Chuyển hóa photon radion trong từ trường tĩnh trong mô hình randall sundrum (LV01877)

Hạt cơ bản là một dạng vật chất tưởng như không sao chia cắt nổi, và sựhiểu biết về chúng được phát triển theo thời đại do nhận thức của con người.Vật lý hiện đại là phần Vật lý mới được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VÌ THỊ BÍCH THU

CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG

MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Xuân Hòa, năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VÌ THỊ BÍCH THU

CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG MÔ

HÌNH RANDALL - SUNDRUM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã ngành: 60 44 01 03

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN HUY THẢO

Xuân Hòa, năm 2016

-Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô giáo Khoa Vật lý, trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2, đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vật lý từ cổ điển đếnhiện đại, làm nền tảng để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Vật lí lý thuyết

và vật lí toán, khóa 18, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã cùng tôi trao đổinhững kiến thức đã học và các vấn đề khác trong cuộc sống

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giáo viên, nhân viên,trường phổ thông dân tộc nội trú tỉnh Sơn La và các thành viên trong gia đình,

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học này

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Vì Thị Bích Thu

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Vì Thị Bích Thu

DANH SÁCH CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

SM Standard Model VEV Vacuum Expectation Value CERN European Organization for Nuclear Research LHC Large Hadron Collider

WMAP Wilkinson Microwave Anisotropy Probe V-A Vecto-Axial

DM Dark Matter

RS Randall - Sundrum

KK Kaluza-Klein MHC Mô hình chuẩn

Hạt cơ bản là một dạng vật chất tưởng như không sao chia cắt nổi, và sựhiểu biết về chúng được phát triển theo thời đại do nhận thức của con người.Vật lý hiện đại là phần Vật lý mới được phát triển từ đầu thế kỷ 20, khởisinh bằng lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck (1901); Lý thuyếtlượng tử ánh sáng và thuyết tương đối hẹp của Albert Einstein (1905), giúp ta

có những cái nhìn mới về thế giới vật chất Trên cơ sở các tiến bộ vượt bậc, do

sự nỗ lực không ngừng của các nhà vật lý hiện đại, nghiên cứu về các mặt lýthuyết, thực nghiệm và mô hình hóa, trên xu hướng hợp nhất các tương tác.Vấn đề nổi trội trong thế giới vật lý hiện đại ngày nay được nhiều nhà khoa học,quan tâm nghiên cứu đó là “Mô hình chuẩn” và các mở rộng của mô hình này.Năm 1974, lần đầu tiên John Iliopoulos đề xuất “Mô hình chuẩn” Theo

mô hình này, tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh được mô tảthống nhất bởi một lý thuyết trường lượng tử dựa trên nhóm đối xứng chuẩn

SU (3)C ⊗ SU (2)L⊗ U (1)Y Đến năm 1978, tại Hội nghị Quốc tế về Vật lý nănglượng cao ở Nhật Bản, những khẳng định thực nghiệm về “Mô hình chuẩn” đãđược đánh giá và xác nhận

Vật chất trong tự nhiên vận động là do bốn lực cơ bản: Tương tác hấpdẫn tác dụng ở thang vĩ mô, được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng.Tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh tác dụng ở thang vi mô

MỞ ĐẦU

được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn [1]

Lý thuyết tương đối rộng và mô hình chuẩn là những nền tảng cơ sở củavật lý hiện đại cho giải thích các hiện tượng tự nhiên với độ chính xác rất cao

Mô hình chuẩn là sự kết hợp hai lý thuyết cơ sở: GWS Salam) và QCD (Quantum ChromoDynamics), dựa trên đối xứng chuẩnSU (3)C⊗

(Glashow-Weiberg-SU (2)L⊗ U (2)Y là nền tảng của vật lý hiện đại [3] Các fermion trong SM đượcxếp theo các thế hệ: thế hệ 1νe, e, u, d, thế hệ 2νµ, µ, c, svà thế hệ 3ντ, τ, t, b.Trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái do thực nghiệm không thấythành phần phải Các hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU (2)L và hạt phải

là đơn tuyến của nhóm này Quark là tam tuyến của SU (3)C, trong khi leptonkhông mầu

Sau khi công bố thuyết tương đối hẹp, Einstein xây dựng thuyết tương đốirộng cho hấp dẫn và hoàn thành năm 1916 Thuyết tương đối rộng là cơ sở đểtính toán với vũ trụ học ngày nay Kết hợp với mô hình chuẩn, hai lý thuyết nàycho giải thích thành công nhiều vấn đề của tự nhiên từ siêu nhỏ đến siêu lớn.Tuy những thành công trên nhưng SM cũng có nhưng hạn chế [3] Mô hìnhchuẩn không giải thích được những vấn đề liên quan đến số lượng và cấu trúccác thế hệ fermion Đặc biệt, mô hình chuẩn không giải quyết được vấn đề phânbậc, không mô tả được loại tương tác thứ tư của vật chất, tương tác hấp dẫn.Ngày nay, để giải thích được các câu hỏi mới nảy sinh từ những nghiêncứu vũ trụ, người ta thấy rằng mô hình chuẩn không còn phù hợp nữa, tuy nókhông sai nhưng phải bổ sung thêm một số khía cạnh mới

Một trong những mô hình mới bổ xung cho mô hình chuẩn được đưa ra,

ta có thể phân theo hai hướng sau:

+ Mở rộng nhóm đối xứng (Mô hình 3-3-1; Lý thuyết siêu đối xứng, Lýthuyết thống nhất lớn; )

+ Mở rộng số chiều không gian (Lý thuyết Kaluza - Klein; Mô hình Randall-Sundrum; )

Mô hình vũ trụ năm chiều Randall - Sundrum, được đặt theo tên của 2nhà khoa học đề xuất ra mô hình Không giống như vũ trụ được mô tả bởithuyết tương đối có ba chiều của không gian và một chiều của thời gian, môhình này thêm một chiều compact và mô tả vũ trụ bởi năm chiều Nhờ đó môhình Randall - Sundrum đã giải thích được tính bền của bán kính compact vàgiải quyết được vấn đề phân bậc

MỞ ĐẦU

Trường radion động lực gắn với bán kính này bảo đảm được tính bền thôngqua cơ chế Goldberger - Wise Một trong những đặc trưng của mô hình này làtrường radion Để góp phần chứng minh tính đúng đắn của mô hình Randall

- Sundrum, chúng tôi chọn đề tài “Chuyển hóa photon - radion trong từtrường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum” để nghiên cứu trong luậnvăn

MỞ ĐẦU

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sự chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh nhằm tìm

ra bằng chứng khẳng định sự tồn tại của radion và khẳng định được tính đúngđắn của mô hình Randall - Sundrum

3 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích đề ra, đề tài có nhiệm vụ chủ yếu sau:

- Tìm hiểu mô hình chuẩn và các mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn

- Tìm hiểu mô hình Randall - Sundrum

- Tìm hiểu sự chuyển hóa photon thành radion trong từ trường tĩnh

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chuyển hóa photon radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall Sundrum

-5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong không - thời giancong, nhiều chiều Phương pháp giản đồ Feynman để tính tiết diện tán xạ Radiontrong từ trường tĩnh

6 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Chứng minh được sự xuất hiện của radion trong từ trường tĩnh trong môhình RS, để hiểu được tính bền vững của bán kính compact và giải thích đượcvấn đề phân bậc nhằm khẳng định được tính đúng đắn của mô hình

Chương 1

MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

1.1 MÔ HÌNH CHUẨN

Mô hình chuẩn Standard Model đã diễn tả cơ bản một cách hệ thốngnhững hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất, là sự kết hợp của lý thuyết điện yếu(Glashow-Weiberg-Salam) và sắc động học lượng tử (QCD) tạo nên sự hiểu biết

về các hạt và tương tác cơ bản của các hạt trong tự nhiên Được phát triển vàonhững năm đầu của thập niên 1970, mô hình chuẩn là một phần của lý thuyếttrường lượng tử, một lý thuyết đã kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đốihẹp

Hầu hết các hạt xuất hiện trong SM đã được tìm thấy tại các máy gia tốcnăng lượng cao tại Thụy Sĩ SM là thuyết mô tả chính xác ba trong bốn loạitương tác cơ bản đó là: tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ

Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1)

của các phép biến đổi chuẩn unitary [3]

Trong đó:

+ SU(3) là nhóm đối xứng không Abel của tương tác mạnh Các trườngchuẩn gluon liên kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong Sắc độnglực học lượng tử

+ SU(2) là nhóm đối xứng tương tác yếu không Abel Các quan sát thựcnghiệm cho kết quả phù hợp với Mô hình chuẩn ở độ chính xác rất cao Mô

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự nhiên từ kích thước vi mô cho tới cáckhoảng cách vũ trụ Và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất củaloài người trong việc tìm hiểu tự nhiên

Sự sắp xếp các hạt trong mô hình chuẩn như sau:

- 12 hạt cơ bản (6 lepton và 6 quark),cùng với các phản hạt của chúng

- Ba tương tác cơ bản (mạnh, điện từ, yếu) với các hạt trường của chúng(gluon, photon, W-boson và Z-boson) Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3 điểm cơbản:

- Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark, đây lànhững viên gạch sơ đẳng tận cùng để cấu tạo nên vật chất bất động hay sinhđộng trên Trái Đất, trong hệ Mặt Trời hay trong vũ trụ Hạt cơ bản được chialàm hai phần:

Mười hai hạt có spin 1/2 như quark và lepton cùng bốn boson chuẩn cóspin 1 như photon, hai boson Z, W của lực tương tác yếu Có sáu loại quarkmang ký hiệu u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), b (bottom)

Có sáu loại lepton bao gồm ba hạt: e − (electron), µ − (muon), τ − (tauon)

mang điện âm−e, và ba hạt neutrino ve, vµ, vτ trung hòa điện tích Theo thứ tự

ba hạt neutrino này bao giờ cũng tương ứng với ba hạt electron, muon, tauontrong tương tác

Trong thiên nhiên sự cân bằng về số lượng: sáu loại quark và sáu loại leptonkhông tình cờ mà có thể nó là kết quả của đối xứng chuẩn trong lý thuyết trườnglượng tử

Lực tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làmcho vật chất vững bền hơn Lực điện từ là lực của cac electron tương tác vớiphoton trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên các nguyên tử và phân tử của cáchóa chất trong bảng hệ thống tuần hoàn Mendelep, cũng như của các tế bào vàgen sinh vật Lực tương tac yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino,làm cho một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino Các tươngtác được thực hiện thông qua các véc tơ boson trung gian hay hạt truyền tươngtác

Trong đó, các tương tác mạnh (strong interaction) của các quark trao đổigluon g giữa chúng gọi là Sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamicshay QCD); Điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics hay QED)

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

Hình 1.1: Các hạt cơ bản trong mô hình chuẩn

.

diễn tả tương tác điện từ của các hạt mang điện tích trao đổi photon giữa chúng

- Cơ chế Higgs là cơ chế quan trọng của mô hình chuẩn

Ngày 4 tháng 7 năm 2012, hai nhóm thực nghiệm ATLAS và CMS ở CERN

đã tìm ra hạt Higgs trong máy gia tốc LHC Đây là hạt gây ra bất đối xứngtrong các nhóm chuẩn, và cũng là loại hạt tạo ra khối lượng quán tính

Trong hơn 40 năm qua, kể từ khi mô hình chuẩn ra đời chúng ta đượcchứng kiến những thành công nổi bật của nó Mô hình chuẩn đã mô tả thànhcông bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng thời có vai trò quan trọngtrong sự phát triển của vật lý hạt

Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số hạnchế sau [3]:

- Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến sốlượng và cấu trúc các thế hệ fermion

- Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

không có khối lượng

- Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượngquá lớn so với dự đoán

- Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang nănglượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng 200GeV

- Các tham số cơ bản là khối lượng và tương tác Yukawa được đưa vàobằng tay Lực hấp dẫn với cấu trúc khá khác biệt so với các lực mạnh và điệnyếu không được đưa vào mô hình

1.2 CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lý lý thuyết

đã xây dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống nhất (Grandunified theory - GU), siêu đối xứng (supersymmtry), lý thuyết Preon, lý thuyếtAcceleron

Mỗi hướng mở rộng Mô hình chuẩn đều có ưu nhược điểm riêng

Nổi bật là các mô hình 3-3-1, các mô hình này đã giải quyết được một sốvấn đề mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được Ví dụ: Các mô hình 3-3-1 đãgiải thích được tại sao các lepton trong tam tuyến có chỉ số thế hệ là 3, hai thế

hệ đầu của quark trong phản tam tuyến còn thế hệ thứ ba trong tam tuyến; Các

mô hình 3-3-1 giải quyết được vấn đề lượng tử hóa điện tích, giải thích được

sự phân bậc giữa các thế hệ quark do các thế hệ nằm trong các đa tuyến khácnhau [2]

Phiên bản một là mô hình 3-3-1 tối thiểu được đề xuất năm 1992, đưalepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm

SU (3)L Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs

để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng cho các fermion [2].Phiên bản hai được đề xuất năm 1994, cho rằng thành phần thứ ba củacác tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L là các neutrino phân cực phải [2]

Mô hình 3-3-1 tiết kiệm với hai tam tuyến Higgs, có số trường vô hướngđưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được hầu hết các vấn đềquan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

Các mở rộng mô hình chuẩn nêu trên đều chỉ mới quan tâm đến một thế

CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

hệ và thừa nhận vật lý trong các thế hệ là giống nhau, mà chưa có một chứngminh chặt chẽ thỏa đáng

Có một hướng khả quan để mở rộng Mô hình chuẩn là lý thuyết mở rộngthêm chiều không gian (gọi là Extra Dimension)

Lý thuyết đầu tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein (1921) mởrộng không gian bốn chiều thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thốngnhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ

Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về mặt hiện tượng luận, tuy nhiên

ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs– Gauge, lý thuyết mở rộng với số chiều không gian lớn (large extra dimension),

lý thuyết dây (string theory)

Trong luận văn này, chúng tôi đề cập đến một trong những lý thuyết đó,gọi là mô hình Radall – Sundrum (RS) Mô hình này có thể giải thích vấn đềphân bậc, giải thích tại sao hấp dẫn lại rất nhỏ ở thang điện yếu, giải thích tạisao chỉ có ba thế hệ fermion và có sự phân bậc giữa chúng, vấn đề neutrino .Một đặc điểm của mô hình RS là tính bền của bán kính compact cho giảiquyết vấn đề phân bậc Trường radion động lực gắn với bán kính này đảm bảotính bền thông qua cơ chế Goldberger – Wise [4] Radion và vật lý gắn với nó

là một yếu tố mới trong mô hình Chứng minh sự tồn tại của radion khi kể đếnđóng góp của nó vào tiết diện tán xạ toàn phần của một quá trình tán xạ làmột trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS

Chương 2

MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

2.1 LÝ THUYẾT KALUZA - KLEIN

Năm 1920, hai nhà khoa học Theodor Kaluza và Oskar Klein đã đưa ramột quan điểm mới về sự tồn tại của các chiều bổ sung trong không gian Đâyđược coi như một phương pháp để thống nhất trường điện từ và trường hấpdẫn

Từ trước giai đoạn đó các nhà khoa học mới chỉ chứng minh được sự tồntại của ba chiều không gian và một chiều thời gian Lý thuyết mang tên hai nhàkhoa học Kaluza - Klein đã mạnh dạn đưa ra một giả thiết có xuất hiện chiềuthứ năm [6]

Lý thuyết Kaluza - Klein cho rằng chiều thứ năm đó có dạng tuần hoànnhư sau:

x5∼ x5+ 2πR (2.1)Nghĩa là, ngoài không gian Minkowski bốn chiều truyền thống còn xuấthiện thêm chiều thứ năm là chiều compact, có thể hình dung nó là một hìnhtrụ năm chiều với bán kính R Như vậy theo lý thuyết này khối lượng của cáchạt vật lý mới được lượng tử hóa, vì xung lượng năm chiều của chúng đã đượclượng tử hóa: p5 = Rn với n ∈ Z và trường vô hướng φ(xµ, x5)

Khai triển trường vô hướng này thành chuỗi Fourier:

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

nếu φ = 0 thì phương trình chuyển động năm chiều sẽ có dạng:

được sinh ra

Ở năng lượng nhỏ, cỡ có thể so sánh với R−1(mode 0), các hiệu ứng vật lý

là các hiệu ứng vật lý bốn chiều thông thường, khi năng lượng lớn hơn R−1 thìtháp Kaluza - Klein bắt đầu hoạt động

Các ràng buộc thực nghiệm đòi hỏi khối lượng các hạt phải lớn hơn TeV

n

R > T eV (2.4)

Từ đó ta có:

R < 10−21cm (2.5)nghĩa là gần như mất hy vọng trong việc tìm kiếm bằng thực nghiệm về chiềuthứ năm

Lý thuyết Kaluza - Klein mới chỉ đưa ra dự đoán về bán kính compact R

mà chưa chứng minh được bằng thực nghiệm sự xuất hiện của nó

Nghiên cứu lý thuyết Kaluza - Klein, hai nhà khoa học Lisa Randall vàRaman Sundrum (1999) đã không những chứng minh được sự xuất hiện củabán kính compact mà còn cho rằng trong một điều kiện nhất định bán kính nàycòn có tính bền vững

2.2 KHÁI QUÁT MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Mô hình Randall - Sundrum (RS) giả thiết sự tồn tại của một chiều bổsung được compact trên vòng tròn S1 mà nửa trên và nửa dưới của nó là đồngnhất Không - thời gian thu được chính là không gian với đối xứng cực đại và

có độ cong âm Trên chiều thứ năm ta đưa vào đối xứng chẵn lẻ Z2, vì vậy haiđiểm (x µ , φ) và (x µ , −φ) là đồng nhất Chiều thứ năm có dạng S1/Z 2 chính làorbifold với hai điểm cố định φ = 0 và φ = π Brane tử ngoại (UV-Brane, hay

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Brane Planck) được đặt tại φ = 0 trong brane này tương tác chủ yếu là tươngtác hấp dẫn Brane hồng ngoại (IR-Brane, SM-Brane, hay TeV-Brane) định xứtại φ = π ở brane này tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu vàtương tác điện từ [5]

Hình 2.1: Mô hình Randall - Sundrum.

Ta coi chiều thứ năm là một orbifold vì khi đưa vào đối xứng orbifoldvấn đề fermion chiral được giải quyết

Trong S1/Z2 orbifold, S1 là một vòng tròn và Z2 là nhóm nhân {−1, 1}.Trong đó có hai điểm cố định, một điểm tại gốc y = 0, điểm còn lại y = πR =

L, ở từng điểm ta xác định được 4 chiều chiều thứ năm được gọi là các brane 3.Coi hằng số vũ trụ trong không - thời gian năm chiều là Λ (không giốngnhư hằng số vũ trụ 4D có thể dễ bị triệt tiêu hay rất nhỏ) Có thể tính S bằngcách tính tổng của tác dụng Hilbert-Einstein SH và tác dụng của thành phần

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Hình 2.2: Cách đưa vào đối xứng Orbifold, hình vẽ được trích dẫn từ [11]

5 chiều, g là định thức của Metric

Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề Một là, tiên đề về hàmtác dụng trong 5 chiều Hai là, tiên đề về dạng tổng quát của metric

Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn

5 chiều,vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăngtốc của vũ trụ đã được khảo sát và giải thích

Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sátmọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là tác dụng và metric Tác dụng mô

tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric là phản ánh của trườnghấp dẫn lên không-thời gian [6] Một mô hình về vũ trụ học cần phải có hai yếu

tố tiên quyết trên

Xét tọa độ của một điểm trong không thời gian năm chiều là(xµ, φ), khoảngnăm chiều có dạng:

ds2 = GM NdxMdxN

= Gµνdxµdxν+ 2Gµφdxµdxφ+ Gφφdφ2 (2.7)Trong đó GM N là tenxơ metric năm chiều Số hạng Gµφ bị khử ở modekhông do đối xứng Orbifold nên:

ds2 = G dxµdxν+ G dφ2. (2.8)

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta gọi metric tương ứng với các brane UV và TeV lần lượt là:

gvisµν = GM N(xµ, φ = π)ghidµν = GM N(xµ, φ = 0). (2.9)Tác dụng tổng quát năm chiều có dạng:

S = Sgravity+ Svis+ Shid (2.10)Nghĩa là tác dụng trên là mở rộng của tác dụng Hilbert-Einstein 4 chiềutrong lý thuyết tương đối rộng của Einstein:

−ghid{Lhid− Vhid}. (2.11)

M là khối lượng Planck 5 chiều, G = det GM N, R là độ cong vô hướng [1]

Ta trở lại với lời giải phương trình Einstein và khoảng bất biến trong trườnghợp cổ điển

Trường hợp cổ điển là trường hợp không có các hạt vật chất thông thường(particle excitation), nghĩa là Lvis = Lhid = 0, còn Vvis và Vhid nhận các giá trịkhông đổi gọi là năng lượng chân không (vaccum energy) Trong trường hợpkhông có các hạt vật chất thông thường các giá trị này vẫn đóng vai trò lànguồn hấp dẫn Ta cũng cho rc không đổi trong phương trình (2.8) Trong phầnnày ta chỉ xét metric năm chiều cổ điển ở trạng thái nền (ground state)

Kết hợp với các phương trình trong (2.11) tác dụng cổ điển có dạng:

xứ tại φ = 0 và φ = π Xét biến phân của S theo GM N:

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta có

δ √ G

G GM N+ V vis

√

−g vis gµνvis δMµ δNν δ(φ − π) + Vhid√

−ghid gµνhid δMµ δνN δ(φ)]. (2.14)Nghiệm của phương trình (2.14) thỏa mãn bất biến bốn chiều Pointcare(2.8) khi đó:

G µν dxµdxν ∼ f (φ)η µν dxµdxν,

f (φ) là hàm tuần hoàn theo φ nên ta chọn f (φ) = e−2σ(φ) (để giải quyết vấn đềphân bậc), do đó:

với ηµν = diag(1, −1, −1, −1) và Gφφdφ2= −r2cdφ2 hay Gφφ = −rc2

Trong đó rc gọi là bán kính compact của chiều mở rộng, trong trường hợpnày ta xétr c không đổi Trường hợp tổng quát nó là trung bình chân không củatrường radion

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta đi tính các số hạng Christoffel và Tenxơ Ricci [4]:

Trước tiên ta đi tính các số hạng Chistoffel: