùy ý thuộc X

phương trình F x x1 ≡ +ε0A x y= có nghiệm duy nhất Vì vậy toán tử 1

F− cũng thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L= 1

Thật vậy, sử dụng kết quả của định lý 2.2.1 đối với ánh xạ A ta thu được:

trình (2.2.13) với f tùy ý có nghiệm duy nhất v Như vậy phương trình xuất

phát (2.2.11), tương đương với phương trình (2.2.13), cũng giải được duy

nhất với phần tử tùy ý f

Định lý 2.2.2 đã được chứng minh

Bây giờ ta mô tả algoritm (thuật toán) giải phương trình (2.2.1)

Giả sử hằng số Lipschitz là L và L < Trong trường hợp này có thể lấy 2 12

Phương trình (2.2.14) tương đương với phương trình

1 1

12

Nghiệm xấp xỉ (2.2.18) có thể tìm bằng phép lặp

12

x + = − A x + y , x cho tùy ý, 1 m=0,1,2, (2.2.19) Dưới dạng tổng quát có thể viết quá trình lặp như sau:

2.2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ

Ta xét về tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham số

(2.2.12), (2.2.13) một cách tự nhiên là trong các tính toán thực tiễn luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu

trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp Để tiện

lợi cho việc trình bày ta giả thiết toán tử A trong định lý 2.2.2 thỏa mãn điều kiện A( )θ = 0

Định lý 2.2.3. Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là

đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L Khi đó dãy nghiệm

xấp xỉ {x n N( , ) }, N > L n, =1,2, , được dựng với quá trình lặp (2.2.21), hội

tụ đến nghiệm đúng x của phương trình (2.2.1) theo chuẩn của không gian

X , hơn nữa ta có ước lượng

Ta sẽ thiết lập ước lượng

Bài toán 1. (một bước theo tham số ε)

Xét phương trình

0

x+ε Ax= f (2.2.22)

Vì toán tử ε0A là toán tử co với hệ số co q=ε0L L N= < , nên 1

phương trình (2.2.22) với phần tử tùy ý f ∈ có nghiệm duy nhất X