- Sau đó xét tổng quát, nhữngđiểm M có hoànhđộ , hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tungđộ của M khi nằm trên hai trục, để suy ra cách tìm GTNN của d Ví dụ.. Tìm trên ؏ những điểm M sa
Trang 1KHOẢNG CÁCH
A LÝ THUYẾT
1.Khoảng cách giữa hai điểm A(x a;y a) (,B x b;y b)
( ) (2 )2
a b a
x
2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng
0
∆ ax by c
2 2
0 0 )
,
(
b a
c by ax M
d
+
+ +
=
∆
3 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến tiệm cận đứng x =a
a x
h = 0 −
4 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến tiệm cận ngang y =b
b y
h = 0 −
Trang 2B BÀI TẬP
DẠNG 1 : Cho hàm số y = f (x) ( hàm phân thức) có đồ thị ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách
AB ngắn nhất
Cách giải:
Giả sử ( ؏ ) có tiệm cận đứng : x = a
Do tính chất của hàm phân thức đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng Với α, β là hai số dương nào đó
Nếu A thuộc nhánh trái x a < a ⇒ x a =a− α < a∈(؏)
Nếu B thuộc nhánh phải x b > a ⇒ x b =a+ β >a∈(؏)
Tính f(x a), f(x b) sau đó tính 2 ( ) (2 )2
a b a
x
Khi đó AB có dạng là: AB2 = g[ (a+b) (, α + β), αβ] áp dụng bất đẳng thức côsi ta có kết quả cần tìm
Ví dụ:
Cho hàm số = −+33
x
x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách AB ngắn nhất
Lời giải
3
6 1 3
3
− +
=
−
+
=
x x
x
y
Hàm số có tiệm cận đứng: x = 3
Gọi A(x a;y a) là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị nên x a < 3
Trang 3Với α > 0, ta có x a = 3 −α
α α
6 1 3 3
6 1
3
6
−
− +
=
− +
=
⇒
a a
x y
Gọi B(x b;y b) là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị nên x b > 3
Với β > 0, ta có
β β
3 3
6 1
3
6 1
− + +
=
− +
=
⇒ +
=
b b
b
x y
x
Ta có:
1
6 1 3
−
−
+ +
−
− +
=
− +
−
=
α β
α β
a b a
x
AB
=( + ) + + =( + ) + 2 2
2
2
1 6
6
β α β
α β
α β
α
≥ 4 2 362 2 = 48
β α αβ
Dấu “=’’ xảy ra khi và chỉ khi:
6 6
36
=
=
⇔
=
=
β α
β
α
( vì α , β > 0)
Vậy A(3 − 6 ; 1 − 6) (;B 3 + 6 ; 1 + 6) là hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số 2 1 1= + 1−1
−
+
−
=
x
x x
x x
Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất
Trang 4Bài 2 :Cho hàm số
2
13 5 2
3 3
2
− + +
=
−
+ +
=
x
x x
x x
Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất
Bài 3: Cho hàm số = −21
x
x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất
Trang 5DẠNG 2 Hàm số y = f (x) ( ؏) Tìm trên ( ؏ ) điểm M sao cho:
1 Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Cách giải :
Gọi M(x0;y0) thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:
d = x0 + y0
- Xét các khoảng cách từ M đến hai trục khi M nằm ở các vị trí đặc biệt : trên trục hoành , trên trục tung
- Sau đó xét tổng quát, nhữngđiểm M có hoànhđộ , hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tungđộ của M khi nằm trên hai trục, để suy
ra cách tìm GTNN của d
Ví dụ Cho hàm số = +−32
x
x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất Lời giải
Giả sử M ;( )x y
+ Xét điểm M nằm trên trục Ox :
cho y = 0 ⇒ x = − 2, tồn tại M( − 2 ; 0 ) ∈( ؏ )
Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = − 2 + 0 = 2 + Xét điểm M nằm trên trục Oy :
cho
3
2
0 ⇒ = −
3
2
; 0 (
Trang 6Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:
2 3
2 3
2
0 = <
−
+
=
d
+ Xét những điểm M có hoành độ: x > 32
Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = x + y > 32
+ Xét những điểm M có hoành độ: x < 32
i) Trường hợp: 0 < x≤ 32
Xét hàm số
3
2
−
+
=
x
x
y trên khoảng
3
2
;
0 ta chứng minh được:
3
2
−
<
y
Suy ra
3
2
>
+
= x y d
i) Trường hợp : 0
3
2 ≤ <
Xét hàm số 32
−
+
=
x
x
y trên khoảng
− ; 0 3
2
ta chứng minh được :
11
4 3
2
−
≤
<
5 3 0
) 3 (
5 1
3
5 1
2
±
=
⇔
=
′
− +
−
=
′
−
−
−
−
=
−
−
= +
=
x
d
x
d
x x
y x y
x
d
Trang 7Lập bảng biến thiên ta được: d > 32
3
2
; 0
M thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
2
2 2
−
−
=
x
x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Bài 2: Cho hàm số
2
3 3 2 +
+ +
=
x
x x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) những điểm
M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
2 Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau( hay
khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ
M đến trục tung)
Cách giải:
=
=
⇔
−
=
=
⇔
=
0 ) , (
0 ) , (
k x h
k x g kx y
kx y x
k
y
Từ phương trình ta giải được nghiệm bài toán
Ví dụ: Cho hàm số = −+12
x
x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến Oy
Lời giải
Giả sử M ;( )x y
Khoảng cách từ M đến Ox là: d1 = y
Trang 8Khoảng cách từ M đến Oy là: d2 = x
Khoảng cách từ M đến Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến Oy nên ta có:
3
10 2
3 1 2
3 1
2 3
3 3
1
±
−
=
⇔
−
= +
−
= +
−
⇔
−
=
=
⇔
=
⇔
x x
x
x x
x x
y
x y x
y d
d
Vậy ±
±
−
±
−
10 1
10 8
; 3
10 2
M thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
3
15 5
2
+
+ +
=
x
x x
y ( ؏ ) Tìm trên ( ؏ ) những điểm
M sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng hai lần khoảng cách từ
M đến Oy
Trang 9DẠNG 3 : Cho đường cong ( ؏ ) có phương trình y = f (x) và
đường thẳng ∆ : y =kx+m Tìm m để ∆cắt ( ؏ ) tại hai điểm
A,B sao cho:
- AB là hằng số a
- AB ngắn nhất
Cách giải
- Tìm điều kiện (*) của m để phương trình hoàn độ giao điểm :
m kx
x
f( ) = + (1) có hai nghiệm
- Gọi A(x1;y1),B(x2;y2) là hai giao điểm của ∆và ( ؏ ) thì x1, x2
là nghiệm của (1)
- Tính AB = (x2 − x1) (2 + y2 − y1)2 = g(x1,x2,x1x2,m) (2)
- Áp dụng vi ét cho (1) thay vào (2) ta được h(m) = 0 (3) Giải (3)
ta tìm được m
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 4 ( ؏)
Cho điểm I( − 1 ; 0 ) Xác định các tham số thực m để đường thẳng
m mx
∆ : cắt đồ thị ( ؏) tại ba điểm phân biệt I ,A ,B sao cho
2
2
<
AB
Lời giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
=
−
−
−
=
⇔
=
− +
−
−
⇔ +
= +
−
) 1 ( 0 2
1 0
4 3
4
3
m x
x m
mx x
x m mx x
x
Trang 10Theo giả thiết đồ đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác -1
) (
0
9
∗
>
≠
⇔
m
m
Gọi I( − 1 ; 0 ), A(x1;mx1+m) , B(x2;mx2 +m)là tọa độ ba giao điểm của đường thẳng ∆và đồ thị ( ؏ ) , trong đó x1, x2 là nghiệm của (1)
1 0
2
2 2 ) 1 (
2 2 2 1 2
2
2
2
1 )
( ) (
3
2 2
2 1 2
2 1
2
2 1 2
<
⇔
<
− +
⇔
<
+
⇔
<
+ +
− +
⇔
<
+
−
=
−
− + +
−
=
m m
m
m m m
m m
AB
m x x m
mx m mx x
x
AB
Kết hợp với điều kiện ( ∗ ) ta có 0< m<1
Vậy 0< m <1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 2 : Cho hàm 1số = 2 ++21
x
x
y ( ؏ ) Tìm m để đường thẳng
m x
y = − +
∆ : cắt (؏ ) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất
Lời giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x m
x
x
+
−
= +
+ 2
1 2
(1)
Để ∆cắt ( ؏ ) tại A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt hay phương
trình :x2 + ( 4 −m)x− 2m+ 1 = 0 (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2
Trang 110 12 0
3
0 ) 1 2 ( 4 )
4
>
+
⇔
≠
−
>
+
−
−
−
m m
m
( luôn đúng)
Vậy ∆luôn cắt ( ؏ ) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m
Giả sử A(x1; −x1 +m),B(x2; −x2 +m)
2 1 2
2 1 2
2 2 1
2 (x x ) (x x ) 2 (x x )
Áp dụng định lí viet cho phương trình (2) ta được :
6 2 24
12 12 )
1 2 ( 4 ) 4 ( 4
) (
)
(
2
2 2
2 1
2 1 2
2
1
2
≥
⇔
≥
⇔
≥ +
= +
−
−
−
=
− +
=
−
AB AB
m m
m x
x x
x x
x
Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 0
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
2
5 4
2 +
+ +
=
x
x x
y ( ؏) Tìm M trên ( ؏) sao cho
khoảng cách từ M đến d: y+ 3x+ 6 = 0 là nhỏ nhất
Bài 2: Cho hàm số
1
1 )
1 (
2
+
+ + + +
=
x
m x m x
mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 20
Bài 3: Cho hàm số
1
3 3
− + +
−
=
x x
y ( ؏) Chứng minh rằng với
mọi m đường thẳng d:y = 2x+m luôn cắt ( ؏) tại hai điểm A,B có hoành độ x1, x2 Tìm m để 2
1
(x −x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho hàm số
2
4 2
4 2
2
− +
=
−
+
−
=
x
x x
x x
Trang 12Tìm m để đường thẳng d:y =mx+ 2 − 2m cắt ( ؏) tại hai điểm A,B
sao cho AB = 2
Bài 5: Cho hàm số 1
3
+ +
−
−
rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Tìm m để khoảng
cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất