Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

Hơn nữa,đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm các hàm cơ sở,sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưng trong chuỗisóng nhỏ, ta có thể chọn những t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VIẾT TUÂN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn QuỳnhNga Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người

đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Đồngthời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức, phương pháp nghiêncứu để tôi hoàn thành khoá học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, phòng Sau đạihọc, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm

Hà Nội 2 về sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán

bộ giảng viên khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sao Đỏ, đã tạo điềukiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học

Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình tôi,tập thể lớp K13: Toán giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiêncứu

Hà nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giả

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga Luận văn không hề trùng lặpvới những đề tài khác.

Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giả

Mở đầu 1

Chương 1.Một số khái niệm và kết quả ban đầu 5

1.1.Không gian Lp(R), 1 ≤ p ≤ ∞ 5

1.2.Phép biến đổi Fourier 7

1.2.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R) 7

1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R) 9

1.3.Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ 10

1.4.Sóng nhỏ Haar 13

1.5.Không gian H1 trên R 17

Chương 2.Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải 22

2.1.Xấp xỉ đa phân giải 23

2.2.Xây dựng một sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải 25

2.3.Sóng nhỏ có giá compact 40

Chương 3.Biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ 46

3.1.Cơ sở của không gian Banach 46

3.2.Cơ sở không điều kiện của không gian Banach 48

3.3.Sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong Lp(R) 52

3.4.Sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ 59

4

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích sóng nhỏ được phát triển tương đối gần đây, vào những năm

80 của thế kỷ XX Sóng nhỏ nhận được sự quan tâm rộng rãi của nhiềunhà khoa học và kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau do nó là một công

cụ đa năng với nội dung toán học phong phú và có tính ứng dụng cao Đó

là lý do tại sao có rất nhiều sách và bài báo khoa học viết về đề tài này

Ta có thể tìm thấy những ứng dụng của sóng nhỏ trong giải tích tín hiệu,

xử lý ảnh, nén dữ liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát hiện máybay và tàu ngầm, kỹ thuật ảnh trong y khoa

Giải tích sóng nhỏ có thể xem như một lựa chọn thay thế cho giảitích Fourier cửa sổ cổ điển Những viên gạch xây dựng nên giải tích Fouriercửa sổ là các sóng sin và cosin nhân với một cửa sổ trượt Trong giải tíchsóng nhỏ, cửa sổ là một sóng mẹ Sóng mẹ này không còn phải nhân vớisin hay cosin nữa mà nó được tịnh tiến và giãn nở bởi các phép tịnh tiến

và giãn nở bất kỳ Đó là cách mà sóng mẹ tạo thành các sóng nhỏ khác.Những sóng nhỏ này chính là những viên gạch xây dựng nên giải tích sóngnhỏ Nhờ đó mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm hơn phép biến đổiFourier cửa sổ ở chỗ nó có khả năng phóng to hay thu nhỏ, tức là cửa sổthời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với những thành phần có tần số cao

và mở rộng với những thành phần có tần số thấp Đó là tính chất đượcmong chờ nhất trong giải tích thời gian - tần số

Sóng nhỏ có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán khác nhau, ví

dụ như trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn các hàm

và đặc trưng các không gian hàm Cũng tương tự như chuỗi Fourier biểudiễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thể dùngsóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi Hơn nữa,đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm các hàm cơ sở,sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưng trong chuỗisóng nhỏ, ta có thể chọn những tính chất mong muốn trước rồi mới tìmnhững hàm cơ sở thoả mãn tính chất trên Đặc biệt, trong chuỗi sóng nhỏcác hàm cơ sở không nhất thiết phải tạo thành một hệ độc lập tuyến tính.Tính chất này có ưu điểm là ta chỉ cần lưu trữ các hệ số sóng nhỏ với độchính xác thấp mà vẫn có thể hồi phục lại tín hiệu với độ chính xác tươngđối cao

Ta có thể xem giải tích sóng nhỏ như là một sự tinh luyện của giảitích Fourier do biểu diễn của các hàm trong nhiều trường hợp là đơn giảnhơn nhiều nhờ số lượng các hệ số ít hơn so với giải tích Fourier cổ điển,

ví dụ như trong biểu diễn các hàm răng cưa Điều này dẫn đến tỷ số nénmột tín hiệu khi sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt hơn là sử dụng chuỗi Fourier,theo nghĩa là ít dữ liệu phải dùng để khôi phục lại tín hiệu ban đầu Trênthực tế, tỷ số nén của một số chuỗi sóng nhỏ là vượt trội hơn hẳn chuỗiFourier trong việc phục hồi dấu vân tay đến mức cơ quan an ninh quốcgia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ và truyền đi một kho cơ sở dữ liệukhổng lồ

Do tính thời sự và tính ứng dụng cao của sóng nhỏ cũng như nộidung toán học phong phú của nó, tôi quyết định chọn “Giải tích sóngnhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm” làm đề tài luận văn tốt

Chương 2 của luận văn trình bày về xấp xỉ đa phân giải, xây dựngsóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact cùng với một số

ví dụ và các chứng minh đầy đủ, chi tiết

Ở chương 3 chúng tôi trình bày ứng dụng của sóng nhỏ trong biểudiễn các hàm Cụ thể, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kết quả về cơ sở

và cơ sở không điều kiện của không gian Banach, sau đó chúng tôi nghiêncứu sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong Lp(R), sự hội tụ điểm của chuỗisóng nhỏ và ứng dụng thiết lập cơ sở không điều kiện cho H1(R)và Lp(R)

- Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ

- Nghiên cứu biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt cáccâu hỏi và tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết những khẳng định không

có chứng minh

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn

đề chính liên quan đến giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn cáchàm

1 p

||f + g||p ≤ ||f||p+||g||p (1.1.3)Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Minkowski cho các tích phân)

Cho 1≤ p < ∞ và F (x, y) là một hàm đo được trên R×R Khi đó

dx (1.1.4)Định lý 1.1.3 (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)

Cho {fn} là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên tập mở Ω

Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 Khi đó với h.k.n x ∈ Ω1, F (x, ) ≡

y 7−→ F (x, y) khả tích trên Ω2 và x 7−→ RΩ2F (x, y)dy khả tích trên Ω1

Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và Ω1 cho Ω2 Hơn nữa ta có:Z

1.2 Phép biến đổi Fourier

1.2.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(R)

Định nghĩa 1.2.1 Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(R) chobởi công thức

Một số tính chất cơ bản của f (ω)ˆ với f ∈ L1(R) được cho trong haiđịnh lý sau:

Định lý 1.2.1 Cho f ∈ L1(R) Khi đó phép biến đổi Fourier của f thoảmãn:

i) fˆ∈ L∞(R);|| ˆf||∞ ≤ ||f||1;

ii) fˆliên tục đều trên R;

iii) Nếu đạo hàm f0 tồn tại và thuộc L1(R) thì fˆ0(ω) = iω ˆf (ω);

iv) f (ω)ˆ → 0 khi ω → ±∞

Định lý 1.2.2 Nếu f (t), g(t) ∈ L1(R) và α, β là các hằng số bất kỳthì

Định nghĩa 1.2.2 Cho fˆ ∈ L1(R) là phép biến đổi Fourier của f ∈

L1(R) Khi đó phép biến đổi Fourier ngược của fˆđược định nghĩa là

Định lý 1.2.3 Cho f ∈ L1(R) có phép biến đổi Fourier fˆ∈ L1(R) Khiđó

tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục

1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(R)

Định lý 1.2.4 Cho f ∈ L1(R)∩ L2(R) Khi đó phép biến đổi Fouriercủa f là fˆ∈ L2(R) và thoả mãn đồng nhất thức Parseval f 2

2 = 2πkfk22

Từ định lý (1.2.4) ta thấy phép biến đổi Fourier F : L1(R)∩L2(R) −→

L2(R), là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn ||F|| = √2π Do L1(R)∩

L2(R) là trù mật trong L2(R), F có thể thác triển lên toàn bộ L2(R) màvẫn bảo toàn chuẩn Cụ thể hơn, nếu f ∈ L2(R) thì

1.3 Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ

Ta ký hiệuL2(0, 2π)là tập hợp tất cả các hàm đo đượcf : (0, 2π) −→

C với R2π

0 |f(x)|2dx < ∞ Các hàm trong L2(0, 2π) có thể thác triển trêntoàn bộ R, cụ thể là f (x) = f (x− 2π), ∀x ∈ R Do đó L2(0, 2π) thườngđược gọi là không gian các hàm bình phương khả tích tuần hoàn chu kỳ

2π Ta dễ dàng kiểm tra rằng L2(0, 2π) là một không gian vectơ Bất kỳhàm f nào trong L2(0, 2π) đều có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗiFourier

Ta có thể kiểm tra rằng {einx}n ∈Z là một cơ sở trực chuẩn của

L2(0, 2π) Ta nhận xét rằng cơ cở trực chuẩn {einx}n ∈Z được tạo thành từmột hàm duy nhấtW (x) = eix bằng cách giãn nở, cụ thể làeinx = W (nx)

Do đó hàm W (x) là một sóng sin sinh ra L2(0, 2π) Ta cũng chú ý rằng

từ tính chất trực chuẩn của {einx}n ∈Z, ta có đẳng thức Parseval

12π

ψ để sinh ra toàn bộ L2(R) Nhưng nếu ψ giảm rất nhanh thì làm thếnào nó có thể phủ toàn bộ đường thẳng? Rõ ràng ta phải dịch chuyển ψ

dọc theo R Cách đơn giản nhất để ψ phủ toàn bộ R là ta xét các hàm

ψ(x− k), k ∈ Z Cũng như sóng sin, ta cũng phải xét các sóng có tần sốkhác nhau Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sẽ sử dụng các mũ nguyêncủa 2 trong việc chia tần số, tức là xét các sóng nhỏ ψ(2jx− k), k, j ∈ Zvới lưu ý rằng ψ(2jx− k), k, j ∈ Z nhận được từ hàm sóng nhỏ ψ(x) bởi

phép giãn nở nhị phân (nhân với2j) và phép dịch chuyển (của k

2j) Nhữngphân tích trên dẫn ta đến định nghĩa của sóng nhỏ như sau

ở đó ψ (t) 6= 0, ∀t ∈ [0; 1) và ψ (t− ` − n) 6= 0, ∀t ∈ [` − n; 1 + ` − n) và

các khoảng này là rời nhau trừ trường hợp n = `

Khi m 6= k, do tính đối xứng của m và k nên ta xét trường hợp

Như vậy ψj,k(x) đã là hệ trực chuẩn Ta cần chứng minh rằng bất

kỳ hàm f ∈ L2(R) có thể xấp xỉ bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn củacác ψj,k(x) với độ chính xác tuỳ ý Thật vậy, với bất kỳ hàm f ∈ L2(R)

có thể xấp xỉ với độ chính xác tuỳ ý bằng một hàm số có giá compact vàbằng hằng số trên mỗi nửa khoảng `.2−j, (` + 1) 2−j

(điều này có đượckhi chọn giá và j đủ lớn) Do đó ta có thể giả thiết f có giá −2j 1, 2j 1 và

bằng hằng số trên từng khúc `.2−j0, (` + 1) 2−j0

trong đó j0 và j1 có thểlớn tuỳ ý

Đặt f0 := f Gọi giá trị hằng số của f0 trên `.2−j0, (` + 1) 2−j0

là

f`0 Khi đó f0 = f−1 + δ−1, trong đó f−1 là hàm hằng trên từng khúc có

độ dài gấp hai lần độ dài từng khúc của f0 với giá trị trên mỗi khúc bằngtrung bình cộng của hai giá trị hằng số tương ứng của f0 Cụ thể

f−1

[k.2 − j0+1 ,(k+1)2 − j0+1) := fk−1 := 1

2 f

0 2k + f2k+10

= 1

2 f

0 2`− f2`+10

= 1

2 f

0 2`+1− f2`0

22j1 +k

1 2

1 2

Chọn k đủ lớn để 2j122−k2



f−j0 −j 1

0

1 2

đủ nhỏ thì ta cóthể xấp xỉ f bởi một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các ψm,` với độ chínhxác tuỳ ý

Như vậy, ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn

1.5 Không gian H1 trên R

Cho R2

+ = 

(x, t) ∈ R2|t > 0 là nửa mặt phẳng trên Phần thực

của i

πz, z = x + it, được gọi là nhân Poisson của R2

+ và phần ảo được gọi

là nhân Poisson liên hợp của R2

Không khó có thể chỉ ra được u(x, t)là hàm điều hòa trong R2

≤ Ap||f||L p (R), 1 < p < ∞ (1.5.1)

Khi p = 1, bất đẳng thức (1.5.1) không còn đúng nữa Không gian của tất

cả các hàm giá trị thực f ∈ L1(R) sao cho

là, f ∈ H1 nếu và chỉ nếu f = g + ih, với g, h ∈ ReH1; trong trường hợpnày

||f||H 1 = ||g||ReH 1 + ||h||ReH 1

xác định một chuẩn trên H1.

Không gianH1 chúng ta vừa định nghĩa gồm có các hàm trongL1(R)

Câu hỏi tự nhiên là, liệu có tồn tại một sự mô tả đơn giản các hàm đókhông Quả thật tồn tại, một đặc trưng của H1, qua các phần tử sơ cấp,được gọi là các “nguyên tử” Điều này là rất thích hợp với mục tiêu củachúng ta là thu được cơ sở sóng nhỏ của không gian này

Định nghĩa 1.5.1 Một nguyên tử là một hàm đo được a xác định trên

R, thỏa mãn các điều kiện:

Ra(x)dx = 0

(1.5.3)

Sau đây là đặc trưng nguyên tử của H1 ≡ H1(R) :

Định lý 1.5.1 Một hàm f thuộc H1(R) khi và chỉ khi f có khai triểndưới dạng

Định nghĩa 1.5.2 Một phân tử có tâm tại x0 ∈ R là một hàm đo được

M xác định trên R với sự tồn tại b > 1

2 = C < ∞

(1.5.6)

ở đây t = 1

2b (do đó 0 < t < 1) Số C gọi là chuẩn phân tử của M

Đặc trưng phân tử của H1 được cho bởi kết quả sau đây:

Định lý 1.5.2 Một hàm f thuộc H1(R) khi và chỉ khi f có khai triểndưới dạng

2. Điều này chứng tỏ rằng nguyên tử a là một phân tử.

Một tính chất hữu ích của các phân tử là nhiều toán tử quan trọngtrong giải tích ánh xạ các nguyên tử vào các phân tử, có chuẩn phân tử bịchặn Đây là trường hợp của “Toán tử liên hợp” (cũng được biết như biếnđổi Hilbert).Đó là toán tử H được xác định bởi

(Hf)(x) = lim

t →0 +v(x, t) = lim

t →0 +

1π

Z

R

x− y(x− y)2 + t2f (y)dy

= lim

t →0 +

1π

cơ bản của một sóng nhỏ thích hợp ψ để các nhân cho chúng ta các tổngriêng khác nhau của khai triển sóng nhỏ

không gian mà chúng ta đang nghiên cứu

Chương 2

Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải

Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution analysis – MRA) được Mallat

và Meyer đưa ra vào năm 1986 Ý tưởng này đóng góp vào việc xây dựngcác cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn mới Về mặt toán học, ý tưởng chính củaxấp xỉ đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín hiệu) f như là một giớihạn của quá trình xấp xỉ liên tiếp, ở đó mỗi quá trình là một mô hình gầnhơn với f Các quá trình xấp xỉ liên tiếp này tương ứng với các độ phângiải khác nhau Lịch sử của sự hình thành xấp xỉ đa phân giải là một ví

dụ tuyệt vời cho thấy các ứng dụng đã góp phần thúc đẩy sự phát triển

lý thuyết Khi Mallat lần đầu tiên tiếp xúc với cơ sở sóng nhỏ của Meyer,ông đang làm việc trong lĩnh vực xử lý ảnh Ở đó, ý tưởng nghiên cứu cáchình ảnh một cách đồng thời ở nhiều độ phân giải khác nhau và so sánhcác kết quả lại với nhau đã được phổ biến trong nhiều năm Từ đó, ôngnhận ra rằng cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn chính là một công cụ để mô tả

về mặt toán học sự gia tăng thông tin khi chuyển từ một xấp xỉ thô sangmột xấp xỉ với độ phân giải cao hơn

2.1 Xấp xỉ đa phân giải

Một xấp xỉ đa phân giải (MRA) là một dãy của các không gian conđóng xấp xỉ liên tiếp Vj, j ∈ Z của L2(R) Cụ thể hơn, Vj là các khônggian con đóng thỏa mãn:

Khi đó hàm ϕ được gọi là hàm thang bậc của MRA

Từ (2.1.4) suy ra tất cả các không gianVj đều là một mô hình phóng

to hay thu nhỏ của không gian V0

Ký hiệu φj,n(x) = 22jφ 2jx− n
Khi đó từ (2.1.4) và (2.1.5) ta có{φj,n| n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của Vj,∀j ∈ Z

Một ví dụ của các không gian Vj thỏa mãn (2.1.1) – (2.1.4) là

Vj = 

f ∈ L2(R)|∀k ∈ Z : f|[2 j k,2 j (k+1)) = constant

,

được gọi là xấp xỉ đa phân giải Haar Hàm thang bậc tương ứng với xấp

xỉ này được chọn là hàm chỉ số của [0, 1], tức là:

Hàm này được gọi là hàm thang bậc Haar.

Ký hiệu Pj là phép chiếu trực giao từ L2(R) lên Vj

Hình 2.1 chỉ ra phép chiếu của một hàmf trên các không gian HaarV0, V1

sẽ như thế nào

f (x)

x Proj V 1 f

x

x

Proj V 0 f

0 Hình 2.1: Hàm f và phép chiếu của nó lên V 1 , V 0

Từ (2.1.2) và (2.1.3), ta có lim

j →∞Pjf = f và lim

j →−∞Pjf = 0, phépchiếu Pjf có thể xem như là một xấp xỉ của f ở thang bậc 2−j

Một nguyên tắc cơ bản của xấp xỉ đa phân giải là nếu có một họcác không gian con đóng thỏa mãn (2.1.1) – (2.1.5) thì ta có thể tìm ramột cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn {ψj,k| j, k ∈ Z} của L2(R) sao cho với mọi

f ∈ L2(R), ta có

Pj+1f = Pjf +X

k ∈Z

hf, ψj,ki ψj,k (2.1.6)Hàm ψ có thể xây dựng một cách tường minh như ở phần sau

2.2 Xây dựng một sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giảiGọi W0 là phần bù trực giao của V0 trong V1, tức là

là một cơ sở trực chuẩn của Wj,∀j ∈ Z,

do (2.1.4) và định nghĩa của Wj Khi đó {ψj,k| j, k ∈ Z} là một cơ sở

trực chuẩn của L2(R) do (2.2.1) Do đó ψ là một sóng nhỏ trực chuẩntrên R Như vậy mục đích của chúng ta là đi tìm hàm ψ ∈ W0 sao cho

{ψ (· − k)| k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của W0

ϕ (x + k)dx Sự hội tụ trong (2.2.2) là sự hội

tụ trong L2(R) Dãy {αk} thỏa mãn P

Từ đó hàm tuần hoàn chu kỳ 2π : P

với K là tập đo được trong R và |K| = 2π

< |supp (bg)− E| + |E| = |supp (bg)| = 2π

Do đó, ta nhận được điều mâu thuẫn Vậy |bg (ξ)| = 1 ở trên supp (g) ,btức là |bg| = χsupp(bg)

Nếu {g (· − k)| k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn và |bg| = χK thì

|K| = |sup p (g)b | = kgbk22 = 2π



Hàm m0 xác định từ (2.2.4) có tính chất quan trọng sau:

|m0(ξ)|2 +|m0(ξ + π)|2 = 1 h.k ξ ∈ R (2.2.5)

Để chứng minh khẳng định này, ta sử dụng mệnh đề (2.2.1) với g

được thay thế bởi ϕ, thu được

Ta tách tổng ở vế bên trái thành 2 tổng tách biệt với chỉ số k chẵn

và k lẻ Sử dụng tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2π của m0 và mệnh đề2.2.1, ta có:

Bổ đề 2.2.1 Nếu ϕ là một hàm thang bậc của một MRA {Vj}j∈R và m0

được định nghĩa như trong (2.2.4) thì

Lấy phép biến đổi Fourier cả hai vế và sử dụng (2.2.3) ta có

Nhận xét rằng, khi chúng ta làm điều này chúng ta phải chứng minhrằng

Lập luận tương tự như chúng ta vừa làm để thiết lập đặc trưng của

V−1, ta thiết lập được đặc trưng của V0

Chúng ta tiếp tục quá trình xây dựng sóng nhỏ ψ Các phần tử củaW−1

Nếu f trực giao với V−1 thì từ đẳng thức này và Bổ đề 2.2.1 ta suy

ra ` phải trực giao với m (2ξ) m0(ξ) với mọi m ∈ L2(0, 2π)

với mọim ∈ L2(0, 2π) Từ điều này chúng ta nói rằng hàm tuần hoàn chu

kỳ π trong dấu ngoặc nhọn là trực giao với tất cả các hàm bình phươngkhả tích chu kỳ π, tức là

` (ξ) m0(ξ) + ` (ξ + π) m0(ξ + π) = 0 h.k.n ξ ∈ (0, 2π)

Bởi vậy, ta có

(` (ξ) , ` (ξ + π)) = −λ (ξ + π)m0(ξ + π),−m0(ξ)

(2.2.6)với h.k.n ξ và một λ (ξ) thích hợp Cho ξ = µ + π, ta có

Từ (2.2.6) và (2.2.8) ta được

` (ξ) = eiξs (2ξ) m0(ξ + π) (2.2.9)với s ∈ L2(0, 2π)

Dễ dàng chứng tỏ rằng không gian con của L2(R) bao gồm tất cả cáchàm f mà bf (ξ) = ` (ξ)ϕ (ξ)b với ` thỏa mãn (2.2.9) là phần bù trực giaocủa V−1 trong V0 Điều này cho ta đặc trưng của W−1 :

W−1 = n

f|f (ξ) = eb iξs (2ξ) m0(ξ + π)ϕ (ξ)b với s∈ L2(0, 2π)o

Điều này dẫn đến đặc trưng sau của W0 :

Bổ đề 2.2.2 Nếu ϕ là một hàm thang bậc của một MRA {Vj}j ∈Z và m0

được định nghĩa như trong (2.2.4) thì

một sóng nhỏ trực chuẩn chúng ta mong đợi

Thật vậy, tất cả các sóng nhỏ trực chuẩn trong W0 có đặc trưng nhưsau:

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử ϕ là một hàm thang bậc của MRA {Vj}j∈Z và m0

được định nghĩa như trong (2.2.4) Khi đó, một hàm ψ ∈ W0 = V1 ∩ V0⊥

là một sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) khi và chỉ khi

b

ψ (2ξ) = eiξv (2ξ) m0(ξ + π)ϕ (ξ)b h.k.n trên R, (2.2.11)

với v là hàm đo được và tuần hoàn chu kỳ 2π, sao cho

điều này chứng tỏ rằng {ψ (· − k)| k ∈ Z} sinh ra W0

Tính trực chuẩn của hệ {ψ (· − k)| k ∈ Z}có thể chứng minh bởi chú

2