Trình chiếu tính ổn định vững của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNGLỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Người hướng dẫn khoa học : TS... Sử dụng các khái niệm của giải tích trên thang thời gian, các phươngtrình vi phân và s

TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG

LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN

Người hướng dẫn khoa học : TS Đỗ Đức Thuận

Học viên : Lưu Thị Hoa

Mã học viên : K24-0108

Hà Nội, 26-10-2016

Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, các phương trình vi phân đại số đượcquan tâm vì nó xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạnnhư trong mạch điện, các phản ứng hóa học, hệ thống giao thông,thiết kế robot,

Cùng với lý thuyết về phương trình vi phân đại số, có một sự quantâm khác đến các phương trình sai phân đại số vì sự xuất hiện củachúng trong nhiều lĩnh vực thực tế Ngoài ra, các phương trình saiphân đại số xuất hiện một cách tự nhiên khi sử dụng kỹ thuật rời rạchóa để giải các phương trình vi phân đại số từng phần

Sử dụng các khái niệm của giải tích trên thang thời gian, các phươngtrình vi phân và sai phân đại số có thể viết chung dưới dạng cácphương trình động lực ẩn trên thang thời gian Do vậy, một cách tựnhiên, câu hỏi được đặt ra là: Liệu các kết quả đã biết đối với phươngtrình vi phân đại số hay sai phân đại số có thể được mở rộng vàthống nhất lần lượt cho các phương trình động lực ẩn hay không?

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày các khái niệm cơ bảnnhất về thang thời gian cũng như một số kết quả về tính ổn định củaphương trình động lực thường trên thang thời gian

Chương 2: Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trênthang thời gian Nghiên cứu tính ổn định của phương trình động lực

ẩn trên thang thời gian Phần đầu của chương sẽ đi xét tính ổn địnhcủa các phương trình động lực ẩn Phần sau được dành để nói về tính

ổn định vững và bán kính ổn định của các phương trình động lực ẩntuyến tính với hệ số là hằng số

1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

1 Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf {s ∈ T : s > t};

Khi T = R thì σ(t) = t = ρ(t) và µ(t) ≡ 0; T = Z thì

σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − 1 và µ(t) ≡ 1

1.2 Tính khả vi, tính khả tích và tính hồi quy

Định nghĩa 1.2.1

Xét hàm số f : T −→ R ∆- đạo hàm (còn gọi là đạo hàm Hilger) của ftại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f∆(t), nếu với mọi  > 0cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]|≤ |σ(t) − s|,

với mọi s ∈ U

tồn tại với mọi t ∈ Tk

Định nghĩa 1.2.14

Hàm p : T −→ K được gọi là hồi quy (regressive) nếu 1 + µ(t)p(t) 6= 0với mọi t ∈ Tk

1.3 Hàm mũ và phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian

1.4 Tính ổn định mũ của phương trình động lực thường trên thang thời gian

Ta xét phương trình động lực thường trên thang thời gian T

Định nghĩa 1.4.1

Nghiệm x ≡ 0 của phương trình động lực (1.7) được gọi là ổn định mũ nếu

thỏa mãn kx (t; t0, x0)k ≤ Nkx0ke−α(t, t0), với mọi t ≥ t0, t ∈ Tτ

x ≡ 0 của (1.7) gọi là ổn định mũ đều

1.4 Tính ổn định mũ của phương trình động lực thường trên thang thời gian

2.1 Khái niệm và một số đặc trưng

Xét phương trình động lực ẩn trên thang thời gian T

hoặc số phức Ta giả sử rằng cặp ma trận {A, B} là chính quy và

ind {A, B} = k ≥ 1 do đó ta có khai triển

trong đó Ir là ma trận đơn vị của Rr ×r, B1 là một ma trận thuộc Rm×m, và

b

Q = Tdiag (0r, Im−r)T−1, bP = Im− bQ = Tdiag (Ir, 0m−r)T−1 (2.3)

2.1 Khái niệm và một số đặc trưng

Định nghĩa 2.1.1

Phương trình động lực ẩn (2.1) được gọi là:

1 Ổn định nếu với mỗi  > 0 và t0 ∈ Tτ, ∃δ = δ(t0, ) > 0 sao cho

k bPx0k < δ kéo theo

kx(t; t0, b 0)k < , với mọi t ≥ t0

dương δ = δ(t0) sao cho bất đẳng thức k bPx0k < δ kéo theo

lim

t→∞kx(t; t0, b 0)k = 0

2.1 Khái niệm và một số đặc trưng

Định nghĩa 2.1.1 (Tiếp theo)

điều kiện ban đầu bP(x (t0) − x0) = 0 thỏa mãn

có cấu trúc của phương trình (2.1) Nếu đặt E = [E1, E2] với

−1

(2.22)

36.

Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo)

Hơn nữa, ta thấy rằng

Kết luận chung

Trình bày các khái niệm cơ bản về thang thời gian và một số kết quả

về tính ổn định của phương trình động lực thường trên thang thờigian

Trình bày tính ổn định của phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ

số hằng Nghiên cứu các đặc trưng cho tính ổn định vững của phươngtrình chịu nhiễu Lipschitz và chịu nhiễu cấu trúc Đưa ra công thức

cấu trúc nhiễu dạng [A, B] [ eA, eB] = [A, B] + DΣE

EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN!