Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

ta cần nghiên cứu các tính chất vi phân theo nghĩasuy rộng của hàm giá trị tối ưu, và người ta ngày càng tìm được nhiềuứng dụng mới của giải tích biến phân và vi phân tổng quát.. Gần đây

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáotrong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toángiải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Quang Huy,người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trongquá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Đình Giang

i

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quang Huy

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Đình Giang

ii

MỞ ĐẦU 1

1.1 Các khái niệm cơ bản 41.2 Các điều kiện chính quy 8

Chương 2 Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu 212.1 Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu 212.2 Áp dụng 25

cone Ω nón sinh bởi Ω

Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (¯x, Ω) nón pháp tuyến giới hạn/Mordukhovich của Ω tại ¯xb

N (¯x, Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x

∂f (x) dưới vi phân giới hạn/Mordukhovich của f tại x

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của f tại x

ˆ

∂f (x) dưới vi phân Fréchet của f tại x

D∗F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh vớinhiều hướng nghiên cứu khác nhau: Quy hoạch toán học, Giải tích biếnphân, Vi phân suy rộng, và ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọngtrong mọi lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, công nghệ

Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng trong giải tích biếnphân, tối ưu, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khác nhau của lýthuyết đó Trong trường hợp các hàm giá trị tối ưu không trơn, để cóđược các thông tin cốt yếu về độ nhạy và tính ổn định của các bài toántối ưu và điều khiển có nhiễu, về điều kiện cực trị, về tính điểu khiểnđược địa phương, ta cần nghiên cứu các tính chất vi phân theo nghĩasuy rộng của hàm giá trị tối ưu, và người ta ngày càng tìm được nhiềuứng dụng mới của giải tích biến phân và vi phân tổng quát

Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị được đề xuất vào khoảng năm 1976bởi Mordukhovich đã được nhận biết như là một công cụ hữu hiệu đểnghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân và tối ưu(xem [2], [11] và các tài liệu tham khảo trích dẫn trong đó)

Gần đây, Mordukhovich, Nam và Yen [12] đã tìm ra các công thứcđánh giá dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của hàmgiá trị tối ưu trong không gian Asplund thực cho lớp bài toán tối ưu cótham số với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức dưới các dữ kiện trơn vàkhông trơn Dinh, Mordukhovich và Nghia [6, 7] đã đưa ra một vài ướclượng trên cho dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich củahàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số với ràng buộccho bởi vô hạn các bất đẳng thức lồi dưới các điều kiện chính quy hợp

lý Gần đây hơn, Chuong, Huy và Yao [4] đã khảo sát lớp bài toán tối

ưu nửa vô hạn không lồi và đề xuất hai điều kiện chính quy ràng buộcmới mà nó hữu ích cho việc đồng nhất nghiên cứu các điều kiện chínhquy ràng buộc từ cả hai quan điểm của giải tích lồi và giải tích khôngtrơn Các điều kiện chính quy ràng buộc được đề xuất trong [4] bao hàm

cả sự tồn tại của các điều kiện chính quy quen thuộc như Fromovitz hoặc Farkas-Minkowski Trong [4] các tác giả cũng đưa ra một

Mangasarian-số điều kiện đủ cho tính hiệu lực của các điều kiện chính quy được đềxuất trong không gian hữu hạn chiều dưới giả thiết tập chỉ số ràng buộcphải là tập compact thưa (scattered compact) Một câu hỏi mở đượcnêu ra trong [4] rằng có thể loại bỏ giả thiết về tính compact thưa củatập chỉ số ràng buộc hay không? Mặt khác, một trong những lý do màcác kết quả về điều kiện đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong[4] phải giới hạn trong các không gian hữu hạn chiều là trong kỹ thuậtchứng minh sử dụng định lý tách tập lồi và tính chất bao lồi của mộttập compact là một tập compact Như ta đã biết rằng điều này khôngcòn đúng với tập compact trong không gian vô hạn chiều Một câu hỏi

tự nhiên nảy sinh rằng liệu có thể mở rộng được các kết quả về điều kiện

đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong [4] sang các không gian

vô hạn chiều được hay không? Đề tài "Dưới vi phân của hàm giá trịtối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn"nhằm mục đích tìm hiểu về lýthuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn và tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏivừa nêu trên

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về việc loại bỏ giả thiết về tính compact thưa của tậpchỉ số ràng buộc trong quy hoạch nửa vô hạn; đồng thời tìm hiểu về khảnăng mở rộng các kết quả đó sang không gian vô hạn chiều Đưa ra côngthức cho việc đánh giá dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) củahàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn dưới các điều kiện chính

quy hóa tập ràng buộc trong không gian Banach tổng quát.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả cơ bản đã đạt được trong lý thuyết tối ưu,tối ưu nửa vô hạn, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy rộng Ápdụng các kết quả này để nghiên cứu điều kiện đủ cho tính hiệu lực củacác điều kiện chính quy hóa tập ràng buộc và đưa ra công thức đánh giádưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của hàm giá trị tối ưu dướicác điều kiện chính quy này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân hiện đại

và vi phân suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích lồi, giải tíchkhông trơn, giải tích đa trị, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suyrộng

6 Đóng góp mới

Các kết quả đạt được trong luận văn giải đáp trọn vẹn cho hai câuhỏi đã nêu ra trong Mục 1, và giúp ta có những hiểu biết mới về tối ưunửa vô hạn Kết quả này cũng được trình bày trong bài báo chung củatác giả với người hướng dẫn và Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials

of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9]

Chương 1 Điều kiện chính quy ràng buộc

Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu củagiải tích biến phân, và vi phân suy rộng Chi tiết đọc giả có thể thamkhảo bộ sách của Mordukhovich [11] Nếu không nói gì thêm, tất cả cáckhông gian được xét là không gian Banach với chuẩn ký hiệu là k · k, và

ta xét không gian đối ngẫu của nó X∗ với tôpô yếu∗ được kí hiệu bởi w∗.Như thường lệ, BX và BX∗ kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóngtrong không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó Kí hiệu A∗toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A Hình cầu đóng tâm

x bán kính ρ được kí hiệu bởi Bρ(x) hoặc B(x, ρ) cl M hoặc M ký hiệubao đóng của M

Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hiệu tương ứng

là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón sinh của Ω Ta nhắc lại rằng

Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x saocho Ω ∩ clU là tập đóng

Cho F : X ⇒ X∗ là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach X vàkhông gian đối ngẫu X∗ của nó Kí hiệu

Lim sup

x→¯ x

F (x) := {x∗ ∈ X∗ : ∃xk → ¯x, x∗k −→ xω∗ ∗, x∗k ∈ F (xk), ∀k ∈ N},được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowskiđối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X∗ , và N:={1,2,3, }.Định nghĩa 1.1.1 (Nón pháp tuyến) Cho Ω ⊂ X và ε > 0

(i) Tập các véctơ ε- pháp tuyến của Ω tại ¯x được xác định bởi

ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X

là không gian Asplund

Cho Ω ⊂ Rn là tập đóng trong một lân cận của điểm ¯x ∈ Ω Khi

đó, ta có

N (¯x; Ω) = Lim sup

x→¯ x

[cone (x − Π (x; Ω))] , (1.3)

ở đây Π(x; Ω) là hình chiếu Euclid của x trên Ω

Định nghĩa 1.1.2 (Đối đạo hàm) Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trịgiữa các không gian Banach

(i) Đối đạo hàm Mordukhovich D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ của F tại (¯x, ¯y) ∈gphF được xác định bởi

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := {x∗ ∈ X∗|(x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gphF )} , ∀y∗ ∈ Y∗

(1.4)(ii) Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được xác định bởi

(1.5)Nếu F là ánh xạ đơn trị thì ta có thể viết ngắn gọn D∗F (¯x)(y∗) (tươngứng, bD∗F (¯x)(y∗)) thay cho D∗F (¯x, F (¯x))(y∗) (tương ứng, bD∗F (¯x, F (¯x))(y∗))

Ta nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị f : X → Y được gọi là khả vichặt tại ¯x nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục ∇f (¯x) : X → Ysao cho lim

x→¯ x

u→¯ x

f (x) − f (u) − Of (¯x)(x − u)

Đối với ánh xạ khả vi chặt tại ¯x ta luôn có

D∗f (¯x)(y∗) = bD∗f (¯x)(y∗) = {(∇f (¯x))∗y∗}, ∀y∗ ∈ Y∗,

tức là đối đạo hàm Mordukhovich (tương ứng, đối đạo hàm Fréchet ) làmột sự mở rộng toán tử liên hợp của đạo hàm cổ điển Cho hàm giá trịthực mở rộng ϕ : X → ¯R := [−∞, ∞] Ta xác định

dom ϕ = {x ∈ X | |ϕ(x)| < ∞}, epi ϕ(x) = {(x, µ) ∈ X×R | µ ≥ ϕ(x)}.Xét Φ : X ⇒ R là một ánh xạ trên đồ thị liên kết với ϕ được định nghĩabởi

Φ(x) = Eϕ(x) := {µ ∈ R | µ ≥ ϕ(x)}, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.1.3 (Dưới vi phân) Cho X là không gian Banach,

ϕ : X → ¯R là hàm giá trị thực mở rộng và hữu hạn tại ¯x

(i) Với mỗi ε > 0, đặt

Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dướigradient Fréchet của ϕ tại ¯x, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε−dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x Tập hợp

ˆ

∂ϕ(¯x) := ˆ∂0ϕ(¯x)được gọi là dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x

(ii) Tập hợp

∂ϕ(¯x) := Limsup

x−→ϕ x ¯ ε↓0

ˆ

được gọi là dưới vi phân Mordukhovich của ϕ tại ¯x.

(iii) Tập hợp

∂∞ϕ(¯x) := Limsup

x−→ϕ x ¯ ε,λ↓0

λ ˆ∂εf (x) (1.8)được gọi là dưới vi phân suy biến của ϕ tại ¯x

Dưới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(¯x) (tương ứng, dưới vi phân suybiến ∂∞ϕ(¯x)) của ϕ tại ¯x ∈ dom ϕ cũng có thể được xác định qua đốiđạo hàm của ánh xạ trên đồ thị liên kết nó D∗Φ(¯x, ¯y) như sau:

∂ϕ(¯x) := D∗Eϕ(¯x, ϕ(¯x))(1) = {x∗ ∈ X∗ | (x∗, −1) ∈ N ((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)}(tương ứng,

∂∞ϕ(¯x) := D∗Eϕ(¯x, ϕ(¯x))(0) = {x∗ ∈ X∗ | (x∗, 0) ∈ N ((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)})

Nếu ¯x /∈ domϕ thì đặt ∂ϕ(¯x) = ∂∞ϕ(¯x) = ∅ Ta có nhận xét rằngvới mọi hàm Lipschitz ϕ ta luôn có ∂ϕ(¯x) 6= ∅ Tuy nhiên với hàm khôngLipschitz tại một điểm đang xét, dưới vi phân Mordukhovich tại điểm

đó có thể bằng rỗng Chẳng hạn, xét hàm ϕ(x) = x13 Ta có dưới vi phânMordukhovich tại ¯x = 0 bằng rỗng Thật vậy, áp dụng công thức (1.3)

ta có thể tính được

N ((0, 0); gphϕ) =x = (x1, 0) ∈ R2 | x1 ≥ 0

Do đó, từ (1.9) ta dễ suy ra rằng ∂ϕ(¯x) = ∅ Ta nhắc lại từ [11] rằngmột tập Ω ⊂ X được gọi là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại

¯

x ∈ Ω nếu với mọi dãy εk ↓ 0, xk → ¯Ω x, và x∗k ∈ bNεk(xk; Ω) ta có

x∗ k

ϕ là epi-compact pháp tuyến theo dãy (SNEC) tại ¯x nếu trên đồ thị của

nó là SNC tại (¯x, ϕ(¯x)) Nếu ϕ là hàm Lipschitz địa phương tại ¯x thì ϕ

là SNEC tại điểm này

1.2 Các điều kiện chính quy

Cho P , X là các không gian Banach, T là một không gian metriccompact khác rỗng, và ánh xạ đơn trị f : P × X → ¯R Xét bài toán quyhoạch nửa vô hạn có tham số

với ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu G : P ⇒ X xác định bởi

G(p) := {x ∈ X | gt(p, x) ≤ 0, t ∈ T }, (1.10)

ở đó với mỗi t ∈ T, gt : P × X → R là một hàm giá trị thực mở rộng

Ở đây "min" được lấy đối với biến ¯x và ¯p là tham số nhiễu Hàm giá trịtối ưu của bài toán tối ưu có tham số (1.9) có dạng

và λ ∈ R(T )+ , tađặt hλ, ui = P

t∈supp λλtut Tập nhân tử ràng buộc hoạt tại (¯p, ¯x) đượcxác định bởi

A(¯p, ¯x) := {λ ∈ R(T )+ | λtgt(¯p, ¯x) = 0 với mọi t ∈ supp λ}

Định nghĩa 1.2.1 Cho G xác định như trong (1.10) và (¯p, ¯x) ∈ gphG.(i) Ta nói rằng G thỏa mãn điều kiện chính quy RCQ tại (¯p, ¯x) nếu

Y = C(T ) các hàm liên tục y : T → R, với chuẩn supremum được xácđịnh bởi

là tập con đóng nhỏ nhất của T sao cho phần bù của nó có độ đo biến

phân toàn phần bằng không Một độ đo Borel ν được gọi là không âm,viết là ν < 0, nếu ν(A) ≥ 0, ∀A ∈ P Giả sử rằng với mỗi t ∈ T ,hàm số gt : P × X → R là liên tục trên P × X, và giả sử rằng hàm(p, x, t) 7→ gt(p, x) là liên tục trên P × X × T Xét h : P × X → C(T )ánh xạ mỗi điểm (p, x) tương ứng h(p, x) xác định bởi

h(p, x)(t) = gt(p, x) với mọi t ∈ T (1.17)Khi đó, ánh xạ tập ràng buộc G trong (1.10) có thể viết lại dưới dạng

G(p) := {x ∈ X | h(p, x) ∈ K}, (1.18)

ở đó h được xác định bởi (1.17) và nón K được xác như trong (1.15).Lấy (¯p, ¯x) ∈ gph G Giả sử rằng gt khả vi với mọi t ∈ T Ta nhắc lại [3]điều kiện chính quy hoá ràng buộc Mangasarian-Fromovitz mở rộng nhưsau:

∃u ∈ P × X : h∇gt(¯p, ¯x), ui < 0 ∀t ∈ I(¯p, ¯x), (1.19)

ở đó I(¯p, ¯x) := {t ∈ T | gt(¯p, ¯x) = 0} Trong trường hợp này (xem [3,Example 2.102]), (1.19) tương đương với điều kiện chính quy Robinson:

0 ∈ int {h(¯p, ¯x) + ∇h(¯p, ¯x)(P × X) − K} (1.20)

Để có thông tin chi tiết về các điều kiện chính quy hoá tập ràng buộc

và mối quan hệ giữa chúng, đọc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo[3]

Định nghĩa 1.2.2 [5] Một véctơ v trong không gian Banach X được gọi

là siêu tiếp tuyến của tập C ⊂ X tại điểm x ∈ C, nếu tồn tại ε > 0 saocho y + tω ∈ C, với mọi y ∈ (x + εB) ∩ C, ω ∈ ν + εB, t ∈ (0, ε)

Kết quả sau đây ta chỉ ra rằng điều kiện chính quy Fromovitz mở rộng đảm bảo cho tính hiệu lực của LCQ tại điểm đượcxét

Mangasarian-Định lý 1.2.1 Cho P , X là các không gian Banach và (¯p, ¯x) ∈ gphG.Giả sử rằng với mỗi t ∈ T , hàm gt : P × X → R khả vi, các hàm(p, x, t) 7→ gt(p, x) và (p, x, t) 7→ ∇gt(p, x) là liên tục trên P × X × T , vàhơn nữa, giả sử rằng co (∪t∈I(p,x)∇gt(¯p, ¯x)) là đóng yếu∗ trong P∗ × X∗.Khi đó nếu tồn tại u ∈ P × X sao cho

h∇gt(¯p, ¯x), ui < 0 ∀t ∈ I(¯p, ¯x) := {t ∈ T | gt(¯p, ¯x) = 0},

thì LCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x)

Chứng minh Ta suy ra từ giả thiết của định lý và [3, Proposition 2.174]rằng h là khả vi liên tục tại (¯p, ¯x) và do đó h khả vi chặt tại (¯p, ¯x), và

Bây giờ ta chứng minh rằng

∇h(¯p, ¯x)(P × X) ∩ int TK(h(¯p, ¯x)) 6= ∅ (1.23)Bởi [3, Example 2.63 ] nên ta có

TKh((¯p, ¯x)) = y ∈ C(T ) : y(t) ≤ 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x) ,

và lưu ý rằng

I(¯p, ¯x) := t ∈ T : gt(¯p, ¯x) = 0 = t ∈ T : h(¯p, ¯x)(t) = 0 Hơn nữa, I(¯p, ¯x) là một tập compact Thật vậy, vì T là compact nên

ta chỉ cần chỉ ra rằng I(¯p, ¯x) là một tập đóng Lấy tùy ý dãy tk ⊂I(¯p, ¯x) sao cho tk → t0 khi k → ∞ Do tk ∈ I(¯p, ¯x) nên gtk(¯p, ¯x) = 0 Từ

∃u ∈ P × X : ∇h(¯p, ¯x)(u)(t) < 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x) (1.25)

Đặt ϕ = ∇h(¯p, ¯x)(u) Ta sẽ chỉ ra rằng ϕ ∈ int TK(h(¯p, ¯x)) Hiểnnhiên ϕ(t) < 0 với mọi t ∈ I(¯p, ¯x) và ϕ ∈ ∇h(¯p, ¯x)(P × X) Lấy cố địnhtùy ý t ∈ I(¯p, ¯x) Khi đó, với một εt ∈ (0, |ϕ(t)|) ta luôn có

Chọn ε =min{εti : i = 1, 2, , k}, ta có

ϕ(t) + w(t) < 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x), ∀w ∈ εB

Do đó ϕ + w ∈ TK(h(¯p, ¯x)) với mọi w ∈ εB Suy ra ϕ ∈ int TK(h(¯p, ¯x)),

và (1.23) được chứng minh Từ [5, Corollary 1, trang 108], (1.23) và tínhlồi của nón K ta suy ra rằng

N (¯p, ¯x); h−1(K)
= ∇h(¯p, ¯x)∗N (h(¯p, ¯x); K) (1.26)

Ta suy từ [3, Example 2.63 ] rằng

N (h(¯p, ¯x); K) = {ν ∈ C(T )∗| ν < 0, supp ν ⊂ I(¯p, ¯x)}

Ta sẽ kết thúc chứng minh nếu chỉ ra được rằng

Trước tiên, ta chứng minh bao hàm thức "⊂" trong (1.27) Lấytuỳ ý ν ∈ N (h(¯p, ¯x); K), do co (∪t∈I(p,x)∇gt(¯p, ¯x)) là đóng yếu∗ trong

P∗ × X∗ nên bao hàm thức "⊂" trong (1.27) được thỏa mãn nếu ta chỉ

ra được

∇h(¯p, ¯x)∗ν ∈ ν(T )co∗ ∪t∈I(¯p,¯x)∇gt(¯p, ¯x)
Giả sử ngược lại rằng, ∇h(¯p, ¯x)∗ν /∈ ν(T )co∗ ∪t∈I(¯p,¯x)∇gt(¯p, ¯x)

Vì tập một điểm ∇h(¯p, ¯x)∗ν là compact yếu∗ trong không gian Banach

P∗ × X∗ và ν(T )co∗ ∪t∈I(¯p,¯x)∇gt(¯p, ¯x)
là tập đóng yếu∗ trong P∗ × X∗

nên theo định lý tách [15, Theorem 3.4] ta suy ra rằng tồn tại phiếmhàm tuyến tính liên tục ϕ∗ : P∗ × X∗ → R sao cho

ϕ∗(∇h(¯p, ¯x)∗ν) < inf {ϕ∗(y∗)|∀y∗ ∈ ν(T )co∗ ∪t∈I(¯p,¯x)∇gt(¯p, ¯x)
}

(1.28)Mặt khác, vì P∗ × X∗ là một không gian Banach (do đó cũng làkhông gian lồi địa phương) nên suy ra từ [14, trang 68] rằng tồn tại

u ∈ P × X sao cho ϕ∗(u∗) = u∗u, với mọi u∗ ∈ P∗ × X∗

Điều này và (1.28 ) suy ra tồn tại (p0, x0) ∈ P × X và α ∈ R sao choh∇h(¯p, ¯x)∗ν, (p0, x0)i < α < ν(T )h∇gt(¯p, ¯x), (p0, x0)i ∀t ∈ I(¯p, ¯x)

(1.29)

Do đó, bởi (1.21), ta có

h∇h(¯p, ¯x)∗ν, (p0, x0)i = hν, ∇h(¯p, ¯x)(p0, x0)i

=Z

T

∇h(¯p, ¯x)(p0, x0)(t)dν

=Z

T

h∇gt(¯p, ¯x), (p0, x0)idν