Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.. Gọi G là trọng tâm của DABC.. AC cắt BD tại M.. Tính diện tích tam giác ABM theo R ĐỀ CHÍNH THỨC... -Không có
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNGNăm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA.
Mức độ
Mạch
Kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Cộng Cấp độ thấp Cấp độ cao
Biểu thức đại số
1.a
1,0
1.b,c
2,0
2.c
2,0
5,0 đ
Phương trình vô
tỷ Chia hết và
nghiệm nguyên
3.a
2,0
3.b
2,0
2.a
2,0
6,0 đ
Chứng minh
mối liên quan
đại lượng hình
học
5
3,0
4.a,b
4,0 7,0 đ
Tổng cộng 4 ý
3,0
4 ý 6,0
1 ý 3,0
4 ý
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNGNăm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
Bài 1: (3 điểm)
A
x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: x22015x2014 2 2017 x2016
b) Chứng minh rằng: 1 1 2
x y biết x3 + y3+ 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0
c) Cho x, y, z thỏa mãn 1 1 1 : 1 1
Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017
Bài 3: (4 điểm)
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: (20n+ 16n– 3n– 1)323
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (y2)x2017y2 2y 1 0
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K Gọi G là trọng tâm của DABC
a) Chứng minh SAHG= 2SAGO
AD+ BE+ CF=
Bài 5:(3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho ∠CAB = 45o, ∠DAB = 30o AC cắt BD tại M Tính diện tích tam giác ABM theo R
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁNĐề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp trường
Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
1a
2 0
2
1 0
1
2 1
x
x x
x x
1b
(1đ)
b) Rút gọn biểu thức A
2
2
A
x
1,0đ
1c
(1đ)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có 2
2
A
Ta có A nhỏ nhất khi 1 2 3
x đạt giá trị nhỏ nhất Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 4
3
khi 1
2
x = 0 1
2
x
1,0đ
2a
(2đ)
Điều kiện 2016
2017
x
Phương trình đã cho tương đương với
2 2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0
1 2017 2016 1 0
1 0
2017 2016 1 0
x
x
1,0đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 42017 2016 1
x
x
1
x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy x là nghiệm của phương trình đã cho.1
1,0đ
2b
(2đ)
b) Chứng minh: 1 1 2
x y biết x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0.
Ta có: x3+ y3+ 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
(x + y)( x2– xy + y2) + 2(x2– xy + y2) + (x2+ 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0
( x2– xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2= 0
( x + y + 2)( x2– xy + y2+ x + y + 2) = 0
1
2.( x + y + 2)( 2x2– 2xy + 2y2+ 2x + 2y + 4) = 0
1
2.( x + y + 2).(x y )2 (x 1)2(y1)22= 0
x + y + 2 = 0
x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0
1,0đ
Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
Do đó xy 1 suy ra 1 1
xy hay 2
xy
Vậy M 1 1 2
x y
(đpcm)
1,0đ
2c
(2đ)
Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017
x y z
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2+ yz2+ zx2+ xyz + xz2+ yx2+ xy2+ xyz = xyz
(xyz + zx2+ xy2+ yx2)+ (zy2+ yz2+ xz2+ xyz) = 0
1,0đ
x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2+ yz + xz + xy) = 0
Trang 53a (2đ)
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20 n + 16 n – 3 n – 1323
Ta có: 323=17.19
20n+ 16n – 3n– 1= (20n– 1) + (16n– 3n)
20n– 119
16n– 3n 19 (n chẵn)
Do đó 20n+ 16n– 3n– 119 (1)
1,0đ
20n+ 16n – 3n– 1= (20n– 3n) + (16n–1)
20n– 3n 17
16n–1n 17 ( n chẵn)
Do đó 20n+ 16n– 3n– 117 (2)
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n+ 16n – 3n– 1323
1,0đ
3b (2đ)
b)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (y2)x2017y22y 1 0
Nếu y+2=0 lúc đó phương trình có dạngy 2 0x2017 1 0(vô nghiệm).
Nếu y 2 thì ta có 2017 2 2 1 1
1,0đ
Vì x, y nguyên nên 1
2
y nguyên y 2 Ư(1) 1;1 Với y 2 1 y 3 x2017 4 (loại ).
Với y 2 1 y 1 x2017 0 x 0 Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1
1,0đ
a) Chứng minh S AHG = 2S AGO
DACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC ^ AC
Mà BE ^ AC (gt) Suy ra KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
G
M
O
1,0đ
Trang 6(4đ)
5
(3đ)
Gọi M giao điểm của BC và HK nên
M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của DABC nên AG = 2
3AM
M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của DAHK
Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2
3AM nên G là trọng tâm của DAHK
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của DAHK
Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO
DAHG và DAGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO
Do đó S AHG = 2S AGO
b) Chứng minh HD HE HF 1
AD+ BE+ CF=
Ta có:
SHBC SHAC SHAB
SABC SABC SABC
SABC
SABC = 1
Tính diện tích tam giác ABM theo R
C M
1,0đ
2,0đ
Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
Chứng minh AHM· = 900; mà CAB· = 450 (gt) nên DAHMvuông cân
Trang 7*DMHBvuông tại H
HB=MB.cos MBH MB = HB = HB 0 = 2HB
cos MBH cos 60
MH= MB.sinMBH MH 0 MB 3
2
HB=MH 3.MH
3
Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R
-2,0đ
Chú ý:
-Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
-Không có điểm vẽ hình
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm