Bài toán sản xuất leontief đa mục tiêu và đối ngẫu

T÷ìng tü nh÷ vªy èi ng¨u Lagrange côngthäa t½nh èi xùng.

Mð ¦u 3

1.1 èi ng¨u Lagrange 61.2 èi ng¨u Fenchel 141.3 èi ng¨u li¶n hñp 18

2.1 B i to¡n s£n xu§t Leontief 242.2 B i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief 262.2.1 Vectì gi¡ 262.2.2 B i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief 272.3 C¡c °c tr÷ng cho t½nh phi d÷ thøa trong b i to¡n s£n

xu§t Leontief 292.3.1 °c tr÷ng líi gi£i duy nh§t 292.3.2 C¡c °c tr÷ng v· gi¡ v  cæng ngh» 29

3.1 Kh¡i ni»m b i to¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u 363.2 B i to¡n èi ng¨u 38

1

3.3 Ph÷ìng tr¼nh èi ng¨u v  c¡c i·u ki»n húu hi»u 39

T i li»u tham kh£o 47

1 Lþ do chån · t i

To¡n håc ÷ñc sû döng phê bi¸n trong c¡c nghi¶n cùu kinh t¸ hi»n

¤i Trong c¡c mæ h¼nh kinh t¸ th¼ mæ h¼nh tuy¸n t½nh l  cì b£n nh§tv¼ nâ câ c¡c t½nh ch§t gi£i t½ch õ ìn gi£n º xem x²t v  c¡c t½nh ch§t

â th÷íng ÷ñc thäa m¢n trong c¡c b i to¡n kinh t¸ Tuy nhi¶n, trongc¡c mæ h¼nh phùc t¤p th÷íng câ c¡c y¸u tè phi tuy¸n V¼ vªy, vi»c mðrëng mæ h¼nh tuy¸n t½nh sang mæ h¼nh phi tuy¸n l  vi»c r§t tü nhi¶n v c¦n thi¸t

Mët trong c¡c h m s£n xu§t phi tuy¸n quan trång l  h m s£n xu§tLeontief, ÷ñc °t ra bði nh  kinh t¸ håc ng÷íi Mÿ gèc Li¶n Xæ Wassily

W Leontief, ng÷íi ¢ ¤t gi£i Nobel v· kinh t¸ n«m 1973 Cho ¸n nay,c¡c v§n · li¶n quan ¸n h m s£n xu§t Leontief v  b i to¡n s£n xu§tLeontief v¨n ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  nghi¶n cùu

Vîi c¡c b i to¡n kinh t¸, c¡c v§n · th÷íng °t ra ð hai m°t ànhl÷ñng v  ành t½nh Lþ thuy¸t èi ng¨u câ vai trá quan trång º câ ÷ñcnhúng k¸t qu£ nghi¶n cùu v· c£ hai m°t tr¶n

D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Phan Thi¶n Th¤ch, tæi chån · t i

B i to¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u v  èi ng¨u vîi mongmuèn h» thèng l¤i c¡c nghi¶n cùu cõa th¦y v  xem x²t mët c¡ch t÷ìng

èi ¦y õ b i to¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

- H» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa b i to¡n s£n xu§t

3

Leontief v  b i to¡n èi ng¨u.

- K¸t hñp vîi c¡c nghi¶n cùu v· b i to¡n tèi ÷u vectì mð rëng b ito¡n s£n xu§t Leontief º xem x²t b i to¡n s£n xu§t Leontief a möcti¶u v  b i to¡n èi ng¨u

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa b i to¡n s£n xu§tLeontief v  b i to¡n èi ng¨u

- Nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief a möcti¶u v  b i to¡n èi ng¨u

- Nghi¶n cùu c¡c v§n · li¶n quan ¸n t½nh gi£i ÷ñc, t½nh ch§tcõa nghi»m cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief, b i to¡n s£n xu§t Leontief

a möc ti¶u v  c¡c b i to¡n èi ng¨u cõa chóng

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

B i to¡n s£n xu§t Leontief (h m s£n xu§t Leontief), b i to¡n s£nxu§t Leontief a möc ti¶u (h m s£n xu§t Leontief a möc ti¶u) v  c¡c

b i to¡n èi ng¨u cõa chóng

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cõa gi£i t½ch lçi, lþ thuy¸ttèi ÷u v  quy ho¤ch to¡n håc

6 Dü ki¸n âng gâp mîi

H» thèng mët c¡ch kh¡ ¦y õ b i to¡n s£n xu§t Leontief a möcti¶u v  b i to¡n èi ng¨u, mët sè kh¡i ni»m li¶n quan v  mèi quan h»giúa chóng

Lþ thuy¸t èi ng¨u trong b i to¡n s£n xu§t

Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y mët trong nhúng cæng cöcõa gi£i t½ch lçi â l  lþ thuy¸t èi ng¨u ¡p döng cho b i to¡n s£n xu§t.V· m°t lþ thuy¸t, cì sð cõa lþ thuy¸t èi ng¨u l  kh£ n«ng biºu di¹nmët a di»n lçi theo hai c¡ch èi ng¨u nhau Cö thº l  mët a di»n lçi

câ thº biºu di¹n nh÷ l  hñp c¡c tê hñp lçi cõa c¡c ¿nh cõa nâ, ho°c,công câ thº biºu di¹n nh÷ l  giao cõa c¡c nûa khæng gian tüa cõa nâ.Nhí cæng cö èi ng¨u, chóng ta câ thº thi¸t lªp ÷ñc sü t÷ìng ÷ìnggiúa t½nh gi£i ÷ñc cõa mët h» b§t ph÷ìng tr¼nh v  t½nh phi nh§t qu¡ncõa mët h» b§t ph÷ìng tr¼nh kh¡c °c bi»t, nhí câ lþ thuy¸t èi ng¨u,chóng ta câ thº ÷a b i to¡n tèi ÷u v· b i to¡n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

v  b§t ph÷ìng tr¼nh V· m°t thüc t¸, düa v o èi ng¨u chóng ta câ thºnghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t li¶n k¸t giúa c¡c èi t÷ñng v  ho¤t ëng trongkhæng gian s£n ph©m (hi»n vªt) vîi c¡c èi t÷ñng v  ho¤t ëng trongkhæng gian gi¡, nhí â gióp hiºu rã hìn nhi·u v§n · v· cì ch¸ ho¤t

ëng cõa c¡c h» thèng kinh t¸

Trong ch÷ìng 1 n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn èi ng¨uLagrange, èi ng¨u Fenchel v  èi ng¨u li¶n hñp [3,6,7] èi vîi b i to¡ns£n xu§t têng qu¡t: cüc ¤i hâa khèi l÷ñng s£n xu§t (¦u ra) trongnhúng i·u ki»n cho tr÷îc v· nguy¶n li»u (¦u v o): vèn, nguy¶n li»u

sð x, ta câ thº l m ra s£n ph©m γ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

γ = ptx = Pn

i=1

pixi

Gi£ sû ta câ m lo¤i nguy¶n li»u Nguy¶n li»u thù j (j = 1, 2, , m) câ

dü trú l  bj (bj ≥ 0) H» sè ti¶u hao nguy¶n li»u thù j èi vîi ho¤t ëngthù i l  aij (aij ≥ 0) V¼ bj l  dü trú nguy¶n li»u j, ta câ m r ng buëcv· nguy¶n li»u cho vectì ho¤t ëng x ∈ Rn

B i to¡n l  cüc ¤i s£n ph©m vîi c¡c ho¤t ëng thäa m¢n c¡c r ng buëcv· nguy¶n li»u ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

max ptxvîi r ng buëc aj t

x ≤ bj, j = 1, 2, , m,

x ≥ 0

(1.3)Gi£ sû

x ≥ 0.

(1.5)

Trong b i to¡n n y, ta câ m r ng buëc b§t ¯ng thùc tuy¸n t½nh v  n

r ng buëc bi¸n khæng ¥m Do (1.4), b i to¡n (1.5) l  b i to¡n cüc ¤i

h m tuy¸n t½nh tr¶n tªp r ng buëc bà ch°n v  kh¡c réng cho bði c¡c b§t

¯ng thùc tuy¸n t½nh Nh÷ vªy b i to¡n s£n xu§t (1.5) luæn gi£i ÷ñc.X²t vectì u = (u1, u2, , um)t ∈ Rm

+, ð ¥y uj (j = 1, 2, , m) l  c¡cnh¥n tû Lagrange cõa r ng buëc b§t ¯ng thùc thù j trong (1.5) Khi

(1.6)

÷ñc gåi l  b i to¡n èi ng¨u Lagrange cõa b i to¡n (1.5).

V¼ b i to¡n (1.5) l  quy ho¤ch tuy¸n t½nh n¶n b i to¡n (1.7) ch½nh l quy ho¤ch èi ng¨u cõa quy ho¤ch (1.5) trong lþ thuy¸t quy ho¤ch tuy¸nt½nh

ành lþ 1.1 Vectì x gi£i b i to¡n (1.5) v  vectì u gi£i b i to¡n (1.7)khi v  ch¿ khi x v  u gi£i h» sau:

Nhªn x²t R ng buëc (1.8) ÷ñc gåi l  r ng buëc ch§p nhªn ÷ñc cì

sð R ng buëc (1.9) ÷ñc gåi l  r ng buëc ch§p nhªn ÷ñc èi ng¨u.Cán r ng buëc (1.10) ÷ñc gåi l  r ng buëc bò ành lþ 1.1 ch¯ng qua l 

ành lþ ë l»ch bò trong lþ thuy¸t quy ho¤ch tuy¸n t½nh Tø r ng buëc(1.10) ta câ:

Chùng minh ành lþ 1.1 Gi£ sû x gi£i (1.5) v  u gi£i (1.7) V¼ gi¡ trà tèi

÷u cõa (1.5) b¬ng gi¡ trà tèi ÷u cõa (1.7) n¶n ngo i vi»c x thäa (1.8) v 

u thäa (1.9) ta câ (1.11), tùc l  x v  u thäa (1.8), (1.9), (1.10) Ng÷ñcl¤i, gi£ sû x v  u thäa (1.8)-(1.10), tùc l  x v  u thäa (1.8), (1.9), (1.11)

Tø (1.8) suy ra ptx l  gi¡ trà ch§p nhªn ÷ñc cõa (1.5) Tø (1.9) suy ra

èi ng¨u Lagrange câ thº ¡p döng cho c£ c¡c b i to¡n vîi h m möc ti¶uphi tuy¸n [3] Thªt vªy, gi£ sû h m s£n xu§t tuy¸n t½nh ptx trong b ito¡n (1.5) ÷ñc thay th¸ bði h m li¶n töc lãm thu¦n nh§t khæng gi£m

f (x) x¡c ành tr¶n Rn

+, ð ¥y khæng gi£m theo ngh¾a

f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ Rn+, ∀x0 ∈ Rn+ : x0 ≥ x,thu¦n nh§t theo ngh¾a

f (µx) = µf (x) ∀x ∈ Rn+, ∀µ ≥ 0

Vîi h m s£n xu§t f(x) nh÷ th¸, b i to¡n s£n xu§t ÷ñc ph¡t biºu nh÷sau:

max f (x) vîi r ng buëc aj tx ≤ 1, j = 1, 2, , m, x ≥ 0 (1.14)

B i to¡n n y gi£i ÷ñc v¼ tªp r ng buëc trong (1.14) l  kh¡c réng âng v 

bà ch°n, cán h m möc ti¶u l  li¶n töc Ta x¡c ành phi¸m h m Lagrangecho (1.14) x¡c ành tr¶n khæng gian t½ch cõa c¡c ho¤t ëng s£n xu§t v c¡c nh¥n tû Lagrange nh÷ sau:

Thªt vªy, vîi måi x ≥ 0 ta câ:

º vi¸t b i to¡n èi ng¨u Lagrange (1.16) d÷îi d¤ng mët b i to¡n quyho¤ch thæng th÷íng ta °t

F = {x ≥ 0 : f (x) ≥ 1}

Khi â, F l  tªp mùc tr¶n cõa h m f trong Rn

+ Câ thº th§y r¬ng vîinhúng gi£ thi¸t nh÷ tr¶n v· f(x) th¼ F l  tªp lçi âng trong Rn

+ vîi t½nhch§t x + Rn

F∗ = {v ≥ 0 : vtx ≥ 1 ∀x ∈ F }

Khi â F công l  li¶n hñp tr¶n cõa F∗

F = {x ≥ 0 : vtx ≥ 1 ∀v ∈ F∗}

1.2 èi ng¨u Fenchel

Công nh÷ ph¦n tr÷îc ta x²t h m s£n xu§t li¶n töc lãm thu¦n nh§t khænggi£m f(x) v  tªp r ng buëc X cõa c¡c ho¤t ëng s£n xu§t sao cho X l 

tªp lçi âng bà ch°n vîi thù nguy¶n ¦y trong Rn

+ thäa i·u ki»n bä i

÷ñc, ngh¾a l  x ∈ X ⇒ y ∈ X ∀y : 0 ≤ y ≤ x

X²t b i to¡n sau:

Do X âng, bà ch°n, kh¡c réng, f(x) li¶n töc n¶n b i to¡n tr¶n l  gi£i

֖c

H m li¶n hñp lãm Fenchel f∗(.) cõa h m f(x) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

f∗(v) = inf{vtx − f (x) : x ≥ 0} v ∈ R+n.Hiºn nhi¶n

inf{vtx − f∗(x) : x ≥ 0} = inf{vtx + δ(v|F∗) : v ≥ 0}

= inf{vtx : v ∈ F∗} = f (x)

°t g(x) = δ(x|X), ð ¥y δ(x|X) l  h m °c tr÷ng cõa X Khi â g(x)

l  h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi tr¶n Rn

+ B i to¡n (1.24) câ thº vi¸t nh÷sau:

B i to¡n èi ng¨u Fenchel cõa b i to¡n (1.28) l  b i to¡n sau:

inf(g∗(v) − f∗(v)) vîi r ng buëc v ∈ Rn+, (1.29)

ð ¥y g∗(v) l  h m li¶n hñp lçi Fenchel cõa g(x), ngh¾a l 

g∗(v) = sup{vtx − g(x) : x ≥ 0} = sup{vtx : x ∈ X}

ành lþ 1.3

sup{f (x) − g(x) : x ≥ 0} = inf{g∗(v) − f∗(v) : v ≥ 0}

Vîi X cho nh÷ sau:

X =x ≥ 0 : ¯aj tx ≤ 1, j = 1, 2, , m ,th¼ ta câ

Do vªy b i to¡n (1.30) câ thº ÷ñc biºu di¹n l 

Quan s¡t c°p èi ng¨u Lagrange ((1.14), (1.23)) v  c°p èi ng¨u Fenchel((1.24), (1.31)) ta th§y r¬ng vîi còng mët b i to¡n cì sð cho tr÷îc, ta

÷ñc mët b i to¡n èi ng¨u nh÷ nhau theo c¡ch ti¸p cªn Lagrange hayc¡ch ti¸p cªn Fenchel Nh¼n v o c°p èi ng¨u ((1.28), (1.29)) ta s³ th§yr¬ng èi ng¨u Fenchel thäa t½nh èi xùng, ngh¾a l  theo èi ng¨u Fenchelth¼ b i to¡n (1.29) l  èi ng¨u cõa (1.28) v  ng÷ñc l¤i b i to¡n (1.28) l 

èi ng¨u cõa b i to¡n (1.29) T÷ìng tü nh÷ vªy èi ng¨u Lagrange côngthäa t½nh èi xùng

V½ dö 1.1 Gi£ sû f(x) l  h m s£n xu§t Leontief vîi c¡c h» sè s£n xu§tLeontief c1 ≥ 0, c2 ≥ 0, , cn ≥ 0:

Khi â b i to¡n èi ng¨u Fenchel (1.29) cõa b i to¡n cì sð (1.28) vîi

f (x) ÷ñc x¡c ành bði (1.32) v  X x¡c ành bði (1.33) l  nh÷ sau:

min

v≥0 max{vtbj : j = 1, 2, , m} (1.34)

1.3 èi ng¨u li¶n hñp

Trong möc 1.1 v  1.2, chóng ta ¢ tr¼nh b y èi ng¨u Lagrange v  èing¨u Fenchel C¡c sì ç èi ng¨u n y dòng c¡c c¡ch ti¸p cªn kh¡c nhau

nh÷ng chóng i ¸n còng mët b i to¡n èi ng¨u Trong möc n y ta s³tr¼nh b y sì ç èi ng¨u li¶n hñp [8] Mët m°t b i to¡n èi ng¨u chobði sì ç èi ng¨u li¶n hñp cho ph²p ta ph¥n t½ch mët c¡ch thuªn lñi

b i to¡n s£n xu§t Leontief M°t kh¡c sì ç èi ng¨u li¶n hñp câ thº mðrëng cho c¡c b i to¡n s£n xu§t Leontief phi tuy¸n khæng lçi hay cho b ito¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u [8]

Gi£ sû f(x) l  h m s£n xu§t x¡c ành tr¶n khæng gian c¡c ho¤t ëngs£n xu§t Rn

+ sao cho f(x) thäa t½nh li¶n töc, lãm, thu¦n nh§t v  khænggi£m H m li¶n hñp ˜f (v) cõa f(x) l  h m x¡c ành tr¶n khæng gian c¡cho¤t ëng èi ng¨u Rn

èi ng¨u thäa t½nh li¶n töc, lãm, thu¦n nh§t v  khæng gi£m

(ii) H m s£n xu§t f(.) l  h m li¶n hñp cõa ˜f (.) ngh¾a l 

Nh÷ ¢ th§y ð tr¶n (trang 12), f(x) l  h m cï cõa tªp lçi âng

F = {x ≥ 0 : f (x) ≥ 1} ,

v  n¸u gåi F∗ l  tªp li¶n hñp tr¶n cõa F :

F∗ = v ≥ 0 : vt

x ≥ 1 ∀x ∈ F ,

th¼ F công l  li¶n hñp tr¶n cõa F∗, tùc l 

F = x ≥ 0 : vtx ≥ 1 ∀v ∈ F∗ Cho g(v) l  h m cï cõa tªp F∗:

+ ta câ

1sup {f (x) : vtx ≤ 1, x ≥ 0} ≥ γ

M°t kh¡c, f(x) l  h m cï cõa F , m  F l  tªp li¶n hñp tr¶n cõa F∗ Do

â f(x) l  h m li¶n hñp cõa ˜f (v), ngh¾a l 

B i to¡n s£n xu§t ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n èi ng¨u li¶n hñp cõa (1.38) l 

V¼ f(x) v  ˜f (v), X v  V l  c¡c c°p li¶n hñp cho n¶n èi ng¨u li¶n hñpcông thäa t½nh èi xùng

ành lþ 1.5 [8 ] i·u ki»n c¦n v  õ º x gi£i (1.38) v  v gi£i (1.39)

Chùng minh Gi£ sû ¯x gi£i (1.38) v  ¯v gi£i (1.39) Khi â f(¯v) > 0 v theo ành lþ 1.4 ta câ

V¼ f(x) thu¦n nh§t v  f(x) ≥ 0, tø ¥y suy ra ¯vtx = 1.¯

V½ dö 1.2 Gi£ sû f(x) l  h m s£n xu§t Leontief cho bði (1.32) v  Xcho bði (1.33) Khi â

˜

f (v) = ctv ∀v ∈ R+n,

V = {v ≥ 0 : bitv ≤ 1, i = 1, 2, , m} (1.44)(Xem th¶m [6])

B i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n s£n xu§t (1.38) l  b i to¡n (1.39) vîi

˜

f (v) v  V ÷ñc x¡c ành ð tr¶n

B i to¡n s£n xu§t Leontief v  èi ng¨u

Trong ch÷ìng n y, chóng ta ùng döng lþ thuy¸t èi ng¨u li¶n hñp ºnghi¶n cùu k¾ hìn b i to¡n s£n xu§t Leontief

2.1 B i to¡n s£n xu§t Leontief

X²t s£n xu§t cõa mët h¢ng ch¿ s£n xu§t mët lo¤i s£n ph©m º s£nxu§t ra mët ìn và s£n ph©m c¦n ci nguy¶n li»u thù i (i = 1, 2, , n).Nguy¶n li»u ð ¥y câ thº hiºu l : nguy¶n li»u thæ, n«ng l÷ñng, nh¥ncæng, vèn ngh¾a l  t§t c£ nhúng thù dòng l m ¦u v o (input) Vectì

c = (c1, c2, , cn) ÷ñc gåi l  h» sè cæng ngh» Leontief Vîi bë nguy¶nli»u x = (x1, x2, , xn), ð ¥y xi l  khèi l÷ñng nguy¶n li»u lo¤i i (xi ≥

0, i = 1, 2, , n), câ thº s£n xu§t ÷ñc mët khèi l÷ñng s£n ph©m f(x)b¬ng

K½ hi»u X l  tªp c¡c bë nguy¶n li»u x ch§p nhªn ÷ñc B i to¡n °t ra

l 

ành ngh¾a 2.2 B i to¡n (2.2) ÷ñc gåi l  b i to¡n s£n xu§t Leontief

Trong nhi·u tr÷íng hñp thüc t¸, c¡c nguy¶n li»u ÷ñc cung c§p bði

m nguçn Vîi mët ìn và vèn th¼ nguçn thù j (j = 1, 2, , m) câ thºcung c§p ÷ñc bë nguy¶n li»u aj = (a1j, a2j, , anj)t Ð ¥y aij l  l÷ñngnguy¶n li»u thù i ÷ñc cung c§p bði nguçn j N¸u têng sè vèn ÷ñc xem

l  b¬ng 1 v  uj l  ph¦n vèn bä v o nguçn j th¼ nguçn j cung c§p ÷ñc

ujaj nguy¶n li»u, v  têng nguy¶n li»u cung c§p ÷ñc l  Pm

2 X l  tªp lçi a di»n âng v  bà ch°n;

3 T½nh ch§t "bä i ÷ñc" (free disposal): x ∈ X v  y thäa m¢n

ành ngh¾a 2.3 Líi gi£i ¯x cõa b i to¡n (2.2)-(2.3) ÷ñc gåi l  d÷ thøa

èi vîi nguy¶n li»u thù i (i ∈ {1, 2, , n}) n¸u nguy¶n li»u thù i l  d÷thøa trong s£n xu§t, hay nâi c¡ch kh¡c ¯xi > cif (¯x)

ành ngh¾a 2.4 Líi gi£i ¯x cõa b i to¡n (2.2)-(2.3) ÷ñc gåi l  d÷ thøan¸u tçn t¤i i ∈ {1, 2, , n} sao cho nâ l  d÷ thøa èi vîi nguy¶n li»u thù

ành ngh¾a 2.6 Vectì gi¡ p = (p1, p2, , pn) ÷ñc gåi l  ch§p nhªn

÷ñc n¸u vîi gi¡ §y têng vèn câ ÷ñc (cho l  b¬ng 1) õ º mua b§t k¼

bë nguy¶n li»u x ∈ X n o:

ptx ≤ 1 ∀x ∈ X

K½ hi»u P l  tªp c¡c vectì gi¡ ch§p nhªn ÷ñc:

Ta câ P l  tªp lçi a di»n bà ch°n

Ngo i ra, n¸u vîi X nh÷ (2.3) th¼ ta cán câ

P =

n

p ∈ Rn+ : aj tp ≤ 1, j = 1, 2, , m

o

2.2.2 B i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief

M»nh · 2.1 Vîi måi p ≥ 0 ta câ

1

ctp = supf (x) : ptx ≤ 1, x ≥ 0 (quy ÷îc 1

0 = +∞) Hìn núa, n¸u p > 0 th¼ x∗ = 1

ctpc l  cüc ¤i duynh§t cõa f(x) tr¶n mi·n {x ≥ 0 : ptx ≤ 1}

Chùng minh M»nh · hiºn nhi¶n óng n¸u p = 0 Gi£ sû p 6= 0 °t

f0 = supf (x) : ptx ≤ 1, x ≥ 0 Khi â èi vîi x ≥ 0, b§t ¯ng thùc ptx ≤ 1 k²o theo b§t ¯ng thùc

f (x) ≤ f0, hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, f(x) > f0 k²o theo ptx > 1 Chon¶n

f (p) = ctp ∀p ∈ Rn+.L¤i câ P l  li¶n hñp d÷îi cõa X Do vªy, b i to¡n èi ng¨u li¶n hñp cõa

b i to¡n s£n xu§t Leontief (2.2)-(2.3) l 

Nh÷ vªy, b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n s£n xu§t Leontief l  mët b ito¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh, v  hìn núa (2.5) luæn câ líi gi£i V¼ P câthù nguy¶n ¦y n¶n tçn t¤i p ∈ P sao cho p > 0 Do vªy gi¡ trà cüc ¤i

2.3 C¡c °c tr÷ng cho t½nh phi d÷ thøa trong b i

to¡n s£n xu§t Leontief

B i to¡n s£n xu§t Leontief thäa t½nh ch§t phi d÷ thøa câ nhi·u °c tr÷ngquan trång

2.3.1 °c tr÷ng líi gi£i duy nh§t

ành lþ 2.1 (°c tr÷ng líi gi£i duy nh§t) B i to¡n (2.2)-(2.3) luæn câlíi gi£i x∗ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

z l  líi gi£i d÷ thøa cõa (2.2)-(2.3) Khi â tçn t¤i i sao cho zi > f∗ci

Do vªy z 6= x∗ V¼ th¸ b i to¡n (2.2)-(2.3) khæng câ líi gi£i duy nh§t.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû x∗ khæng ph£i l  líi gi£i duy nh§t cõa (2.2)-(2.3) Khi

â tçn t¤i líi gi£i z cõa (2.2)-(2.3) sao cho z 6= x∗ V¼

zi ≥ f (z)ci = f∗ci = x∗ vîi = 1, 2, , n,n¶n ph£i tçn t¤i i sao cho zi > f (z)ci, ngh¾a l  z ph£i l  líi gi£i d÷ thøacõa b i to¡n (2.2)-(2.3)

2.3.2 C¡c °c tr÷ng v· gi¡ v  cæng ngh»

ành ngh¾a 2.7 Vectì gi¡ q ch§p nhªn ÷ñc (q ∈ P ) ÷ñc gåi l  gi¡

°c tr÷ng cho b i to¡n (2.2)-(2.3) n¸u

sup {f (x) : x ∈ X} = supf (x) : qtx ≤ 1, x ≥ 0 ,