Sáng kiến kinh nghiệm SKKN môn toán THPT giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ"... II– QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1 – Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài: Trước khi t

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG

PHÁP TOẠ ĐỘ"

3- Phạm vi , đối tượng nghiên cứu:

- Khách thể: Học sinh lớp 12

- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong

chương trình THPT

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12

II– QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

1 – Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:

Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểmtra viết sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình họckhông gian Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháptoạ độ:

“Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD)”

30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trongbài toán được thuận tiện

10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu

Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu

2- Các biện pháp thực hiện đề tài:

Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng đụng cho học sinh thông qua một số bài

tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng

3 – Kết quả thực hiện đề tài:

Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: Cho

hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ SH vuông góc với mp (ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và đáy ABCD bằng 60 0

a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp (SCD)

b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CKSD và tính góc

giữa hai mặt phẳng (ASD);(CSD)

c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)

Kết quả :

100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểmtrong bài toán được thuận tiện

80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ

75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu

III– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài

Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học

hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ Do đó học sinh rất ngại khi giải cácbài toán không gian

Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy được tính ưuviệt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề ra giảipháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp

Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toánđược thuận tiện

Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ và ngượclại

NỘI DUNG

Chương I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Hệ trục toạ độ

Cho ba trục toạ độ x’Ox, yOy,

z’Oz vuông góc với nhau từng đôi

một tại điểm O Gọi   i j k, , là các

véctơ đơn vị tương ứng trên các

trục x’Ox, y,oy: z,oz Hệ ba trục

toạ độ như vậy gọi là hệ trục toạ

độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc

đơn giản là toạ độ Oxyz

2/ Vectơ đối với hệ toạ độ

+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v Vì ba vectơ   i j k, , không đồng phẳngnên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v xi y j zk   

+ Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v, kí hiệu là v x y z( ; ; ) hoặc v ( ; ; )x y z Số xgọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của vectơ v

+ Với hai điểm M x y z1 1 , , 1 1 và M x y z2 2 , , 2 2 thì:

Cho hai điểm M x y z1 1 , , 1 1 và M x y z2 2 , , 2 2, thì khoảng cách d giữa M1 và M2 là độ dàicủa vectơ M M 1 2

4/ Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước

Điểm M x y x , ,  chia đoạn thẳngM M1 2 theo tỉ số k: MM1 k MM2

5/ Góc giữa hai vectơ

Góc  giữa hai vectơ v1  ( , , )x y z1 1 1



và v2  ( , , )x y z2 2 2



xác định bởi:

b Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Vì đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P)

và (Q) nào đó, nên phương trình tổng quát của (d) có dạng:

 với điều kiện A B C1 : 1 : 1 A2 :B C2 : 2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ

Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng taphải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc,bằng nhau Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hìnhhọc sang bài toán đại số với những số, những chữ, véc tơ với phép toán trên nó Với bàitoán đại số này chúng ta có sự định hướng rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải

nhanh hơn Để thực hiện được điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụngcác kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp

Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp

Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ

Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán

Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình

II/Giải bài toán định lượng trong hình học không gian

Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phương pháp toạ độ thì rất khókhăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phương pháp toạ độ ta mới biểu diễnđược khoảng cách một cách đơn giản

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết

Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm:

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng

Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Tính độ dài đoạn thẳng

Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA’B’C’D’ ta thường thết lập hệ trục toạ độ dựa trên ba

cạnh AB, AD và AA’ tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh bằng a

a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’

b/ Gọi K là trung điểm DD’ Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường

B A

CD

CD

Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vuông góc với nhau

từng đôi một, biết AB=a AC=b, AD=c

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD)

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

C A(0;0;0);(0; ;0);b B D( ;0;0)(0;0; )a c

a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện, giả sử toạ độ của I là I x y z( ; ; )

Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có

AC’ vuông góc với mặt phẳng (B’CD’)

Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc

 60 0

A  , B’O vuông góc với đáy ABCD, cho BB’=a

a/ Tính góc giữa cạnh bên và đáy

III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết

Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng

minh

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:

AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b

Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là

đường vuông góc chung của hai cạnh đó

Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho

   IK là đường vuông góc chung của cặp cạnh đối diện AB và CD

Chứng minh tương tự ta cũng có IK là đường vuông góc chung của các cặp đối diện còn

lại

 ĐPCM

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a

Trên BD và AD’ lần lượt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho

Suy ra MN luôn luôn song song với (A’BCD’) cố định

Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vuông góc với nhau

từng đôi một Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh

nếu ( ) là mặt phẳng bất kỳ qua O thì khoảng cách từ D xuống ( )

x

yz

O

Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau các góc bằng nhau,

ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng   chứa các đường thẳng này CMR hình

chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng (d) lên mặt phẳng   cũng tạo thành những góc

bằng nhau với 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )

IV/ GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết

Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích

của nó

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC vuông

cân với AB=AC=a và AA 1 =h Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC

và A 1 C 1 Tìm trên đoạn EF điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và

(ACC 1 A 1) Tính khoảng cách đó

Giải

A(0;0;0) B(a;0;0) C(0;a;0)

2 2

2 ( ,0, )

E F I

ak R

k





*Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng  cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, SA=h (0<h<2R) và

vuông góc với mặt phẳng  Gọi M là điểm di động trên đường tròn (C) Tính h theo R

để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai đoạn AM và SB là đoạn vuông góc

chung của chúng, khi đó tính độ dài của đoạn vuông góc chung này

Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường stròn tâm O và O 1 , bán kính R, chiều cao hình trụ bằng h Trên hai đường tròn (O) và (O 1 ) có hai điểm di động A, B Gọi I, K theo thứ tự

là trung điểm OO1 và AB

a/ CMR IK là đường vuông góc chung của OO 1 và AB

b/Tính độ dài IK trong các trường hợp:

+ AB=kh với 1<k< 1 4R22

h



+ OA O B  , 1   

Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động

Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC Giả sử (d) là đường thẳng qua O, các điểm A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với A, B, C qua (d) Các mặt phẳng đi qua A’, B’, C’ tương ứng vuông góc với các đường thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M Tìm tập hợp các điểm