Cấu trúc (DN) và (DNφ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hìn

Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số cáckhái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian lồi địaphương; các khái niệm về cặp đối ngẫu tô pô pôla; tích tensor; đ

Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học;các Giáo sư, Tiến sĩ cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong KhoaToán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạođiều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trìnhhọc tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn

đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này

Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐTtỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Ngô Gia Tự huyện Lập Thạch tỉnhVĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thànhluận văn

Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏinhững hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn đãnhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnhọc viên

Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011

Tác giả

Phạm Quốc Huy

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,luận văn tốt nghiệp “Cấu trúc (DN) và (DNϕ) của đối ngẫu củakhông gian mầm các hàm chỉnh hình” được hoàn thành bởi sự nhậnthức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nàokhác.

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011

Tác giả

Phạm Quốc Huy

MỞ ĐẦU 1

1.1 Không gian lồi địa phương 4

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu 11

1.3 Pôla 13

1.4 Tích tensor của các không gian lồi địa phương 16

1.4.1 Tích tensor xạ ảnh 16

1.5 Đa thức trên không gian lồi địa phương 18

1.6 Ánh xạ chỉnh hình 24

1.7 Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình 28

1.8 không gian mầm các hàm chỉnh hình 30

2 CẤU TRÚC (D ¯¯N¯) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 33 2.1 Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (D ¯¯N¯) . 34

2.1.1 Lưu ý 34

2.2 Một số điều kiện tương đương 34

2.3 Một số ví dụ 45

ii

2.3.1 Không gian dãy K¨othe 452.3.2 Không gian các dãy giảm nhanh 462.3.3 Không gian các chuỗi lũy thừa 462.4 Cấu trúc (D

¯¯N¯) của không gian [H(OE)]

1 Lý do chọn đề tài

Từ kết quả của Mujica [10], không gian mầm H(K) là chính quy,với tập compact K trong không gian Frechet E Từ đó, ta suy ra rằng[H(K)]∗ là một không gian Frechet Không gian Frechet là một trườnghợp điển hình của không gian lồi địa phương khả metric đầy với nhiềutính chất đặc trưng của giải tích phức vô hạn chiều Việc nghiên cứu sâu

về lớp không gian này có được nhờ vào các tính chất tô pô đặc trưng của

nó Các bất biến tô pô tuyến tính đã được đề xuất từ những năm 1980

và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu được nhiều nhà Toánhọc quan tâm Các bất biến tô pô tuyến tính đem lại những đặc trưngđẹp đẽ cho lớp không gian Frechet Những kết quả đạt được về sự phânloại lớp các không gian này cũng đem lại nhiều áp dụng cho nhiều lĩnhvực của Toán học giải tích

Cấu trúc của không gian [H(K)]∗ cũng đã được một số tác giả quantâm nghiên cứu Chẳng hạn, khi E = Cn, Zaharjuta [16] đã chứng tỏrằng [H(K)]∗ có tính chất Ω
khi và chỉ khi K là tập compact và L

- chính quy Kết quả của Meise -Vogt [9] về cấu trúc loại (Ω) đối vớicác không gian mầm các hàm chỉnh hình xác định trên các không gianFrechet hạch, đã được P T Danh – N V Khuê [3] mở rộng tới trườnghợp đối với không gian Frechet Các cấu trúc loại Ω
và Ωe

của lớpkhông gian này cũng đã được N V Đông [6] nghiên cứu Một số đặctrưng đối với cấu trúc (LB∞), (DN ) và

eΩ

của lớp không gian mầmcũng thu được bởi L M Hải – P H Bằng [7] Được sự định hướng củangười hướng dẫn em chọn đề tài

“CẤU TRÚC (DN ) VÀ (DNϕ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦAKHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH”

Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảođược trình bày trong ba chương.

Chương 1 Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số cáckhái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian lồi địaphương; các khái niệm về cặp đối ngẫu tô pô pôla; tích tensor; đa thứctrên không gian lồi địa phương và một số khái niệm về ánh xạ chỉnhhình và tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình

Chương 2 Trình bày khái niệm về bất biến tô pô (DN ) , đưa ra một

số điều kiện tương đương và ví dụ về bất biến tô pô tuyến tính (DN ) Trình bày hai kết quả về cấu trúc (DN ) của đối ngẫu của không gianmầm hàm chỉnh hình

Chương 3 Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về bấtbiến tô pô tuyến tính (DNϕ) trên không gian Frechet Hai kết quả chínhtrong chương này là để không gian [H(OE)]∗ có tính chất (DNϕ) thì E

là một không gian Frechet tiệm cận chuẩn có cơ sở tuyệt đối; đối với đốingẫu của không gian mầm của các hàm chỉnh hình [H(K)]∗ có tính chất(DNϕ) thì K phải là tập compact cân trong không gian Frechet Hilberttiệm cận chuẩn

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về cấu trúc (DN ) và (DNϕ) của đối ngẫu củakhông gian mầm các hàm chỉnh hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về bất biến tô pô tuyến tính (DN), (DNϕ) trên khônggian Frechet

Nghiên cứu cấu trúc (DN ) và (DNϕ) của không gian [H(OE)]∗ vàkhông gian [H(K)]∗

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

5 Dự kiến đóng góp luận văn

Trình bày một cách hệ thống về bất biến tô pô tuyến tính trên lớpkhông gian Frechet cùng các điều kiện tương đương của nó thông qua

hệ cơ sở lân cận hệ đếm được các nửa chuẩn xác định tô pô của nó.Đưa ra một số điều kiện tương đương của các tập compact K trongkhông gian Frechet E để từ đó xác định cấu trúc (DN ) và (DNϕ) củacác không gian Frechet [H(OE)]∗ và [H(K)]∗

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một không gian véc tơ và A là một tậpcon của E

i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈ A,trong đó λ ≥ 0,

ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A khi |λ| ≤ 1.iii) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân.iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A

v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữuhạn

vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ A, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ

Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những lâncận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ lồi địa phương

4

(không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương.Định nghĩa 1.1.3 a) Giả sử E là một không gian véc tơ tô pô lồi địaphương trên K (K = C hoặc K = R) Một hàm p xác định trên E cógiá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi

Mệnh đề 1.1.2 Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉkhi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được Tô pô củamột không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một metric, bấtbiến đối với các phép tịnh tiến

Chứng minh Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một

cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc

Ngược lại, giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được Khi đó, bởi vìmỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở(un) những lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn là hàm cỡ của un

x = 0 Đặt d (x, y) = f (x − y) thì d là một metric và

d (x + z, y + z) = d (x, y)Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến Trong tô pô metric,các tập hợp

Vn = x : f (x) < 2−n lập thành một cơ sở lân cận Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phátbởi mỗi pn và cả f liên tục Hơn nữa Vn ⊂ Un, bởi vì nếu x /∈ Un thì

pn(x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định một tô pô xuất phát

Điều đó chứng tỏ rằng pB (αx) = |α| pB(x) ; với mọi α và pB là một sơchuẩn.

Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p (x) < 1} lồi vìvới x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có

p (αx + (1 − α) y) ≤ αp (x) + (1 − α) p (y) < 1

Hơn nữa B là cân đối vì p (x) < 1 kéo theo p (−x) = p (x) < 1 và Bcũng là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p (x/λ) = p (x) /λ < 1 Dễthấy p (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p (x) = pB(x) Sau cùng, nếu

p là một chuẩn thì với mọi x 6= 0, p (x) > 0 cho nên p (αx) = αp (x) ≥ 1(với α đủ lớn), tức là αx 6= B, chứng tỏ B không chứa chọn đường thẳng

Mệnh đề 1.1.4 Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơchuẩn Γ tùy ý Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số,trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục Tô pô ấy lồi địa phương

và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng

Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi

(x 6= 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0 (1.2)

Chứng minh Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1} ,với p ∈ Γ Khi đó, các tập V lồi cân, hút nên có một tô pô trên X tươnghợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức làtheo mệnh đề 1.1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục Tô pô ấy lồi địaphương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng

ε ∩n

i=1Vi(ε > 0, Vi ∈ B0)

Định nghĩa 1.1.6 a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô đượcxác định bởi một họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãnđiều kiện tách (1.2) gọi là không gian đếm được chuẩn.

b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là không gian Frechet.Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều làkhông gian Frechet

c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồiđịa phương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đómọi thùng đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọikhông gian Frechet là không gian thùng

Định nghĩa 1.1.7 Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗi α ∈ I

và υα : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vàokhông gian lồi địa Eα Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên Esao cho tất cảc các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi

υα◦ η là liên tục với mọi α ∈ I

Định nghĩa 1.1.8 Cho I là tập chỉ số định hướng Với mỗi α ∈ I, cho

Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồntại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho

i) uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I

ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , với mọi α ≤ β ≤ γ

Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα, uαβ} được gọi

là một hệ xạ ảnh Không gian con

Chứng minh Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ làmột họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X Ta biết trong mộtkhông gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập

bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1(0) là một không gian concủa X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1(0) Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ Xp ( ˜x

là lớp các x0 ∈ X với p (x0− x) = 0 ) và theo mệnh đề 1.1.4 ta thấy Xchính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với up Mệnh đề 1.1.6 [12] Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địaphương đầy là đầy

Mệnh đề 1.1.7 [12] Nếu E là không gian lồi địa phương Hausdorff vàđầy thì

E = lim proj

α

\E/ ker α

ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E

Mệnh đề 1.1.8 [12] Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồiđịa phương Eα đối với các ánh xạ υα Một tập M trong E bị chặn khi vàchỉ khi υα(M ) cũng bị chặn.

Định nghĩa 1.1.9 Cho I là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗi

α ∈ I, cho υα : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địaphương Eα vào không gian véc tơ E = ∪

α υα(Eα) Tô pô quy nạp trên E

là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υα là liên tục với mọi α ∈ I.Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ cáckhông gian lồi địa phương {Eα} được định hướng bởi quan hệ bao hàm

và mỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục Khi đó, E được trang bịbởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạnquy nạp của các không gian con Eα và được ký hiệu bởi

E = lim ind

α Eα

Ví dụ 1.1.1 Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là khônggian thương Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một khônggian tuyến tính con của X0 và X = X0/M Gọi υ là ánh xạ chính tắc từ

X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương đương

˜

x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa phươngmạnh nhất để η liên tục

Định nghĩa 1.1.11 Cho E = lim ind

α Eα là giới hạn quy nạp của cáckhông gian con Eα Khi đó ta nói rằng

i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Fβ mỗikhi Eα ⊂ Eβ

ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ

iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bịchứa và bị chặn trong Eα

iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bịchặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ramọi lưới {xα} ⊂ B là E - Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα - Cauchy.

Mệnh đề 1.1.9 [12] Cho E = lim ind

n En là giới hạn quy nạp chặt củamột dãy các không gian con En thì

i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E

ii) Nếu En trong En+1 với mọi n thì E = lim ind

n En là giới hạn quynạp chính quy Cauchy

iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E là Hausdorff và đầy

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu

Định nghĩa 1.2.1 Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; h·i) hoặc viết(E, F ) trong đó

i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng.ii) h·i : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn

DE) nếu hx, ui = 0, với mọi u ∈ F thì x = 0

DF) nếu hx, ui = 0, với mọi x ∈ E thì u = 0

Ta có h·i : E × F → K là song tuyến tính nếu

a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên E.b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên F

Ví dụ 1.2.1 NếuhE, F i là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) 7→ hx, ui xácđịnh cặp đối ngẫu hF, Ei

Ví dụ 1.2.2 Giả sử E là không gian véc tơ và E∗ là đối ngẫu đại số của

nó Khi đó dạng (x, u) 7→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E∗ xác định cặp đối ngẫu

hE, E∗i

Ví dụ 1.2.3 Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đốingẫu tô pô E0 Khi đó dạng (x, u) 7→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E0 cho ta cặp đốingẫu hE, E0i

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử hE, F i là cặp đối ngẫu Với mọi u ∈ F xácđịnh nửa chuẩn pu trên E

pu(x) = |hx, ui| , x ∈ E

Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn pu, u ∈ F ký hiệu

là σ (E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu hE, F i

Mệnh đề 1.2.1 Nếu hE, F i là cặp đối ngẫu thì σ (E, F ) là tô pô lồiđịa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn

(E, σ (E, F ))0 = F

Chứng minh Do (DE, σ (E, F )) là Hausdorff Vì pu liên tục với mọi

u ∈ F, suy ra F ⊂ (E, σ (E, F ))0 Mặt khác giả sử f ∈ (E, σ (E, F ))0,khi đó tồn tại u1, u2, , un và ε > 0 sao cho

|f (x)| ≤ 1; với mọi x ∈ W (u1, u2, , un, ε) Đặc biệt

f (x) = 0; với mọi x ∈ E

Do đó u1(x) = u2(x) = = un(x) = 0 Vậy f là tổ hợp tuyến tính của

u1, u2, , un, tức là f ∈ F Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phươngyếu nhất trên E để

(E, σ (E, F ))0 ∈ F

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử hE, F i là cặp đối ngẫu Tô pô lồi địa phương

ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu hE, F i Nếu (E, ξ)0 = F

Mệnh đề 1.2.2 Nếu hE, F i là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của E,thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu hE, F i

Chứng minh Ta chỉ cần chứng tỏ

c`ξA = c`σ(E,F )A,với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu hE, F i Trong đó c`ξA ký hiệu baođóng của A đối với ξ Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξ nên c`ξA ⊆ c`σ(E,F )A.Giả sử a /∈ c`ξA, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξsao cho (a + U ) ∩ A = ∅ Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)0 = F sao cho

f (a + U ) ∩ f (A) = ∅ Do đó f (U ) là mở, nên f (a) /∈ f (A) Suy ra tồntại δ > 0 để

|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ; ∀x ∈ A

Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ} , thì a + W là lân cận của a đối với

1.3 Pôla

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử (E, E0) là một cặp đối ngẫu, A ⊂ E Khi đótập hợp

{x0 ∈ E0 : sup {hx, x0i ≤ 1 : x ∈ A}}

được gọi là một pôla (trong E0) của A và ký hiệu bởi A0

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử (E, E0) là một cặp đối ngẫu Pôla trong E0 củacác tập con của E có các tính chất sau đây

i) Aolà lồi, cân và σ (E, E0) - đóng

Chứng minh (i) Ta có A là lồi, cân trong F Mặt khác từ hệ thức

(iii) Bởi vì u ∈ (tA)0 nên u ∈ (|t| A)0 và |h|t| x, ui| ≤ 1; ∀x ∈ A Do đó,

M00 = c`ξM,mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu và M00 = MF0
0E

sao cho

|ha, f i| ≤ 1, ∀x ∈ M, hay f ∈ M00và

i) U0 = UE0# với mọi lân cận U của 0 ∈ E đối với ξ

ii) F = U U0 : U ∈ u ở đây u là cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ E

Chứng minh (i) Do F ⊂ E#, ta có U0 ⊂ UE0# Mặt khác với mọi

Chứng minh Thật vậy cho {uα}α∈I là dãy suy rộng Cauchy trong

E#, σ E#, E

Khi đó {hx, uαi} là dãy suy rộng Cauchy trong K

Vì K là đầy, dãy suy rộng này hội tụ tới hx, ui ∈ K Hiển nhiên dạng

x 7→ hx, ui xác định u ∈ E# và {uα} hội tụ tới u đối với σ E#, E
- tô

Mệnh đề 1.3.4 Nếu E là không gian lồi địa phương tách và U là một

cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô) E0 của E là tập hợp

E0 = ∪U0, u ∈ U Trong đó U0 được lấy trong đối ngẫu đại số E∗.Chứng minh Với mọi x0 ∈ E0 thì x0là một dạng tuyến tính liên tục trên

E Nên có thể tìm được u ∈ U sao cho |hx, x0i| ≤ 1 Vậy x0 ∈ U0, u ∈ U

và do đó x0 ∈ ∪U0, U ∈ u Ngược lại giả sử x0 ∈ E∗ và x0 ∈ U0 với

U ∈ u nào đó, thế thì x0 liên tục trên E, Vậy x0 ∈ E 

1.4 Tích tensor của các không gian lồi địa phương

1.4.1 Tích tensor xạ ảnh

Giả sử E, F, G là các không gian véc tơ trên cùng một trường K và

h : E × F → Gánh xạ h gọi là song tuyến tính nếu với mỗi y ∈ F cố định ánh xạ

hy : E → Gcho bởi

hy(x) = h(x, y), x ∈ E

là tuyến tính và cũng như vậy ánh xạ

hx : F → Gcho bởi

hx(y) = h(x, y), y ∈ F

là tuyến tính Trường hợp G = K thì h được gọi là dạng song tuyến tính

Ký hiệu

T∗ = { h : E × F → K : h là dạng song tuyến tính }

Khi đó T∗ là các không gian véc tơ với các phép toán cảm sinh từ cácphép toán của E, F, K sao cho

(h1 + h2) (x, y) = h1(x, y) + h2(x, y)

(th) (x, y) = th(x, y)xét (T∗)# là đối ngẫu đại số của T∗ và ánh xạ chính tắc

ϕ : E × F → (T∗)#cho bởi

(ϕ(x, y)) (h) = h(x, y), (x, y) ∈ (E × F ), h ∈ T∗.Khi đó Imϕ nói chung không là không gian vé tơ con của (T∗)# Khônggian véc tơ con của (T∗)# sinh bởi Imϕ được ký hiệu là E ⊗ F và gọi làtích tensor của E và F Ta ký hiệu ϕ(x, y) = x ⊗ y

(T∗, E ⊗ F ) là một cặp đối ngẫu với dạng song tuyến tính cho bởi

Hơn nữa T∗ là đối ngẫu đại số của E ⊗ F : T∗ = (E ⊗ F )#

Thật vậy mỗi phần tử của T∗ là dạng song tuyến tính trên (T∗)# và do

đó nó là dạng tuyến tính trên E ⊗ F nên nó thuộc (E ⊗ F )# Ngược lại,với mỗi dạng tuyến tính f trên E ⊗ F tường ứng với phần tử f ◦ ϕ ∈ T∗.Vậy tích tensor E ⊗ F có tính chất đối ngẫu đại số của nó là không giancác dạng song tuyến tính trên E × F

Mệnh đề 1.4.1 [1] Giả sử E, F, G là các không gian trên véc tơ trêntrường K và ϕ là ánh xạ chính tắc từ E × F vào E ⊗ F Khi đó mỗiánh xạ tuyến tính f : E ⊗ F → G tương ứng với ánh xạ song tuyến tính

f ◦ ϕ : E × F → G Tương ứng đó xác định một đẳng cấu của khônggian véc tơ các ánh xạ tuyến tính của E ⊗ F vào G lên không gian véc

tơ các ánh xạ song tuyến tính của E × F vào G

Mệnh đề 1.4.2 [1] Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phươngtrên cùng một trường K và ϕ : E × F → E ⊗ F là ánh xạ chính tắc Tồntại một tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên E ⊗ F để ϕ liên tục.

Nếu u và v là các cơ sở lân cận trong E và F thì các bao lồi, cân củacác tập hợp ϕ (U, V ) (U ∈ u, V ∈ v) lập thành một cơ sở lân cận của tô

pô ấy trên E ⊗ F Một ánh xạ tuyến tính f của E ⊗ F với tô pô ấy vàokhông gian lồi địa phương G là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ song tuyếntính f ◦ ϕ của E × F vào G là liên tục

Mệnh đề 1.4.3 [1] Nếu E và F là các không gian lồi địa phươngHausdorff thì E ⊗

π F cũng là không gian lồi địa phương Hausdorff

Mệnh đề 1.4.4 [1] Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phươngkhả metric, khi đó E ˆ⊗

π F là không gian Frechet và với mỗi tập hoàn toàn

S ˆ⊗

π id : E ˆ⊗

π G → F ˆ⊗

π Gcho bởi

1.5 Đa thức trên không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.5.1 Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trường sốphức Một ánh xạ L : En → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó

tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại Ta ký hiệu

La(nE; F ) là tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính từ E vào F

Định nghĩa 1.5.2 Một ánh xạ n tuyến tính L : En → F được gọi làđối xứng nếu

L (x1, x2, , xn) = L xσ(1), xσ(2), , xσ(n)
,với mọi x1, x2, , xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiênđầu tiên Ta ký hiệu Lsa(nE; F ) là không gian véc tơ của tất cả các ánh

xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F

Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyếntính bởi toàn ánh chính tắc s : La(nE; F ) → Lsa(nE; F ) được xác địnhbởi công thức

P = L ◦ ∆, trong đó ∆ (x) = xn; x ∈ E Ký hiệu Pa(nE; F ) là khônggian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất từ E vào F

Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuầnnhất từ E vào F Ta ký hiệu Pa(E; F ) là không gian véc tơ tất cả các

aijziwj,

với mọi z = (z1, z2, zn) ∈ Cn và w = (w1, w2, wn) ∈ Cn Do đó, một

đa thức 2 thuần nhất P : Cn → C trên Cn có dạng

P (z) = L (z, z) = X

1≤i≤n 1≤j≤n

aijzizj

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức

n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính Tuy nhiên nếu chỉ hạn chếtrên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được mộttương ứng duy nhất Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất vàtoán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán

La(nE; F ) → Lsa(nE; F )

& ↓ ∧

Pa(nE; F )Như một hệ quả của bổ đề phân rã dưới đây, chúng ta chứng minh đượcánh xạ ∧ là một đơn ánh Do đó, chúng ta nhận được một song ánhchính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và khônggian các đa thức n thuần nhất trên E

Định lý 1.5.1 (công thức phân rã) Cho E và F là hai không gian lồiđịa phương trên C Khi đó, nếu L ∈ Lsa(En; F ) và x1, x2, , xn ∈ E, thì

Chứng minh Bởi tính đối xứng, ta có

εm1 +1

1 εmn +1

n = 2n

và các hệ số của L (x1, x2, , xn) trong khai triển trên bằng 1

Nếu mi > 1 với i nào đó thì mj = 0 với j nào đó Khi đó chúng tanhận được

Chứng minh Bởi công thức phân rã L ∈ Lsa(nE; F ) đồng nhất bằng

0 nếu và chỉ nếu ˆL đồng nhất bằng 0 Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính cóhạt nhân bằng 0 và là đơn ánh

Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm

f : A → F và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt

kf kβ,A = sup

x∈A

β (f (x))

Định lý 1.5.2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và

A là một tập lồi, cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F Khi đó, tacó

ˆL

β,A

,

ε i =±1 1≤i≤n

Bởi vì A là lồi, cân nên nếu xi ∈ A; với mỗi i = 1, 2, , n và εi = ±1thì n1

X

ε i =±1 1≤i≤n

!L(x)n−r(y)r

!L(x)n−r(y)r

Bổ đề 1.5.2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C Nếu

A là một tập cân trong E và x ∈ E, thì

kP kβ,A ≤ kP kβ,x+A.Hơn nữa, nếu λ 6= 0, λx ∈ E và A là tập lồi thì

kP kβ,x+A ≤



1 + 1λ

n

kP kβ,A

kP kβ,A.Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục từ khônggian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệubởi P (nE; F ) Không gian véc tơ tất cả các đa thức liên tục từ khônggian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi

Mệnh đề 1.5.1 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C

và P ∈ Pa(nE; F ) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

i) P là liên tục

ii) P liên tục tại gốc

iii) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc

iv) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗiđiểm)

Chứng minh Các kéo theo (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là tầm thường Theo Bổ

đề 1.4.2 thì ta nhận được (iii) ⇔ (iv) Vấn đề còn lại là ta chứng minh(iii) ⇒ (i) Cho A ∈ Ls(nE; F ) và giả sử ˆA = P Theo công thức phân

rã và (iii) tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho kAkVn = M < ∞

Với x0 ∈ E tùy ý chọn α > 0 sao cho αx0 ∈ V Theo Bổ đề 1.4.1, chúng

!sup

!1

!M

Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các

tf lân cận cân lập thành một cở sở đối với tf lân cận của 0 trong E.Định nghĩa 1.6.2 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều

U của không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địaphương F được gọi là Gateaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu vớimỗi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F0 thì hàm một biến phức

f : λ 7→ φ ◦ f (a + λb)chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0 Ta ký hiệu HG(E, F )

là tập tất cả các hàm G chỉnh hình từ E vào F

Định lý Hartogs trong trường hợp nhiều chiều nói rằng các hàm chỉnh

Định nghĩa 1.6.3 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và

U là tập con mở hữu hạn trong E Một ánh xạ f : U → F được gọi làchỉnh hình nếu nó G chỉnh hình và với mỗi ξ ∈ U thì hàm

Định nghĩa 1.6.4 Một ánh xạ f từ tập con mở U trong không gianlồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là bị chặnđịa phương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận Vξ của ξ trong Usao cho f (Vξ) là tập bị chặn trong F

Mối quan hệ giữa ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phươngđược phản ánh trong kết quả sau

Mệnh đề 1.6.1 [17] Giả sử f là ánh xạ từ tập con mở U trong khônggian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F Khi đó các điềukiện sau là tương đương

i) f là chỉnh hình

ii) f là G - chỉnh hình và liên tục

iii) f là G - chỉnh hình và bị chặn địa phương

Bổ đề 1.6.1 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U làmột tập con mở của E Khi đó, nếu f ∈ HG(U, F ) thì f là liên tục khi

U được cho bởi tô pô mở hữu hạn

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng tf là tô pô giới hạn quy nạp đượccho bởi các ánh xạ bao hàm U → E, ở đó U chạy trên tất cả các khônggian con hữu hạn chiều của E Do đó một hàm f xác định trên một tậpcon tf mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phầnhữu hạn chiều của U là liên tục Nhưng các hàm nhiều biến là liên tụcnên chúng ta nhận được điều cần chứng minh Mệnh đề 1.6.2 Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gianvéc tơ E và f ∈ HG(E) thì với mỗi ξ ∈ U tồn tại duy nhất một dãy các

đa thức thuần nhất trên E

( ˆdmf (ξ)m!

với mọi y trong tf lân cận nào đó của 0

Chứng minh Cố định điểm ξ ∈ U Với mỗi số nguyên dương m ta đặt

Pm,ξ = 1

2πiZ

|λ|=ρ

f (ξ + λx)

λm+1 dλ

là hoàn toàn xác định.

Bởi vì hạn chế của f tới mỗi phần hữu hạn chiều của U là chỉnhhình, nên hàm x 7→ Pm,ξ(x) là một đa thức n thuần nhất Gọi Lm,ξ làánh xạ m tuyến tính đối xứng liên kết trên E Theo bổ đề phân rã, nếu

Theo định lý Haln-Banach thì Lm,ξ ∈ Ls

a(Em) và Pm,ξ ∈ Pa(Em) Cho V là một tf lân cận cân của 0 sao cho ξ + V ⊂ U Nếu x ∈ V thì

ξ + {λx : |λ| ≤ 1} là một tập con compact của U Do đó, tồn tại ρ > 1sao cho ξ + {λx : |λ| ≤ ρ} ⊂ U Theo Bổ đề 1.5.3 hàm f là liên tục và

tỏ được rằng

Mệnh đề 1.6.3 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho f ∈ HG(U ) , ξ ∈ U, ρ >

0 và B là một tập con cân của E sao cho ξ + ρB ⊂ U thì với mọi số

nguyên không âm m ta có

1m!kPm,ξkB ≤ 1

ρm sup

x∈ξ+ρB

kf kB = 1

ρmkf kξ+ρB.Định nghĩa 1.6.5 Cho U là một tập con mở trong không gian lồiđịa phương E Một hàm f : U → C được gọi là chỉnh hình trên Unếu với mỗi ξ ∈ U tồn tại một dãy {Pm} các đa thức bậc m trên E(Pm ∈ Pm(E) m = 0, 1, 2, ) sao cho chuỗi

∞

P

m=0

Pm,ξ(x − ξ)m hội tụ đều

về hàm f (z) với mọi z trong lân cận nào đó của ξ

Dãy {Pm}∞m=0 được xác định một cách duy nhất và ký hiệu

Pm = 1

m!

ˆmf (ξ) Khi đó, ta viết

1.7 Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 1.7.1 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và

U là một tập mở trong E Tô pô mở compact hay tô pô hội tụ đều trêncác tập compact là tô pô lồi địa phương trên H (U, F ) được sinh bởi nửachuẩn có dạng

pβ,K (f ) = kf kβ,K = sup

x∈K

|β (f (z))| ; f ∈ H (U, F ) ,

ở đó K chạy trên tất cả các tập con compact của U và β chạy trên tất

cả các nửa chuẩn liên tục trên F

Ta ký hiệu τ0 là tô pô mở compact trên không gian các ánh xạ chỉnhhình Tô pô τ0 là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàmchỉnh hình H(U, F ) Tuy nhiên, tô pô ấy không có được các tính chấtmong muốn và vì lý do đó người ta đã đề xuất tô pô τδ.

Định nghĩa 1.7.2 Giả sử U là tập con mở trong không gian lồi địaphương E và F là không gian tuyến tính định chuẩn Một nửa chuẩn ptrên H (U, F ) được gọi là τδ liên tục nếu với mỗi phủ mở tăng đếm được(Vn)∞n=1 của U tồn tại một số nguyên dương n0 và một hằng số c > 0 saocho

p (f ) ≤ ckf kV

n0; với mọi f ∈ H (U, F )

Tô pô τδ trên H (U, F ) là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửachuẩn τδ liên tục

Định nghĩa 1.7.3 Giả sử U là tập con mở trong không gian lồi địaphương E và F là một không gian lồi địa phương Người ta xác định tô

pô τδ trên H(U, F ) bởi

(H (U, F ) ; τδ) = lim proj

β∈cs(F )

(H (U, Fβ) ; τδ)

Tô pô này có nhiều tính chất tốt, nhưng việc mô tả một cách cụ thể mốiquan hệ của nó với tô pô τ0 không phải luôn được rõ ràng Khắc phụcđiều đó và từ sự thúc đẩy trong quá trình nghiên cứu các phiếm hàmgiải tích nhiều biến, người ta cũng đề xuất tô pô τω trên H(U, F )

Định nghĩa 1.7.4 Giả sử U là một tập con mở trong không gian lồiđịa phương E và F là một không gian định chuẩn Một nửa chuẩn p trênH(U, F ) được gọi là mang bởi tập compact K của U nếu với mọi tậpcon mở V mà K ⊂ V ⊂ U tồn tại C(V ) > 0 sao cho

p (f ) ≤ C (V ) kf kV; với mọi f ∈ H (U, F )

Tô pô τω trên H(U, F ) là tô pô lồi địa phương sinh bởi tất cả các nửachuẩn mang bởi các tập con compact của U

Định nghĩa 1.7.5 Giả sử U là tập con mở trong không gian lồi địaphương E và F là một không gian lồi địa phương Người ta xác định tô

pô τω trên H(U, F ) bởi

(H (U, F ) ; τω) = lim proj

Vn0 là lân cận của K Do đó tồn tại c = C (Vn0) > 0 sao cho

U ⊃KH (U, F ) với U là tập mở chứa K trong

E, ta xác định quan hệ tương đương ∼ như sau: f ∼ g nếu tồn tại mộtlân cận W của K mà trên đó f và g hoàn toàn được xác định Hơn nữa,

ta có

f |W = g |W