Phổ năng lượng giao động mạch tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại

23 Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q, R CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI .... Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: .... Phổ

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô các trường như: Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học Quốc gia, Đại học Bách khoa,…đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Lêi Cam §oan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan………

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 6

Chương 1 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 6

1.1.Dao động tử Boson biến dạng q: 6

1.1.1.Dao động tử Boson: 6

1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng q:………… ……….………… 8

1.2 Dao động tử có thống kê vô hạn 11

1.3.Dao động tử Fermion biến dạng q: 13

1.3.1.Dao động tử Fecmion: 13

1.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q: 14

1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát: 15

1.5 Dao động biến dạng q- R: 19

1.5.1 Dao động tử biến dạng q- R: 19

1.5.2 Thống kê của dao động tử biến dạng q – R: 23

Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 25

2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: 25

2.2 Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 34

2.3 Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R: 45

2.4 Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 49

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vài chục năm gần đây đại số lượng tử được rất nhiều nhà Vật lý trong nước và quốc tế quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng của nó trong nghiên cứu Vật lý lý thuyết Ví dụ như: nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng – Bascter lượng tử, bài toán tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số

Đặc biệt gần đây áp dụng hình thức luận dao động tử lượng tử rất có hiệu quả trong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và sự rung động của các hạt nhân, chất rắn, vật chất đông đặc, dao động mạng tinh thể…

Cùng với những lý do trên ở luận văn này chúng tôi áp dụng hình thức

luận dao động biến dạng để nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động

mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến

dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể

4 Phương pháp nghiên cứu

- Các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết

- Các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn

- Dùng biểu diễn số hạt của dao động biến dạng để nghiên cứu dao động mạng tinh thể

5 Những vấn đề chính được nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể

- Nghiên cứu dao động biến dạng

- Nghiên cứu dao động biến dạng của mạng tinh thể

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Dao động lượng tử biến dạng

- Tìm hiểu hình thức luận dao động tử lượng tử

- Tính thống kê cho các dao động biến dạng

Chương 2: Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại

- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

-Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại

- Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R

- Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử cùng loại

NỘI DUNG

1.1 Dao động tử Boson biến dạng q:

 

1 2

Trong đó m,  lần lượt là khối lượng và tần số góc của dao động tử Khi

ấy ta có hệ thức giao hoán giữa toán tử Q và toán tử P như sau:

Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng:

ˆ

1 2 1 2 1

1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q:

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và toán tử sinh dao động tử a aˆ ˆ ,  theo hệ thức sau:

aaqa a q

(1.10) Với q là thông số biến dạng

Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

 

ˆ ) 0

!

n q

q

a n

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các toán

tử hủy và sinh dao động tử a aˆ ˆ , :

Khái niệm thống kê vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh aˆ, toán tử hủy aˆ trong khuôn khổ lý thuyết trường:

k k

n k k

n n k

1 1

a a n a a a

a aa a

a a a n

n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn m n,  m n, , với m n , 0,1

Tác dụng của toán tử bˆ,bˆ lên trạng thái n :

1.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q:

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử sinh dao động tử bˆ và toán tử hủy dao động tử bˆ như sau:

Khi q 1 ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.27)

1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát:

Gần đây trong công trình nghiên cứu của GS.TSKH Đào Vọng Đức đã

đề nghị một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn

Hệ dao động tử Boson thỏa mãn:

Toán tử số dao động tử Nˆ được thực hiện trong không gian Fock với cơ

sở là các vecto riêng đã chuẩn hóa n :

 

  

ˆ ) 0

!

n c

q

a n

ˆ

ˆ ˆ 0 1

ˆ

0 1

c q

cN c q

c q c q

a aa

a

q qa a

a q

ˆ ˆ 1 2

c

c q c c

ˆ ˆ 1 ˆ

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ

ˆ 1

1 1 1

c q

c q cN c q

ck

c q ck

c q c

q

a a

k a

aa k k

a

q qa a k k

Vậy (1.40) được chứng minh

Hệ thức giao hoán giữa ˆx và ˆp:

Đại số Heiseinberg biến dạng q – R được tổng quát từ đại số biến dạng q

và đại số biến dạng R Đại số biến dạng q – R được xây dựng dựa trên các toán tử sinh, huỷ dao động tử a aˆ  , ˆ toán tử phản xạ R theo các hệ thức

trong đó  , q là các thông số biến dạng thực

Toán tử phản xạ R và toán tử số hạt Nˆ thoả mãn các điều kiện:

Tác dụng toán tử a aˆ ˆ lên các trạng thái n , ta có:

n q

Với r = 1 và    1không gian biểu diễn đại số biến dạng q – R là vô hạn

và được xây dựng từ các vectơ đã chuẩn hoá sau:

!'

n

q

n n

a n

Toán tử toạ độ và xung lượng được xác định từ biểu thức:

Hệ thức giao hoán giữa toán tử toạ độ và xung lượng:

12

1.5.2 Thống kê của dao động tử biến dạng q – R:

Hàm Green của dao động tử điều hoà biến dạng q – R được xác định như là hàm phân bố thống kê của a+a:

n e a a n Z

q q q

q q e n Z

N N

N N

q q e Z

n n n n

n

N

1

1 1

1 0





Tính toán với từng số hạng ta thu được kết quả như sau:

q q

e q

q

q

q

n n

n

n n

1 0

1

1

1 1

1 1

e qe

q

v v q

q

e q

n

n n n

1 1

1

1 1

1 1

q e q

v e

1 1

1 1

e q e

Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (Q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI

2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa:

Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng:

2 2

2 2

1 ˆ

2 2 2

2

ˆ

m k

tử aˆ và aˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.4) Để tìm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới như sau:

Vậy: Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

Bây giờ ta xét vecto trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên

n Đó là vecto trạng thái a nˆ Tác dụng lên vecto trạng thái này toán tử Nˆ

và sử dụng công thức (2.7), ta có

 là một vecto riêng của Nˆ ứng với trị riêng n – p

Tiếp theo ta xét vecto trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử aˆ

lên n Đó là vecto trạng thái a nˆ 

Tác dụng lên vecto trạng thái này toán tử

 là một vecto riêng của Nˆ ứng với trị riêng n + p

Như vậy,  aˆ 2 n ,  aˆ 3 n , … cũng là các vecto riêng của Nˆ ứng với các trị riêng n + 2, n + 3, …

Nếu n là một vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì với p =

min

vì, nếu a nˆ min  0 thì đó là vecto trạng thái ứng với trị riêng nmin – 1 < nmin, trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất Từ (1.11) ta suy ra

min ˆ min

a a n N n 

Mặt khác, theo định nghĩa của nmin

min min min

ˆ

So sánh hai phương trình trên ta đi đến kết luận sau

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin = 0 Vecto trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ được ký hiệu là 0 Vecto trạng thái này thỏa mãn điều

Khi đó

ˆ 0

a tỷ lệ với vecto riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n = 1

 aˆ 2 0 tỷ lệ với vecto riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n = 2, …

 aˆ  n 0 tỷ lệ với vecto riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n

n là vecto riêng của Hˆ ứng với trị riêng 1

1 0

E E    có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  

vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng

E E    E   

có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0 , … Nếu ta lấy gốc năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lượng tử nào, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử, … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử Nˆ có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

tử số lượng tử năng lượng Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái

tỷ lệ với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt và aˆ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái n với năng lượng E n  n  sẽ

là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng   Khái niệm

“hạt” đưa vào ở đây chỉ để cho tiện Thực chất đó chỉ là các “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môi trường đông đặc

Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ n, n, n trong các hệ thức

Hình 1.1: Chuỗi nguyên tử cùng loại

Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng

Giả thiết thế năng giữa hai nguyên tử kề nhau, ở các nút thứ n và n + 1 tỷ

lệ với bình phương độ dời tương đối

   1

du t M

      22

Các toán tử uˆn và pˆn tương ứng với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ x n

của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vecto sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất

, ' ' 0

, ' ' '

' '

' 1 1 1

ka

k M

 2 2

i

M k

[ 2

[ 2

1

1 2

2.3 Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R:

Ta có Hamiltonian của dao động diến dạng (q-R) biểu diễn như sau:

2 2

trong đó, q là các thông số biến dạng thực

Toán tử phản xạ Rˆ và toán tử số hạt Nˆ thoả mãn các điều kiện:

n n

Với r 1,    1không gian biểu diễn đại số biến dạng q – R là vô hạn và

được xây dựng từ các vectơ đã chuẩn hoá sau:

2 2

q q n

E

n n

Trong trường hợp giới hạn:

Khi q  1 thì:

2 ) 1 2

v n

E n   

2.4 Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho

chuỗi nguyên tử cùng loại:

Hamiltonian của hệ dao động biến dạng (q, R):

Toán tử sinh và hủy dao động ứng với véctơ sóng kˆcó dạng:

1 1

k k

n n

k k

Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q,R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại được tìm từ phương trình sau :

mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt có phổ năng lượng En phụ thuộc vào thông số biến dạng (q, R) ở công thức (2.46)

2 Nghiên cứu dao động mạng tinh thể nói chung và dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại

3 Áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu phổ năng lượng của dao động biến dạng cho chuỗi nguyên tử cùng loại

Với kết quả tìm được phổ năng lượng là một trong những vấn đề nghiên cứu vật lý chất rắn, là tài liệu cho những ai quan tâm đến vấn đề này

Trong khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế tôi đã cố gắng hoàn thiện luận văn và hy vọng được tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về những lĩnh vực đã đề cập ở trên nếu điều kiện cho phép

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Việt Dũng, Nguyễn Thị Hà Loan (1994), “The p, q – Deformed

harmonic oscillators repressentation of the quantum algebra SU(2)pq”,

Communications in physics, Vol 4, No 2, page 85 – 89

[2] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội

[3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc

gia Hà Nội

[4] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết của vật lý

lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

[5] Nguyễn Hoàng Phương (1998), Nhập môn Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản

Giáo dục, Hà Nội

[6] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2005), “Oscillators repressentation of R(q) – Deformed Virasoro algebra”, Báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30, Thành phố Huế

[7] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2003), “(q, R) – Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”,

Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240 – 244

[8] Nguyễn Thị Hà Loan (1996), “Deformed oscillators and their Statistics”,

Communications in physics, Vol 6, No 2, page 18 – 22

[9] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (1999), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia Hà Nội

[10] A S Davydov (1972), Cơ học lượng tử, Đặng Quang Khang dịch, Nhà

xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội

[11] A Messiah (1968), Quantum Mechanics, Vol I, II, Wiley, NewYork [12] C Kittel (1964), Quantum Theory of Solids, Wiley, NewYork

[13] D Halliday, R Resnick và J W Walker (1998), Cơ sở Vật lý Tập VI,

Quang học và Vật lý nguyên tử, Hoàng Hữu Thư, Phan Văn Thích và

Phạm Văn Thiều dịch, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[14] E U Condon and G H Shortley (1963), The Theory of Atomic Spectra,

Cambridge University Press, Cambridge

[15] E V Spolskii (1967), Vật lý nguyên tử, Phạm Duy Hiển, Phạm Quý Tư

và Nguyễn Hữu Xý dịch, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[16] H Haken (1976), Quantum Field Theory of Solids, North – Holland,

[19] L D Landau and E M Lifshitz (1962), Quantum Mechanics

Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, Oxford

[20] Lee T Dn (1998), Particle physics and Introduction to Field Theory,

Harwood Academic Publishers

[21] Schrodinger.E (1926), Naturwissenschaff.ten 14, 644

[22] S Gasiorowixz (1974), Quantum Physics, Wiley, NewYork

[23] P A M Dirac (1958), The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed,

Clarendon, Oxford

[24] R Gautreau and W Savin (1999), Modern Physics, Schaum’s Outline

Series, McGraw – Hill, NewYork

[25] Yaping Yang and Zurong Yu (1994), “On q – Coherent state of q –

Deformed oscillator”, Modern physics Letters A, Vol 9, No 36