Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung, tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 2... Viết phương trình tiế
Trang 1Cho hàm số 2
1
x m y
x
+
= + với m ¹ 2 Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với
đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung, tạo với các trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng 1
2
2
m
m
=
= −
b 1
2
m m
=
=
c 2
2
m m
=
= −
d 1
3
m m
=
= −
Lời giải
Tập xác định: D= \{ }−1 .
Giao điểm của đồ thị với trục tung: M( ;m).0
Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số tại M: y (= 2 −m)x m+
Giao điểm của tiếp tuyến ∆ với các trục tọa độ: N m ; ,M ;m ( )
m
−
0 0 2
Diện tích tam giác: OMN
m m
m m
=
= − = ⇔ = − ⇔ = −
2
2 2 2
Vậy m= 1,m= − 2.
Chọn đáp án a.
Bài tập 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=(x2 − 3)e x trên đoạn − 2 2;
a min e
max=e
= −
2
2 b min e
max=e
=
2
2
c min max=3e= − e
2
2
d min e
max=e
= −
2
3
Lời giải
f ' x =e x2 + 2x− 3
( )
f ' x = ⇔ = 0 x 1,x= − 3.
Vì x∈ − 2 2; nên f ' x( )= ⇔ = 0 x 1; f( )− = 2 e , f− 2 ( )1 = − 2e, f( )2 =e 2
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng e2 tại x = 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −2e tại x= 1.
Chọn a.
Trang 2Cho hàm số y x
x
−
= +
1
1 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng x – 2y +2=0.
a = = − −y y 2x x−37 b y (x )
= −
= +
1 1 2
1 7
2 2
c = = − −y y 2x x+37 d = = − +y y 2x x−37
Lời giải
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1
2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình (x ) = ⇔ =x x= −
+ 2
1
2 1
3 2
1
+ x=1, tiếp tuyến y= 1(x−1)
2
+ x=–3, tiếp tuyến y= 1x+ 7
2 2
Chọn đáp án b.
Bài tập 4.
Cho hàm số y x
x
− +
=
−
1
2 1 có đồ thị (C) Chứng minh rằng đường thẳng d : y x m= +
luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị m.
a m=2 b m=3 c m>5 d Với mọi m
Lời giải
+ Pthđgđ của (C) và d : x x m
x
− + = +
−
1
2 1
Đk: x ≠ 1
2
( )
( )
⇔ − + = + − −
⇔ + − − =
2 2
1 1 2 2
2 2 1 0
Ta thấy x = 1
2 không phải là nghiệm của pt
Ta có: ∆' m= 2 + 2m+ > ∀ 2 0, m
Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Vậy d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt với mọi m
Chọn đáp án d.
Trang 3Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y x x
x
+ +
= +
2 3 4
1 , biết tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = 3
4
a
M ;
− −
7
1
2
3 3
2
b
M ;
− −
7 2 2 3 3 2
c
M ;
M ;
−
7 1 2 3 3 2
d
M ;
− −
7 1 3 3 3 2
Lời giải
* Giả sử M x ; y( 0 0)thuộc đồ thị (x ≠ −0 1) ( )
y' x
x
+
+
2
0 0
0
2
1
k y' x
x
+
+
2
0 0
0
2 3 4 1
= ⇒ =
⇔
= − ⇒ = −
7 1
2 3 3
2
* Vậy có hai điểm thỏa đề M ; , M − −;
1 2 2 2
Chọn đáp án a.
Bài tập 6.
Cho hàm số: y x
x
+
=
−
2 1
1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có
tung độ bằng 5
a y x= + 10 b y= − + 3x 11 c y= 3x+ 7 d y= 2x− 5
Lời giải
x
+
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ =
−
0
0
2 1
5 5 2 1 5 5 2
1
• f (x )
−
′ = = −
−
0 3 2 3
2 1
• Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y− = − 5 3(x− 2)⇔ = − +y 3x 11
Chọn đáp án b.
Trang 4Cho hàm số y x
x
+
=
−
1
1 Xác định m để đường thẳng d : y= 2x m+ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau
a m = −1 b m = −2 c m = −3 d m = −4
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 − −(3 m)x m− − = 1 0; x≠ 1(*)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 1∀m nên d luôn cắt (C) tai 2 điểm phân biệt A,B
≠
⇔ − = −
A B
A B
A B
m m
≠
≠
⇔ + = ⇔ − = ⇔ = −
2 3 2 2 1
Chọn đáp án a.
Bài tập 8.
Cho hàm số: y x= 4 − 2(m2 + 1)x2 + 1 ( )1 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất
a m=0 b m=1 c m=2 d m=3
Lời giải
y’ = 4x3 – 4(m2+1)x
y’ = 0 ⇔ x
=
= ± +
2
0
1⇒ hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m
CT
x = ± m2 + 1⇒ giá trị cực tiểu y CT = −(m2 + 1)2 + 1
CT
Vì (m2 + 1)2 ≥ ⇒ 1 y ≤ 0 max(y ) CT = ⇔ 0 m2 + = ⇔ 1 1 m= 0
Chọn đáp án a.
Trang 5Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= x x m+
+
2
1 trên đoạn 0 4; nhỏ hơn 3
a m∈( )1 2; b m∈( )1 5; c m∈( )1 3; d m∈( )1 2;
Lời giải
(x ) x(x )
−
2 1 1
+) Ta có f ( ) m, f m , f ( ) m
m
= = + =
2 2
5
+) Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên suy ra
x max f (x) ; m ,
∈ = 2 +
∈ < ⇔ 2 + < ⇔ <
+) Vậy giá trị cần tìm của m là m∈( )1 5;
Chọn đáp án b.
Bài tập 10.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốy ln x= (2 2 + +x 3),với mọix∈ − 1 1;
a min ln
max=ln6
=
23
8 b min ln
max=ln6
=
23
7 c min ln
max=ln7
=
23
8 d min ln
max=ln8
=
23 8
Lời giải
x
y'
+
=
+ +
2
4 1
2 3
y'= ⇔ = − ∈ −0 x 1 1 1;
4
y( ) ln ; y− = − =ln ; y( ) ln=
1 23
4 8
x max y y( ) ln ; min y y ; x ; ln
∈ − ∈ −
= = = − =
1 23
1 6
4 8
Chọn đáp án a.
Trang 6Cho hàm sốy x
x
+
=
−
2 1
1 có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B( ; )−2 2 và có
hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho các đường thẳng
đi qua M và N song song với các trục tọa độ tạo thành một hình vuông
a m=1 b m=2 c m=3 d m=5
Lời giải
Pt của đường thẳng(d):y m(x= + 2 2)+
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x m(x ) ( )
x
+ = + +
−
2 1 2 2 1
( )⇔ mx x +mx− m− = ( )
≠
2 2 3 0 2 1
1
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N khi và chỉ khi PT (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, nghĩa là:
( )
( )
m
m
m m
∆
≠
= + > ⇔ > ⇔
+ − − ≠ < −
2 2
0
0
1 1 2 3 0 3
Gọi M x ; y ,N x ; y( 1 1) ( 2 2) (x1≠x2) và P,Q là hai đỉnh còn lại của hình vuông, khi đó MPNQ
là hình vuông khi và chỉ khi MP MQ= ⇔ y2 −y1 = x2 −x1 ⇔ m x( 2−x1) = x2 −x1
Kết hợp điều kiện( )* suy ra m = 1
Chọn đáp án a.
Bài tập 12.
Cho hàm số: y x= 3 + 3x2 + 1, có đồ thị (C) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 + 3x2 − − =m 2 0có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 2 nghiệm lớn hơn –1
a -2<m<0 b 3<m<5 c 1<m<7 d 5<m<9
Lời giải
x3 + 3x2 − − =m 2 0 ⇔x3 + 3x2 + = + 1 m 3
Đây là pt hđgđ của (C) và (d): y m= + 3
Số nghiệm của pt(1) tương ứng bằng số giao điểm của hai đường (C), (d)
(1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn –1 khi và chỉ khi 1 < + <m 3 3
m
⇔ − < < 2 0
Chọn đáp án a.
Trang 7Cho hàm số: y x= 4 − 4x2 + 3 Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình x4 − 4x2 + − 3 2m= 0 1( )có hai nghiệm phân biệt
a m
m
>
= −
3
2
1 2
b m
m
<
= −
3 2 1 2
c m
m
>
=
3 2 1 2
d m
m
> −
= −
3 2 1 2
Lời giải
Biến đổi:x4 − 4x2 + − 3 2m= ⇔ 0 x4 − 4x2 + = 3 2m (*)
Số nghiệm pt (*) bằng số giao điểm của (C) : y x= 4 − 4x2 + 3 và d: y = 2m
Dựa vào đồ thị ( học sinh tự vẽ ) tìm được : m m m
m
>
>
⇔
= −
3
2
Giải và kết luận: m
m
>
= −
3 2 1 2
192
Chọn đáp án a.
Bài tập 14.
Cho đồ thi hàm số y= − +x4 4x2 − 3 Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị của tham số
thực m để phương trình x4 − 4x2 + + 3 2m= 0có hai nghiệm phân biệt
a m
m
=
< −
1 2 3 2
b m
m
= −
< −
1 2 3 2
c m
m
=
<
1 2 3 2
d m
m
=
< −
5 2 3 2
Lời giải
Biến đổi:x4 − 4x2 + + 3 2m= ⇔ − + 0 x4 4x2 − = 3 2m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của:(C) : y= − +x4 4x2 − 3 và d: y = 2m Dựa vào đồ thị tìm được : 2m = 1 hoặc 2m< –3
Giải và kết luận: m = 21 hoặc m<− 3
2
Chọn đáp án a.
Trang 8Cho hàm số: y= − 1x3 +2x2 −3x
3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 4
a y= − + 32 3x
3 b y= 3x+ 32
3 c y= − + 32 3x
5 d y= − − 323x 3
Lời giải
• x0 = ⇒4 y0= − 4
3
• f (x ) f ( )′ 0 = ′ 4 = −3
• Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: d : y+ = − 4 3(x−4)⇔ = − +y 3x 32
Chọn đáp án a.
Bài tập 16.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x= 3 + 3x2 − 2, biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng
d: x+y=0 b y=9x+25 c y= 5x-2 d y= 7x+9
Lời giải
* Tập xác định: D =
*y'(x )= x2 + x
0 3 0 6 0
* Tiếp tuyến của đồ thị (C) có phương trình dạng: y y'(x )(x x ) y(x )= 0 − 0 + 0
⇔ = 2 + − + 3 + 2 −
3 6 3 2(*) (trong đó x0∈D là hoành độ tiếp điểm)
*Tiếp tuyến (*) song song với d nên: x x x
x
= + = ⇔ = −
0 0
0
1
3 6 9
3
Với x =0 1, phương trình tiếp tuyến là y= 9x− 7(loại )
Chọn đáp án b.
Trang 9Tìm m để hàm số y x= 4 − 2(m+ 1)x2 − 2m− 1 đạt cực đại tại x = 1
a m=1 b m=5 c m=7 d Không có m
Lời giải
+ Ta có y'= 4x3 − 4(m+ 1)x
+ Để hàm số đạt cực đại tại x=1 cần y'( )1 0 = ⇔ − 4 4(m+ = ⇔ 1 0) m= 0
+Với m=0⇒y'= 4x3 − 4x⇒y'( )1 0 =
+ Lại có y''= 12x2 − ⇒ 4 y''( )1 8 0 = > => hàm số đạt cực tiểu tại x=1 =>m=0 không thỏa mãn Vậy không có giá trị nào của m để HS đạt cực đại tại x=1
Chọn đáp án d.
Bài tập 18.
Tìm m để hàm số y= 1x3 +mx2 −3mx+5
a m=2 b m=3 c m=1 d m=7
Lời giải
'
''
= + −
= +
2 2 3
2 2 Hàm số đạt cực đại tại x = −3 khi ( )
( )
' ''
y y
− =
− <
3 0
3 0
m
m m
− =
⇔ ⇔ =
− <
9 9 0
1
2 6 0
Chọn đáp án c.
Bài tập 19.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) (x= 2 − 2).e2x trên đoạn − 1 2;
a min e
max=2e
= −
2
4 b min e max=2e=
2
4 c min e
max=3e
= −
2
4 d min e
max=2e
= −
2 4
2
Lời giải
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–1 ; 2], f '(x)= 2(x2 + −x 2)e2x
Trang 10f '(x) x x
= ⇔ + − = ⇔ = − ∉ −
2
2 1 2
f ( ) e , f ( ) , f ( ) e
e
−
= − 2 − = = 4
2
1
GTLN của f(x) trên đoạn [–1 ; 2] bằng 2e4, khi x = 2,
GTLN của f(x) trên đoạn [–1 ; 2] bằng – e2 , khi x = 1
Chọn đáp án a.
Bài tập 20.
Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số y x= 3 − 2x2 +(m− 3)x+ 5 đạt cực trị tại
x , x1 2 thỏa mãn x2 +x2 = .
1 2 4
a m= -1/3 b m= 2 c m= 2/3 d m=0
Lời giải
Ta có y'= 3x2 − 4x m+ − 3.y'= ⇔ 0 3x2 − 4x m+ − = 3 0 1( )
Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt,
hay ∆'= − 4 3(m− 3 0)> ⇔ < 13m
3 (*) Khi đó hàm số có cực trị x , x1 2 là nghiệm phương trình (1)
Theo Viet, ta có x2 +x2 =(x x+ )2 − x x = − . m− = − m− = − m
1 2 1 2 2 1 2 16 2 3 16 2 6 34 6
Yêu cầu bài toán tương đương với: 34 6− m= ⇔4 m= − 1
Chọn đáp án a.
Bài tập 21.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) x
x
= + + 2 1
2 trên đoạn 1 3;
a GTLN
GTNN
=
=
7 2
3 b GTLN
GTNN
=
=
7 2
2 c GTLN
GTNN
=
=
7 2
1 d GTLN
GTNN
=
=
9 2 3
Lời giải
Hàm số f x( ) x
x
= + + 2 1
2 liên tục trên đoạn 1 3; .f '(x)
x
= − 22 + 1
2
x
= ∈
= ⇔ − + = ⇔ = ⇔
= − ∉
2 2
2 1 3
2 1
Trang 11Ta có f( )1 = + + = 1
1 2 2; f( )2 = + + = 1 3;
2 2 f( )3 1
3 2 6
Từ đó ta có: max f (x) f ; ( ) ,
= =
1 3
7 1
2 min f (x) f ; ( )
= =
1 3 2 3 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) trên đoạn 1 3; bằng 3 khi x= 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên đoạn 1 3; bằng 72 khi x= 1.
Chọn đáp án a.
Bài tập 22.
Tìm để đường thẳng d : y x m= + cắt đồ thị hàm số y x
x
= +
2
1 tại hai điểm phân biệt
a m
m
> +
< −
3 2 2
3 2 2 b m
m
> −
< −
2 2 2
3 2 2 c m
m
> +
< −
3 2 2
5 2 2 d m
m
> +
< −
3 2
3 2 2
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm x x m ( ),
x+ = +
( )1 ⇔ 2x=(x m x+ )( + 1)⇔x2 +(m− 1)x m+ = 0 2 ( )
Dễ thấy, x = −1 không là nghiệm của ( )2 nên ( )d cắt đồ thị hàm số y x
x
= +
2
1 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ( )2 có hai nghiệm phân biệt
m
m
⇔ > ⇔ − + > ⇔
< −
0 6 1 0
3 2 2
Chọn đáp án a.
Bài tập 23.
Cho hàm số y x= 4 − 2x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đồ thị hàm số (1) tại điểm M có hoành độ bằng 2.
a y= 4 2x− 8 b y= 4 2x− 7 c y= 4 2x− 6 d y= 4 2x− 5
Lời giải
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 2.
Do M thuộc đồ thị hàm số (1) nên M( )2 0;
Tiếp tuyến d có hệ số góc y'( )2 = 4 2
