Luận văn phân tích ổn định của vỏ cầu nhẫn vật liệu cơ tính biến thiên

Đào Huy Bích và đồng sự đã sửdụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiêncứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1].Nath và A

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội

1

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình củathầy giáo hướng dẫn, sự ủng hộ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Cơ –Tin học và sự động viên của gia đình và bạn bè

Với tất cả tình cảm của mình em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơnsâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Đào Huy Bích đã tận tình giúp đỡhướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Đồng thời em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trongkhoa Toán– Cơ – Tin học đã nhiệt tình bảo ban, truyền đạt kiến thức kinhnghiệm cho em trong suốt 4 năm đại học

Cuối cùng em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, các anhchị và bạn bè đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Học viên

Nguyễn Thị Dung

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu……… 4

Chương 1: Các phương trình và hệ thức cơ sở

1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị của vỏ cầu……… 61.2: Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu……… 81.3: Phương trình cân bằng……… 10

Chương 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu

2.1: Trạng thái màng trước khi mất ổn định………122.2: Phương trình ổn định………132.3: Phương pháp giải ……….15

Chương 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu

có cơ tính biến thiên

3.1: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn 253.2: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn q 273.3: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của p và q 30

Tài liệu tham khảo……… 32 Phụ lục……… ……….….

3

Mở đầu : VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM )

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ranhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian FGM là một loại vậtliệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ vàliên tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tậptrung, giảm ứng suất nhiệt và ứng suất dư Những vật liệu này thường đượcsản xuất từ hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khácnhau Loại vật liệu này có thể chịu được sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổnđịnh hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động Với những đặc điểm

ưu việt đó mà lớp vật liệu này đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãitrong thực tế đặc biệt là trong các nghành công nghiệp đóng tàu, hàng không,

vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v

Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã cónhiều công trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu bằng loạivật liệu này Đối tượng được nghiên cứu nhiều về ổn định và dao độngthường là bản hoặc vỏ V Birman [13] đã đưa ra các hệ thức về ổn định củabản composite FGM, E Feldman và J Abouli [5] nghiên cứu về ổn định đànhồi của bản FGM bị nén, J N Reddy [6] đưa ra phương pháp nghiên cứu về

sự uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM Đối với vỏ nón, Tani đãnghiên cứu tính mất ổn định động của vỏ nón cụt đẳng hướng dưới tải dọctrục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi mất ổn định [10] vàdưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sửdụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân hữu hạn Cũng sử dụngphương pháp này ông đã phân tích ảnh hưởng của độ võng ban đầu đến ổnđịnh nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12] Xu và đồng sự sử dụng phương

phương pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồidẻo dưới tác động của tải nén và áp suất [9] Đào Huy Bích và đồng sự đã sửdụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiêncứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1].Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev

để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu đượcngàm Dumir đã tìm được đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyếncủa chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố đều song songvới trục đối xứng [8] Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGMchịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích gần đúng được trình bày trongcông trình của Đào Huy Bích [3] Gần đây, Đ H Bích cùng Đ.V.Dũng vàL.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầuFGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [4] Trong bài viết đó, các tác giả đã

sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phương pháp Bubnov – Galerkin để xác địnhlực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trường hợp ổn định tĩnh và phương pháp sốRunge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ Ngoài ra, Đ.H.Bích vàH.V Tùng cũng đã công bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trụcbằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố đều đồngthời chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [2]

Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiêndưới tác dụng của lực song song với trục đối xứng và áp suất ngoài Phươngpháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và áp dụngtiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu Tác giả cũng

đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn khicác yếu tố về tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay đổi và đưa ra một vàinhận xét tương ứng

5

Chương 1: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ

Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài.

1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu

Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy Error: Reference source notfound, bán kính vỏ cầu là R Vỏ cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm Gắn hệ trục tọa độ φ, Error: Reference source not found theo hướng kinhtuyến và vĩ tuyến tương ứng và z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1

Hình 1.

Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm

và kim loại Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độcao nhờ tính dẫn nhiệt thấp Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bịđứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gianrất ngắn Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thayđổi liên tục theo độ dày của vỏ Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và

hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa

Gọi Error: Reference source not found và Error: Reference source notfound tương ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm Chúng liên hệvới nhau bởi hệ thức: Error: Reference source not found

7

not found do φ nhỏ nên Error: Reference source not found , Error: Referencesource not found Bằng cách này các điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễntheo 2 tọa độ Error: Reference source not found và Error: Reference sourcenot found.

Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị vàbiến dạng được biểu diễn bởi:

trong đó:

với: u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hướng các tọađộError: Reference source not found, 𝜃 và z tương ứng Error: Referencesource not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source

1.2 Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu

Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ cầu

ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp

trong đó:

9

Với:

Từ (1.4) và (1.5) ta có :

Ngược lại từ (1.4) ta có :

1.3 Phương trình cân bằng

Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy Error: Reference source notfound, bán kính vỏ cầu là R chịu tác dụng của áp suất ngoài q và lực P songsong với trục đối xứng

Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ

Sử dụng (1.10) và (1.11) phương trình (1.12) được viết lại dưới dạng :

11

Сhương 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU

Trong chương này nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ cầu mất ổn định Từ đó xây dựng phương trình ổn định, tiến hành giải bài toán bằng cách

áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin.

2.1 Trạng thái màng trước khi mất ổn định.

Trạng thái lực màng trước khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân bố Psong song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q được xác định từ hệphương trình sau:

trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (2.1) ta được:

suy ra:

Thay Error: Reference source not found vào (2.2) ta xác định đượcError: Reference source not found:

(u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái cân bằng lân cận tương ứng cùng dạngtải trọng như dạng cân bằng Error: Reference source not found, Error:Reference source not found là gia số chuyển vị nhỏ tùy ý 𝛿Error:Reference source not found là gia số lực tổng hợp và momen tổng hợpứng với Error: Reference source not found

Các lực tổng hợp và momen Error: Reference source not found; Error:Reference source not found; Error: Reference source not found𝛿Error:Reference source not found và Error: Reference source notfound𝛿Error: Reference source not found đều thỏa mãn các phươngtrình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phương trình nhận được tương ứng vàtuyến tính hóa phương trình mới nhận này ta có:

13

Thay (1.1) vào (1.4) và (1.5) ta được các lực tổng và momen theo chuyển

vị ở hai trạng thái, qua đó xác định được gia số chuyển vị, gia số lực vàmomen, giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với Error: Reference source notfoundvà Error: Reference source not found Tiếp tục thay các đại lượng nàyvào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu được phương trình ổn định với các ẩn Error:Reference source not foundvà Error: Reference source not found Để đơn giản

và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu Error: Reference source not found

Error: Reference source not found (2.7)

trong đó: Error: Reference source not found

Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại Error: Reference source

Vì Error: Reference source not found nên Error: Reference source notfound, ta nhân cả hai vế của phương trình (2.11) và (2.12) với Error:

19

Reference source not found, phương trình (2.13) với Error: Reference sourcenot found rồi lấy tích phân trên khoảng Error: Reference source not found:

trong đó Error: Reference source not found lần lượt là vế trái của cácphương trình (2.11), (2.12), (2.13) Từ đó ta được hệ phương trình:

Error: Reference source not found (2.14)

Với:

Hệ phương trình (2.14) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi địnhthức:

3 Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q:

Đặt Error: Reference source not found khi đó ta có:

Trong các công thức (2.17) – (2.19) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số sóng m, n có mặt trong các hệ số Error: Reference source not found Lực tới hạn được xác định bởi các giá trị nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tương ứng: Error: Reference source not found

Đặt :

Biểu diễn lại các hệ số ta được:

23

Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ

Mặc dù đã xác định được dạng hiển của lực tới hạn nhưng việc tìm giá trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn về mặt toán học vì vậy để khắc phục chúng ta tiến khảo sát tính toán số bằng phần mềm Matlab trong từng trường hợp riêng: Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q

và chịu tác dụng đồng thời của hai lực p, q

3.1 Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p

Để nghiên cứu tính ổn định của vỏ cầu ta xét vỏ cầu bằng vật liệu là hỗnhợp của nhôm (kim loại) có modun đàn hồi Error: Reference source not found

và oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi Error: Reference source not found, đểđơn giản ta lấy hệ số Poiison Error: Reference source not found;cho kích

25

thước vỏ Error: Reference source not found; Error: Reference source notfound R/h = 1000 Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìmgiá trị nhỏ nhất đối với lực p (xem phụ lục), từ đó tìm được lực p đạt giá trịnhỏ nhất tại (m, n) = (4, 1) Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 vàbảng 1.

Hình 2 Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1với R/h = 1000; Error: Reference source not found; Error: Reference

source not found

Bảng 1 Giá trị cực tiểu của lực tới hạn Error: Reference source not

found.

0 1,0852(2,1) 0,6580(3,1) 0,6233 (4,1) 0,7378(5,1) 0,9392(6,1)

1 0,6358(2,1) 0,3710(3,1) 0,3350 (4,1) 0,3834(5,1) 0,4790(6,1)

3 0,4200(2,1) 0,2492(3,1) 0,2298 (4,1) 0,2671(5,1) 0,3366(6,1)

Nhận xét: Từ hình 2 và các giá trị trong bảng 1 cho thấy với n = 1 giá trị

lực nhỏ nhất tương ứng với m = 4 Khi số mũ đặc trưng k tăng tức là tỉ phầnthể tích của gốm giảm nên lực tới hạn p cũng giảm

Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu được kết quả thểhiện trong bảng 2

Bảng 2 Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn Error: Reference source not found với Error: Reference source not found; Error: Reference source not

found

p (m,n), GPa R/h

Nhận xét: Kết quả khảo sát trong bảng 2 cho thấy khi tỷ số R/h tăng thì

lực tới hạn p giảm Trên thực tế khi tỉ số này tăng tức là bán kính vỏ cầu tănghoặc độ dày giảm thì vỏ cầu dễ bị biến dạng hơn Điều này cũng phù hợp vớitính chất của kết cấu

27

Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng của các tỉ số Error: Reference source notfound; Error: Reference source not found tới lực tới hạn p ta nhận được kếtquả thể hiện trong bảng 3:

Bảng 3 Ảnh hưởng của tỷ số Error: Reference source not found; Error: Reference source not found đến lực tới hạn Error: Reference source not found theo m, n với Error: Reference source not found.

p (m,n), GPa

r 1 /R

0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22)0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1)0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1)

Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy cùng tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có nghĩa

là bề rộng của cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm

3.2 Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q

Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q, với R/h = 1000; Error:Reference source not found; Error: Reference source not found Trong đó R = 5m;

h = 0.005m, sử dụng chương trình Matlab tìm giá trị nhỏ nhất ta tìm được lực

q đạt nhỏ nhất tại m = 2, n = 18 (với k = 1 hoặc k = 2) và n = 17 (với k = 0

Hình 3 Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n khi m=2với R/h = 1000; Error: Reference source not found; Error: Reference

source not found

Bảng 4 Giá trị cực tiểu của lực tới hạn Error: Reference source not found theo n với m = 2; R/h = 1000; Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found.

(2,16)

4,0221 (2,17)

4,0394(2,18)

4,0882(2,19)

4,1652(2,20)

1,6916 (2,18)

1,7023(2,19)

1,7250(2,20)

(2,16)

1,4951 (2,17)

1,4968(2,18)

1,5102(2,19)

1,5342(2,20)

Nhận xét: Do tính chất của vật liệu có thể thấy rằng khi chỉ số k giảm thì

giá trị lực tới hạn q tăng lên Tương tự như khi khảo sát lực p, ta cũng kiểmtra ảnh hưởng của các đại lượng Error: Reference source not found; Error:

29

Reference source not found; Error: Reference source not found và thu được cáckết quả trong bảng 5 và bảng 6.

Bảng 5 Ảnh hưởng của tỷ số Error: Reference source not found đến lực tới hạn Error: Reference source not found theo m, n; Error: Reference source not found ; Error: Reference source not found.

Từ các kết quả đạt được ở trên ta thấy giá trị lực tới hạn giảm khi tăng tỉ

số R/h và tăng chỉ số k Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu là vật liệu đồng chấtbằng oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi cao Đây là nguyên nhân làm chogiá trị lực tới hạn có giá trị cao hơn

Bảng 6 Ảnh hưởng của tỷ số Error: Reference source not found; Error: Reference source not found đến lực tới hạn Error: Reference source not found với Error: Reference source not found; k=1

q (m,n), 10 5

r 1 /R

0,1 2,4942 (2,12) 2,6911 (4,13) 2,6874 (8,3)0,15 2,3904 (2,13) 2,3831 (2,17) 2,6255 (2,21)