Trình chiếu bài toán cauchy dirichlet đối với phương trình parabolic trong miền không chính quy

BÀI TOÁN CAUCHY-DIRICHLET ĐỐI VỚIPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN... Tuynhiên, do nhu cầu thực tiễn, các bài toán biên đối với phương trình khôngdừng trên miền thay đổi theo thời gian c

BÀI TOÁN CAUCHY-DIRICHLET ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán biên không dừng (hyperbolic, parabolic, ) thường đượcxét trên miền chính quy, nghĩa là miền không thay đổi theo thời gian Tuynhiên, do nhu cầu thực tiễn, các bài toán biên đối với phương trình khôngdừng trên miền thay đổi theo thời gian cũng được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu Miền như vậy người ta gọi là miền không chính quy(non-regular) Có nhiều cách tiếp cận đối với những bài toán loại này.Trong khuôn khổ đề tài luận văn, chúng tôi quan tâm đến phương phápxấp xỉ miền để xét phương trình parabolic trong miền không chính quy.Bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài

“Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic trong

miền không chính quy” ,

trong đó nội dung nghiên cứu dựa trên các kết quả trong công trình [8]

Mở đầu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy-Dirichlet đối vớiphương trình parabolic trong miền không chính quy

3 Phương pháp nghiên cứu

Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền để chứng minh tính giải được duynhất của bài toán đặt ra

4 Cấu trúc của luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic trongmiền không chính quy

2.1 Phát biểu bài toán

2.2 Tính duy nhất nghiệm

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

2.4 Sự tồn tại nghiệm

Chương 1 Chương 2

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử Ω là một tập mở trong R2, xác định bởi

Ω = {(t, x1) ∈ R2: 0 < t < T ; ϕ1(t) < x1< ϕ2(t)},trong đó T là số dương, hữu hạn; ϕ1, ϕ2 là các hàm giá trị thực, liên tụcLipschitz trên [0, T ] sao cho:

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử Ω là một tập mở trong R2, xác định bởi

Ω = {(t, x1) ∈ R2: 0 < t < T ; ϕ1(t) < x1< ϕ2(t)},

trong đó T là số dương, hữu hạn; ϕ1, ϕ2 là các hàm giá trị thực, liên tụcLipschitz trên [0, T ] sao cho:

ϕ(t) := ϕ2(t) − ϕ1(t) > 0, khi t ∈ [0, T ]

Hàm ϕ có thể triệt tiêu tại t = 0 hoặc t = T

Giả thiết các hàm ϕ1 và ϕ2 thỏa mãn

ϕ0i(t)ϕ(t) → 0 khi t → 0, i = 1, 2, (1)

ϕ0i(t)ϕ(t) → 0 khi t → T , i = 1, 2 (2)

2.1 Phát biểu bài toán

Cho các số dương cố định bi, với i = 1, 2, , N − 1 Giả sử Q là miềnthuộc không gian (N + 1) chiều, xác định bởi

trong đó ΓT là phần biên của Q khi t = T và f ∈ L2(Q)

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính giải được duy nhất của bàitoán (3) trong không gian Sobolev H01,2(Q), với

H01,2(Q) = {u ∈ H1,2(Q) : u|∂Q\ΓT = 0},

Chương 1 Chương 2

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi

Chương 1 Chương 2

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi

Chương 1 Chương 2

2.4 Sự tồn tại nghiệm

Kí hiệu un∈ H1,2(Qn) là nghiệm của bài toán (3) tương ứng với số hạng

bên vế phải fn= f |Q n ∈ L2(Qn) trong

2.4 Sự tồn tại nghiệm

Định lý 2.3

Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2(Q) thỏa mãn đánh giá

kuk2H1,2 (Q) ≤ K kf k2L2 (Q)

unj * u trong L2(Q),]

∂tunj * v trong L2(Q),

^

∂αunj * vα trong L2(Q),

EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN!