Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học

……… NGUYỄN HUY NGHĨA ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG SINH HỌC Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễ

………

NGUYỄN HUY NGHĨA

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

TRONG SINH HỌC

Chuyên ngành Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, thầy đã truyền thụ cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn chân thành tới thầy

Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Lạng Giang số 1 đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Tác giả xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ trong suốt quá trình viết luận văn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

MỤC LỤC Trang

Trang phụ bìa……… ……… 1

Lời cảm ơn….……… …… 2

Lời cam đoan……… 3

Mục lục……… 4

MỞ ĐẦU……… 5

NỘI DUNG……… … 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……….… 7

1.1 Dãy số……….… 7

1.2 Sai phân……… 7

1.2.1 Định nghĩa……… 7

1.2.2 Tính chất……… 8

1.2.3 Một số ứng dụng trong toán phổ thông……….……… 11

Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính……… …… 15

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính……….…… 15

2.1.1 Định nghĩa……… 15

2.1.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính….……… 16

2.2 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính ……… 24

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số ……… 25

2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số ……… 25

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số……… 30

2.4 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên……… 42

2.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến ……… 42

2.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số biến thiên………… 43

2.5 Hệ phương trình sai phân- phương trình phân thức……….… 45

2.5.1 Hệ phương trình sai phân……… 45

2.5.2 Phương trình phân thức……… 47

2.6 Tuyến tính hoá……… 48

2.6.1 Tuyến tính hoá phương trình sai phân……… 48

2.6.2 Một số phương trình sai phân tự tuyến tính hoá……… 52

2.6.3 Tuyến tính hoá phương trình sai phân bằng cách đặt ẩn phụ………… 53

Chương 3 Một số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học…… 56

3.1 Sự phân chia tế bào……….… 56

3.2 Sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng……… 57

3.3 Sự sinh trưởng của các sinh vật phân đốt……….… 59

3.4 Mô hình về sự sinh sản các tế bào hồng cầu……….……… 63

3.5 Dung tích khí lưu thông và mức độ CO 2trong máu……… 65

3.6 Sự phát triển của thực vật một năm……….………… 67

3.7 Sự hoạt động của mạng thần kinh……….………… 71

3.8 Sự hoạt động của các cơ quan cảm giác……… 75

KẾT LUẬN……….……… …… 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ……… 80

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân là một phương pháp quan trọng trong việc giải các bài toán thực tiễn Phương pháp sai phân được sử dụng để giải phương trình các toán tử nói chung, đặc biệt là giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Phương pháp sai phân được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như: Vật lí, điều khiển học, y học…Nhờ vào việc giải phương trình và hệ phương trình sai phân mà có thể dự báo được sự phát triển dân số, dự báo về việc điều chỉnh trong nền kinh tế quốc dân qua nghiên cứu mô hình ngoại thương giữa các nước, định hướng việc phát triển diện tích gieo trồng loại cây nông sản nào đó…Kiến thức về sai phân còn được áp dụng vào các quá trình sinh học Kiến thức này giúp ta thiết lập mô hình sinh học, phân tích đặc tính mô hình này và đặc tính nghiệm của chúng để từ đó điều chỉnh mô hình sao cho phù hợp với thực tế Với lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài: “ Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong Sinh học” để thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, cấp 2

và bài toán tuyến tính hoá phương trình sai phân

Luận văn nghiên cứu các ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính vào các quá trình sinh học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chương 1: Trình bày định nghĩa sai phân, tóm tắt các tính chất cơ bản, một vài ứng dụng trong giải toán phổ thông

Chương 2: Trình bày về phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2, phương trình sai phân với hệ số biến thiên, hệ phương trình sai phân, tuyến tính hoá phương trình sai phân một cách có hệ thống

Chương 3: Nêu các bài toán ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học, trong đó có nêu ra cách thiết lập các phương trình sai phân đã biết cách giải Từ việc phân tích phương trình và đặc tính nghiệm của phương trình từ đó nêu ra các nhận xét mang tính dự báo hoặc kiến nghị về việc điều chỉnh trong các quá trình sinh học

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Sai phân, phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính, tuyến tính hoá phương trình sai phân

Một số áp dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học như: sự phân chia tế bào, sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng, sự sinh trưởng của các sinh vật phân đốt, sự sinh sản của tế bào hồng cầu, sự sinh trưởng của thực vật một năm, mức độ CO2 và dung tích khí lưu thông trong máu, sự hoạt động của mạng thần kinh, sự hoạt động của các cơ quan cảm giác

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu chuyên khảo

Tổng hợp kiến thức thu nhận được để vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm nghiên cứu về toán ứng dụng

NỘI DUNG

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Dãy số

Gọi M là tập hợp n+1 số tự nhiên đầu tiên: M= {0, 1, 2,…, n} Một hàm số

x xác định trên tập M được gọi là một dãy số hữu hạn và tập giá trị của dãy số

hữu hạn này là: {x(0)=x0, (1)x =x1, , ( )x n =xn}

Một hàm số x xác định trên tập N được gọi là một dãy số vô hạn ( gọi tắt

là dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là:

{x(0)=x0, (1)x =x1, , ( )x n =xn, } Vậy: Ta có thể xem dãy số là một hàm của đối số tự nhiên n, với kí hiệu:

Ta gọi sai phân của sai phân cấp 1 của hàm số xn là sai phân cấp 2 của

Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân của sai phân cấp k-1 của hàm số xn là

sai phân cấp k của hàm xn:

1 1 ( 1)

0

i k

i

++

Đây là vế phải của ( 1.2) Suy ra ( 1.2) đúng ∀ ∈
k *

Vậy công thức ( 1.1) đúng với ∀ ∈
(Điều phải chứng minh) k *

Đây là điều phải chứng minh

Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:

i) Đa thức bậc m- k khi k< m

ii) Hằng số khi k= m

iii) Bằng 0 khi k> m

Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp k cũng là toán tử tuyến tính, nên

ta chỉ cần chứng minh cho đơn thức P m( )n =n m là đủ

( )1

1.2.3 Một số ứng dụng trong toán phổ thông

1.2.3.1 Tính tổng

!1

n k

k k

2sin

2sin2

x k

+

=

2 Ta có: sin 1 sin 1 sin 1 2 s sin

x k

Giải: Để tìm số hạng tổng quát ( hay qui luật) của dãy số ta lập bảng sai phân sau:

Do 2un∆ =3 là hằng số nên u n = f n( ) là đa thức bậc 2

Giả sử: f n( )=an2+bn c a+ ( ≠0), n là số thứ tự của các phần tử trong dãy Cho n= 0, 1, 2 ta được hệ phương trình sau:

321

92

2

a c

Giả sử: f n( )=an3+bn2+cn d a+ ( ≠0), n là số thứ tự của các phần tử trong dãy Cho n= 0, 1, 2, 3 ta được hệ phương trình sau:

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1: Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính

giữa sai phân các cấp: F x( ,n ∆x n,∆2x n, ,∆k x n) 0=

Hiểu: xn là sai phân cấp 0 của hàm xn, cấp lớn nhất của sai phân là cấp của

phương trình sai phân tuyến tính ( cấp k)

Định nghĩa 2 : Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xntại các điểm khác nhau:

L x n a x0 a x1 1 a x n f n

h = n k+ + n k+ − + + k = ( 2.1)

Trong đó: L

h là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trên

lưới có bước h; (a i i =0, 1, 2 , )k là các hằng số hoặc các hàm số của n gọi là các hệ số của phương trình sai phân ( với a0 0, a 0

k

≠ ≠ ); f n là hàm số của n

được gọi là vế phải; xn là các giá trị cần tìm được gọi là ẩn

Phương trình ( 2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k vì

tính các giá trị xn ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn và tính theo công

thức truy hồi ( 2.1)

Định nghĩa 3: Nếu fn ≡ thì ( 2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến 0tính thuần nhất

Nếu fn ≠ thì ( 2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 0Nếu fn ≡ và 0 a0 1,a , , a

klà các hằng số với a0,a 0

k ≠ thì ( 2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số:

L x n a x0 a x1 1 a x n 0

h = n k+ + n k+ − + + k = ( 2.2) 2.1.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

Hàm số xn biến n thoả mãn ( 2.1) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính ( 2.1)

Hàm số xn thoả mãn ( 2.2) gọi là nghiệm tổng quát của ( 2.2), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 1, , ,x x 1

k− ta đều xác định được duy nhất các tham

k là các hằng số tuỳ ý

vì x ni là nghiệm của ( 2.2) nên L x ni 0

h = , Suy ra xn là nghiệm của ( 2.2) Giả sử x0 1, , ,x x 1

k− là k giá trị ban đầu tuỳ ý, ta chứng minh có thể xác định duy nhất các tham số C C1 2, , ,C

, điều này luôn đúng do tính độc lập tuyến

tính của các vectơ nghiệm x 1,x 2, ,x

n n nk đã cho ở giả thiết

Ta đi tìm nghiệm xn của ( 2.2) và *xn của ( 2.1), từ đó ta tìm nghiệm xn

của ( 2.1) Do phương trình ( 2.2) luôn có nghiệm xn = 0 nên để tìm nghiệm

tổng quát ta tìm nghiệm xn của ( 2.2) dưới dạng: x n=Cλn,C≠0,λ≠0

Thay x n=Cλn,C≠0,λ≠ vào ( 2.2) và giản ước cho 0 Cλn≠ ta thu được: 0

trưng của ( 2.1)) Nghiệm xn của ( 2.2) và *xn của ( 2.1) phụ thuộc cốt yếu

vào cấu trúc nghiệm của ( 2.3)

Định lí 3: ( Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của ( 2.3) cho ta nghiệm xn của ( 2.2))

Trường hợp 1: Nếu ( 2.3) có k nghiệm thực phân biệt , , ,1 1

Điều phải chứng minh

Trường hợp 2: Nếu ( 2.3) có nghiệm thực λj bội s thì ngoài nghiệm nλj ta lấy thêm các vectơ bổ sung nλn j,n2λn j, , n s−1λn j cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của ( 2.2) và do đó:

Trường hợp 3: Nếu ( 2.3) có nghiệm phức λj = +a bi=r(cosϕ+isin )ϕ , trong

b

liên hợp phức λj = −a bi=r(cosϕ−isin )ϕ Khi đó:

đặc biệt có thể tìm *xn và dùng phương pháp hệ số bất định ( phương pháp

chọn) để xác định các tham số trong các dạng nghiệm này:

Trường hợp 1 : fn là đa thức bậc m của n, tức là f n=P m( ),n n∈

Nếu ( 2.3) có k nghiệm thực ,1 1, ,

k

λ λ λ khác 1 thì *x n =Q m( ),n m∈
Nếu ( 2.3) có nghiệm λ= bội s thì *1 x n =n Q s m( ),n m∈
( Q m( )n cũng là đa thức bậc m của n)

Trường hợp 2: f n=P m( ).n βn,m∈

Nếu (2.3) có tất cả các nghiệm là thực khác β thì *x n =Q m( ).n βn,m∈

Nếu (2.3) có nghiệm λ β= bội s thì *x n=n Q s m( ).n βn,m∈
( Q m( )n cũng là đa thức bậc m của n)

Trường hợp 3: f n=αcosnx+βsinnx, với ,α β là các hằng số

Khi đó: *x n = acosnx b+ sinnx

Trường hợp 4: f n f 1 f 2 f ns

= + + + , ta tìm nghiệm *x ni ứng với từng hàm ( 1, 2 , )

Do vậy, ta tìm *x n = an b + ( vì hàm fn là hàm bậc nhất) Thay x*n = an b+ vào phương trình sai phân và so sánh các hệ số của luỹ thừa ở 2 vế:

Sau khi biến đổi vế trái thành đa thức đối với n, so sánh các hệ số của luỹ thừa

2.2 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính

Mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa được về dạng chính

là vectơ của n; A là một toán tử tuyến tính

Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp (k k≥3)

k−

Với k≥ ta kí hiệu: 3

12

x

n k x

n k yn

n k y

n

x n

=+

Ví dụ : Viết phương trình sai phân sau dưới dạng chính tắc:

n xn

x n

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số

2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số

2.3.1.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

Nghiệm của ( 2.5) có dạng: x n=xn+x*n Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất và có dạng như sau:

nghiệm riêng bất kì của phương trình sai phân không thuần nhất

2.3.1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng *xn

Để tìm nghiệm riêng *xn của ( 2.5) với fn ≠ ta dùng các phương 0

pháp sau:

Phương pháp 1: Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)

Theo mục 2.1.2.2 ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: f n=P m( ),n (m∈
, ) P m( )n là đa thức bậc m của n

Nếu λ≠ thì 1 x*n =Q m( )n

Nếu λ= thì 1 x*n=n Q m( )n , với Q m( )n là đa thức bậc m của n

Chứng minh: Xét phương trình sai phân: a x 1 b x n P m( )n

Chứng minh: Thay f n, x*n vào phương trình ta được:

Trường hợp 4: f n f 1 f 2 f ns

ni ứng với từng hàm ( 1, 2 , )

Giải: Ta có nghiệm phương trình đặc trưng: λ= ≠2 β = ⇒3 x*n =C 3n,

thay vào phương trình đã cho ta được:

Giải: Do 1 sin

42

trình ban đầu ta được:

Để tìm nghiệm *xn , ta xem C là hàm của n và tìm x*n=C nλn Thay vào phương trình sai phân ta được:

1 1

2.3.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Nghiệm của ( 2.6) có dạng: x n=xn+x*n , trong đó: xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; còn *xn là một nghiệm riêng

bất kì của ( 2.6)

2.3.2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có dạng:

Trường hợp 1: Nếu ( 2.8) có 2 nghiệm thực phân biệt thì xn=Aλ1n+Bλ2n, trong đó A, B là các hằng số

Thật vậy: Vì λ λ1n, 2n là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của ( 2.7) và do định thức

1 1

0

λ λ = − ≠ nên xn =Aλ1n+Bλ2n Điều phải chứng minh

Trường hợp 2: Nếu ( 2.8) có nghiệm thực kép 1 2λ =λ = thì λ xn=(A Bn+ ) nλ , với A, B là các hằng số

Thật vậy: Do 1 2λ =λ = nên λ un=λn là nghiệm của ( 2.7) Tìm nghiệm thứ 2

là vn dưới dạng: v n =y nλn Thế vn vào ( 2.7) ta được:

tính và xn=(A Bn+ ) nλ , ( A, B là các hằng số) Điều phải chứng minh

Trường hợp 3: Nếu ( 2.8) có nghiệm phức λ= +x iy=r c( osϕ+i sin ϕ),

Do vn tann const

un = ϕ≠ ⇒u n n,v độc lập tuyến tính

Vậy: x=r ( cosn A nϕ+Bsinnϕ), ( A, B là hằng số) Điều phải chứng minh

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân sau:

Giải: Phương trình dặc trưng: 2λ − + = có nghiệm phức: λ 1 0

2.3.2.4 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng *xn

Phương pháp 1: Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1 : fn là đa thức bậc m của n: f n =P m( )n

Nếu ( 2.8) không có nghiệm λ= thì tìm: 1 x*n=Q m( )n

Nếu ( 2.8) có nghiệm đơn λ= thì tìm: 1 x*n=nQ m( )n

Nếu ( 2.8) có nghiệm kép λ= thì tìm: 1 x*n=n Q2 m( )n

( Q m( )n là đa thức bậc m của n)

Trường hợp 2 : fn là đa thức bậc m của n: f n =P m( )n nβ

Nếu ( 2.8) không có nghiệm λ = β thì tìm: x*n=Q m( )n nβ

Nếu ( 2.8) có nghiệm đơn λ β= thì tìm: x*n=nQ m( )n nβ

tương đương Vậy ta xét các trường hợp sau:

Nếu ( 2.8) không có nghiệm λ β= thì aβ2+bβ+ ≠ ⇒ ( 2.9) không có c 0nghiệm λ= , do đó 1 y*n =Q m( )n ⇒x*n=Q m( )n nβ

Nếu ( 2.8) có nghiệm đơn λ β= thì aβ2+bβ+ =c 0(∆ =b2−4ac>0)⇒ ( 2.9) có nghiệm đơn λ= , do 1 ∆ > ⇒1 0 y*n =nQ m( )n ⇒x*n=nQ m( )n βn

k l là đa thức bậc ,k l của n Đặt m= max{k,l}

Nếu (2.8) không có nghiệm λ=cosβ±i.sinβ thì tìm:

với T m( )n R, m( )n là đa thức bậc m của n

Chứng minh: Phương trình sai phân:

x 2 px 1 qx n P n( )cosn Q n( )sinn

có phương trình đặc trưng: 2λ +pλ+ = ( 2.8) q 0

Nếu ( 2.8) không có nghiệm λ=cosβ±i.sinβ với λ = 1 thì ( 2.8) không

có nghiệm bằng 1

Đổi biến: x n= y n(cosnβ+sinnβ) thay vào phương trình sai phân ban đầu và

so sánh các hệ số của cosnβ, sinnβ ở 2 vế ta được:

y 2(cos2 sin 2 ) py 1(cos sin ) qy n P n( )

Từ đó suy ra *yn phải là đa thức bậc: max ,{ }k l + =1 m+ 1

Vậy: y*n =nQ m( )n , do đó: x*n=nT m( )n cosnβ+nR m( )n sinnβ

với T m( )n R, m( )n là đa thức bậc m của n