Luận văn moment từ dị thường electron và phương pháp PAULI VILLARSTRONG lý thuyết trường lượng tử

Ví dụnhư sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặcmoment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thựcnghiệm trùng nhau với độ chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ

PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ

PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Hà Nội

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em

trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập

thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp

đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá

trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này

Học viên

MỤC LỤC

Mã số : 60.44.01 2

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 4

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON 17

CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG 26

KẾT LUẬN 37

PHỤ LỤC A 39

PHỤ LỤC B 43

PHỤ LỤC C 45

Mã số : 60.44.01 2

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 4

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON 17

CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG 26

KẾT LUẬN 37

PHỤ LỤC A 39

PHỤ LỤC B 43

PHỤ LỤC C 45

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi làđiện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triểncủa QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R.Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việctái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thànhcông các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụnhư sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặcmoment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thựcnghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac

cho electron ở trường điện

từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tươngtác từ tính mới Cường độ của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron,

và nó bằng (và là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của electron, - gọi làmagneton Bohr) Các hiệu ứng tương tác của chân không vật lý với electron – khitính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từelectron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron và điện tích electron sẽ dẫnđến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là moment từ dị thường Lưu ý, chỉ số

R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng

, giá trị này được gọi là moment

từ dị thường của electron J.Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính chomoment từ dị thường của

electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

số tính toán với thực nghiệm vào khoảng ) Biểu thức giải tích của

moment từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được :

(0.1)

(0.2)

Ở đây về cơ bản các giá trị moment được tính bằng lý thuyết theo thuyếtnhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớpvới nhau

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng chomoment từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trìnhtính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli -Villars

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kếtluận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo

Chương 1 Phương trình Pauli và moment từ của electron Phương

trình Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục

1.1 xuất phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu

được phương trình Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trườngngoài /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúngphi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng , v –

là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng Các bổ chính tương đối tính tiếp theocho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn thu được bằng việc sử dụng phépbiến đổi Fouldy - Wouthuyen ở mục 1.3

( )v c

ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạelectron với trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynmantrong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron Mục2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt tronggần đúng phi tương đối tính

Chương 3 Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.

Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauli - Villars ta tách phần hữu hạn và phầnphân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức bổchính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục3.2

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng

quát hóa sơ đồ tính toán cho các lýthuyết tương tự Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

và metric Feynman Các véctơ phản biến là tọa độ:

thì các véctơ tọa độ hiệp biến:

, trong đó:

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại

có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến3

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA

ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electronvới trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóaphương trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác củamomen từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Diraccho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ởgần đúng bậc ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứucác bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sửdụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt

có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc củahạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli có dạng phương trìnhSchrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm sóng trong phương trìnhPauli không phải là một vô hướng có một thành phần phụ thuộc vào các biếnkhông gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là Kết quả để cho hàmsóng là một spinor hai thành phần:

, ,2

hr2h

Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng:

(1.4)

Nếu hạt ở trong trường

điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong phương trìnhSchrodinger:

(1.5)

Kể thêm spin của hạt

thì phương trình mô tả phải

có thêm một năng lượng phụ

Kết quả ta thu được phương trình:

(1.6)

ở đây , là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ Phương trình (1.6)

là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạngchính tắc ta có:

( )2

nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor liên hệ với

và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor liên hệ với thừa số Thay (1.11) và(1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có:

(1.13)

Và để cho nghiệm âm:

(1.14)Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau:

r

r rh

1( / ) u

số hạng tương tác giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trường ngoài, trong

đó electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn:

(thừa sốLande)

(1.17)

Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theokiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”

Đối với hạt không phải

là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạn trên dẫn đến các kếtquả sai Rõ ràng trong những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kểthêm trường điện từ ngoài Chính vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhậnđược phương trình phi tương đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cáchhiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng moment

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểuthức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng vớiphương trình (1.16) với độ chính xác

r

2

v c

n r

H 2 0

Chúng

liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục và trong trường hợp nghiệm dương,các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trìnhDirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc vàsai sót trong Hamilton ở bậc Trong giới hạn này là chéo nhưng các nghiệm âm

và dương là hoàn toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc caohơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách

sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phương trình Dirac

Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc và phương trình Dirac ở dạng:

( )3 3

v c

n r

H

(v c/ )2

Và phép biến đổi thứ hai ta có:

v O c

ω′′= − ′ + ω ε′ ′ + ω ω ω ε′  ′ ′ ′ + =  ÷ 

 

( )5 5

v O c

[ ]

5

1, ,

2

2 2 0

chéo hóa Hamilton:

- Khi các là tự liên hợp, thì

các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen cũng là những phép biến đổi unita.Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình như phép biến đổi

- Để cho toán tử Dirac –

Hamilton, điều này có nghĩa khi sự biến đổi :

toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy – Wouthuyen theo phép biếnđổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo Phươngpháp Fouldy – Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóngcùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt.

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lýtrong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen là hộitụ

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac Phép biến đổi

Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậcbất kỳ hữu hạn nào đấy Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng:

Ta nhận được biểu diễn

mới của lý thuyết Dirac mà trong đó:

(1.47)

Bỏ qua các

toán tử lẻ, phần chẵn dẫn đến lý

thuyết một hạt chính xác cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc

- Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện Để kết thúc ta trở lại phương trình

(1.16) Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xéttrường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện:

v O

số1 Trong trường hợp của thế Coulomb hai thành phần cuối cùng là:

và

(1.51)

Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s - trạng thái

1Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:

L trong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác vớispin của nó Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý doxem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2

4

Ze

L

m c rh σrr

lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.

- Phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach

- Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một

độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho cáctrường hợp, thứ nhất phép khai triển là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạtđược chấp nhận

Hamiltonian của phương trình có dạng:

mô tả tương tác của

moment từ riêng với từ trường ngoài Hạt có spin bằng ½ có điện tích e, sẽ cómoment từ:

- Moment từ dị

thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng:

- magnetonBohr

(v c/ ) (v c/ )

(v c/ )

( )2

12

Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron:

- gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vìchân không ở đây là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xétdưới đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạtvới chân không vật lý

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài taviết S-ma trận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòngcho đóng góp vào moment từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảoluận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đốitính

cho quá trình tán xạ này (xem Hình 2.1).

Hình 2 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

Các giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân khôngvật lý - chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron.

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và(b1) cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại(b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóađiện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từngoài Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượngphoton, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnhFeynman (b1) cho moment từ dị thường của electron

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng vớigiản đồ Hình 2 1(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

(2.4)

Vì trường ngoài không phải

là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta có thể bỏ ra ngoài N-tích và , đồngthời khai triển các toán tử và thành các toán tử sinh hủy hạt

,

với: :toán tử hủy ; :toán tử hủy ;

:toán tử sinh ; :toán tử sinh

Nên:

(2.5)

Xét yếu tố ma trận:

(2.6a)

Khi chuyển các toán tử sinh electron từ phải sang trái và chuyển các toán tử hủy electron từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận

(2.6b)Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tínhcủa electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

,(2.7)

trong đó: : spinor của electron ở trạng thái đầu ;

1 1

2 2

10

22

12

ex

10 20

2 1

là thế điện từngoài

Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay bằng đạilượng tổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là cácgiản đồ đỉnh Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực vàloại giản đồ không đích thực 2 Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « mộthạt bất khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằngviệc cắt bỏ một đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào cácđường ngoài của giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khốilượng của các đường ngoài, tương ứng với các hạt ngoài

Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, taxác định « phần đỉnh đích thực »

(2.10)

trong đó là đỉnh « trần » , còn

2 Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và

« không Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp »

được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1 Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theotrường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được kể đến, được xác định bằng, màtrong đó ta thay bằng

Bằng lập luận bất biến Lorentz, hàm đỉnh có thể biểu diễn dưới dạng:

Khi các đường ngoài nằm

trên mặt khối lượng , thì chỉ có một biến độc lập bất biến mà ta chọn là Định luậtbảo toàn dòng:

(2.16)

Điều này dẫnđến các điều kiệnsau và Hệ quả chỉ còn lại hàm số độc lập và , chúng ta viết lại toán tử đỉnhdưới dạng: (2.17)

Cần nhấn mạnh các thừa số dạng tồn tại khi các xung lượng không nằmtrên mặt khối lượng

Sử dụng sự khai triển của Gordon:

tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ

Yếu tố S-ma trận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổchính có dạng:

νσ

Bây giờ ta chọn trường

ngoài là từ trường tĩnh với

thức này mô tả tán xạ của hạt với moment từ:

việc biểu diễn moment từ qua đơn vị magneton

0

e S m

2 1

01

0

F e

( ) ( )

2 1

0

2 1

0

F g