Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số, ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng máy tính... Nhiệm vụ nghiên cứu

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của TS.Khuất Văn Ninh

Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc TS.Khuất Văn Ninh, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng học, đội ngũ

bảo vệ an ninh khu vực đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng

tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Khuất Văn Ninh

Lê Thị Thu Phương

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa……… 1

Lời cảm ơn ……… 2

Lời cam đoan ……… 3

Mục lục……… 4

Bảng các kí hiệu ……… 5

Mở đầu……… 6

Nội dung ……… 8

Chương 1: Kiến thức cơ sở ……….8

1.1 Không gian véc tơ ……… 8

1.2 Các không gian quan trọng ……… 11

1.3 Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet ………15

Chương 2: Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến……… 19

2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể của nó……… 19

2.2 Phương pháp cát tuyến……… 27

2.3 Một số biến thể ……….44

2.4 Phương pháp sử dụng tính liên tục của ánh xạ ……….52

2.5 Các phương pháp đặc biệt đối với hàm một biến ……….57

2.6 Bàn thảo về các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến ……….62

Chương 3: Bài tập……… 67

Kết luận và kiến nghị……….71

Tài liệu tham khảo……….72

Trường hợp đặc biệt của (1) là:

Fx= 0 (2) với F = (f1, ,f ) : R n →R n, n≥ 1

0 ) , , (

1

1 1

n n

n

x x f

x x f

“Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

n ẩn số”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số, ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng máy tính

điện tử để giải Đánh giá về những nghiên cứu khoa học của mình Nêu ra những đóng góp của đề tài Đề xuất các kiến nghị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết vào các bài toán cụ thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Hệ thống hoá các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số Lập trình các bài toán trên máy tính điện tử bằng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Không gian véc tơ

1.1.1 Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, K là một trường số Một không

gian véc tơ X trên trường K là một tập hợp X cùng với hai ánh xạ:

(phép cộng):

y x y

x

X X X

+

→

× a ) ,

(phép nhân với một vô hướng):

x x

X X K

α

α , )a(

3 ∃ θ ∈X :x+ θ = θ +x=x (θ gọi là phần tử không của X )

4 ∃ −x∈X :x+ ( −x) = ( −x) +x= θ (−x gọi là phần tử đối của x)

1.1.2 Cơ sở Hamel và số chiều của không gian véc tơ

Cho X là không gian véc tơ trên trường K

1.1.2.1 Định nghĩa: Giả sử {x1, ,x n}⊂ X là một hệ véctơ tuỳ ý,

{α1, , αn}⊂K là một bộ số tuỳ ý Ta gọi ∑

=

i i

i x y

1

α là tổ hợp tuyến tính của

các véc tơ x , ,1 x n trong X (hay còn nói là y biểu thị tuyến tính qua các véc

tơ x , ,1 x n)

i i

1.1.3 Không gian véc tơ con

Cho X là không gian véc tơ trên trường K

1.1.3.1 Định nghĩa: Tập M ⊂ X gọi là không gian véc tơ con của X nếu M

đóng kín đối với các phép toán của X , nghĩa là:

M x K M

x

M y x M y x

(hay M là một không gian véc tơ với các phép toán cảm sinh từ X )

1.1.3.2 Định nghĩa: Giả sử M là một tập con của X Khi đó tập tất cả các tổ

hợp tuyến tính của các phần tử thuộc M lập thành một không gian con của

X , ký hiệu là M hay sp n M

Nhận xét: M là giao của mọi không gian véc tơ con của X chứa M ,

đó là không gian véc tơ con nhỏ nhất của X chứa M và gọi là không gian con sinh bởi M (hay còn gọi là bao tuyến tính của M )

1.1.4 Ánh xạ và ma trận

Cho X , Y là hai không gian véc tơ trên cùng trường K Ánh xạ

F :X →Y

1.1.4.1 Định nghĩa: F gọi là ánh xạ tuyến tính nếu và chỉ nếu:

2 , 1 , ,

; ) ( )

(

1 1

≥

=

∈

∈

∀

∑

=

=

n n i K X

x x F x

i

i i n

i i

α

1.1.4.2 Ma trận: Giả sử X và Y là các không gian hữu hạn chiều,

{u u n}

u= 1, , là một cơ sở của X, v={v1, ,v m} là một cơ sở của Y, Flà ánh

xạ tuyến tính Khi đó F hoàn toàn được xác định bởi:

n j v a b

u

i i j j

(

1

=

=

=

Nếu y=F(x), x= (x1, ,x n) ∈X, y= (y1, ,y m) ∈Y thì ; 1 ,

1

m i x a

j j j

=

Hay

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

n n m m

m m

n n

n n

x a x

a x a y

x a x

a x a y

x a x

a x a y

2 2 1 1

2 2

22 1 21 2

1 2

12 1 11 1

n n

j

a a

a

a a

a

a a

a a

A

L

M M M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

1.1.5 Định nghĩa không gian afin: Cho X là không gian véc tơ thực

Tập A⊂ X gọi là tập afin nếu ∀x,y∈A, ∀t∈R⇒ t x+ ( 1 −t)y∈A Tập A⊂ X gọi là không gian con afin của X (hay không gian véc tơ con củaX ) nếu và chỉ nếu A là tập afin chứa phần tử θ ∈X

1.2 Các không gian quan trọng

1.2.1 Không gian Metric

Ánh xạ d gọi là metric (hay khoảng cách) trên X Các tiên đề 1,2,3 gọi

là hệ tiên đề metric Tập X cùng với ánh xạ d như thế gọi là một không gian metric, kí hiệu là (X,d)

Định nghĩa 2: Dãy điểm { }x n trong không gian metric (X,d) được gọi là hội

x x d m

Không gian metric (X,d) là không gian đầy nếu mọi dãy cơ bản trong

nó đều hội tụ

1.2.1.2 Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu thắt dần

Không gian metric (X,d) là không gian đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất

1.2.1.3 Nguyên lí Banach về ánh xạ co

Định nghĩa: Cho hai không gian metric (X,d1) và (Y,d2) Ánh xạ: F:X →Y

gọi là ánh xạ co nếu tồn tại α ∈ [ 0 ; 1 ) sao cho:

X x x x

x d x

F x F

Nguyên lí Banach về ánh xạ co: Mọi ánh xạ co F: (X,d) → (X,d)không gian metric đầy vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất (nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x* ∈X :F x* =x*)

1.2.2 Định nghĩa không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1: Ta gọi không gian định chuẩn X là không gian véc tơ X trên trường K cùng với một ánh xạ :X →R (gọi là chuẩn) thoả mãn các tiên đề sau:

Nếu ta đặt d(x,y) = x− y thì d là một mêtric trên X

Định nghĩa 2: Dãy điểm { }x n trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:

x x m

1.2.3 Không gian véc tơ tôpô

1.2.3.1 Định nghĩa: Cho X là một tập bất kỳ Ta nói họ τ các tập con của

X là một tôpô trên X nếu:

(i) x+y là hàm liên tục của hai biến x , y(tức là mọi lân cận V của điểm x+y đều có một lân cận U x của điểm x và một lân cận U y của điểm y

sao cho nếu x1∈U x,y1∈U y ⇒x1+y1∈V )

(ii) αx là hàm liên tục của hai biến α ,x (tức là mọi lân cận V của

x

α đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho

V x U

trúc đại số gọi là không gian véc tơ tôpô

Định nghĩa 3: Tập con A trong không gian véc tơ X gọi là tập lồi nếu:

A y x

A y

Định nghĩa 4: Không gian véc tơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương nếu mọi phần tử của X đều có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi (hay nếu phần tử θ ∈X có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi)

1.2.3.4 Ánh xạ afin

Định nghĩa 1: Cho X , Y là hai không gian véc tơ, ánh xạ :X×Y →R gọi

là một dạng song tuyến tính tách được theo từng biến nếu:

x, λy1+ µy2 = λ x,y1 + µ x,y2 ; ∀x∈X, ∀y1,y2∈Y, ∀ λ , µ ∈R

λx1+ µx2,y = λ x1,y + µ x2,y ; ∀x1,x2∈X, ∀y∈Y, ∀ λ , µ ∈R ∀x0∈X −{ }θX , ∃y∈Y: x0,y ≠ 0

ϕ liên tục khi và chỉ khi x# ∈X*

1.3 Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet

Định nghĩa 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là một tập con mở của X , ánh xạ F:U →Y Khi đó:

(i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T :X →Y là đạo hàm Gateaux của F tại

U

x0 ∈ nếu và chỉ nếu:

0 )

( ) (

∈

∀

i X

τ

τ

(ii) Ánh xạ tuyến tính liên tục T :X →Y là đạo hàm Frechet của F

tại x0 ∈U nếu và chỉ nếu:

∈

∀

u m i X u

τ

τ

(4i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T:X →Y là đạo hàm Frechet yếu của

F tại x0 ∈U nếu và chỉ nếu:

u

Các đạo hàm được định nghĩa trên đây đều được kí hiệu là T = F' (x0 )

Định nghĩa 2: Cho X1 , ,X n, Y; n≥ 2 , là các không gian định chuẩn, ánh xạ:

Y X

x x

i i

1 0 1 0 1 0

, , ,

, , , )

( , , 1

; :

Nếu F i có đạo hàm Frechet tại điểm x⎟ i

hàm riêng Frechet của F theo x i tại điểm x0 Ta viết: i i

Khi X1 = = X n =Y =R thì đạo hàm riêng Frechet này trùng với đạo hàm riêng thông thường

Ví dụ 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, F:X →Y là ánh xạ hằng (tức là ∀x∈X : Fx=b=const, b∈Y ) Khi đó ∀x∈X ⇒F'x= θ∧ (ánh xạ không)

Ví dụ 2: f :R→R là hàm số thực, với x0 ∈R ta có f' (x0 ) là đạo hàm của f

tại x0 theo nghĩa thông thường

Ví dụ 3: Giả sử ánh xạ:

n x

x F x F x x x

R R F

n n

n

2 )

, , ( )

, , (

có các đạo hàm riêng theo x , ,1 x n liên tục Khi đó mọi n

n R x x

1

x x

F x

x

F x

n

x

F h

x F R h h h

; :

) , , ( )

n i

i

có đạo hàm tại x thì ánh xạ:

( ( ), , ( ))

: ) , , (

1

1

x f x f x F

R R

f f F

m

m n

m

n n

n m j i

m

x

f x

f x f

x

f x

f x f

x

f x

f x f

x x

f x

f

x f x F

K

M M M M

K L

M

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

1

) ( )

( '

) ( ' ) ( '

(ma trận Jacobi của ánh xạ F)

h x f h x F R h h h

m

n n

) ( '

) ( ' )

( ' )

, , (

1

Định lí hàm số ngược: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là tập con

mở trong X , ánh xạ F:U →Y là phép đồng phôi từ U vào tập con mở

Y

U

F

V = ( ) ⊂ Giả sử F có đạo hàm Frechet tại điểm x0 ∈U và F' (x0 ) :X →Y

là phép đồng phôi tuyến tính Khi đó ánh xạ ngược F− 1 :V →X có đạo hàm Frechet tại điểm y0 = F x0 ∈V và

1 0 0

1 0

1 ) ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( )

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể của nó

2.1.1 Phương pháp dây cung song song

Cho f :U ⊂R→R là hàm số thực một biến có một nghiệm x*, ta thay giá trị của f tại một xấp xỉ x0 của x* bởi một hàm tuyến tính:

) ( ) ( )

gọi là phương pháp dây cung song song trong không gian một chiều và

được biểu diễn hình học như hình 2.1 dưới đây:

, đặt x k+ 1 là nghiệm duy nhất của L k x= θ (với θ = ( 0 , , 0 ) ∈R n;k= 0 , 1 , )

,

1 , 0 ,

x f x x

i n

j

k j j

∑

=

với siêu phẳng x= θ trong R n+ 1

Để áp dụng phương pháp dây cung song song thì điều quan trọng là phải chọn ma trận A thích hợp Ta giới thiệu một vài cách chọn sau đây:

Cách 1: A= λI với λ ∈R* nào đó Từ đó ta thấy phương pháp lặp trong không gian một chiều (2.1.1) được gắn vào mỗi thành phần riêng f i của F

Cách 2: Đối với quá trình lặp trong không gian một chiều (2.1.1), ta có

) (

với A∈GL ( R n, ) nào đó, G là một hàm phi tuyến, ta có phương pháp Picard:

,

1 , 0 ,

1

Vì A− 1G x= x−A− 1F x nên rõ ràng (2.1.5) có thể được viết lại dưới dạng (2.1.2)

Chú ý: Có nhiều cách chọn ma trận A khác nữa trong phương pháp dây

cung song song Tuy nhiên, yêu cầu cơ bản là phải chọn A sao cho quá trình lặp (2.1.2) ít nhất phải là hội tụ địa phương Nghĩa là khi x0 đủ gần tới nghiệm x* của F x= 0 thì chắc chắn ta có: i m x k x*

k

=

∞

Ta có thể chứng minh được rằng khi F' (x* ) tồn tại thì điều kiện cần và

đủ để (2.1.2) hội tụ địa phương là:

,

1 , 0 ,

với ' ( k)

k F x

A = được thay đổi từ bước nọ đến bước kia sao cho:

) ( ' x*

F A m

là phương pháp Newton trong không gian một chiều và được biểu diễn hình

học như hình 2.2 sau đây:

Hình 2.2

Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F:D⊂R n →R n trong không gian n

chiều, n≥ 2, có nghiệm x*, bằng cách thay f' (x k) trong (2.1.7) bằng đạo hàm Gato F' (x k) của F tại x k , ta có phương pháp Newton trong không gian n

chiều:

,

1 , 0 ,

) (

( ' )

i k k

f x

Chú ý: Có nhiều phương pháp lặp trong không gian n chiều khác nữa

mà cũng có điều kiện khi cho n= 1 thì nó trở thành (2.1.7), chẳng hạn ta xét quá trình lặp:

x k+ 1 = x k −F' (x k) − 1F x k + (n− 1 )G x k; k = 0 , 1 , (2.1.10)

với G:R n →R n là ánh xạ tuỳ ý nào đó

Tầm quan trọng của phép lặp Newton (2.1.8) dựa trên cơ sở là: từ những điều kiện đã cho đối với F, bất đẳng thức dạng:

Ta hoàn toàn có thể chứng minh được (2.1.11) Hơn nữa, ta có thể thấy rằng bất đẳng thức (2.1.11) có được là do phép lấy đạo hàm sau đây của phương pháp Newton:

Nếu F có đạo hàm Frechet tại x k thì:

) (

) )(

m

i

h

Từ đó nếu x k gần với nghiệm x* thì hiển nhiên số hạng R(x* −x k)

giảm đi và xấp xỉ hiệu x* −x k bằng nghiệm h của hệ tuyến tính:

k

k h F x x

Hay nói cách khác,

k k

k k

được lấy là một xấp xỉ mới của x*

Nếu F '' bị chặn trong một lân cận của x* thì ta có:

và giả sử F' (x* ) không suy biến từ đó dẫn tới đánh giá (2.1.11)

Mọi phép lấy đạo hàm có liên quan của phương pháp Newton hoàn toàn có thể thực hiện được dựa vào định lí hàm số ngược

Thực chất là nếu F khả vi liên tục và F ' x( ) không suy biến trong một lân cận U của x* thì theo định lý hàm số ngược ta có: thu hẹp F U của F trên

U có một nghịch đảo G=F U− 1 khả vi và G' (F x) = F' (x)−1

Do đó nếu ta khai triển G theo F x k, ta có:

) ( )

( ' )

( )

( ' ) ( )

* G G F x k G F x k F x k R F x k x k F x k F x k R F x k

Ta thấy (2.1.14) lại cho ta phương pháp Newton khi bỏ đi số hạng cuối

2.1.3 Một số biến thể của phương pháp Newton

Mặc dù phương pháp Newton là lý thuyết có sức thu hút người đọc, nhưng nó rất khó khăn trong thực hành Thực tế tại mỗi bước ta cần phải có nghiệm của hệ tuyến tính (2.1.13), hiếm khi ta tính chính xác được giá trị

có cả n2dạng F' (x k), và nếu các đạo hàm riêng ( k)

i

j f x

∂ có dạng hàm số phức tạp thì ta hoàn toàn không cần tính toán các đạo hàm riêng này Hầu hết các phương pháp của chương này đều tránh việc tính toán một cách chính xác các đạo hàm Hai phép xấp xỉ khác nhau điển hình thường được sử dụng để tránh tính F ' x( ) đơn giản nhất là xấp xỉ các đạo hàm riêng ∂j f i(x);i,j= 1 ,n. bằng các tỷ sai phân:

1 ) (

j

k

k k i i

j

k

k k i i

j i

h x

và

[ ( ) ( )]

1 )

h x

j i

j i

với h j∈R là các tham số phân biệt, e j = ( 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 ) là véc tơ toạ độ thứ j

Biến thể 1: Tổng quát, cho h∈R p là một véc tơ tham số, ∆ j(x,h) là các xấp

xỉ khác nhau của ∂j f i (x) với tính chất: mỗi khi ∂j f i (x) tồn tại thì với i, j= 1 ,n.

ta có:

) ( )

, (

0

x f h x m

; )

được gọi là phương pháp Newton rời rạc với các véc tơ tham số h k ∈R p

được phép thay đổi theo chỉ số lần lặp

Chọn h k đơn giản nhất là h k =h∈R p (các tham số khác nhau được giữ

cố định cùng bằng một hằng số trong suốt quá trình lặp)

Ta dễ thấy phép lặp chỉ có một tốc độ hội tụ tuyến tính, và để tiến dần đến sự hội tụ nhanh của phương pháp Newton thì cần phải có = 0

∞

→

k k

h m

Một trong những quy tắc được gắn với bất kỳ phương pháp lặp nào là

quy tắc “làm giảm chuẩn” theo nghĩa:

,

1 , 0

; ) (

với λk là các tham số được chọn sao cho F' (x k) + λk I không suy biến nếu bản thân F' (x k) suy biến (hay để đảm bảo rằng với các điều kiện cho trước thì (2.1.20) thoả mãn)

Biến thể 4: Thỉnh thoảng ta phải tìm lại biểu thức F' (x) và phép lặp là:

,

1 , 0

; ) (

Nếu p(k) =k thì (2.1.23) là phương pháp Newton (2.1.8)

Nếu p(k) = 0 thì (2.1.23) là phương pháp Newton cải biên (2.1.3) Giả sử F' được tính lại sau mỗi m bước Khi đó nếu ta liệt kê lại các quá trình lặp để lúc này x k biểu thị lần lặp thứ k m của (2.1.23) thì phép lặp (2.1.23) tương đương với:

, 1

; )

( '

0 ,

1 , 1 1

, ,

, 1

m i x

x

x F x F x

x

x x

k k

i k k

i k i k

m k k

' x

F được thay bởi phép xấp xỉ (2.1.16) khi h j =h; i, j= 1 ,n.

Ta có thể mở rộng các phương pháp lặp trong không gian một chiều tới không gian n chiều và tới cả không gian vô hạn chiều, trong đó phép lặp trong không gian một chiều có tốc độ hội tụ cao Chẳng hạn như phương pháp tiếp tuyến hypebol:

x k x k I F x k F x k F x k F x k F x k 1F x k

1 1

ít hơn đối với phương pháp Newton

2.2 Phương pháp cát tuyến

2.2.1 Phương pháp cát tuyến tổng quát

Xét phương pháp Newton rời rạc trong không gian một chiều:

,

1 , 0

; ) ( ) ( )

k

k k

k k

; ) ( ) ( )

x f x f x

k

k k

; ) ( ) ( )

x f x f x

k k

k k

x f x x h

x f h x f x l

Với l được xét theo hai cách khác nhau:

Cách 1: l là một xấp xỉ của đường thẳng tiếp tuyến:

Để mở rộng cách xét thứ 2 về l tới không gian n chiều, ta thay mỗi

“mặt thành phần” f i, i= 1 ,n. bằng một siêu phẳng trong R n+ 1 mà siêu phẳng này nội suy f i tại n+ 1 điểm đã cho x k,j, j= 0 ,n. trong một lân cận của điểm

k

x Đó là ta tìm một véc tơ a i và một vô hướng αi sao cho ánh xạ afin

i T

i

L = α + thoả mãn: L x , f (x k,j) ; j 0 ,n.

i j k

Sau đó quá trình lặp kế tiếp x k+ 1 có được là giao điểm của n siêu

phẳng này với siêu phẳng x= 0 trong R n+ 1; hay x k+ 1 chính là nghiệm của hệ

tuyến tính L i x= 0 ; i= 1 ,n. Điều này mô tả phương pháp cát tuyến tổng quát

trong không gian n chiều Tuỳ theo cách chọn các điểm nội suy x k,j; j= 0 ,n.

mà có thể có nhiều phương pháp đặc trưng khác nhau, nhưng trước khi đưa ra

bất kỳ một phương pháp đặc trưng nào ta đều phải hoàn thiện một số kết quả

về phép nội suy tuyến tính trong không gian n chiều để biết được thực chất

quá trình lặp kế tiếp có thể được dự tính trước ra sao

2.2.2 Định nghĩa: n+ 1 điểm tuỳ ý x0 ,x1 , ,x n trong R n được gọi là ở vị trí

tổng quát nếu các véc tơ x0 −x j, j= 1 ,n. độc lập tuyến tính

Định nghĩa này không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các điểm x j

2.2.3 Định lý: Cho x0 ,x1 , ,x n là n+ 1 điểm tuỳ ý trong R n Khi đó các phát

biểu sau đây là tương đương:

0 α

0 0

0 1

1 1

0

.

0 0

1 0

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

L

n j

n j

j

x x

x x

x t e

1

1 1

1 1

1 1

Điều này chứng tỏ sự tương đương của (a), (b), và (c)

Ta có: (d) tương đương với cách phát biểu là: hệ phương trình tuyến tính:

luôn có một nghiệm với y bất kỳ Vì vậy (c)⇒(d)

Ngược lại, do tính giải được của hệ (2.2.4) với y lần lượt đặt bằng

Vậy: (a), (b), (c), (d) tương đương với nhau, (đpcm)

Về mặt hình học: các điểm x , ,0 x n ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên một không gian con afin có số chiều nhỏ hơn n Với n= 2 thì các điểm x0 ,x1 ,x2 ở vị trí tổng quát nếu các điểm đó không đồng tuyến tính, nghĩa là nếu các điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng trong R2 Chú ý rằng các véc tơ x , ,0 x n có thể “bao phủ”R n, tức là:

y

x

L j = j; = 0 , nếu và chỉ nếu x , ,0 x n ở vị trí tổng quát

Hơn nữa, A không suy biến nếu và chỉ nếu y , ,0 y n ở vị trí tổng quát

Chứng minh: Điều kiện L x j = y j; j= 0 ,n. có thể được viết lại dưới dạng ma trận:

suy ra

, 1

; )

Vì x j −x0 ; j= 1 ,n. là hệ véc tơ độc lập tuyến tính nên A không suy biến nếu và chỉ nếu hệ véc tơ y j −y0 ; j= 1 ,n. độc lập tuyến tính (hay nếu và chỉ nếu y , ,0 y n ở vị trí tổng quát), đpcm

2.2.5 Định nghĩa: Cho F :D⊂R n →R n, và giả sử hai tập điểm x , ,0 x n và

với a và A thoả mãn:

, 0

x F x A

gọi là một xấp xỉ cát tuyến cơ sở đối với x , ,0 x n

2.2.6 Công thức cát tuyến Wolfe

Cho x , ,0 x n và F x0 , ,F x n đều ở vị trí tổng quát Khi đó xấp xỉ cát tuyến cơ sở thoả mãn:

z= ( 0, , ) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính kiểu (n+ 1 ) × (n+ 1 ):

n z x F x

1

Chứng minh: Theo giả thiết n

j j

x

( = ở vị trí tổng quát, theo định lý 2.2.3 ta suy ra hệ phương trình tuyến tính (2.2.10) có một nghiệm duy nhất thoả mãn:

Do (2.2.8) nên:

) (

) (

0

0 0

=

j

j j n

j

j j

0 1 0

0 J(x ,H) F x x

x s = − − 1 và a =F x0 −A x0 nên

0 1 0 0

0 0

1 ( A x F x ) x J(x ,H) F x A

Wolfe ngay cả khi x , ,0 x n không ở vị trí tổng quát Tuy nhiên khi x , ,0 x n

không ở vị trí tổng quát thì x s sẽ nằm trong không gian con afin

0 0

n

i i n

x có số chiều thấp hơn, và không có hàm nội suy

tuyến tính a+A x nào có thể tồn tại sao cho: a+A x j =F x j, j= 0 ,n.

Nếu đặt Γ = (F x1 −F x0 , ,F x n −F x0 ) thì (2.2.13) có thể được viết dưới dạng:

0 1

x

Từ đó cũng giống như công thức cát tuyến Wolfe, công thức Newton

có thể được thực hiện miễn là F x0 , ,F x n ở vị trí tổng quát

Một xấp xỉ cát tuyến cơ sở hoặc theo công thức cát tuyến Wolfe hoặc theo công thức Newton chỉ phụ thuộc vào nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, đó là hệ (2.2.10) nếu theo công thức Wolfe và là hệ Γx=F x0 nếu theo công thức Newton Điều này được suy ra từ việc tính một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ x , ,0 x n tương ứng theo thứ tự bằng phương pháp (2.2.9) hoặc (2.2.14)

Ta còn có thể biểu diễn x s như sau:

− +

− +

0

1

0

1 1 0

0 0

1 1

L

M

M L

; ) , ,

(

) , (

, 1

,

1 1

x F H x J x x

k n k k k k

k k

k k

e x x x

j

k j k j

Trường hợp này H k là ma trận đường chéo ( , , 1 )

1

1 1

k n

k n k k

− +

n

k k n

k k

k k k

h x F e h x F h H

x

1 1

Thay vào (2.2.17) ta có phương pháp thu được hoàn toàn giống với

phương pháp Newton rời rạc (2.1.19) sử dụng đến công thức (2.1.16) với

n i

− +

=

=

≠

∈ +

h x J

n i

h D e h x R R h x D D

R L R R D D J

n n n

i

i i n

n h

J

n n

n h J

) (

, , )

( )

, (

, , 1 , 0 , )

, (

) ( :

1 1

1

1 1

(2.2.19)

và viết phương pháp lặp là:

,

1 , 0

; ) ,

k i k

Dễ thấy phương pháp lặp (2.2.17) hoàn toàn giống như phương pháp

Newton rời rạc sử dụng đến công thức (2.1.15) với k

j

k j

k

Cách chọn các điểm phụ trợ này, ta có thể định nghĩa phép lặp như ở

(2.2.20) với J lúc này được cho bởi:

− +

1 1

j

j j

h x F e h x F h

(

; )