Tài liệu ôn thi kỳ thi THPT quốc gia môn toán

Tài liệu ôn thi kỳ thi THPT quốc gia môn toán 2017, đây là tài liệu ôn tập kiến thức môn toán để chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ bài tập cụ thể và các bài tập tự luyện. Nội dung được phân chia ra thành 12 chủ đề: Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số Chủ đề 2: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân Chủ đề 3: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Chủ đề 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít Chủ đề 5: Số phức Chủ đề 6: Tổ hợp, xác suất Chủ đề 7: Hình học không gian Chủ đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Chủ đề 11: Toán tổng hợp Chủ đề 12: Một số đề tham khảo Mỗi chủ đề gồm các phần A. Tóm tắt lý thuyết B. Phương pháp giải toán – Các ví dụ C. Bài tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÀI LIỆU ÔN THI

KÌ THI THPT QUỐC GIA

Năm học 2016 – 2017 MÔN TOÁN

HUỲNH BÁ TRUNG, VÕ THÀNH NHUNG, VÕ MINH HOÀNG, NGUYỄN VĂN RINH, TRẦN NHỰT HOÀNG PHONG, ĐÀO TRỌNG HỮU, ĐINH CÔNG PHƯỚC, DƯƠNG HOÀNG SƠN, NGUYỄN HỒNG LẬP, NGUYỄN THỊ THU VÂN, PHẠM VĂN NHỜ, NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG, NGUYỄN THÀNH NAM, NGUYỄN VĂN CHƯỞNG, BÙI NGỌC HẠO

TÀI LIỆU ÔN THI

KÌ THI THPT QUỐC GIA

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN TOÁN

Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc Gia Chúng tôi biên soạn cuốn: “TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN” Cuốn sách gồm 12 chủ đề:

Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số Chủ đề 2: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân Chủ đề 3: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Chủ đề 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít Chủ đề 5: Số phức

Chủ đề 6: Tổ hợp, xác suất Chủ đề 7: Hình học không gian Chủ đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Chủ đề 11: Toán tổng hợp

Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 

1 Định nghĩa 1: Cho Mmp Oxy( ). Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo 

 ,

 ,

P

x y

x

y

1

e 2

a

x y

B K H

III Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

  Định lý 1:     Nếu A x y( A; A) và B(x ;B y B)  thì  

       AB(x Bx y A; By A)

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

    Định lý 3 :      Cho hai véc tơ a và với b b  0  

      a cïøná pâư ơná b   !å sắ câé ak b.

        Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: 

            k > 0 khi a cùng hướng b 

            k < 0 khi a ngược hướng b 

       a

k b

   Định lý 5:  Cho hai véc tơ a( ;a a1 2) vàb( ;b b1 2)

 ta cĩ :  

      a cïøná pâư ơná b  a 1b2a b2 10

         (Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ) 

A B

)

;(x B y B B

V Tích vơ hướng của hai véc tơ:

      ab  a1 1b a b2 20

       (Điều kiện vuơng gĩc của 2 véc tơ) 

     Định lý 10: Cho hai véc tơ a( ;a a1 2) vàb( ;b b1 2)

 ta cĩ         

.cés( , )

k

y k y y

Đặc biệt :     M là trung điểm của AB      2

2

A B M

A B M

x x x

y y y

1

C B A G

C B A

y y y y

x x x GC

GB

G

x GA

ABCáiáctamtâm

'

là câân đư ờná cắ åẻ tư ø A

cïøná pâư ơná

AA BC A

H A

B

A

C D

J

B

A

C D

)(

n

a

II Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( ) qua M0(x0;y0) và nhận a( ;a a1 2)

 làm              VTCP sẽ có : 

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có VTPT n( ; )A B

        Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó

nghiệm đúng phương trình của đường thẳng

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (x y M

a

x y

O

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (x y M

n

x y

O

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (A B

n 

x y

O

)

; ( B A

a  

)

; (B A

a  

3 Các dạng khác của phương trình đường thẳng : hoctoancapba.com

a Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) :

c Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và cĩ hệ số gĩc k:

Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng   Gọi (Ox, )  thì  ktg được gọi là hệ số gĩc   

Chú ý 2: Nếu đường thẳng    cĩ phương trình yax b   thì hệ số gĩc của đường thẳng là  k  a

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của hai đường thẳng    ta cĩ : 1, 2

 1//2           k1k2  

   1    2       k 1k2    1

c Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuơng gĩc với một đt cho trước:      

      i.  Pâư ơná trinâ đư ờná tâẳná (1) //( ): Ax+By+C=0 céù dạná: Ax+By+m =0   1

     ii.  Pâư ơná trinâ đư ờná tâẳná (1)  ( ): Ax+By+C=0 céù dạná: Bx-Ay+m =0  2

)

; (x B y B

B

A

x x B A

A

y y B

x y

)

; (x y M x y

0

y

i ii iii

AA ( ) // ( )

AA ( ) ( )

A

B i

1

M

0 :   1

IV Góc giữa hai đường thẳng

O

) (

0

M

H

VI Các vấn đề có liên quan: 

      1 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

  Định lý:

O

)

; (a b I R a

b

)

; (x y M

(C) I(a;b)

)(

)

;( 0 0

I R H

2 Vị trí tương đối của hai đường tròn :

D RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

I CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng   :x2y   và hai điểm 3 0 A  1;1 ,B 1; 2  1) Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua  A  và song song với đường thẳng 1     

2) Viết phương trình đường thẳng  d2  đi qua  B  và vuông góc với đường thẳng     

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác  ABC  Điểm  M2; 0 là trung điểm của  AB  Đường  trung tuyến và đường cao kẻ từ  A  lần lượt có phương trình  7 x2y   và  63 0 x    Viết phương trình y 4 0

đường thẳng  AC  

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông  ABCD  có   B C 900. Phương trình các 

đường thẳng  AC  và  DC  lần lượt là  x2y  và 0 x    Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang y 3 0

Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A5; 4  và đường thẳng    : 3x    y 4 0

Tìm tọa độ điểm A  đối xứng với điểm  A  qua đường thẳng '    

Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2; 0 ,  B 1;1  và đường thẳng   :x3y    3 0

1) Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua  A  và tạo với 1    một góc 45  0

2) Viết phương trình đường thẳng  d2  đi qua  A  và cách  B  một khoảng bằng 2 2. 

II CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1 Cho hình vuông ABCD  Gọi  M  là trung điểm của  BC ,  N  là điểm trên cạnh  AC  sao cho  1

4

AN AC. Chứng minh rằng tam giác DMN  vuông tại  N  

Cách 1: Chứng minh ADN ∽ AHM,từ đó sẽ suy ra được đpcm. 

Cách 2: Tính độ dài ba cạnh của tam giác  AMN  theo  a  (cạnh hình vuông)

Áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMN  sẽ được đpcm. 

Bài 4 Cho tam giác  ABC  cân tại  A  Gọi  D  là điểm trên cạnh   AB  sao cho  AB3AD  và  H  là hình chiếu 

vuông góc của B  trên  CD ,  M  là trung điểm của  HC  Chứng minh rằng  AMBM. 

Gợi ý chứng minh

Gọi  N I  là giao điểm của đường thẳng qua  B  vuông góc với  BC  với các đường thẳng , CD CA   ,

Chứng minh tứ giác NAME  là hình bình hành và  E  là trực tâm tam giác  NBM  sẽ suy ra được đpcm. 

Bài 6. Cho tam giác ABC  cân tại  A ,  D  là trung điểm đoạn  AB   , I E  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 

giác ABC ,  trọng tâm tam giác  ADC  và  G  là giao điểm của  AI  và  CD  . Chứng minh rằng  DGIE. 

Lấy điểm phụ E  là trung điểm của  DH  sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán. 

Bài 9. Cho hình thang vuông  ABCD  AB900 và BC2AD ,  H  là hình chiếu vuông góc của điểm  B  trên 

cạnh  CD ,  M  là trung điểm của đoạn thẳng  BC  Chứng minh rằng  AHMH. 

Gợi ý chứng minh

Tứ giác BDHM  và tứ giác  AHMD  nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán

Bài 10: Cho tam giác ABC  nội tiếp đường tròn O R , phân giác trong của góc  A  cắt ,  BC tại D , tiếp tuyến tạI 

A  với đường tròn cắt  BC  tại  E  Chứng minh tam giác  ADE  cân tại  E  

Bài 11: Cho hình vuông ABCD  có điểm  M  là trung điểm của đoạn  AB  và  N  là điểm thuộc đoạn  AC  sao cho 

3

AN NC . Tính độ dài đoạn  IN biết rằng  MN  10. 

Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC  nội tiếp đường tròn O R , H là trực tâm tam giác,  AH  cắt ,  BC  tại  K  và cắt 

đường tròn tại  D  Chứng minh  K  là trung điểm của  HD   

Bài 13: Cho tam giác nhọn  ABC  nội tiếp đường tròn O R , ,  M N  là chân các đường cao kẻ từ đỉnh  B  và  C  ,Gọi I J  lần lượt là giao điểm của , BM CN  với đường tròn. Chứng minh , AOIJ. 

Bài 14: Cho hình vuông ABCD  M là một điểm tùy ý trên đường thẳng  BD  MB M, D, H K  lần lượt là ,hình chiếu vuông góc của M  trên các đường thẳng  AB AD  Chứng minh rằng  CM, HK. 

Bài 15: Cho tam giác  ABC  nội tiếp  đường tròn  O R ,  K  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác,  AK  cắt đường , tròn O R  tại ,  D  Chứng minh rằng  DBDCDK  

III CÁC BÀI TOÁN THI CĐ - TSĐH NĂM 2014

Bài 1 (CĐ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm  ( 2;5) A   và đường thẳng  ( ) : 3d x4y   Viết phương trình 1 0

đường thẳng đi qua  A  và vuông góc với  ( ) d  Tìm tọa độ điểm  M  thuộc  ( ) d sao cho  AM          5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành  ABCD  Điểm  M ( 3; 0) là trung điểm của cạnh  AB , 

điểm H(0; 1)  l hình chiếu vuông góc của  B  trên  AD  và điểm  4;3

3

G 

  là trọng tâm tam giác  BCD  Tìm tọa độ các điểm B  và  D  

Đáp án

Bài 4 (ĐH-K.A)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông  ABCD  có điểm  M  là trung điểm của đoạn  AB  và  N  là 

điểm thuộc đoạn  AC  sao cho  AN3NC . Viết phương trình đường thẳng  CD , biết rằng  M(1; 2) và N(2; 1)  

Đáp án

VI CÁC DẠNG TOÁN THI

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán tổng quát: Tìm điểm M   :axby   thỏa điều kiện cho trước. c 0

Bài giải

t5

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật  ABCD  có điểm  C  thuộc đường thẳng 

  Do  M  đối xứng với  B  qua  C  nên  CM CB . Mà  CBAD và CM ||AD  nên tứ giác  ACMD  là hình bình 

    hành. Suy ra  AC DM  Theo giả thiết,  BN|| DM , suy ra  BN AC  và  CBCN  Vậy  B  là điểm đối xứng      của  N  qua  AC  

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD  có hai đường chéo vuông góc với nhau 

và AD3BC  Đường thẳng  BD  có phương trình  x2y    và tam giác  ABD  có trực tâm là 6 0 H  3; 2. 

Bài giải

  Ta có  HAH  và  AHHD  nên  AH  có phương trình:  x2y   Do đó 3 0 A32 ;a a  

  Do  M  là trung điểm của  AB  nên  MA MH   

. Ta có  MAB  và  ABIM  nên đường thẳng  AB  có phương trình  7 x y 33   0

  AABA a a ; 7 33. Do  M  là trung điểm của  AB  nên  B  a 9; 7a30 

    Tam giác  MNP  có trực tâm trùng với tâm của  C , các đỉnh  N  và  P  thuộc   , đỉnh  M  và trung 

điểm cạnh  MN  thuộc  C  Tìm tọa độ điểm  P

b b

     + Khi N 5;3 , từ  MPIN suy ra c    Do đó 1 P  1;3   

     + Khi N  3;3, từ  MPIN suy ra c   Do đó 3 P 3;3     

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho  hình vuông ABCD  Gọi  M  là trung điểm của cạnh  BC ,  N  

là điểm trên cạnh  CD  sao cho  CN2ND. Giả sử  11 1;

    Do đó AHP HMQ , suy ra  AH HM 

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho  hình chữ nhật  ABCD  Các đường thẳng  AC  và  AD  lần 

lượt có phương trình là x3y  và 0 x    ; đường thẳng  BD  đi qua điểm  y 4 0 1;1

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho  đường thẳng :x    và đường tròn y 2 0

 C :x2y24x2y   Gọi  I  là tâm của 0  C ,  M  là điểm thuộc    Qua  M  kẻ các tiếp tuyến  MA  và  MB  

đến  C  ( A  và  B  là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm  M , biết tứ giác  MAIB  có diện tích bằng 10  

Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy  cho tam giác  ABC có đỉnh  (3; 3),, A  tâm đường tròn ngoại tiếp  (2; 1),I  

phương trình đường phân giác trong góc  BAC  là  xy0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng  8 5

Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường  

chéoAC x: y 1 0, điểm  (1; 4)G  là trọng tâm của tam giác ABC, điểm  (0; 3) E   thuộc đường cao kẻ từ D của  tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho biết rằng diện tích của tứ giác AGCD bằng 32 và 

         

1; 41

Ví dụ 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC,  AD2BC, đỉnh  (4; 0),B  

phương trình đường chéo AC là  2 xy 3 0, trung điểm E của AD thuộc đường thẳng :x2y100. Tìm tọa 

độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng  cotADC 2

Bài giải

   Gọi I ACBE. Vì IACI t ; 2t3   Ta thấy I là trung điểm của BE nên  E2t4; 4t6    

     Theo giả thiết  E    t 3 I3; 3 , E2; 6   

   Vì AD/ /BC  , AD2BC  nên BCDE là hình bình hành. Suy ra  ADCIBC. 

c IBC

Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho tam giác  ABC có trọng tâm , ;1 ,

Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho tam giác , ABC. Đường cao kẻ từ  ,A trung tuyến kẻ từ  , B  trung  

tuyến  kẻ từ  C  lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình  x  y6 0, x  y2 10, x1 0. Tìm tọa độ 

012

x

y x

)6(

31)12(

c b a

b a c

b a

b a

)1(2)54(2

1),cos(

a a

u

1316

20

324213

13

16

; 13 14

2

A

A a

a a

   Vậy A(2;2). Suy ra AC:x3y40, AB:3xy80. Từ đó ta có B(3;1),C(5;3).  

Ví dụ 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác  ABC  cân tại  A  nội tiếp đường tròn 

(C): x2 y2 2x4y10. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C biết điểm M(0;1) là trung điểm cạnh  AB và điểm  A   

072

M y

x

y x

86

2

a

a a

a IB

   Từ đó suy ra B(4;3),C(2;7) hoặc B(2;7),C(4;3).  

Ví dụ 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho tam giác ABC có trọng tâm , G(1;1); đường cao từ đỉnh A có phương 

trình 2x  y10 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng :x2y10. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện 

tích tam giác ABC bằng 6

1(

I AH

),(

2





BC A d

34

)1(5

1

1 2

1

x

x x

Ví dụ 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó diện tích bằng 22, đường thẳng AB 

có phương trình 3x4y 1 0, đường thẳng BD có phương trình 2xy 3 0. Tìm toạ độ các đỉnh A B C D, , ,

 làm véc tơ pháp tuyến      BC : 3 x24y20BC: 3x4y20.  

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

0 x y M

)

; (x y M

n

x y

O

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 6; 2  và đường tròn (C) có phương trình   x 1 2y 2 2  5  Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho  AB 10. 

(C  Đường thẳng    đi qua  M( 1; 3) cắt (C  tại hai điểm A và B. Viết phương trình đường thẳng    biết tam  )

giác  IAB có  diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất. 

Bài giải

  Đường tròn (C) có tâm  I( 2; 1), bán kính R2 5. Gọi H  là trung điểm AB. Đặt  AH x(0 x2 5).      Khi đó ta có 

ktm(2

48

208

.2

IA AB x

x x

x AB

b a IH

AB I

d

3

40

0)43(2

|2

|2)

         + m6 pt CD : 2x    y 6 0

         + m1 pt CD : 2x    y 1 0

   Có hai đường thẳng thỏa mãn :  2xy 6 0; 2xy    1 0  

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy  cho hai điểm  (1; 2),, A B(4; 1) và đường thẳng : 3x4y 5 0. Viết 

a a

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :5x2y190 và đường tròn 

.024

411

11

2 2

2

AM AM

5:01925

12

10158

+ Khi a      3   2 2    2  2

C x y  x y   C x  y   (t/ mãn).    

1 ; 32; 4

A A

  và đường thẳng  BN  có phương trình  2 x9y34  Tìm tọa độ các 0

điểm A B  biết rằng điểm  B  có hoành độ âm ,

Kết quả:

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi  ABCD  có  AC2BD  Biết đường thẳng  AC  có 

phương trình  2x   , đỉnh y 1 0 A3;5 và điểm  B  thuộc đường thẳng  ( ) : d xy   Tìm tọa độ các đỉnh 1 0, ,

B C D  của hình thoi  ABCD

Kết quả:

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật  ABCD  có diện tích bằng 30 và hai điểm 

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác  ABC  vuông tại  A  Gọi  M  là điểm trên cạnh  AC  sao 

cho AB3AM. Đường tròn tâm  (1; 1)I   đường kính  BC  cắt  BM  tại  D , đường thẳng  BC  đi qua  4; 0

3

N 

 , phương trình đường thẳng CD x: 3y 6 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác  ABC , biết điểm  C  có hoành độ