Phương pháp phân rã dantzig wolfe giải bài toán quy hoạch kích thước lớn

Khóa luận tốt nghiệp hệ đại học chính quy về Phương pháp phân rã dantzig wolfe giải bài toán quy hoạch kích thước lớn Kèm file nguồn Tex cho các bạn dễ dàng tham khảo cách gõ cũng như cách trình bày luận văn bắng Latex

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Trịnh Văn Hải

PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DANTZIG-WOLFE

GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH KÍCH THƯỚC LỚN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: Toán - Tin ứng dụng

Người hướng dẫn: ThS Trần Đình Quốc

Hà Nội - 2008

LỜI CẢM ƠN

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong KhoaToán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô ở bộ mônGiải tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua Đặcbiệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn NhưThắng, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp và tất cả mọi người

đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ củamình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nênbản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhậnđược ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2016

Học viên

Hà Thị Ngoan

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến đã đượcnghiên cứu sâu rộng Sau bài báo [3] của Brezis-Nirenberg, phương trình nửatuyến tính với số mũ Sobolev thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, xem[1,5,10,15] Trường hợp số mũ tới hạn kép được nghiên cứu lần đầu vào nhữngnăm 90 và gần đây vẫn tiếp tục được mở rộng khi xét hàm trọng đổi dấu haykhi xét toán tử suy biến [9,16,17]

Trong luận văn chúng tôi xét lớp các bài toán nửa tuyến tính với số hạng phituyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev, xuất hiện cả trên biên và ở vếphải:

toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến" dựa trên bài báo [17]năm 2013 của Zhang và Liu.

Với đề tài này, chúng tôi sử dụng đa tạp Nehari và phương pháp thớ để chứngminh các kết quả nghiệm bội cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với điềukiện biên phi tuyến Chúng tôi hạn chế p, q thỏa mãn một trong các trường hợpsau:

(a) p = 2∗, q ∈ (1, 2) (b) p ∈ (2, 2∗), q = 2∗b (c) p = 2∗, q = 2∗b

Khi đó, luận văn trình bày chi tiết kết quả sau:

Định lí (Zhang& Liu) Tồn tại một số dương λ∗ sao cho với mọi λ ∈ (0, λ∗), bàitoán (1) có ít nhất hai nghiệm dương

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu, tổng hợp và trình bày kết quả về

sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán biên nửa tuyến tính với số hạng phituyến xuất hiện cả trên biên và trong vế phải, với số mũ Sobolev tới hạn.Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về lí thuyết đa tạp Nehari và kĩthuật ánh xạ phân thớ, và sau đó, chứng minh sự tồn tại ít nhất hai nghiệmdương của bài toán khi tham số λ đủ nhỏ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một lớp bài toán elliptic nửa tuyến tính với số hạngphi tuyến xuất hiện ở cả vế phải và trên biên, thỏa mãn điều kiện dưới tới hạnhoặc tới hạn

Phạm vi nghiên cứu là sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán (1) và bài toán

rẽ nhánh từ giá trị riêng đầu tiên của bài toán giá trị riêng tương ứng khi q = 2.

4 Định hướng và phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình elliptic, giải tích hàm phituyến và việc tham khảo tài liệu cũng như các bài báo liên quan Để giải bàitoán (1), chúng tôi sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các điểm tới hạncủa phiếm hàm:

đa tạp Nehari Để vượt qua khó khăn trong trường hợp số mũ tới hạn kép (cả p

và q đều trùng với số mũ tới hạn), chúng tôi sử dụng phương pháp compact tậptrung đề xuất bởi Lions trong [10] và vận dụng ý tưởng trong [9]

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến gồm 2chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệubài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến, đưa ra một vàikhái niệm và sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari, các kết quả về tính lồi-lõmtrong trường hợp dưới tới hạn

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyếntính với điều kiện biên phi tuyến Trong chương 2, chúng tôi trình bày sựtồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi

tuyến trong các trường hợp số mũ tới hạn và trong bài toán rẽ nhánh.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận văn này ta xét bài toán elliptic nửa tuyến tính:

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1)(có thể là nghiệm bội) được khảo sátrộng rãi; xem ví dụ [7, 12] Ở đó, các tác giả đã nghiên cứu bài toán:

Trong [7, 12], tác giả thảo luận các trường hợp khác nhau với pvà q từ dướitới hạn đến tới hạn Hơn nữa, bài toán nửa tuyến tính và tựa tuyến tính vớiđiều kiện biên phi tuyến được nghiên cứu trong một vài năm gần đây

Để giải quyết bài toán (1.1), ta sử dụng phương pháp biến phân thông quahàm

trong đó ds là độ đo trên biên Dễ thấy J được xác định và C1 trong H1(Ω) nếu

p và q được thỏa mãn điều kiện (1.2) Nghiệm yếu của bài toán (1.1) tương ứngvới điểm tới hạn của hàm J trên H1(Ω), ở đó H1(Ω) là không gian Sobolev tiêuchuẩn trên Ω được trang bị bởi chuẩn:

xem [1, 5, 16] Trong trang này các kết quả bội có thể đạt được qua xấp xỉ củaDrabek-Pohozaev [6, 13] và phương pháp đa tạp Nehari của Nehari [11].

Định lí 1.1 Nếuλ thỏa mãn 0<λ<λ0, khi đó bài toán (1.1) có ít nhất 2 nghiệmdương u1 và u2, trong đó λ0 giống trong Bổ đề 1.8 bên dưới

Sau bài báo [5] của Brezis và Nirenberg, nhiều nghiên cứu dành cho bài toánvới độ tăng trưởng tới hạn Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại sự tồntại nghiệm khi ta có số mũ tới hạn p = 2∗ hoặc q = 2∗b hoặc số mũ tới hạn kép

Ta sẽ áp dụng phương pháp compact tập trung được giới thiệu trong [10] vàmột vài khái niệm từ [9] Khi đó bài toán (1.1) có nghiệm bội không tầm thườngtrong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp a) p = 2∗ và 1 < q < 2;

Trường hợp b) q = 2∗b và 2 < p < 2∗b;

Trường hợp c) p = 2∗ và q = 2∗b.

Cụ thể, ta đi chứng minh các định lí sau

Định lí 1.2 Với trường hợp a, tồn tại λ1> 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất

2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ 1 )

Định lí 1.3 Với trường hợp b, tồn tại λ2 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất

2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ2)

Định lí 1.4 Với trường hợp c, tồn tại λ3 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất

2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3)

Trường hợp còn lại q = 2, ta có bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứ nhất.Bài toán giá trị riêng được hiểu như bài toán Steklov

Định lí 1.5 Nêú λ thỏa mãn 0 < λ < λ1S và q = 2, 1 < p < 2 thì bài toán (1.1)

có ít nhất một nghiệm uλ sao cho uλ > 0 trong Ω và lim

λ→λ−1S

kuλk → ∞ ở đó, λ1S

là giá trị riêng thứ nhất của bài toán Steklov

Ý tưởng trong luận văn này, ta kí hiệu X là không gian Banach với chuẩn

k·kX, X∗ là không gian đối ngẫu của X Lp(Ω), Lp(∂Ω) là không gian Lebesguevới chuẩn thường |·|p,Ω, |·|p,∂Ω H1(Ω) là không gian Sobolev với chuẩn k·k, h·, ·i

là cặp đối ngẫu của không gian X∗ và X Ta kí hiệu * ( tương ứng →) là hội

tụ yếu (tương ứng với hội tụ mạnh)

Điều đó được hiểu là nghiệm của (1.1) tương ứng với điểm tới hạn của hàm

J xem (1.3) Khi J bị chặn dưới trong không gian Banach H1(Ω), J có cực tiểu

trên H1(Ω), là một điểm tới hạn của J Trong nhiều trường hợp, hàm như (1.3)không bị chặn dưới trênH1(Ω) nhưng bị chặn dưới trên tập con củaH1(Ω), đượcgọi là đa tạp Nehari Ta kí hiệu N là đa tạp Nehari

N =u ∈ H1(Ω)\ {0} : hJ0(u), ui = 0 ,

trong đó,h, i là đối ngẫu thường giữaH1(Ω)∗ và H1(Ω) Rõ ràng tất cả các điểmtới hạn của J phải nằm trênN và N là tập rất bé so vớiH1(Ω) Bởi vậy dễ dàngnghiên cứu hàm J trên N

Dễ thấy u ∈ N khi và chỉ khi

ra sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm J trên tập N Mặc dù N là tập nhỏ của

H1(Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương trên đa tạp Nehari N luôn là điểmtới hạn của J Bổ đề sau sẽ chỉ ra điều đó

Bổ đề 1.6 Giả sử u0 là điểm cực tiểu địa phương của J trên N và u0 ∈ N0.Khi đó, u 0 là một điểm tới hạn của hàm J

Chứng minh ta có thể xem Binding [2] và Brown-zhang [15]

Bây giờ ta sẽ giới thiệu điều kiện (P S)c

Định nghĩa 1.7 Lấy f ∈ C(X,R) và c ∈R Hàm f thỏa mãn điều kiện (P S)c

nếu với mỗi dãy {un} ⊆ X thỏa mãn

f (un) → c và f0(un) → 0trong X∗ khi n → ∞.

có một dãy con hội tụ

tới hạn

Trong mục này, ta xét bài toán (1.1) với 1 < q < 2 < p < 2∗ = N −22N bằng cách

sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari

Hơn nữa, điều kiện p − q > 2 − q > 0 có nghĩa là hàm ψ(t) lúc đầu tăng và sau

đó giảm với điểm chuyển hướng đơn t 0 =

.

Hơn nữa, (1.4) và (1.6) suy ra φ0u(t) < 0 Do đó, ta có tu ∈ N ∀t > 0 Mặt khác,nếu λ thỏa mãn

Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại 0 < λ < λ0 sao cho N 0 6= ∅ với λ0 =

.p−2cq b

Bổ đề 1.9 J là cưỡng và bị chặn dưới trên N

Chứng minh Theo Định lý phép nhúng Sobolev và 1 < q < 2 < p, ta có

J (u) =



1

2 − 1p

2) u 1 là một nghiệm dương của bài toán (1.1).

Chứng minh VìJbị chặn dưới trênN +nên tồn tại dãy cực tiểu hóa{un} ⊆ N +

sao cho:

lim

n→∞ J (un) = inf

u∈N + J (u).

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un} bị chặn trong H1(Ω) Không mất tính tổng quát,

ta có thể giả sử tồn tại u1 ∈ H 1 (Ω) sao cho:

un * u1 trong H1(Ω), vì các phép nhúng compact nên un → u1 trong Lr(Ω) và

Ls(∂Ω), với 16r < 2∗ = N −22N và 16 s < 2∗b = 2(N −1)N −2 (N >3) Suy ra:

φ0un(t1) > 0 với n đủ lớn Từ un = 1.un ∈ N +, từ hình 1.1 dễ thấy φ0un(t) < 0 với

t ∈ (0, 1) và φ0un(1) = 0 ∀n Khi đó, ta có t1> 1 Mặt khác, φu1(t) giảm trên (0, t1)

u∈N + J (u) khi n → ∞.

Do đó,u1 là một điểm cực tiểu của J trên N+ Từ J (u1) = J (|u1|) và |u1| ∈ N+,

sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u 1 là nghiệm dương của bài toán (1.1)

Tiếp theo, ta đi chứng minh sự tồn tại của điểm cực tiểu địa phương của J

trên N−

Mệnh đề 1.11 Với 0 < λ < λ0 hàm J có một điểm cực tiểu u2 và thỏa mãn

1) J (u 2 ) = inf

u∈N − J (u);

2) u 2 là một nghiệm dương của bài toán (1.1)

Chứng minh Tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, ta có J bị chặn dướitrên N− nên tồn tại dãy cực tiểu hóa {un} ⊆ N− sao cho

khin → ∞ Từ tính giải tích của ánh xạ thớφu và hình 2.1, ta hiểu rằng tồn tại

t 1 , t 2 với t 1 < t 0 < t 2 sao cho t 1 u ∈ N+, t 2 u ∈ N− và J (t 1 u) = J (tu)6J (t 2 u).Bây giờ ta chứng minh un → u2 trong H1(Ω) Giả sử ngược lại thì ku2k <

lim inf

n→∞ kunk Khi đó, với un ∈ N−, ta có J (un)> J (tun) ∀t >t0 và

J (t2u2) = t

2 2

2 ku2k2− t

p 2

Do đó,u2 là một điểm cực tiểu của J trên N− Từ J (u2) = J (|u2|) và |u2| ∈ N−,

sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u2 là nghiệm dương của bài toán (1.1) Định lý đượcchứng minh

Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.1

Chứng minh Định lý 1.1 Từ Mệnh đề 1.10, 1.11 và Bổ đề 1.6, ta cóbài toán (1.1) có hai nghiệm dương u 1 ∈ N+ và u 2 ∈ N− trong H1(Ω) Do

N + ∩ N−= ∅ nên hai nghiệm này phân biệt Định lý được chứng minh

Chú ý 1.12 Phương pháp chứng minh trong luận văn có thể áp dụng với điềukiện 1 < p < 2 < q < 2∗b = 2(N −1)N −2 , p là số hạng lõm và q là số hạng lồi Chứngminh hệ quả sự tồn tại giống như chứng minh bài toán (1.1)

Hoặc có thể xét bài toán elliptic nửa tuyến tính với hàm thế đổi dấu

Kết luận chương 1: Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toánelliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến; đưa ra một vài khái niệm,

sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari; các kết quả về tính lồi-lõm trong trườnghợp tới hạn Kết quả chính trong chương 1 là Định lý 1.1

Kết quả trong chương 1 được tham khảo từ tài liệu [10]

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm dương của bài

toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến

Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiên cứu đãđược dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu cho toán tử−∆và −∆p

với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [9] Để chứng minh các kết quả của sự tồntại, do thiếu tính compact trong bao hàm H1(Ω) ,→ L2∗(Ω) và H1(Ω) ,→ L2∗b (∂Ω),

ta sử dụng phương pháp compact tập trung được giới thiệu bởi P Lions trong[10] Chúng ta đưa ra ở đây để thuận tiện cho bạn đọc nhưng bỏ qua phần chứngminh

Bổ đề 2.1 Lấy un là dãy hội tụ yếu trong H1(Ω) với giới hạn yếu u sao cho

|Ou n |22 * dµ,|u n |22∗∗ * dν theo phương của độ đo Khi đó, tồn tạix 1 , x 2 , · · · , xl ∈ Ω

sao cho:

ở đó S được cho bởi (2.1)

2.1.1 Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ = N −22N , 1 < q < 2.

Trong mục trước, chúng ta nghiên cứu số hạng phi tuyến có độ tăng trưởngtới hạn trong phương trình và dưới tuyến tính trên biên, đó là:

Chú ý rằng phép nhúng H1(Ω) ,→ L2∗(Ω) liên tục và không compact, chúng

ta không thể mong đợi điều kiện (P S)c xảy ra Trong trường hợp này, ta có thểchứng minh điều kiện địa phương (P S)c sẽ xảy ra nếu J (u) nhận giá trị nào đó.Lấy S là hằng số tốt nhất của phép nhúng Sobolev

Bổ đề 2.2 Tồn tại hằng số λ∗> 0 sao cho N0= ∅ với mỗi λ ∈ (0, λ∗)

Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 1.8.

Bổ đề 2.3 J là cưỡng và bị chặn dưới trên N

Chứng minh Với mọi u ∈ N, ta có kuk2 =

kv n k2= ku n k2− ku 0 k2+ o(1) và |v n |22∗∗ ,Ω = |u n |22∗∗ ,Ω − |u 0 |22∗∗ ,Ω + o(1). (2.2)Khi đó:

kunk2 ≥ S



Z

|Ω|2∗−q2∗



Z

,

ở đó |Ω| là độ đo Lebesgue của Ω

Lấy θ(x) = N1x2∗− λ1q − 12|Ω|2∗−q2∗ xq Hàm này đạt cực tiểu tại điểm

2∗−q2∗

|Ω| Bởi vậy,c ≥ N1SN2 −Kλ 2∗−q2∗ , mâu thuẫnvới giả thiết Do đób ≡ 0và chúng ta kết luận rằng un → u0 trongH1(Ω) Chứngminh được hoàn thành

SN2 − Kλ 2∗−q2∗ ,

trong đó hằng số K phụ thuộc vào q, N và |Ω|

Chứng minh Lấy % > 0 sao cho N1S˜N2 − Kλ 2∗−q2∗ > 0 với mọi λ ∈ (0, %) Theođịnh nghĩa của ϑ ε ( xem (2.6)) chúng ta có với t > 0

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.2.

Chứng minh Định lý 1.2 Theo Mệnh đề 2.4 và 2.5, tồn tại hai dãy u+n và



u−n trong H1(Ω) sao cho khi n dần đến ∞:

J (u+n) → α+1, kJ (u+n)k → 0 và J (u−n) → α−1, kJ (u−n)k → 0.Lập luận tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, 1.11 và Định lý 1.1, bài toán(1.1) có hai nghiệm dương u 3 và u 4 trong H1(Ω) sao cho

trong đó hàm a(x) được giả thiết trong L∞(∂Ω), a(x) ≥ a 0 > 0 trên tập con của

∂Ωvới độ đo dương, κ ∈ {0, 1} Ở đây chúng ta sẽ đưa ra k·k1 trong H1(Ω) tươngđương với chuẩn thông thường k·k như sau:

ku1k =



Z

.

Hệ quả 2.6 Lấy 1 < q < 2 Khi đó tồn tại λˆ1 sao cho bài toán (PN) có ít nhấthai nghiệm dương với λ ∈ (0, ˆ λ1).

Tương tự chứng minh trong mục 2.2, với λ ∈ (0, λ∗), chúng ta hiểu N =

N−∪ N +, và J bị chặn dưới trênN + và N− Bởi vậy, chúng ta có thể định nghĩa

α+2 = inf

u∈N + J (u) và α−2 = inf

u∈N − J (u).

Bây giờ, chúng ta sử dụng Bổ đề 2.1 để chứng minh điều kiện (P S)c

Mệnh đề 2.7 Lấy {un} là một dãy (P S)c của hàm J với mức năng lượng

c < 12

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức H¨older và hội tụ yếu, ta có

≤ C 4





Z

≤ C4





Z

j

νj ≥ 12



Sbλ

b

λN −22

,

Điều này không xảy ra Do đó νj = µj = 0, suy ra un → u0 trong H1(Ω).

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.3

Chứng minh Định lý 1.3 Chứng minh tương tự Định lý 1.2 Chỉ khác là ởđây sử dụng Mệnh đề 2.7 thay cho Mệnh đề 2.4

,R N + + |u|22∗

Tương tự chứng minh trong mục 2.2, với λ ∈ (0, λ∗), ta có N = N−∪ N+ và

J bị chặn dưới trên N+ và N− Bởi vậy, ta có thể định nghĩa

α+3 = inf

u∈N + J (u) và α−3 = inf

u∈N − J (u).

Bây giờ chúng ta có hàm J thỏa mãn điều kiện địa phương (P S)c.

Bổ đề 2.8 Lấy un là một dãy (P S)c của J với mức năng lượng

b−2

1 λ

2∗2

b−2



,

Khi đó tồn tại dãy con của {u n } hội tụ mạnh trong H1(Ω), ở đây S˜ là hằng

số tốt nhất của phép nhúng cho bởi (2.15)

Chứng minh Lấy {un} ⊆ H 1 (Ω) là một dãy (P S)c Sử dụng lập luận thôngthường cho dãy {un} bị chặn Theo Bổ đề 2.1 tồn tại một dãy con sao cho

un * u0 trong H1(Ω) và un → u0 trong Ω.Lấy v n = u n − u 0 Như trong chứng minh Mệnh đề 2.4 ta có: