Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức biến phân với các toán tử giả đơn điệu

Gần đây một số công trình xuất hiện trên các tạp chí chuyênngành đã đưa ra được một số kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của VIs với cáctoán tử giả đơn điệu theo nghĩa Karamadian và theo

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thày giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngànhToán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài Đặc biệt, tôi xin cảm ơn thầy giáo TS Bùi Trọng Kiêngiảng viên Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã trựctiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu lựa chọn đề tài và hoàn chỉnh

đề tài Tôi xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học K11 Toán Giải tích đã giúp

đỡ và có những đóng góp quí báu cho bản luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi đượcthực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Bùi Trọng Kiên giảng viên KhoaCông nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội

Ngoài các kết quả được trích dẫn, các kết quả còn lại là những kết quả mới

mà chúng tôi thu được trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, các kết quảnày chưa được công bố ở bất kỳ tạp chí nào

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tác giả

1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều 11

3.1 Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu theo nghĩa

Kara-mardian 18

3.2 Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu theo nghĩa Brézis 21

Chương 4 Bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu theo nghĩa

Bảng ký hiệu

VI Variational Inequality

VIs Variational Inequalities

VI(K, f) bài toán bất đẳng thức biến phân xác định

bởi tập Kvà ánh xạ f

S(K, f) tập nghiệm của bài toán VI(K, f)

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức biến phân (VI, Variational Inequality) được xem như một môhình hữu hiệu để giải quyết các bài toán xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhaucủa toán học như: lý thuyết tối ưu, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán cânbằng kinh tế, cơ học Kể từ khi ra đời của định lý Harmand-Spampacchia năm

1966, sự tồn tại nghiệm của VIs và các chủ đề liên quan vẫn đang thu hút sự quantâm của các nhà toán học Nhiều câu hỏi mở trong hướng này vẫn còn đang tồntại Chú ý rằng các kết quả kinh điển trước đây chủ yếu nghiên cứu cho VIs vớicác toán tử đơn điệu Gần đây một số công trình xuất hiện trên các tạp chí chuyênngành đã đưa ra được một số kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của VIs với cáctoán tử giả đơn điệu theo nghĩa Karamadian và theo nghĩa Brézis Người ta đãbiết rằng hai lớp toán tử giả đơn điệu này là hoàn toàn khác nhau Năm 2000,Domokos và Kolumbán đã đưa ra một định nghĩa mới cho các toán tử giả đơn

điệu Lớp các toán tử thoả mãn định nghĩa này chứa cả hai lớp toán tử đơn điệutheo nghĩa của Karamadian và Brézis Dựa trên khái niệm mới này họ đã đạt đượcmột số kết quả khá thú vị về sự tồn tại nghiệm của VIs

Mục tiêu của luận văn này là tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại nghiệm củaVIs với các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos và Kolumbán và đưa ramột kết quả mới mở rộng các kết quả trước đó của Domokos và Kolumbán Để

đạt được kết quả này trước hết chúng ta phải khảo sát các kết quả về sự tồn tạinghiệm của VIs với các toán tử đơn điệu, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của

VIs cho các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Karamadian và Brézis và các kếtquả gần đây của Domokos và Kolumbán Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đặt bài toán

và giải quyết vấn đề bằng việc đưa ra và chứng minh một kết quả mới nho nhỏ,

mở rộng các kết quả trước đó của Domokos và Kolumbán

Luận văn được mang tên "Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức biếnphân với các toán tử giả đơn điệu", bao gồm 4 chương Trong chương 1 chúng

ta sẽ trình bày một số kết quả bổ trợ liên quan tới các định lý điểm bất động.Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử đơn

điệu Chương 3 gồm các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giả

đơn điệu theo nghĩa của Karamadian và theo nghĩa của Brézis Chương 4 đượcdành cho các kết quả mới nhất về sự tồn tại nghiệm của VIs cho các toán tử giả

đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán Cuối chương này là một số kết quảmới mở rộng các kết quả của Domokos-Kolumbán

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hoá lại các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tửgiả đơn điệu theo nghĩa Karamadian và giả đơn điệu theo nghĩa của Brézis, trêncơ sở đó đưa ra một kết quả mới mở rộng các kết quả của Domokos-Kolumbán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giả đơn điệu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa madian, giả đơn điệu theo nghĩa Brézis và giả đơn điệu theo nghĩa Domokos-Kolumbán

Kara-5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu cũng như các kỹ thuật của giải tích cổ

điển, giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và lý thuyếttối ưu

6 Giả thuyết khoa học

Đề tài đã đưa ra được các kết quả mở rộng về sự tồn tại nghiệm của VIsvới các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa Domokos-Kolumbán

Chương 1

Các kết quả bổ trợ

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả bổ trợ bao gồm các

định lý điểm bất động, đinh lý về sự tồn tại chân hình chiếu và định lý về sự tồntại nghiệm của VIs trong không gian hữu hạn chiều

1.1 Các nguyên lý điểm bất động

Trong suốt mục này chúng ta giả sử rằng X là một không gian Banach và

A ⊆ X là một tập đóng Giả sử f : A → X là một ánh xạ Điểm ¯x ∈ A được gọi

là điểm bất động của f nếu f(¯x) = ¯x

Định nghĩa 1.1 ánh xạ f : A → X gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ [0, 1)sao cho

với mọi x, y ∈ A

Chúng ta có kết quả quen thuộc sau đây về là nguyên lý ánh xạ co Banach

Định lý 1.2 Giả sử A ⊆ X là một tập đóng và f : A → A là một ánh xạ co Khi

đó f có duy nhất một điểm bất động thuộc A

Nhắc lại rằng một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và vớimọi λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Ta có nguyên lý điểm bất động Brouwersau đây.

Định lý 1.3 [6, tr 8] Giả sử K ⊂ X là tập lồi và compact, h : K → K là một

ánh xạ liên tục Khi đó h có điểm bất động

Bổ đề 1.4 [6, tr 8-9] Giả sử K là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H

và x ∈ H Khi đó tồn tại duy nhất y ∈ K sao cho

Bổ đề 1.5 [6, tr 9-10] Giả sử K là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H

và x ∈ H Khi đó y = PKx nếu và chỉ nếu

Do đó Φ0(0) = −2hx − y, z − yi ≥ 0 Điều này suy ra (1.3).

Ngược lại nếu hy, z − yi ≥ hx, z − yi với mọi z ∈ K thì y = PKx Thậtvậy, ta có

Tương tự thay z = y trong (1.6) ta có

h−y0, y0 − yi ≥ h−x0, y0 − yi (1.8)Công các bất đẳng thức (1.7) và (1.8) ta được

1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều

Trong mục này chúng ta giả sử K là tập lồi đóng trong Rn và f : K → Rn

là một ánh xạ Bài toán tìm x ∈ K sao cho

được gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi K và f ký hiệu là VI(K, f)

Điểm x ∈ K thoả mãn (1.9) gọi là nghiệm của VI(K, f) Chúng ta ký hiệuS(K, f) là tập nghiệm của VI(K, f)

Định lý 1.7 Giả sử K ⊂ Rn là tập lồi đóng, f : K → Rn là một ánh xạ và

x ∈ K Khi đó điều kiện

Ta có điều phải chứng minh 2

Định lý sau đây cho ta một kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm của VIstrong không gian hữu hạn chiều

Định lý 1.8 Giả sử rằng K ⊂ Rn là tập lồi compact và f : K → Rn là một ánhxạ liên tục Khi đó VI(K, f) có nghiệm

Chứng minh Xét ánh xạ Φ : K → K được cho bởi Φ(x) = PK(x − f (x)).Như vậy Φ = PK◦ (I − f )là một ánh xạ liên tục Theo nguyên lý điểm bất động(Định lý 1.3), tồn tại x0 ∈ K sao cho Φ(x0) = x0 Mặt khác theo Định lý 1.7

điều kiện Φ(x0) = x0 tương đương với

hf (x0), y − x0i ≥ 0 , ∀y ∈ K

Do đó x0 ∈ S(K, f ) Định lý được chứng minh 2

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử đơn điệu

Trong suốt chương này chúng ta giả sử rằng X là một không gian Banach,

X∗ là không gian đối ngẫu của X và K ⊂ X là tập lồi đóng khác rỗng

Định nghĩa 2.1 ánh xạ f : K → X∗ gọi là đơn điệu nếu

hf (x) − f (y), x − yi ≥ 0 , ∀x, y ∈ K (2.1)Nhắc lại rằng một hàm g : K → R là lồi nếu

g(tx + (1 − t)y) ≤ tg(x) + (1 − t)g(y) , ∀x, y ∈ K, t ∈ [0, 1] (2.2)

Ví dụ sau cho ta một toán tử đơn điệu

Ví dụ 2.2 Giả sử g : U ⊃ K → R là một hàm lồi khả vi, ở đó U là một tập lồi và

mở trong X Khi đó toán tử đạo hàm f = g0 : K → X∗ là đơn điệu Thật vậy vớimọix, y ∈ K và t ∈ [0, 1] từ (2.2) ta có

g(y + t(x − y)) ≤ t(g(x) − g(y)) + g(y)

Định lý sau cho ta kết quả tồn tại nghiệm của VIs với toán tử đơn điệu trongcác không gian vô hạn chiều.

Định lý 2.4 [6, tr 84-86] Giả sử K ⊂ X là tập khác lồi đóng khác rỗng và bịchặn, f : K → X∗ là một toán tử đơn điệu và liên tục trên các không gian conhữu hạn chiều của X Khi đó tồn tại x ∈ K sao cho

Để chứng minh định lý trên chúng ta cần bổ đề Minty sau đây

Bổ đề 2.5 [6, tr 84-85] Giả sử K ⊂ X là tập đóng, lồi và giả sử F : K → X∗

là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều của X Thì

điều kiện

Ta có (2.7) Ngược lại giả sử rằng (2.7) thoả mãn Do K là tập lồi, ta có yt =

tw + (1 − t)x = x + t(w − x) ∈ K với bất kỳ x, w ∈ K và t ∈ [0, 1] Thay y = yt

vào (2.7) ta được

hf (x + t(w − x)), x + t(w − x) − xi = hf (x + t(w − x)), t(w − x)i ≥ 0

Đăt M = hw, xi Khi đó M là không gian hữu hạn chiều Vì yt = tw + (1 − t)x ∈

M và yt → x khi t → 0, sử dụng tính chất liên tục trên các không gian con hữuhạn chiều của f, ta có

hf (x), w − xi = lim

t→0hf (yt), w − xi

Vì hf(yt), w − xi ≥ 0 ta suy ra hf(x), w − xi ≥ 0 Do đó ta có (2.6) Bổ đề đượcchứng minh.2

Chứng minh của Định lý 2.4

Giả sử M ⊂ X là không con hữu hạn chiều của X Xét phép nhúng

j : M → Xvà

j∗ : X∗ → M∗

theo định nghĩa toán tử liên hợp ta có

hA, jxi = hj∗A, xi , ∀A ∈ X∗, x ∈ M

Đặt KM = K ∩ M và xét ánh xạ j∗f j : KM → M∗ Vì KM là tập đóng và bịchặn trong không gian hữu hạn chiều M nên KM là tập compact Mặt khác j∗f j

là ánh xạ liên tục (do f liên tục) Theo Định lý 1.8, tồn tại uM ∈ KM sao cho

hf (v), v − ui ≥ 0 , ∀v ∈ KM

Cho v = vi ∈ KM, i = 1, 2, , n ta có

hf (vi), vi − ui ≥ 0 , ∀i = 1, 2, , n

Chương 3

Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiêmcủa VIs cho hai lớp toán tử giả đơn điệu, bao gồm lớp các toán tử giả đơn điệutheo nghĩa của Karamadian và lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Brézis.Như trong Chương 2, X vẫn là một không gian Banach, X∗ là không gian đốingẫu của X và K ⊂ X là một tập lồi đóng

3.1 Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu theo

nghĩa Karamardian

Định nghĩa 3.1 ánh xạ f : K → X∗ gọi là ánh xạ giả đơn điệu theo nghĩaKaramardian nếu với mọi x, y ∈ K

hf (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hf (x), x − yi ≥ 0 (3.1)

Hiển nhiên rằng nếu f là đơn điệu thì nó cũng là giả đơn điệu Tuy nhiên

điều ngược lại không đúng như ví dụ sau đây

Kết quả sau cho ta các điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của VIs cho cáctoán tử giả đơn điệu.

Định lý 3.3 [2, tr 141-143] Giả sử X là không gian Banach phản xạ và K ⊂ Xtập lồi, đóng Giả sử f : K → X là ánh xạ giả đơn điệu và liên tục trên cáckhông gian con hữu chiều của X Khi đó các mệnh đề dưới đây là tương đương.(a) Tồn tại điểm phản xạ xref ∈ K sao cho tập

L<(f, xref) := {x ∈ K : hf (x), x − xrefi < 0} (3.2)

bị chặn (có thể rỗng)

(b) Tồn tại hình cầu mở Ω và vector xref ∈ Ω ∩ K sao cho

hf (x), x − xrefi ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω (3.3)(c) Bài toán VI(K, f) có nghiệm

Hơn nữa, nếu tồn tại xref ∈ K sao cho tập

[0, 1] 3 t 7→ hf (tx + (1 − t)y), x − yi

là liên tục tại 0+ Khi đó x ∈ K là nghiệm của VI(K, f) khi và chỉ khi

hf (y), y − xi ≥ 0 , ∀y ∈ K

Hiển nhiên rằng nếu f liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều của

X thi f là hemi liên tục

ánh xạ fL : KL → L∗ được định nghĩa bởi

hfL(x), yi = hf (x), yi , ∀y ∈ L (3.6)Theo Định lý 1.8, tồn tại vector uL ∈ ΩL sao cho

hf (uL), y − uLi ≥ 0 , ∀y ∈ KL

Vì f liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều của X, f là hemi liên tục

Do đó theo Bổ đề 3.3 ta có

hf (y), y − uLi ≥ 0 , ∀y ∈ KL

Vậy họ tập {Q(x)}x∈K có tính chất giao hữu hạn.

Vì Ω ∩ K là tập compact yếu chứa Q(x), ta có

Vậy L<(f, xref) = φ và (a) thỏa mãn Định lý được chứng minh 

3.2 Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu theo

nghĩa Brézis

Định nghĩa 3.5 ánh xạ f : K → X∗ gọi là ánh xạ giả đơn điệu theo nghĩa

Brézis nếu với mọi dãy (xi) ⊂ K và với mọi x, y ∈ K thoả mãn

xi * x và lim infhf(xi), x − xii ≥ 0thì

lim suphf (xi), y − xii ≤ hf (x), y − xi

Ví dụ 3.6 Nếu X là hữu hạn chiều và f liên tục thì f là giả đơn điệu theo nghĩaBrézis

Ví dụ sau chỉ ra rằng lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa Karamadian

Ví dụ 3.8 Cho f là toán tử đơn điệu và hemi liên tục, tức là với mọi u, v, w ∈ K,

ánh xạ

[0, 1] 3 t 7→ hf ((1 − t)u + tv), wi

là liên tục tại0+ Khi đóf là giả đơn điệu theo nghĩa của Brézis (xem [8, Proposition27.6])

Định lý sau cho ta một kết quả về sự tồn tại nghiêm của VIs cho các toán

tử đơn điệu theo nghĩa của Brézis

Định lý 3.9 Giả sử X là không gian Banach, K ⊂ X là tập lồi compact, f : K →

X∗ là ánh xạ giả đơn điệu theo nghĩa Brézis và liên tục trên các không gian conhữu hạn chiều của X Khi đó VI(K, f) có nghiệm

Chứng minh Ký hiệu L là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của

X Với mỗi L ∈ L chúng ta đặt KL = K ∩ Lvà định nghĩa ánh xạ fL : KL → L∗bởi công thức

Như vậy có điểm x0 ∈ SY với mọi Y ∈ L.

Lấy tuỳ ý y ∈ K và chọn Y ∈ L sao cho Y chứa y và x0 Vì x0 ∈ SY, theo tínhchất bao đóng tồn tại dãy xi ∈ SY sao cho xi → x0 Theo cách định nghĩa củatập SY ta có

về sự tồn tại nghiệm của VIs cho lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa củaDomokos-Kolumbán.

Trong suốt chương này chúng ta giả sử X là một không gian Banach với

đối ngẫu X∗, K ⊂ X là một tập lồi đóng khác rỗng

Định nghĩa 4.1.ánh xạ f : K → X∗ gọi là giả đơn điệu theo nghĩa của Kolumbán nếu mỗi dãy (xi)i∈I ⊂ K và với mọi x, y ∈ K sao cho xi * x và

Domokos-hf (xi), (1 − t)x + ty − xii ≥ 0 , ∀t ∈ [0, 1] , i ∈ I thì hf(x), y − xi ≥ 0

Định lý 4.2 [1, tr 97] Nếu f : K → X∗ là giả đơn điệu theo nghĩa Brézis thì f

là giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán

Chứng minh Giả sử có dãy (xi) ⊂ K sao cho xi → x và

hf (xi), (1 − t)x + ty − xii ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1], i ∈ I (4.1)Vì (4.1) đúng với mọi t ∈ [0, 1], lầ lượt cho t = 0, t = 1 ta có

Vì f là giả đơn điệu theo nghĩa Brézis, ta có

lim suphf (xi), y − xii ≤ hf (x), y − xi

Kết hợp với (4.3) ta có 0 ≤ hf(x), y − xi Do đó f là giả đơn điệu theo nghĩa củaDomokos-Kolumbán 

Dưới điều kiện liên tục, lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của madian cũng thuộc vào lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán như định lý dưới đây

Kara-Định lý 4.3 [1, tr 98] Nếu f : K → X∗ là giả đơn điệu theo nghĩa của madian và f là hemi liên tục thì f là giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán

Kara-Ví dụ sau chỉ ra rằng lớp toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Kolumbán là rộng hơn hẳn 2 lớp toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Brézis vàcủa Karamadian

Domokos-Ví dụ 4.4 [5, tr 48] Xét ánh xạ f : R → R được cho bởi f (x) = 1 nếu x 6= 0

và f (0) = 0 Khi đó f là giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán nhưngkhông giả đơn điệu nghĩa của Brézis hoặc của Karamadian

Với mỗi y ∈ K ta đặt

T1(y) = {x ∈ K : hf (x), y − xi ≥ 0} (4.4)và

T2(y) = {x ∈ K : hf (y), y − xi ≥ 0} (4.5)Khi đó ánh xạ giả đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán có thể được đặctrưng bởi tính chất sau

Định lý 4.5 [1, tr 97] ánh xạ f là giả đơn điệu theo nghĩa của Domoko-Kolumbánkhi và chi khi