Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

nhau để nhận được các cận không tầm thường của các hệ số đó;tính trực giao này có vai trò tương tự như tính độc lập trong lýthuyết xác suất.Thứ hai, các hệ số Fourier rất tốt để điều khi

Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, tác giả đãnhận được sự hướng dẫn nhiệt tâm của TS Trần Văn Vuôngđược sự định hướng của thầy mà tác giả thực hiện đề tài "Phươngpháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính" Tác giả xinbày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến người thầy quá cố của mình.Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trần VănBằng người đã giúp tác giả hoàn thành luận văn Cảm ơn các thầy

cô giáo đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác giảnâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làmluận văn

Tác giả rất biết ơn tới BGH Trung tâm giáo dục thường hướng nghiệp Đoan Hùng- Phú Thọ và các đồng nghiệp đã quan tâmgiúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạchhọc tập của mình

xuyên-Tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, độngviên tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn Do thời gian vàkiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế vàcòn những thiếu sót nhất định Tác giả mong được những ý kiếnđóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự định hướng của TS Trần Văn Vuông và được hoànthành dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoahọc của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Mục lục

1.1 Tập hợp cộng tính và cấu trúc cộng tính 8

1.2 Một số ký hiệu 13

1.2.1 Về tập hợp và hàm 13

1.2.2 Về hệ thống số 14

1.2.3 Ký hiệu tiệm cận Landau 14

1.2.4 Về cấp cộng 15

1.3 Biến đổi Fourier 18

1.4 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong tổ hợp cộng tính 24

2 Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính 28 2.1 Độ lệch tuyến tính 28

2.2 Tập hợp Bohr 34

2.3 Các Λ(p)- hằng số, Bh- tập hợp và các tập phân ly 43 2.4 Phổ của tập hợp cộng tính 52

2.5 Cấp cộng trong các tập tổng 59

3

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tổ hợp cộng tính là một trong những lĩnh vực nghiên cứu về cấutrúc cộng tính của các tập hợp, đã và đang rất phát triển Nó cóliên hệ chặt chẽ với nhiều ngành như: giải tích điều hòa, hình họclồi, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, hình học đại số, lý thuyếtegodic Các bài toán của Tổ hợp cộng tính đòi hỏi phải sử dụngcác công cụ của một hoặc một số ngành nói trên, thậm chí là củacác ngành khác nữa (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suất rất quantrọng trong lý thuyết tổ hợp cộng tính, trong đó cấu trúc cộng củamột đối tượng ngẫu nhiên được hiểu thông qua việc tính toán cácgiá trị trung bình hoặc các moment của đối tượng đó Luận vănnày tìm hiểu về một công cụ khác có tầm quan trọng không kém,

đó là giải tích Fourier Đây là một cách khác để tính các giá trịtrung bình và các moment của các đối tượng có cấu trúc cộng Nótương tự như phương pháp xác suất nhưng với một thành phần mớiquan trọng, đó là các đại lượng được tính giá trị trung bình sẽ được

"xoắn" hoặc "được biến điệu" bởi một số hàm pha giá trị phức, gọi

là đặc trưng Điều này dẫn tới khái niệm hệ số Fourier của một tậphoặc của một hàm- là cái đo độ lệch của đối tượng đó với một đặctrưng Các hệ số Fourier cho phép ta đạt được 2 mục đích:

Thứ nhất, ta khai thác tính trực giao giữa các đặc trưng khác

nhau để nhận được các cận (không tầm thường) của các hệ số đó;tính trực giao này có vai trò tương tự như tính độc lập trong lýthuyết xác suất.

Thứ hai, các hệ số Fourier rất tốt để điều khiển tích chập củacác hàm, tương tự như phép toán tổng các tập hợp

Vì thế, giải tích Fourier là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứucác đại lượng số học, đáng chú ý nhất là năng lượng cộng tính

Sử dụng giải tích Fourier, ta có thể phân chia các tập hợp cộngtính A theo hai thái cực:

Thái cực thứ nhất, bao gồm các tập hợp giả ngẫu nhiên, là cáctập có biến đổi Fourier rất nhỏ (trừ ra tại điểm 0) Với các tập nàychúng ta sẽ cần tới khái niệm độ lệch tuyến tính kAku và các Λ(p)-hằng số để đo tính giả ngẫu nhiên Các tập hợp như vậy rất "lộnxộn" đối với phép cộng tập hợp (cũng như việc xác định các cấpcộng có độ dài 3) và các thuật ngữ trên cũng cho thấy, ít nhiềuchúng giống như các tập hợp ngẫu nhiên

Thái cực thứ hai, bao gồm các tập hầu tuần hoàn, gồm các cấpcộng, các tập hợp Bohr và các tập hợp khác có hằng số kép nhỏhoặc có năng lượng cộng tính lớn Dáng điệu của các tập hợp nàyđối với phép cộng và các cấp số có độ dài 3 được mô tả hầu đầy

đủ bởi một phổ nhỏ Specα(A)- là tập hợp các tần số, ở đó biến đổiFourier của hàm đặc trưng 1A là lớn

Giải tích Fourier có thể được thực hiện trên một nhóm cộng tính

Z bất kỳ (thậm chí cả với các nhóm không giao hoán) Tuy nhiên,luận văn này chỉ xét trên các nhóm hữu hạn, ở đó lý thuyết đơngiản hơn một chút về mặt kỹ thuật Các trường hợp Z = ZN, Z =R/Z, Z = R cũng rất quan trọng trong tổ hợp cộng tính (đặc biệt

là để dẫn đến phương pháp vòng Hardy-Littlewood trong lý thuyết

số giải tích), nhưng ta cũng chỉ ra rằng lý thuyết Fourier trên cácnhóm hữu hạn có thể được thay cho lý thuyết Fourier trên các nhóm

vô hạn trong các ứng dụng của chúng ta

Bước đầu tìm hiểu về Giải tích tổ hợp, được sự định hướng của thầy

TS Trần Văn Vuông, em chọn đề tài

“Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính”

Đây là một trong ba công cụ cơ bản để nghiên cứu Tổ hợp cộngtính đã được trình bày trong cuốn sách Additive Combinatoric củaTerence Tao và Vũ Hà Văn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề của tổ hợp cộng tính bằng phươngpháp giải tích Fourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu một số khái niệm trong tổ hợp cộng tính

• Nghiên cứu một số khái niệm trong giải tích Fourier

• Vận dụng phép biến đổi Fourier để giải quyết một số vấn đềtrong tổ hợp cộng tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ứng dụng phép biến đổi Fourier trong nghiên cứu tổ hợp cộngtính

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu tài liệu tham khảo

• Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

• Hỏi ý kiến chuyên gia

6 Những đóng góp của đề tài

Một cách ứng dụng phép biến đổi Fourier trong tổ hợp cộng tính

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp cộng tính là một cặp (A,Z), trong đó

A 6= ∅ là một tập con hữu hạn của Z Ta thường ký hiệu đơn giản(A, Z) là A

Ví dụ 1.1.4 Một ví dụ điển hình về tập hợp cộng tính có “cấu trúccộng ít” là các tập con được chọn một cách ngẫu nhiên của mộtnhóm cộng hữu hạn với lực lượng đã cho.

Ví dụ 1.1.5 Đối lập với tập hợp cộng tính có cấu trúc cộng ít làtập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng cao” là “cấp cộng”

a + [0, N ) · r := {a, a + r, , a + (N − 1)r},

trong đó a, r ∈ Z và N ∈ Z+; hoặc các “cấp cộng tổng quát d- chiều”

a + [0, N ) · v := {a + n1v1 + + ndvd : 0 ≤ nj ≤ Nj, ∀1 ≤ j ≤ d},

trong đó a ∈ Z, v = (v1, , vd) ∈ Zd, N = (N1, , Nd) ∈ (Z+)d;hoặc các “hộp lập phương d- chiều”

a + {0, 1}d · v := {a + ε1v1 + + εdvd : ε1, , εd ∈ {0, 1}};

hoặc tập "các tổng- tập con"

F S(A) :=

(X

ra những cách đo (định lượng) về cấu trúc cộng của một tập hợp vànghiên cứu xem đối với những đối tượng nào thì những kết quả địnhlượng đó tương đương với nhau Chẳng hạn một trong các khẳngđịnh sau đây đều là một cách khẳng định “A có cấu trúc cộng”:

• Biến đổi Fourier b1A tập trung cao;

• Biến đổi Fourier b1A tập trung cao trong một hộp lập phương;

• A có một giao lớn với một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánhđược với A;

• A chứa trong một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh được với A;

• A (hoặc A − A hoặc 2A − 2A) chứa một cấp cộng suy rộng lớn

Sau đây ta nghiên cứu một kiểu đặc biệt của nhóm cộng trongkhông gian Euclide:

Định nghĩa 1.1.6 [Dàn] Một dàn Γ trong Rd là một nhóm concộng tính trong Rd, trong đó Γ là rời rạc (nghĩa là mọi điểm thuộc

Γ đều là điểm cô lập)

Nếu không gian tuyến tính sinh bởi dàn Γ có số chiều bằng k thì tanói Γ có hạng k, do vậy 0 ≤ k ≤ d

Nếu k = d ta nói Γ có hạng đầy đủ

Nếu Γ0 là một dàn khác trong Rd được chứa trong Γ thì ta nói Γ0 làdàn con của Γ

Ví dụ 1.1.7 Zd là dàn có hạng đầy đủ trong Rd Tổng quát hơn, ví

dụ điển hình về một dàn hạng k là: Zd·v, trong đó v = (v1, v2, , vk)

là một họ k vectơ độc lập tuyến tính trong Rd với 0 ≤ k ≤ d Khẳngđịnh này là một phần của định lý sau:

Định lý 1.1.8 [Định lý cơ bản về dàn] Nếu Γ là một dàn có hạng

k trong Rd thì tồn tại các vectơ độc lập tuyến tính v1, , vk trong

Rd sao cho Γ = Zk· v Nói riêng, mọi dàn hạng k đều hữu hạn sinh

và đẳng cấu (qua một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch hạng k

từ không gian tuyến tính sinh bởi Γ tới Rd) với dàn Zd Hơn nữa,nếu ω là một vectơ bất khả quy trong Γ ta chọn phép biểu diễn trên

là Γ = Zd· v để v = ω

Định lý 1.1.9 [John] Cho B lồi, đối xứng trong Rd và Γ là dànhạng r trong Rd Khi đó tồn tại w = (w1, , wr) ∈ Γr gồm r vectơđộc lập tuyến tính trong Γ và N = (N1, , Nr) gồm r số nguyêndương thỏa mãn:

(r−2r · B) ∩ Γ ⊆ (−N, N ) · w ⊆ B ∩ Γ ⊆ (−r2rN, r2rN ) · w

Định lý 1.1.10 [Định lý cơ bản về nhóm cộng hữu hạn] Mọi nhómcộng hữu hạn G đều đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữuhạn nhóm xyclic ZN = ZN Z.

Ta phải có k = d vì nếu không thì Zdφ−1(0) là vô hạn và do đó G vôhạn Ta có thể viết φ−1(0) là một dàn được sinh bởi N1e1, , Ndedvới một bộ số nguyên N1, , Nd ≥ 1 Do vậy

G w ZN1Z ⊕ ⊕ ZNdZ

Ta có điều phải chứng minh

2A := {B : B ⊂ A}- họ tất cả các tập con củaA;

|A| lực lượng của tậpA

Với số tự nhiên N ∈ N, ta kí hiệu ZN := ZN Z là nhóm xyclic cấp

N và sử dụng kí hiệu n 7−→ n mod N cho phép chiếu chính tắc từ

Z lên ZN

Nếu q là một lũy thừa nguyên tố thì Fq là trường hữu hạn cấp q.Nói riêng nếu p là số nguyên tố thì Fp có thể được đồng nhất với

Zp

Với x ∈ R thì [x] là phần nguyên của x

1.2.3 Ký hiệu tiệm cận Landau

Cho n là biến dương (thường lấy giá trị trên N, Z+, R≥0 hoặc R+

và thường được giả thiết là lớn) và gọi f (n), g(n) là các hàm giá trịcủa n Khi đó

• g(n) = O(f (n)) nghĩa là f không âm và ∃C > 0 sao cho

|g(n)| ≤ Cf (n), ∀n

• g(n) = Ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và ∃c > 0 sao cho

• g(n) = ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và f (n) = o(g(n))

Nếu các hằng số c, C hoặc hàm suy giảm a(n) phụ thuộc vào tham

số khác thì ta sẽ chỉ ra sự phụ thuộc đó bởi chỉ số dưới Chẳng hạng(n) = Ok(f (n)) nghĩa là tồn tại hằng số dương Ck phụ thuộc vào

k sao cho g(n) ≤ Ckf (n), ∀n,

1.2.4 Về cấp cộng

Trong mục thứ nhất ta đã nhắc đến khái niệm cấp cộng và cấpcộng suy rộng Ở đây ta sẽ đề cập một cách chi tiết hơn Với các sốnguyên a ≤ b ta gọi đoạn [a, b] là khoảng đóng rời rạc

[a, b] := {n ∈ Z : a ≤ n ≤ b}

Tương tự

[a, b) := {n ∈ Z : a ≤ n < b}, Tổng quát hơn, nếu a = (a1, , ad) và b = (b1, , bd) ∈ Zd sao cho

aj ≤ bj, ∀j = 1, 2, , d thì ta định nghĩa hộp rời rạc

[a, b] := {(n1, , nd) ∈ Zd : aj ≤ nj ≤ bj, ∀1 ≤ j ≤ d},

[a, b) := {(n1, , nd) ∈ Zd : aj ≤ nj < bj, ∀1 ≤ j ≤ d}, Định nghĩa 1.2.2 [Cấp cộng] Nếu Z là một nhóm cộng, thì tađịnh nghĩa cấp cộng suy rộng (gọi tắt là cấp cộng) là tập hợp bất

kỳ có dạng P = a + [0, N ] · v, trong đó

a ∈ Z, N = (N1, , Nd) ∈ Nd, [0, N ] ⊂ Zd

là một hộp rời rạc, v = (v1, , vd) ∈ Zd, ánh xạ

· : Zd× Zd −→ Z là tích chấm(n1, , nd) · (v1, , vd) := n1v1 + + ndvd,

và [0, N ] · v := {n · v := n ∈ [0, N ]}

Nói cách khác,

P := {a + n1v1 + + ndvd : 0 ≤ nj ≤ Nj, ∀1 ≤ j ≤ d}

Ta gọi a là điểm nền của P , v = (v1, , vd) là các vectơ cơ sở của

P , N là chiều của P , d là số chiều hay hạng của P và

Định nghĩa 1.2.4 [Năng lượng cộng tính] Nếu A, B là các tậpcộng tính trong cùng một nhóm Z, ta định nghĩa năng lượng cộngtính E(A, B) là lượng

1.3 Biến đổi Fourier

Cho Z là nhóm cộng hữu hạn (ví dụ như nhóm xyclic ZN) Trongmục này ta nhắc lại lý thuyết cơ bản của biến đổi Fourier trên cácnhóm hữu hạn đó Giải tích Fourier dựa trên tính đối ngẫu giữamột nhóm Z và đối ngẫu Pontryagin bZ của nó, bZ là không gian tất

cả các đồng cấu từ Z vào nhóm R/Z Trong trường hợp Z là nhómhữu hạn, thì ta sẽ chỉ ra rằng Z và bZ luôn đẳng cấu, do đó ta sẽđồng nhất hai nhóm này với nhau Điều này được thực hiện nhờdạng song tuyến tính không suy biến

Định nghĩa 1.3.1 [Dạng song tuyến tính] Một dạng song tuyếntính trong nhóm cộng Z là một ánh xạ (ξ, x) 7−→ ξ · x từ Z × Z vàoR/Z sao cho nó là một đồng cấu theo từng biến ξ, x

Dạng song tuyến tính đó gọi là không suy biến nếu ∀ξ 6= 0 ánh xạ

x 7−→ ξ · x không đồng nhất bằng 0 và với ∀x 6= 0 ánh xạ ξ 7−→ ξ · xkhông đồng nhất bằng 0; là đối xứng nếu ξ · x = x · ξ

Ví dụ 1.3.2 Nếu Z là một nhóm xyclic ZN thì dạng song tuyếntính xξ = xξN là đối xứng và không suy biến Nếu Z là một khônggian vectơ Fn trên trường hữu hạn F thì dạng song tuyến tính

(x1, x2, , xn) · (ξ1, ξ2, , ξn) = φ(x1ξ1 + + xnξn)

là đối xứng và không suy biến khi φ : F −→ R/Z là đồng cấukhông tầm thường từ F vào R/Z (ví dụ nếu F = Zp ta có thể lấyφ(x) = xp)

Với sự lựa chọn cụ thể này ta còn có aξ · x = ξ · ax, ∀a ∈ F ; x, ξ ∈ Z

Bổ đề 1.3.3 [Sự tồn tại dạng song tuyến tính] Mỗi nhóm cộnghữu hạn Z có ít nhất một dạng song tuyến tính đối xứng không suybiến

Chứng minh Từ Định lý cơ bản của nhóm cộng hữu hạn 1.1.10 ta

có mỗi nhóm cộng hữu hạn là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic.Trong ví dụ 1.3.2 ta lại có mỗi nhóm xyclic đều có một dạng songtuyến tính đối xứng không suy biến Hơn nữa, nếu Z1 và Z2 có dạngsong tuyến tính đối xứng không suy biến thì tổng trực tiếp Z1⊕ Z2cũng có dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, được địnhnghĩa bởi

(ξ1, ξ2) · (x1, x2) = ξ1 · x1 + ξ2 · x2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.3.4 Mỗi nhóm cộng tính Z thường có nhiều dạng songtuyến tính nhưng theo giải tích Fourier thì chúng đều tương đươngnhau Tính đối xứng có một vài ưu thế nhưng không phải là nhấtthiết đối với lý thuyết Fourier Vì biến không gian và biến tần sốnói chung có vai trò rất khác nhau

Từ nay trở đi, ta cố định một nhóm cộng hữu hạn Z, cùng vớimột dạng song tuyến tính không suy biến ξ · x

Để trình bày về giải tích Fourier, sẽ thuận lợi hơn khi ta dùng kýhiệu của lý thuyết "ergodic"

Gọi CZ là không gian các hàm giá trị phức f : Z −→ C Nếu

f ∈ CZ, ta định nghĩa giá trị trung bình hay kỳ vọng của f bởi

Ta cũng có thể sử dụng các ký hiệu này đối với một tập hữu hạn,khác rỗng bất kỳ, chẳng hạn

Ký hiệu này không chỉ gợi ý đến mối liên hệ giữa giải tích Fourier,

lý thuyết ergodic và xác suất mà nó còn rất gọn vì ngoài việc lấytổng nó còn bao gồm các thủ tục chuẩn hóa (chia cho |Z|) Nóichung, ta sẽ sử dụng ký hiệu ergodic cho các biến không gian và sửdụng ký hiệu rời rạc P

ξ∈Zf (ξ) và |A| (không có chuẩn hóa theo

|Z|) cho biến tần số Ta cũng sẽ thường xuyên sử dụng hàm số mũ

e : R/Z −→ C được định nghĩa bởi

Vì e(ξ · x)e(ξ0 · x) = e((ξ − ξ0) · x) nên ta chỉ cần chứng minh trongtrường hợp ξ0 = 0, nghĩa là chứng minh Ex∈Ze(ξ · x) = I(ξ = 0).Điều này đúng trong trường hợp ξ = 0 Nếu ξ 6= 0 thì do tính khôngsuy biến, ∃h ∈ Z sao cho e(ξ · h) 6= 1 Thay x bởi x + h ta có:

Ex∈Ze(ξ · x) = Ex∈Ze(ξ · (x + h)) = e(ξ · h)Ex∈Ze(ξ · x)

nên Ex∈Ze(ξ · x) = 0 = I(ξ = 0) như mong muốn Với mỗi ξ ∈ Z ta

có thể định nghĩa một đặc trưng liên kết eξ ∈ CZ bởi eξ(x) = e(ξ ·x)

Bổ đề trên chứng tỏ rằng eξ là một hệ trực chuẩn trong CZ, vớicấu trúc không gian Hilbert phức

Ta gọi bf (ξ) là hệ số Fourier của f tại tần số ξ

Vì eξ là cơ sở trực chuẩn đầy đủ nên ta có đồng nhất thức Parseval

Từ Bổ đề 1.3.5 ta thấy các hệ số Fourier của đặc trưng eξ chính làhàm delta Kronecker: ebξ(ξ0) = I(ξ = ξ0).

Trường hợp đặc biệt b1(ξ) = I(ξ = 0) Một vai trò đặc biệt trong

lý thuyết cộng tính của biến đổi Fourier được thực hiện bởi tần sốkhông ξ = 0

Đó là vì, hệ số Fourier không chính là khái niệm kỳ vọng

với mọi nhóm con G của Z

Bây giờ ta đưa ra khái niệm cơ bản là tích chập, là khái niệm liênkết biến đổi Fourier với lý thuyết về các tập tổng

Định nghĩa 1.3.7 [Tích chập] Nếu f, g ∈ L2(Z) là các biến ngẫunhiên, ta định nghĩa tích chập của chúng là biến ngẫu nhiên f ∗ g

f ∗ g(x) = Ey∈Zf (x − y)g(y) = Ey∈Zf (y)g(x − y)

Ta cũng định nghĩa giá supp(f ) của f là tập hợp

Nói riêng, nếu f hoặc g có kỳ vọng bằng không thì f ∗ g cũng có

kỳ vọng bằng không Như một hệ quả của (1.8), ta thấy rằng tíchchập là song tuyến tính, đối xứng và kết hợp Ta cũng có công thức

Công thức này chuyển tích từng điểm thành tích chập

Định lý 1.3.8 [Markov] Cho X là biến không âm Khi đó với mọi

Khi đó tồn tại ε = ε(δ) > 0 chỉ phụ thuộc vào δ, sao cho

E(A, H) ≤ p−ε|A||H|2, ∀A ⊆ Fp, 1 ≤ |A| ≤ p1−δ

nếu p đủ lớn và phụ thuộc δ

1.4 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong tổ hợp cộng

tính

Chúng ta quay trở lại lý thuyết giải tích về biến đổi Fourier và

tích chập, bắt đầu với lý thuyết Lp và sau đó ứng dụng nó vào bài

toán xác định cấp số học của các tập hợp tổng

Định nghĩa 1.4.1 Cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞; ta định nghĩa

Lp(Ω) = {f : Ω −→ R hoặc C; f đo được và |f |p khả tích},

L∞(Ω) = {f : Ω −→ R hoặc C; f đo được và ∃C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi}

kf k∞ = inf{|f (x)| ≤ C hầu khắp nơi}

Nhận xét 1.4.2 Nếu f ∈ L∞(Ω) thì |f (x)| ≤ ||f ||∞ tại hầu hết

x ∈ Ω

Định lý 1.4.3 Lp là một không gian vectơ và k · kp là một chuẩn

với 1 ≤ p ≤ ∞

Định nghĩa 1.4.4 Nếu f ∈ CZ và 0 < p < ∞, ta định nghĩa

Lp(Z)- chuẩn của f là giá trị

Tương tự, ta định nghĩa

kf klp (Z) =



X

k bf klp0 (Z) ≤ kf kLp (Z),

ở đó số mũ đối ngẫu p0 của p được định nghĩa bởi 1p + p10 = 1

Hơn nữa, với bất cứ 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thoả mãn 1p + 1q = 1r + 1 ta cóbất đẳng thức Young

và bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.

Với mục đích của tổ hợp cộng tính, biến đổi Fourier là hữu ích nhấtkhi áp dụng vào các hàm đặc trưng f = 1A, và trong trường hợpnày ta có thể nói về biến đổi Fourier và quan hệ của nó với nănglượng cộng tính E(A, A)

Bổ đề 1.4.6 Cho A là một tập con của nhóm cộng hữu hạn Z, vàgọi b1A : Z −→ C là biến đổi Fourier của hàm đặc trưng của A.Khi đó, ta có

Fourier ta nhận được bf (ξ) = Ea∈Ab1A(ξa), ∀ξ ∈ F Nếu ξ 6= 0 thì cáctần số aξ luôn khác nhau khi a biến thiên.

Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz rồi đến (1.11) thì ta đạtđược

vì PF(A) > |F |−14 theo giả thuyết

Do supp(f ∗ f ∗ f ) = 3(A · A) và x bất kỳ nên ta có điều phải chứngminh

Nhận xét 1.4.8 Hệ quả 1.4.7 là ví dụ đơn giản về đánh giá củatổng- các tích Nó định rằng một tổ hợp của tổng và tích của mộttập A lớn hơn tập A rất nhiều Nó có thể được xem như một phảnánh định lượng của hiện tượng: một tập A có lực lượng lớn hơn |F |34

có khó khăn trong việc xử lý như một trường con của F

Định nghĩa 2.1.1 [Độ lệch Fourier] Cho Z là một nhóm cộng hữuhạn Nếu A là một tập con của Z, thì ta định nghĩa độ lệch FourierkAk của A là số:

A = ∅ Nó tuân theo luật đối xứng

kAku = k − Aku = kA + hku = kZ \ Aku, ∀h ∈ Z

Chú ý rằng k · k là không đơn điệu, tức là A ⊆ B không suy

ra được kAku ≤ kBku Tuy nhiên, độ lệch Fourier tuân theo bấtđẳng thức tam giác Độ lệch Fourier kAku có thể lớn bằng mật độ

PZ(A), nhưng thường là nhỏ Các tập A có độ lệch Fourier nhỏ hơn

α, thường được gọi là tập α- đều hoặc tập α- giả ngẫu nhiên; cáctập với độ lệch Fourier nhỏ được gọi là đều tuyến tính, đều Gowerscấp 1, hoặc giả ngẫu nhiên

Mối liên quan giữa độ lệch Fourier và các tập tổng được mô tả trong

bổ đề sau

Bổ đề 2.1.2 [Tính đều suy ra các tập tổng lớn]

Cho n ≥ 3, và A1, A2, , An là các tập hợp cộng tính trong nhómcộng hữu hạn Z

≤ kA1ku kAn−2kuPZ(An−1)12PZ(An)12

Đặc biệt, nếu ta có

kA1ku kAn−2ku < PZ(A1) PZ(An−2)PZ(An−1)12PZ(An)12

thì A1 + A2 + An = Z

Tất nhiên, một kết quả tương tự là đúng nếu ta hoán đổi thứ tự

A1, , An Chú ý rằng đại lượng PZ(A1) PZ(An) là giá trị mongđợi của

1

|Z|n−1

{(a1, a2, , an) ∈ A1 × × An : x = a1 + + an}

nếu các sự kiện a1 ∈ A1, , an ∈ An là độc lập từng đôi với điềukiện x = a1+ + an Điều này giải thích tại sao tính đều còn đượcgọi là tính giả ngẫu nhiên.

Chứng minh

Theo (1.13), hàm 1A1 ∗ ∗ 1An có biến đổi Fourier b1A1 b1An

Áp dụng công thức Fourier ngược (1.7), (1.10), Bất đẳng thứcCauchy- Schwarz và (1.11) ta có:

Bổ đề 2.1.3 [Đánh giá tổng Gauss] Cho F là trường hữu hạn vớicấp lẻ và A = F∧2 = {a2 : a ∈ F } là tập các bình phương của cácphần tử trong F Khi đó:

kAku ≤ 1

2|F | +

12|F |12

Chứng minh Lấy ξ ∈ F \ {0} Do mọi phần tử khác 0 trong A đều

có đúng hai cách biểu diễn dưới dạng a2, nên ta có:

b1A(ξ) = 1

|F |X

x∈A

e(−ξ · x) = 1

2|F | +

12|F |X

2

=

X

a∈F

e(ξ · a2)