Phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

Các kếtquả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thểứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

-o0o -ĐINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

-o0o -ĐINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

H à N ộ i

3.6 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 73.6.1 Địnhnghĩa và tính chất của toán tử sinh 73.6.2 Nửanhóm liên tục đều 113.7

3.8

3.9 Giải thức 143.9.1 Biểu diễn tích phân của giải thức 143.9.2 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm 174

Mở Đầu

Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý thuyết định tínhcủa các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ Các kếtquả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thểứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm, đồng thời

sử dụng trong việc nghiên cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học,mạng nơron thần kinh, trong vật lý và cơ học Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiềunhà toán học quan tâm, nghiên cứu là lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệmcủa các phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu và mối tương quan giữa họ các toán tửtiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach

Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp nhiễu của nửa nhóm trong việcnghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các phương trình tiến hoá trừu tượng, để từ đó đưa raứng dụng vào mô hình dân số

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu thamkhảo

Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh và một số định

lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10])

Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tính chất của họtoán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12])

Chương ba trình bày sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; Từ đó đưa ra

mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13])

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đặng Đình Châu.Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức vàthời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học,trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những

2

điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn phòng SauĐại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên

và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh thần và vậtchất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy,tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Đinh Thị Hạnh

| f(t + s) — f(s) |< e V s G R.

(T(t)f )(s) = / (t + s), V/ G Co, Vs G R.và

(Tr(t)f )(s) = /(s - t), V/ G Co, Vs G R

Khi đó (Tr(t))t>0 và (T (t))t>0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0, được gọi tương ứng lànửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa

nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự

Trước hết ta chứng minh (T(t))t>0 là một nửa nhóm

Thật vậy: Vt, h > 0, V/ G C0, s G R, ta có:

(T (t + h)f )(s) = / (t + h + s) = (T (t)f )(h + s) = (T (t)T (h))f (s),suy ra T (t + h) = T (t)T (h)

Tiếp theo chứng minh tính liên tục mạnh của (T(t))t>0; Tức là, ta cần chỉ ra với mọi / G C0

thì

lim+||T(t)/ - f 11= lim sup | f (t + s) - f (s) |= 0 t^0+ t^0+ seR

Vì / G C0 suy ra / liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim /(s) = 0 nên / liên tục đều trên R

Do đó: Ve > 0, 3ỗ > 0 sao cho : Vsi, s2 : |si — s21 < ỗ ta có: |/(si) — /(s2)| < e

Khi đó, với mọi t mà 0 < t < ỗ, |t + s — s| < ỗ, ta có:

Từ đó suy ra sup |/(t + s) — /(s)| < e, Vt : 0 < t < ỗ seRTheo định nghĩa giới hạn ta có: lim sup |/(t + s) — /(s)| = 0

Vậy (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh □

F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X, tức là ánh

xạ K X C 3 (t,x) F(t)x G X là liên tục đều đối với tập compact C trong X

Định lý 1.1 Cho một nửa nhóm (T(t))t> 0 trên một không gian Banach X Khi đócác tính chất sau là tương đương:

Vì (tn)ne N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh

^ (a) Giả sử t0 > 0 và x £ X Khi đó:

lim \\T(t0 + h)x - T(t0)x\\< \\T(t0)\\.\\ lim \\T(h)x - x\\ = 0, h^ 0+ h^ 0+suy ra (T(t))t> 0 liên tục phải Với h < 0, ta có:

\\T(t0 + h)x - T(t0)x\\ < \\T(t0 + h)\\.\\x - T(—h)x\\,

từ đó dẫn đến tính liên tục trái, trong đó \\T(t)\\ bị chặn đều Vt £ [0,t0]

Vậy (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh □

Định lý 1.2 Với mỗi nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0 tồn tại hằng số w £ R và M

> 1 sao cho:

Chứng minh Chọn M > 1 thỏa mãn \\T(s)\\ < M, V0 < s < 1.

Với t > 0 lấy t = s + n, Vn G N và 0 < s < 1 Khi đó:

Định nghĩa 1.2 Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T(t))t>0, số í^o được định nghĩa nhưsau:

u 0 = W0(T) = inf{w G R : tồn tại M w > 1 thỏa mãn ||T(t)|| < M w e w t , Vt > 0}

goi là cận tăng trưởng của nửa nhóm

Xét trong trường hợp đặc biệt:

Nếu w = 0, nửa nhóm (T(t))t>0 được gọi là nửa nhóm bị chặn

Nếu w = 0 và M =1, nửa nhóm (T(t))t>0 được gọi là là nửa nhóm co

Nếu ||T(t)x|| = ||x||,Vt > 0 và x G X, nửa nhóm (T(t))t>0 được gọi là nửa nhóm đẳng cự

Ví dụ 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta luôn có u < +TO nhưng có thể w0 = —TO Chẳng hạn: Trongkhông gian LjL

0.1], ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:

Vậy ^0 = —TO

1.1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(a) Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứngminh bổ đề sau

Bổ đề 1.2 Cho một nửa nhóm (T(t))t>0 liên tục mạnh và một phần tử x e X.Đối với ánh xạ quỹ đạo Cc : t T(t)x, các tính chất sau là tương đương:

£x(.) là khả vi trên R+

£x(.) khả vi bên phải tại t = 0

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chỉ ra (b) ^ (a) Thật vậy:

Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) c X ^ X của một nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0

trên một không gian Banach X là một toán tử

h^0+ hxác định với mọi x trong miền xác định của nó

D(A) = {x e X : £x là khả vi trên R+} (1.5)Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x e X mà £x(.) làkhả vi bên phải tại t = 0 Do đó:

h^0+ hMiền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là (A,D(A)).Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.6)

Định lý 1.3 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0, ta

có các tính chất sau:

A : D(A) c X ^ X là toán tử tuyến tính

Nếu x G D(A) thì T(t)x G D(A) và

(iv) Vt > 0, ta có:

tT(t)x — x = A J T(s)xds nếu x G X,0

T «x -x = ỊT <s)yds

-hội tụ đến T(t)x — x khi h — 0+ Do đó:

t

Ị T(s)xds G D(A)0

Theo chứng minh trong (iii) khi h — 0+, Vx G X ta có (1.8) đúng.

Định lý 1.4 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tínhđóng, xác định trù mật và xác định một nửa nhóm duy nhất

X Theo Định lý 1.3 toán tử sinh (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính Ta chứng minh A làtoán tử đóng Thật vậy: lấy một dãy (xn)neNc D(A) sao cho lim x n = x và lim Ax n = y tồn

tại

Do (1.9) trong Định lý 1.3 ta có:

tT(t)xn— xn = J T(s)Axnds, Vt > 0

0

Do tính hội tụ đều của T(.)Axn trên [0,t] khi n —— TO ta có:

t0

Nhân cả hai vế với - và lấy giới hạn khi t —> 0+ ta được:

tlim (T ^ x ~ x\ = lim I [ T(s)yds,í-k 0 + V t ) í-k 0 + t J v ! y

0suy ra x G D(A) và Ax = y Vậy A là toán tử tuyến tính đóng

_ 1 t

Theo Định lý 1.3(m) ta có: - f T(s)xds G D(A).

Suy ra D(A) trù mật trong X.

Giả sử (S (t))t>0 là nửa nhóm khác liên tục mạnh khác có cùng toán tử sinh với nửanhóm (T(t))t>0 Khi đó, Vx 6 D(A) và t > 0, xét ánh xạ:

Khi đó:

d _ _

iVx(s) = T(t — s)AS(s)x — AT(t — s)S(s)x

= 0 dtSuy ra nx(s) là một hằng số

Do nx(0) = T(t)x và n x (t) = S(t)x nên T(t)x = S(t)x với mọi x trong miền trù

mật D(A)

Như vậy: T(t) = S(t), Vt > 0 Định lý được chứng minh

(b) Nửa nhóm liên tục đều

Định nghĩa 1.4 ([8]) Nửa nhóm (T(t))t>0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếuánh xạ R+ 3 t ^ T(t) 6 L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô pô đều) trong L(X), tức là:

lim ||T(t + h) — T (t)|| = 0, Vt > 0. (1.10)h—0+

Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là liên tục mạnh Vì thế điều kiện (1.10) tương đươngvới điều kiện:

0

Dùng quy tắc nhân Cauchy về chuỗi lũy thừa, ta có:

T(t).T(s) = etA.e'A = yí -A Ỹ2

Suy ra T(í) = e t A là nửa nhóm trong không gian Banach X

Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều Thật vậy, ta có:

Vậy (T(í))t>0 = (etA)t>0 là nửa nhóm liên tục đều

Định lý 1.5 Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đềukhi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A 6 L(X))

Chứng minh

nhóm liên tục đều Ta chứng minh A là toán tử sinh của nửa nhóm

n=2{tAỴ-1

n!

(n — 1)!

||A||(et||A - 1) ^ 0, (t ^ 0+).

n=2T(t) — I „

Do đó: lim II—— -T|| = 0 Yậy A là toán tử sinh của nửa nhóm (T(t))t>

II' - \ Ị T { s ) d s ị ị = ị ị ^ Ị ự - T {a) ) d s ị ị

<- t j l|í - r(s)||(is —> 0, (í —> 0 + ).

Do vậy tồn tại t cố định đủ nhỏ sao cho ||/ — - Jo T(s)ds|| < 1 Khi đó, toán tử

- JQ T(s)ds có nghịch đảo bị chặn Suy ra JQ T(s)ds có nghịch đảo bị chặn.

Suy ra lim ^ f* + h T(s)ds = T{t) Do đó, khi h —> 0+ thì

/,linò+ ìị T { h ) ~ I ị = { T { t ) ~I ] {lr(s)ds) Ễ C ( x )'Vậy toán tử A bị chặn Định lý được chứng minh

Định lý 1.6 Giả sử (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gianBanach X với toán tử sinh (A, D(A )) Khi đó các khẳng định sau là tươngđương:

Toán tử sinh A là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 thỏa mãn:

| |Ax| | < M| |x| |, Vx £ D(A)

Miền D(A) là tất cả các phần tử của X

Miền D(A) đóng trong X

Nửa nhóm (T(t))t>0 liên tục đều

Trong mỗi trường hợp nửa nhóm được cho bởi

{x n } n c D(A),x n — x khi n —— TO thì do A bị chặn nên ta có:

||Ax n - Axm|| < M.||xn - xm|| — 0

Vậy {Axn} là dãy cơ bản

Do đó tồn tại y £ X sao cho Axn— y Mà A đóng, xn— x, Axn— y nên x £ D(A) và Ax = y.

Vậy D(A) đóng trong X Định lý được chứng minh

1.1.3 Giải thức

< Biểu diễn tích phân của giải thức

Định nghĩa 1.5 Giả sử (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X Khi đó

• Phổ ơ(A) = {A £ C | (\I - A) không là song ánh}.

T { h )-Gm.r = ĩX^ í nsyrđs

p(A) = C\a(A) là tập các giá trị chính quy của A

Chú ý 1.2 Do A là toán tử đóng nên nếu (AI — A) là song ánh thì (AI — A)-1 đóng và do

đó (AI — A)-1 liên tục

Định lý 1.7 Giả sử T(t)t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach

X có toán tử sinh (A, D(A)) và tồn tại hằng số w e R, M > 1 thỏa mãn:

||T(t)||< Me wt, vt > 0 (1.11)Khi đó ta có các tính chất sau:

(i) Nếu A e C sao cho R(A)x = J0+TO e-AsT(s)xds tồn tại Vx e X thì A e p(A)

0thức Tích phân này là tích phân Riemann suy rộng

Lấy giới hạn khi h ^ 0+ suy ra vế phải tiến đến —x nên R(0)x G D(A) và AR( 0) = —I.

và (iii) được suy ra từ (i) và từ ước lượng sau:

a từ (i) và từ ước lượng sau:

Hệ quả 1.1 Giả sử (A,D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(í))t>0

(—1)n-1 dn-1

1

( n — 1 ) !

CO/s"-1 e-A'T (s)xds'Vx e X

0

(1.14)(1.15)

Đặc biệt, ta có ước lượng:

l|fi(A,.4)"|| < aM Vn € N.BeA > m (1.16)

Chứng minh Từ hệ thức Hilbert đối với giải thức:

R(A, A) — R(u, A) = (^ — A)R(A, A)R(^, A)

—- = -77 [ e~X sT(s)xds = — [ se~X sT(s)xds

dA dA

Vậy công thức (1.14) và (1.15) đúng với n = 2.

Bằng quy nạp suy ra công thức (1.14) và (1.15) đúng Vn e N Mặt

khác, ta có:

||fl(A,A)"a:|| = ^—t^ịll f s’^e-^n^xdsW

0

< MI NI

c »

Is"-1 e ( w l - R c Ằ ,'d s

0

Ví dụ 1.4 a) Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên

không gian X và (S(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S (t) = V - 1 T(t)V,

trong đó (T(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X

Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t)) t > 0 là B = V - 1 AV với miền xác định D(B) = {y

Ta có ơ(A) = ơ(B ) và giải thức của B là: R(\,B ) = V - 1 R(A,A)V với A e p(A) b) Các nửa

nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (eMtT(at)) t > 0 ,y e C,a > 0 có toán tử sinh là B =

aA + yĩ với miền xác định D(B) = D(A).

Thật vậy, với mọi x e D(A) ta có:

e^ tT(at)x — x ( ,,tT(at)x — x e, tx — x\

Bx = lim -= lim e ụ a — -1 -= aAx + ulx.

t^0+ t t^0+ y at t J

Suy ra D(B) = D(A) và B = aA + yĩ.

Hơn nữa, ơ(B) = a.ơ(A) + y và

< Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.8 Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida)

Cho (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X Khi

đó các tính chất sau là tương đương:

(A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.

(A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A> 0 ta có

là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n G N

Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi:

Tn(t) = et A n, Ví > 0

An hội tụ đến A theo từng điểm trên D(A)

Khi đó ta có các tính chất sau:

T(t)x = lim T n (t)x tồn tại với mỗi x G X.

(T(t)) t > 0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X

Nửa nhóm này có toán tử sinh (A,D(A))

Ta chứng minh các tính chất này là đúng.Thật vậy:

Mỗi (T n (t)) t > 0 là một nửa nhóm co Vì

(1.19)

(1.21)

Suy ra

\ \Tn(t)x — Tm(t)x\ \ < t\\A n x — A m x\\ (1.22)

Vì (An(x))n eN là dãy Cauchy đối với mỗi x e D(A) nên (Tn(t)x)n eN hội tụ đều với mỗi x e

D(A) trên mỗi khoảng [0, to].

Vì (T n (t))t> 0 (u = 1, 2, ) là các nửa nhóm nên (T(t))t>0 là nửa nhóm

Hơn nữa, ta có:

\ \Tn(t)x\ \ < \ \x\ \ suy ra \ \T(t)x\ \ < \ \x\ \, Vx e X,suy ra \ \T(t)\ \ < 1, Vt > 0 Do đó (T(t))t>0 là nửa nhóm co

Mặt khác, với mỗi x e D(A), ánh xạ

hàm £n: t Tn(t)Anx hội tụ đều đến n : t T(t)Ax

Suy ra £ là hàm khả vi với £(0) = n(0), nghĩa là D(A) c D(B) và Ax = Bx với x e D(A).Chọn A > 0, khi đó A — A là một song ánh từ D(A) vào X (vì A e p(A)) Mặt khác, B làtoán tử sinh của nửa nhóm co (T(t))t>0 nên A e p(B) (do Định lý 1.7) Suy ra A — B cũng

là song ánh từ D(B) vào X

Như vậy: D(A) = D(B) và A = B □

Hệ quả 1.2 Giả sử w e R, (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một khônggian Banach X Khi đó các tính chất sau là tương đương:

(A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn

\ \T(t)\ \ < e w t , Vt > 0 (1.23) (A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A > w ta có A e p(A)

đồng thời

\ \(A — w)R(A,A)\ \ < 1 (1.24) (A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A e C mà ReA > w, ta có

A e p(A) đồng thời

"fi<A-4)llíÃãb^ <L25)

Nửa nhóm thỏa mãn ( 1.23) được gọi là nửa nhóm tựa co

Định lý 1.9 Định lý toán tử sinh (Feller, Miyadera, Phillips)

Giả sử (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X và

w e R, M > 1 là các hằng số Khi đó các tính chất sau là tương đương:

(A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm (T(t))t>0 liên tục mạnh thỏa mãn

||T(t)||< Mewt, t > 0. (1.26) (A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A > w ta có A E p(A)

||x|| < ||x||M < M||x||; Tức là, nó là chuẩn tương đương

||x||<|||x|||< M||x||

|||AR(A,A)|||< 1, VA > 0

Do đó, toán tử sinh (A,D(A)) thỏa mãn điều kiện (1.18) đối với |||.||| tương đương và do

định lí 1.8,(A,D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh (T(t)) t > 0 với chuẩn|||.||| Từ (vi)suy ra ||T(t)x|| < |||T(t)x||| < M||x||

Như vậy: ||T(t)|| < M Định lý được chứng minh.

Nhận xét 1.1 Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ta thấy:

Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn

Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với chuẩn này nửanhóm trở thành nửa nhóm co

Chương 2

Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh

Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co hoặc nửa nhómliên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử quan trọng không thể thựchiện một cách trực tiếp Nhiễu là phương pháp cơ bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn

đề này Trước khi xét bài toán nhiễu của nửa nhóm ta xét bài toán sau

Bài toán Cauchy đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu:

trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong không gian

Banach X, A : D(A) c X ^ X là toán tử tuyến tính, x e X là giá trị ban đầu.

Định nghĩa 2.1 Hàm u : R+ ^ X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy trừu

tượng (ACP ) nếu u khả vi liên tục, u(t) e D(A) với mọi t > 0 và thỏa mãn (ACP)

Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0 thì từ Định lý 1.3(ii) suy ranửa nhóm cho ta nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với A Cụ thể ta có mệnh đề sau

(ACP)

T(t — s) / u(r)dr|s= 0 = °.

Mệnh đề 2.1 Giả sử (A,D(A)) lồ toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t>0 Khi đó, với mọi x e D(A), hàm u : t u(t) = T(t)x là nghiệm (cổ điển)duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng

Định nghĩa 2.2 Hàm u : R+ ^ X được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy trừu

tượng nếu /0 u(s)ds e D(A) với mọi t > 0 và

Chứng minh Theo Định lý 1.3 ta có /0 T(t)xds e D(A) với mọi x e X và T(t)x — x

= A JQt T(s)xds với mọi x e X Suy ra u(t) = T(t)x là nghiệm đủ tốt của (ACP).

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm 0 ứng với giá trị ban đầu x = 0 Giả sử u là nghiệm đủtốt của bài toán Cauchy trừu tượng với x = 0,t > 0 Khi đó với

mỗi s e (0, t), ta có:

Ậ(T(t — s) [ u(r)dr) = T(t — s)u(s) — T(t — s)A [ u(r)dr = 0 ds0 0

Lấy tích phân từ 0 đến t ta được:

A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(.,x) của (ACP) và p(A) = 0

Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(.,x) của (ACP), D(A) trù mật trong

X và với mọi dãy {xn}^= 1 c D(A) : lim xn = 0, tồn tại nghiệm u(t,xn) sao cho: limu(t,xn) = 0 đều trên [0, to ]

Chứng minh

^ (ii) (theo mệnh đề 2.1)

^ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x e X tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt

của (ACP) Vì p(A) = 0 nên tồn tại A G p(A) Đặt y = R(\,A)x suy ra y G D(A).

Theo giả thiết, tồn tại nghiệm u(.,y) với giá trị ban đầu u(0) = y Đặt

v(t) = (A — A)u(t,y) G D(A)

Suy ra v(t) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) với giá trị ban đầu x = (A — A)y Giả sử

u(.) là nghiệm đủ tốt của (ACP) với giá trị ban đầu x = 0 Đặt

và v(0) = 0 Suy ra v(t) = 0 với mọi t > 0 do đó u(t) = 0 với mọi t > 0

Vậy tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt u(.,x) của (ACP ).

Mặt khác u(t,x) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) nên J0 u(s,x)ds G D(A)

Hơn nữa, ta có:

lim

-t-AOt

u(s,x)ds = u(0,x) = x

Từ đó suy ra D(A) trù mật trong X

Để chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu ta xét:

t0

A u(s, xn)ds = u(t, xn) — xn — y(t) — x khi n — TO

0

Vì A đóng nên f0 y(s)ds G D(A) và y(t) — x = A f0 y(s)ds Khi đó:

y(t) = A y(s)ds + x, V t G [0,to ]

0Suy ra y(.) là nghiệm đủ tốt của (ACP) với điều kiện ban đầu x nếu với t > t0 , ta đặt y(t) =u(t — t0 ,y(t0 )) Khi đó y(t) = u(t,x), V t G [0,t0 ] Vậy ộ(x) = y hay ộ đóng Theo định

lý đồ thị đóng suy ra ộ liên tục Vậy nếu xn — 0 thì ộ(xn) — 0 hay u(t,xn) — 0 trongC([0,t0 ],X) Suy ra u(t,xn) — 0 đều theo t trên [0,t0 ]

^ (i) Giả sử có (iii), khi đó tồn tại T(t) G L(X) xác định bởi:

Ta có thể giả sử sup0<i<i | |T(t) || < TO Vì nếu không, giả sử tồn tại {tn}neN c [0, t0] sao cholim ||T(tn)|| = TO Ta có thể chọn x n e D(A) sao cho lim x n = 0 và ||T(tn)xn|| > 1 Điều này

mâu thuẫn với (iii) vì u(t n ,x n ) = T(t n )x n

Vậy | |T(t)|| bị chặn đều với mọi t e [0,1].

Ta có t T(t)x liên tục với mọi x G D(A) mà D(A) trù mật trong X nên theo

bổ đề 1.1 ánh xạ: t ^ T(t)x liên tục với mọi x e X

Với mọi x e D(A), ta có:

T(t + s)x = u(t + s, x) và T(t)T(s)x = u(t,T (s)x) = u(t, u(s, x)).

Suy ra T(t + s) = T(t)T(s) với mọi t,s > 0 Vậy (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.Cuối cùng ta chỉ ra A là toán tử sinh của (T(t))t>0 Thật vậy: Gọi (B,D(B)) là toán tử sinh

của (T(t))t>0 Hiển nhiên A c B Hơn nữa, D(A) ổn định bởi T(t), D(A) trù mật trong X nên

nên A = B

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 2.3 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh )

Bài toán Cauchy trừu tượng

J u(t) = Au(t) Vt > 0, u(0)

= xvới toán tử đóng A : D(A) c X ^ X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x e D(A) tồn tại duynhất nghiệm u(.,x) của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP), A có miền xác định trù mật,đồng thời với mọi dãy |xn}^=0 c D(A) : lim xn = 0, ta có: lim u(t,xn) = 0 đều trên [0,t0]

Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh

Bài toán: Cho A : D(A) c X ^ X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0 vàxét toán tử thứ hai B : D(B) c X ^ X Tìm điều kiện để A + B sinh ra nửa nhóm liên tụcmạnh (S(t))t>0 nào đó

Khi đó, chúng ta nói rằng toán tử sinh A bị nhiễu bởi toán tử B hoặc B là nhiễu của A.Tổng A + B được định nghĩa như sau:

(A + B )x = Ax + Bx,

Trong một số trường hợp D(A + B) có thể là {0}

Ví dụ 2.1 (i) Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh.Khi đó D(A) = X

Nếu lấy B = -A thì D(A) = D(B) và A + B = 0 xác định trên không gian con trù mật D(A),suy ra A + B không là toán tử đóng Do đó A + B không là toán tử sinh của nửa nhóm liêntục mạnh nào

Nếu lấy B = -2A thì A + B = -A với miền xác định D(A + B) = D(A) Khi đó, A+ B là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.(ii) Giả sử A : D(A) c X ^ X là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t>0 Lấy S G L(X) là một phép đẳng cấu sao cho:

D(A) n S(D(A)) = {0}.Khi đó B = SAS-1 là toán tử sinh của nửa nhóm đồng dạng ST(t)S-1 nhưng A + B chỉ xácđịnh trên D(A + B) = D(A) n D(B) = D(A) n S(D(A)) = {0} Chẳng hạn, xét

X = Co(R+) = {f G C(R+) : lim f (s) = 0}.Trên X xác định ánh xạ Ax = f' với miền xác định

D(A) = C0(R+) = {f G C1(R+) : lim f(s) = lim f (s) = 0} và chuẩn

Các ví dụ trên cho thấy phép cộng các toán tử không bị chặn cần được nghiên cứu cẩnthận Để tránh khó khăn do sự khác nhau về miền xác định của các toán tử ta giả thiết mộttrong hai toán tử tham gia là bị chặn