Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội 2

Phạm thị toản

áp dụng thống kê fermi – dirac

của khí điện tử tự do trong kim loại

LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý

Hà Nội 2009

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội 2

Phạm thị toản

áp dụng thống kê fermi – dirac biến dạng –q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã tận tình hướng dẫn và truyền cho tôi nhiều kinh nghiệm quí báu trong học tập

và nghiên cứu khoa học Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này

Hà nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Phạm Thị Toản

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không hề trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác

Hà Nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Phạm Thị Toản

MỤC LỤC

Mục lục

Mở đầu

Nội dung

Chương 1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do

trong kim loại

1.1 Lý thuyết Drude

1.2 Lý thuyết Lorentz

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự

do trong kim loại

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà

2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac

2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi

áp dụng lý thuyết biến dạng q

3.1 Lý thuyết q - số

3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng –q

3.3 Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, người

ta thấy rằng các kết quả thực nghiệm không trùng với các tính toán lý thuyết

Có điều này là do trong tinh thể kim loại có thể có lẫn tạp chất, hoặc có sự sai hỏng mạng tinh thể do khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với các mô hình lí tưởng, do đó gây ra sự sai khác giữa các kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được

Trong Cơ học lượng tử cũng như trong Vật lý chất rắn, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên, nhiều hiện tượng Vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn, và vẫn giữ được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý lý thuyết, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lý lý thuyết như Thống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn…

Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến các hạt Boson Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để

áp dụng nghiên cứu hệ các hạt Fermion, từ đó đi xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q và áp dụng hàm thống kê này đi nghiên cứu nhiệt

dung của khí điện tử tự do trong kim loại

- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi – Dirac

- Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự do trong kim loại

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp Vật lý lý thuyết

- Phương pháp đại số biến dạng

- Phương pháp toán giải tích

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong

kim loại

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà

2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac

2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý

thuyết biến dạng -q

3.1 Lý thuyết q - số

3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng -q

3.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q 3.4 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:

Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:

- Xây dựng lý thuyết biến dạng -q của khí Fermion và thống kê

Fermi –Dirac

- Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong trường hợp có biến dạng

NỘI DUNG

Kim loại là một loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vào khoảng từ 106 đến 108 1m1 Đó là vì trong kim loại có chứa rất nhiều electron có thể chuyển động tự do khắp tinh thể kim loại Nếu mỗi nguyên tử cho một electron thì trong 1 cm3 đã có khoảng 1022 electron hoá trị, liên kết rất yếu với các lõi nguyên tử Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thể trở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi

là các electron dẫn [4], [5], [10], [11]

Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tác với nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theo một cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chất khí (còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thành một chất lỏng)

Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do này mà ta

Chương 1

LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ

ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI

Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng vào khoảng đầu thế kỉ XX Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron hoá trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do [2], [13], [10]

1.1 Lý thuyết Drude

Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:

- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng

- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau:

v  v (1.2)

Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà

nó thu thập được trước đó

1.2 Lý thuyết Lorentz

Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem như chất khí electron lý tưởng Các electron tự do tham gia vào chuyển động

nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với chúng Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng Các electron tự do này tuân theo định luật phân bố vận tốc Maxwell – Boltzmann

2 3

2

mv kT m

3

2

  (1.5)

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do Khi đó năng lượng trung bình của các điện tử

tự do trong kim loại bằng [2], [9], [8]:

Nhưng trên thực tế chỉ quan sát thấy C V 3R đối với mọi chất rắn

(định luật Duylong – Petit) Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên)

Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù hợp với thực nghiệm

Kết luận:

Trong chương 1, ta đã sử dụng lý thuyết cổ điển để nghiên cứu về nhiệt

dung của khí điện tử tự do trong kim loại, và thấy rằng lý thuyết này cho kết quả không đúng về nhiệt dung Lý thuyết này đã không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết khác để

đi nghiên cứu giá trị nhiệt dung này

Chương 2

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ

ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI

Lý thuyết cổ điển khi áp dụng để giải thích các tính chất của các hạt hoặc hệ hạt vi mô, mà điển hình là điện tử đã vấp phải rất nhiều mâu thuẫn với thực nghiệm mà không thể giải thích nổi Chính vì vậy mà các nhà Vật lý vào đầu thế kỉ XX đã phải sáng tạo ra thuyết lượng tử [1], [6], [9], [12] Năm 1927, sử dụng các khái niệm Cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell – Boltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và Lorentz

Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin… được coi là các hạt đồng nhất

Trong Cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa Thực ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có hạt thuộc hệ đồng nhất là bao nhiêu Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt dù đã đánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất đó chính là nội dung nguyên lí không thể phân biệt được các hạt đồng nhất

Theo thuyết lượng tử:

- Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,  - meson, K – meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị các hạt Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein

- Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như

electron, proton, neuton, positron… thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau) Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli Hàm sóng của hệ Fermion là phản đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà

Dao động tử điều hoà một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc theo một trục 0x nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi

Thay toán tử toạ độ ˆx và toán tử xung lượng pˆx bằng toán tử toạ độ và

xung lượng chính tắc mới q pˆ ˆ, [1], [6], [7], [12]

   (2.11)

* Kết luận 1: n 0 nghĩa là các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

* Kết luận 2: Nếu n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n,

thì a nˆ cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n – 1)

a nˆ2 cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n – 2), …aˆp n cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n – p)…

Và a nˆ là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n + 1),

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n + p)…

Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:

Vậy a nˆ2 là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n – 2)

Chứng minh tương tự ta được a nˆp là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n – p)…

Đối với vectơ trạng thái a nˆ , ta cũng tác dụng lên vectơ trạng thái

này toán tử Nˆ và sử dụng công thức (2.9) ta có:

…Tương tự ta cũng chứng minh được aˆP n

là hàm riêng của toán tử Nˆ

ứng với trị riêng (n + p)…

* Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin = 0

Vì n 0  nmin = 0

Trạng thái ứng với giá trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n 0

Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình: aˆ 0 0

Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không âm (n – 1), (n – 2), (n – 3)… cũng là trị riêng của toán tử Nˆ Chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để a nˆ min 0

Nếu a nˆ min 0 thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng

n  n , điều này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất

Vậy a nˆ min 0hay aˆ 0 0

Trong trạng thái chân không này ta cũng có:

aˆ 0 tỉ lệ với vectơ riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n = 1

E  

1 là vectơ riêng của toán tử Hˆ ứng với trị riêng 1

112

Trạng thái 0 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0

Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1 = E0 + , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0

Trạng thái 2 ứng với mức năng lượng là E2 = E1 +  , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , hay

thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 …

Nếu lấy gốc năng lượng là E0 =

2





thì E n  n 

Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào

1 là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng

… n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng

Toán tử Nˆ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi Nˆ là toán tử số “hạt”

Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó ˆ

a được đoán nhận là toán tử “huỷ” lượng tử năng lượng, hay aˆ gọi là toán tử huỷ “hạt”

Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó ˆ

a được đoán nhận là toán tử “sinh” lượng tử năng lượng, hay aˆ gọi là toán

tử sinh “hạt”

Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng 

Cuối cùng, ta đi tính các hệ số n N n ˆ trong các hệ thức:

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái (0) ta được :

Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

k k

n n

k l

Tương tự, cho toán tử bˆk tác dụng lên hàm sóng ( ,n n1 2, )n s và dựa

vào định nghĩa sau:

Với   n k thoả mãn điều kiện  n k 00

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:

1 2

ˆ( 1) ( , , (1 ), )( 1) ( 1) 1 (1 ) ( , , 1 (1 ) , )( , , , )

Sử dụng các công thức (2.31), (2.32) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử

2.2.2 Thống kê Fermi – Dirac

Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử như sau [15]

Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử Fˆ trên tập hợp chính tắc lớn:

e N

Đây chính là hàm phân bố Fermi – Dirac Ý nghĩa của phân bố này là

nó biểu diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này: [1], [2], [7], [8]

trường hợp tất cả các điện tử cùng nằm trên một mức năng lượng Ở nhiệt độ

00K, các điện tử phân bố rất đặc biệt, mỗi trạng thái ứng với mức năng lượng

F

  đều chứa một electron, còn các trạng thái  F đều bỏ trống Nếu kể

đến spin thì ứng với mỗi mức năng lượng sẽ có hai trạng thái lượng tử riêng

Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ

sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất  = 0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi

 , nhưng vì đối với kim loại  phụ thuộc rất

yếu vào nhiệt độ,  F cho đến tận nhiệt độ phòng, nên thực tế trong phân

bố Fermi – Dirac người ta thường dùng luôn F thay cho  và viết:

1( )

- Khi  F  f( ) 1   các mức năng lượng thấp hơn nhiều so

với mức Fermi đều bị lấp đầy hoàn toàn

- Khi F f( ) exp ( F ) Aexp( )

+  F 2kT  f( ) 0,88

Có thể nói rằng, trong một vùng chuyển tiếp có độ rộng chỉ cỡ 2kT

xác suất các mức năng lượng quanh F có bị chiếm giữ hay không đã thay

đổi rất mạnh

Hình 1 Hàm phân bố Fermi – Dirac tại các nhiệt độ khác nhau

Đáng chú ý là phân bố của các điện tử tại các nhiệt độ thường gặp trên thực tế không sai khác bao nhiêu so với phân bố của chúng tại 0K, lý do là vì

đối với kim loại thì tại các nhiệt độ thông thường bao giờ ta cũng có:

kT << F Thật vậy, ta thường có F = 1,5 eV  15 eV đối với các kim loại, còn kT 0,03 eV tại các nhiệt độ thông thường, do đó kT F chỉ khi

kT= 26MeV T=300K

80K

Nhiệt dung của khí điện tử tự do lượng tử tuân theo định luật: [2]

- Khi tăng nhiệt độ, không phải tất cả các điện tử đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức cao hơn, vì các mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các điện tử nằm ở các mức năng lượng gần F mới có khả năng này

- Giả sử chỉ có các điện tử nằm trên các mức năng lượng trong vùng

kT quanh mức Fermi F mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình Khi đó, số điện tử này được tính bằng kT.g(F)

- Mỗi một điện tử như vậy khi chuyển mức sẽ thu thập thêm năng lượng cỡ kT Do đó ta có:

C theo lý thuyết cổ điển, vì lý thuyết cổ điển cho kết quả C V el= const, không

phụ thuộc vào nhiệt độ Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là:

el V

2.3.2 Cách tính đầy đủ và chính xác hơn

Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một chất khí Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu

bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi [1], [2], [7], [9], [10]

Electron có khối lượng rất nhỏ (m e 1031 kg), spin của electron bằng 1

2

s  (tính theo đơn vị hằng số Planck ) Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn (thông thường cỡ 1022 - 1024 /cm3 ) Khí electron tự do trong kim loại tuân theo phân bố Fermi – Dirac Do đó số electron trung bình trong một trạng thái lượng tử bằng:

( )

1( ) ( )

Thế hoá học  phụ thuộc vào nhiệt độ T Khi T0 thì 0 F

Vì các electron lần lượt chiếm các mức năng lượng từ 0 đến 0 nên 0 phải phụ thuộc vào số electron

Tổng số điện tử tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:

g( ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng 

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái 1

2

s   nên g() = 2s+1 =2

n( ) là số hạt trung bình có năng lượng

Và:

3 / 2 0

23

có khí điện tử không suy biến

Lưu ý đến điều kiện áp dụng thống kê cổ điển là:

2 2

3

N T

Điều này nghĩa là ở nhiệt độ phòng thí nghiệm (T = 300K << T0), khí điện tử

tự do tuân theo phân bố Fermi – Dirac