Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này chúng tôi chủ yếu sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá, đặc biệthoá, tươ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA

VÀ TƯƠNG TỰ CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự chưa được rèn luyện đúng mứctrong dạy học ở trường phổ thông.

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng pháttriển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất vì thế luôn cuốnhút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Điểm đặc biệt ấn tượng nhất của BĐT đó là córất nhiều bài toán khó, thậm chí là rất khó làm cho học sinh phải e ngại Nó chỉ thực sựgây hứng thú đối với những học sinh yêu thích toán học, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi.Mặt khác bất đẳng thức lại có khả năng to lớn trong việc rèn luyện năng lực khái quáthoá, đặc biệt hoá và tương tự

Vì những lý do đó, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học toán

và dạy học chứng minh bất đẳng thức

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tựcho học sinh

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này chúng tôi chủ yếu sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá, đặc biệthoá, tương tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chígiáo dục,…

- Phương pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá,tương tự của học sinh lớp 10 thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

4 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy họcchứng minh bất đẳng thức thì sẽ có khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự

trong dạy học môn toán ở trường phổ thông khắc phục được thực trạng dạy học ở nước tahiện nay.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Khái quát hoá

Theo G Pôlya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng

đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” (1, tr.21)

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ DươngThụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớnhơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của cácphần tử của tập hợp xuất phát” (3,tr.31 )

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn toán có thể biểu diễn theo sơ đồsau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở so sánhnhững trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sựphân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau

1.1.2 Đặc biệt hóa

Theo G Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng

đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” (1,tr.22 )

Khái quát hóa từ

cái riêng lẻ đến cái

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn theo sơ

đồ sau:

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việcnghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứutam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặcgiải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minhcác định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thườngđược sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìmlời giải của bài toán

Đặc biệt hóa tới cái

riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ chưa biết

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giốngnhau.

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò củachúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng của chúng

có quan hệ giống nhau

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của haihình tương tự

Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh Bên cạnh đó cũng giống như khái quáthóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lưu ý với học sinh những kếtluận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai Chẳng hạn, trong mọi tam giáccác đường cao đồng quy tại trực tâm Nếu cho rằng, tương tự, mọi tứ diện có các đườngcao đồng quy tại trực tâm là sai, vì điều đó chỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diệnvuông góc với nhau mà thôi (gọi là tứ diện trực tâm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = a = = a 1 2 3 n.

Đặc biệt với n = 2 ta có a+b ab

2  Đẳng thức xảy ra khi a = b Với n = 3 ta có a+b+c 3 abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 n

a) Cho n   *, a -1, a   ta có: 1+an 1+na

b) Cho a -1  , r, r 1 ta có: 1+ar 1+ra

11 Phương pháp dùng tính chất tỉ số.

12 Phương pháp đổi biến số

1.3 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong toán học

Trong toán học, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trở thành một phương phápsuy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng nhưtrong toán học cao cấp Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có thể vận dụng để mò mẫm

dự đoán kết quả bài toán, tìm phương hướng giải bài toán; để mở rộng, đào sâu và hệthống hóa kiến thức

Trong lịch sử toán học, có những bài toán mà suốt hàng trăm năm biết bao thế hệcác nhà toán học trên thế giới với bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc

biệt Chẳng hạn bài toán nổi tiếng: “Chứng minh rằng phương trình x +y = zn n n không có

đề ra từ thế kỉ 17 Lời giải chỉ có sau hơn 300 năm, đã tốn không biết bao nhiêu thời gian

và trí tuệ của hàng trăm nhà toán học lớn khắp thế giới

1.4 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự đã thâm nhậpvào mọi khâu của quá trình dạy học Trong dạy học chứng minh BĐT, khái quát hóa, đặcbiệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết, làphương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mởrộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

1.4.1 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết

Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các trithức lí thuyết như các định lí, tính chất, hệ thức,…

1.4.2 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng

ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Bài toán chứng minh BĐT là những bài toán không có thuật toán để giải, với nhữngbài toán đó ta có thể đặc biệt hóa để giải bài toán trong những trường hợp riêng hoặc thửxét những bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn bài toán ban đầu và lời giải cũng dễdàng hơn Ta thử xét xem bài toán tương tự đó có giúp ích ta trong việc chứng minh bàitoán ban đầu hay không? Về phương pháp giải có tương tự nhau không? Hay ta có thể ápdụng kết quả bài toán tương tự đó để giải bài toán ban đầu không?

B

CA’

C’

B’

HA

B

CA’

1.4.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng

ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặcbiệt hóa, tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới.Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộngvốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luậtcủa các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng tatiếp nhận được

    Vì S BHC +S AHC +S AHB = S ABC

ABC ABC ABC

Dễ thấy hệ thức (3) vẫn đúng nếu AA , BB , CC' ' ' là các đường trung tuyến

Hệ thức (3) liệu còn đúng nếu AA BB , CC', ' ' là các đường phân giác của tam giác

Như vậy hệ thức trên vẫn đúng nếu AA BB , CC', ' ' là các đường phân giác.

Các đường cao, trung tuyến, phân giác của một tam giác có tính chất đồng qui tại mộtđiểm Từ đó ta có thể đề xuất một bài toán tổng quát hơn:

Cho tam giác ABC, O là một điểm tùy ý trong tam giác Kéo dài AO, BO, CO cắtcác cạnh đối diện tại A , B , C' ' ' Khi đó ta có:

OBC

SAO+OA

=

ABC '

OBC

SOA

do S OBC +S OAC +S OAB = S ABC

ABC ABC ABC

OBC AOC AOB

Đến đây, bằng phép tương tự ta có thể mở rộng BĐT trên cho tứ diện ABCD

Cho tứ diệnABCD, O là một điểm trong tứ diện Các đường thẳng

AO, BO, CO, DO cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D lần lượt tại A , B , C , D' ' ' '.Khi đó ta có AO' +BO CO' + ' + BO' 12

1.4.4 Với ý nghĩa là các phương pháp suy nghĩ sáng tạo; khái quát hóa, đặc biệt hóa

và tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh

Tính độc lập và tính sáng tạo là hai trong số những phẩm chất trí tuệ quan trọng

- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tựmình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

- Tính sáng tạo của tư duy thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đimới, tạo ra kết quả mới

Muốn phát triển tính độc lập, sáng tạo của học sinh cần cho họ thường xuyên tập dượtcác suy luận có lý thông qua quan sát, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,… Giải một bài toán với nhiều cách giải khác nhau từ đó tìm được cách giải hay cũng đãgóp phần phát triển tính độc lập, sáng tạo Đề xuất và giải quyết các bài toán mới từnhững bài toán đã biết không những là sáng tạo mà còn tăng thêm niềm vui trong quátrình giải toán của học sinh

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được ĐPCM.

Chúng ta có thể đề xuất bài toán mới như thế nào?

* Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của BĐT (1): Xét riêng a 3 và a b 2 ta thấy trong sốhạng a 3 số mũ của a là 3, trong số hạng a b 2 thì số mũ của a là 2, số mũ của b là 1 Nhưvậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và b trong số hạng a b 2

bằng số mũ của a trong a 3 Từ đó ta có những BĐT tương tự sau:

Đặc biệt hóa các giá trị của m, n ta lại có những BĐT mới

Chẳng hạn m = n = 2 ta thu được BĐT quen thuộc a +b 4 4  2a b 2 2 (6)

n = 5, m = 2 ta thu được BĐT a +b5 5 a b +b a 3 2 3 2 (7)

* Tiếp tục quan sát số biến của các BĐT, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2 biến ta hoàntoàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và khái quát hóa lên n biến Ta có thể xâydựng những BĐT tương tự sau:

Khái quát hóa bài toán trên trong trường hợp n biến

Cho n số dương a , a , a , a 1 2 3 n, m, k, m k Chứng minh rằng:

BĐT này chứng minh tương tự như ở cách giải 2

Bằng những cách làm đó ta có thể hướng học sinh độc lập suy nghĩ để khôngngừng rèn luyện trí thông minh và sự sáng tạo

Ta có thể sáng tạo được BĐT (2), (3), (4), (6), (7) nhờ sự tương tự với BĐT (1).Đối chiếu sự tương ứng giữa các BĐT tìm ra dấu hiệu bản chất của chúng để xây dựngđược bài toán tổng quát Từ đó bằng khái quát hóa để được BĐT (4), (5) và (10), ta thấymức độ khái quát hóa ở đây cũng tăng dần

Tính sáng tạo sẽ phát triển cao hơn nếu ta biết đề xuất và giải quyết các bài toán mới

từ những bài toán đã biết

Ta có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán từ BĐT trên bằng phép đặc biệt hóa

Chẳng hạn, nếu cho b = b = b = 1 1 2 3 ta đã có ngay một bài toán

Chứng minh rằng, với ba số thực bất kỳ a, b, c ta đều có:

a+b+c2 3 a +b +c 2 2 2 (2)Nếu ta đặt a = X, b = 1 1 1

X.

và với điều kiện a+b+c = 1  X+Y+Z = a+b+c = 1 2 và ta có bài toán:

Chứng minh rằng, nếu a+b+c = 1 và a, b, c 0 thì

Nếu lấy X+Y+Z = a+b+c = 1 3 thì ta lại có một bài toán mới:

Chứng minh rằng nếu a+b+c = 1 và a, b, c 0 thì

Như vậy xuất phát từ một bài toán chúng ta có thể hướng dẫn học sinh dùng đặcbiệt hóa để tìm những hình thức khác nhau của một bài toán Kĩ thuật đặc biệt hóa cácbiến càng cao thì bài toán đó lại càng phức tạp Việc giải một bài toán hay là điều thú vị

nhưng chắc chắn nếu có thể tự mình sáng tạo những bài toán mới thì niềm vui còn tănglên rất nhiều Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự có ý nghĩa trong vai trò giúp họcsinh sáng tác các bài toán mới, tạo ra các kết quả mới.

1.5 Kết luận chương 1

Tóm lại, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có quan hệ mật thiết với nhau trởthành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trongtoán học sơ cấp cũng như toán học cao cấp

Ở nhà trường phổ thông, trong dạy học chứng minh BĐT, khái quát hóa, đặc biệthóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm ra lờigiải của bài toán; mở rộng đào sâu, hệ thống hóa kiến thức Với ý nghĩa là các phươngpháp suy nghĩ sáng tạo, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự đóng vai trò quan trọngtrong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh giúp họ làm quen với phươngpháp nghiên cứu khoa học, góp phần đào tạo và bồi dưỡng năng khiếu toán học nói chung

và lĩnh vực giải các bài toán BĐT nói riêng

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ THỒNG QUA

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

2.1 Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức

Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toán họcthường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức” Đối với chương trình toán ởtrường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng Ngay từ lớp 1, học sinhđược làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu   , vào ôtrống Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ caohơn Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương III - đại số 10 BĐT cótrong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảosát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụngBĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐTnhư một khâu trung gian

2.2 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không cóthuật giải Đặc biệt với những bài chứng minh BĐT là những bài toán mà không có mộtthuật toán nào để giải đòi hỏi các em phải luôn tư duy, động não Vì vậy, khi dạy nhữngbài chứng minh BĐT giáo viên hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìmtòi lời giải Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phùhợp với trình độ của từng đối tượng

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G Pôlya vềcách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lênphương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán.

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.

tương tự thường được sử dụng trong hai bước: Tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời giải

2.3 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự để tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: loại có thuậttoán để giải và loại chưa có thuật toán để giải Bài tập chứng minh BĐT thuộc về dạngbài tập chưa có thuật toán để giải Để tìm cách giải dạng toán này ta có thể hướng dẫnhọc sinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho,biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự nhưng đơn giảnhơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vài trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn haymột bài toán nào đó liên quan

có chứng minh Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh BĐT trên như sau:

Giáo viên: Như vậy BĐT trên được chứng minh nhờ thao tác đặc biệt hóa.

Cách 2: Sử dụng tương tự và đặc biệt hóa.

Chúng ta có thể biểu diễn (1) dưới dạng:



Giáo viên: Hãy chứng minh (3)

Học sinh: (3)  a -a 1 22  0 luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi a = a 1 2

Vấn đề là sự tương tự giữa (2) và (3) có giúp gì cho việc chứng minh hay không?

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ giữa (2) và (3)

Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải Kiểm tra lại lời giải bàitoán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không? Sai lầm khi chứng minhBĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều kiện

để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a và 1-a ta có:

Nhận xét: Sai lầm vì không để ý đến điều kiện của các số a, b trong BĐT Cauchy.

Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được để xemxét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát từ một bài toán

cho trước nào đó Chẳng hạn, ở ví dụ 11 của luận văn, sau khi dự đoán BĐT tổng quát

2.4 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự vào nghiên cứu lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Sau bước tìm cách giải, học sinh thường bỏ qua bước nghiên cứu sâu lời giải Giáoviên cần giúp học sinh làm quen và tập luyện một cách có ý thức bước nghiên cứu lời giảitrên hai khía cạnh: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải và nghiên cứu giảinhững bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 7

Cho a, b dương thỏa mãn a+b = 1, chứng minh rằng:

a b 2+

Từ đó có thể khái quát hóa bài toán với n (n   *) số dương tùy ý

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a 1 2 3 n thỏa mãn

n i i=1

Vẫn là cách nhìn dưới góc độ trên, nếu như tổng của các biến không phải là 1 mà làmột số bất kì, tức là

n i i=1

Ta có thể xây dựng được BĐT trên bằng cách thay số 2 ở trong BĐT bởi một tham

số α bất kì với α 1  Khi đó ta có bài toán:

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a 1 2 3 n thỏa mãn

n i i=1

Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp takhai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáo viên còn

có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho một lớp các bài tậpkhác Đây có thể xem như sự khái quát hóa về phương pháp

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nhận xét hai cách giải này ta thấy:

Với cách giải 1

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp các bài toán sau:

Bài toán 1

Bài toán 2 (Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1998-1999)

Cho a, b, c 0 và a+b+c = 3 Chứng minh rằng: a +b +c 4 4 4  a +b +c 3 3 3

Bài toán 3 (Đại học Ngoại thương TP Hồ Chí Minh 1995-1996)

Bài toán 4 (Đại học Y Dược TP Hồ Chí Minh 1992-1993)

Sau khi học sinh giải hệ thống bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh tìm phươngpháp chung để giải bài tập đó Nguyên tắc để thực hiện đó là tìm cách biến đổi sao chohai vế của BĐT cần chứng minh có cùng bậc Đây là một phương pháp chứng minh BĐT

có điều kiện được gọi là phương pháp “cân bằng bậc”

Với cách giải 2

Học sinh có thể đặt câu hỏi số 1 trong BĐT Cauchy đến từ đâu? Tại sao ta lại nghĩ

áp dụng BĐT Cauchy có sự tham gia của số 1

Câu trả lời là do tính bình đẳng của a, b, c nên ta dự đoán dấu đẳng thức có khi

phương pháp sử dụng điểm rơi để chứng minh BĐT

Chú ý: Nếu trong BĐT Cauchy có p biến tham gia đánh giá, và kết quả khai căn tổng sốcủa các biến bằng k, khi đó ta nói là “cân bằng bậc k cho p biến với điểm rơi”

Từ đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp những bài tập sau:

Đến bài toán 2 và bài toán 3 học sinh có thể gặp lúng túng vì bài tập vẫn tương tự

như dạng trên nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến

Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh đằng sau các biến x = , y = , z = a b c

thiết xyz = 1 Với gợi ý đó học sinh dự đoán được dấu đẳng thức có khi a = = = 1b c

Suy ra 1 là điểm rơi của BĐT Cauchy Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc nhất cho một biếnvới điểm rơi là 1.

sánh với một biểu thức có chứa xy+yz+zx Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc hai cho mộtbiến với điểm rơi như sau:

Theo Cauchy ta có: x +y +25+25 20 xy4 4  20xy

Sau khi chứng minh xong bài toán này học sinh có thể thay

k i i=1

a = 1

k i i=1

a = 1

quả của BĐT không thay đổi

2.5 Hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng dạng theo phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự

Hướng thứ nhất

Ta chọn bài toán khởi đầu để suy diễn ra một nhóm bài toán có liên quan dựa trênviệc khai thác kết quả và lời giải bài toán ban đầu Các thao tác tư duy sử dụng như phântích, khái quát hóa, tương tự,… Sau đó đặc biệt hóa để tạo ra những bài toán mới

Bài toán xuất phát 1

Khai thác lời giải 2

BT tương tự bài toán xuất phát

Khai thác lời giải 3

Ta có thể mở rộng bài toán (1) như sau:

2

α+β

α β +

Từ (1.2*) và (1.3*) ta có bài toán tổng quát sau:

α +α +αα