Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Duy Thành MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Duy Thành

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM

BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Phạm Ngọc Anh

2 GS.TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả, sốliệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ côngtrình nào khác

Tác giả luận án

Đỗ Duy Thành

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải Phòng cùngcác bạn đồng nghiệp trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongthời gian làm nghiên cứu sinh

Xin chân thành cảm ơn các anh, chị, em trong nhóm Giải tích và các bạn bèđồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi đến gia đình của mình lòng biết ơn và tình cảm yêu thươngnhất

MỤC LỤC

Chương 1 Bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn 14

1.1 Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực 14

1.2 Phép chiếu và các tính chất 17

1.3 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động 18

1.4 Bài toán cân bằng 20

1.4.1 Bài toán cân bằng 21

1.4.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng 22

1.4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 25

1.5 Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 27

1.5.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 29

1.5.2 Phương pháp chiếu 31

1.5.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ 32

1.6 Kết luận 35

Chương 2 Phương pháp điểm bất động 36 2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn 37

2.2 Xây dựng dãy lặp 38

2.3 Kết quả hội tụ 40

2.4 Kết quả tính toán 46

2.5 Kết luận 47

Chương 3 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 49 3.1 Một số phương pháp chiếu cho một họ các ánh xạ không giãn 49

3.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 50

3.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 52

3.4 Kết luận 60

Chương 4 Phương pháp tìm kiếm theo tia 61 4.1 Giải bài toán cân bằng và một ánh xạ không giãn 61

4.1.1 Thuật toán 63

4.1.2 Kết quả hội tụ 64

4.1.3 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân 72

4.2 Giải bài toán cân bằng và một họ các ánh xạ không giãn 75

4.2.1 Thuật toán 76

4.2.2 Kết quả hội tụ 77

4.3 Giải bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ không giãn 90

4.3.1 Thuật toán 92

4.3.2 Kết quả hội tụ 93

4.4 Kết luận 110

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 113

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

x,y∈D ∥x − y∥ đường kính của tập hợp D

argmin{f(x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C

∂f(x) dưới vi phân của f tại x

P r C(x) hình chiếu của x lên tập C

N C(x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x

x n → x dãy {x n } hội tụ mạnh tới x

x n ⇀ x dãy {x n } hội tụ yếu tới x

V I(C, F) bài toán bất đẳng thức biến phân

OP bài toán tối ưu

EP(C, f) bài toán cân bằng

F ix bài toán điểm bất động

Sol(C, F) tập nghiệm của bài toán V I(C, F)

Sol(C, f) tập nghiệm của bài toán EP(C, f)

I ánh xạ đồng nhất

F ix(S) tập các điểm bất động của ánh xạ S

MỞ ĐẦU

Mô hình cân bằng có thể được xem như là một sự phát triển mở rộng của môhình tối ưu hoá và bài toán bất đẳng thức biến phân Các bài toán tối ưu và bấtđẳng thức biến phân là những trường hợp riêng của bài toán cân bằng Trong bàitoán tối ưu chỉ có một chủ thể với một hoặc nhiều mục tiêu mà chủ thể mongmuốn tìm giải pháp tối ưu trong những điều kiện nhất định Trong vấn đề cónhiều chủ thể tham gia, mỗi chủ thể có những mục tiêu khác nhau, quan hệ mậtthiết, thậm chí đối kháng nhau, một phương án tối ưu khó được tất cả các chủthể chấp nhận, vì nó có thể tối ưu cho chủ thể này, nhưng lại không tốt cho chủthể khác Trong tình huống này một khái niệm cân bằng, đặc biệt là khái niệmcân bằng Nash, dễ được chấp nhận Trong thời đại thông tin hiện nay, mọi vấn

đề đều quan hệ mật thiết với nhau, lợi ích thường mâu thuẫn nhau, nên dễ xảy

ra xung đột Do đó, các mô hình cân bằng tỏ ra thích hợp, để giải quyết các mâuthuẫn về quyền lợi Điều này giải thích lý do vì sao trong những thập kỷ gần đây,cân bằng được quan tâm nghiên cứu nhiều

Lớp bài toán cân bằng, được mô tả dưới dạng một bất đẳng thức, còn gọi làbất đẳng thức Ky Fan, xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1972 trên một bài báo

có tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] và được áp dụng đểnghiên cứu các mô hình cân bằng kinh tế theo khái niệm cân bằng do J.F Nash,nhà toán học Mỹ được giải Nobel kinh tế do những công trình nghiên cứu vềcân bằng, đưa ra Sau đó bài toán cân bằng theo bất đẳng thức Ky Fan đã đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả là những nhà toán học và những chuyên gia kinh tế

Về mặt lý thuyết của sự tồn tại nghiệm, nhiều kết quả cơ bản và quan trọng đã

đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trên các không gian trừu tượng Tuynhiên về mặt tính toán, các kết quả còn hạn chế Các phương pháp giải mới thuđược cho các bài toán cân bằng với các song hàm nhận giá trị thực và có thêmnhững tính chất đơn điệu Các phương pháp giải cho lớp các bài toán cân bằngtổng quát hơn, nhất là lớp các bài toán cân bằng với song hàm có tính đơn điệusuy rộng, như giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v . đang được nghiên cứu nhiều dotính lý thú về mặt toán học, cũng như khả năng ứng dụng của lớp bài toán này.Cho C là một con tập lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực

H và một song hàm f : C × C → R Bài toán cân bằng đặt ra là tìm một điểm

x ∗ ∈ C sao cho f(x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C Ta được biết rằng, x ∗ là một nghiệm

của bài toán cân bằng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán tối ưu

Trong những năm gần đây, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bàitoán cân bằng và tập các điểm bất động của các ánh xạ không giãn là một đềtài hấp dẫn đối với rất nhiều nhà khoa học trên thế giới Hầu hết các thuật toán

để giải bài toán này đều dựa trên tính chất rằng: Với mỗi r >0 và x ∈ H, tồn tại

z ∈ C sao cho

f(z, y) + 1

r ⟨y − z, z − x⟩ ≥0, ∀y ∈ C,

trong đó f là song hàm thỏa mãn một số tính chất cho trước Khi đó, tại mỗibước lặp thứ n, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {x n } như sau:

Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuất

bởi nhóm tác giả S Takahashi và W Takahashi [55] dựa trên kết quả của P.L.Combettes và S.A Hirstoaga [21] về tính chất của ánh xạ nghiệm và phương phápxấp xỉ cho bài toán điểm bất động của A Moudafi [38] Các tác giả đã trình bàyhai định lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán đề xuất

Phương pháp chiếu do A Tada và W Takahashi [53] giới thiệu Tác giả đã

cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết khi chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lêngiao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội

tụ mạnh của thuật toán

Phương pháp đạo hàm tăng cường lần đầu tiên được G.M Korpelevich [34]

đề xuất để giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toánbất đẳng thức biến phân Phương pháp này sử dụng hai phép chiếu trong mỗibước lặp như sau:

x0 ∈ C, y n =P r C(xn − λ n F(xn)) và x n+1 =P r C(xn − λ n F(yn)) (1)Tiếp cận này cho phép giải bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F)

không cần giả thiết đơn điệu mạnh của hàm F mà chỉ cần giả đơn điệu và liêntục Lipschitz Gần đây, phương pháp đạo hàm tăng cường được mở rộng bởi T.D.Quoc, L.D Muu và N.V Hien [47] để giải bài toán cân bằng EP(C, f) trongRn.Trong trường hợp này, sơ đồ lặp (1) được viết dưới dạng: Cho x0 ∈ C, tìm y n và

Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ được đề xuất bởi R Wangkeeree

[60] Tác giả đã kết hợp giữa kỹ thuật điểm bất động của Y Yao, Y.C Liou vàJ.C Yao [65] trong việc tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân với tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn và phương phápxấp xỉ gắn kết của S Takahashi và W Takahashi [55] khi tìm điểm chung củatập nghiệm của bài toán cân bằng với tập các điểm bất động của ánh xạ khônggiãn để tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng, tập nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân với tập các điểm bất động của một họ đếmđược các ánh xạ không giãn

Gần đây, việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đượcphát triển theo nhiều hướng khác nhau Hướng nghiên cứu chủ yếu là khai tháccác tính chất liên tục, nửa liên tục trên theo biến thứ nhất và nửa liên tục dướitheo biến thứ hai của song hàm f, cũng như tính chất bị chặn của miền chấp

nhận C Nghiên cứu nổi bật ở trong nước là các giáo sư như: P.H Sách, P.Q.

Khánh, N.X Tấn, .(xem [23, 24, 30, 49, 56]) So với việc nghiên cứu lý thuyết,việc nghiên cứu về các thuật toán giải còn rất hạn chế và chưa đáp ứng được cácđòi hỏi của thực tế Nghiên cứu thuật toán giải tìm điểm chung của bài toán cânbằng và bài toán điểm bất động ở trong nước vẫn là một đề tài mới và hấp dẫn

rất nhiều các nhà khoa học như các giáo sư N Bường, L.D Mưu, P.N Anh, .

(xem [4, 5, 7, 13, 47])

Vấn đề tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toánđiểm bất động của ánh xạ không giãn còn ít được nghiên cứu Trong hầu hết cáccông trình đã biết, tính liên tục Lipschitz của song hàm thường phải giả thiết.Trong luận án này, bài toán cân bằng được xét là giả đơn điệu với song hàmkhông thỏa mãn điều kiện Lipschitz Trên cơ sở tận dụng, kế thừa tối đa nhữngkết quả nghiên cứu đã có trong nước và trên thế giới về các phương pháp tìmđiểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn, chúng tôi đã mở rộng, cải tiến để đưa ra các thuật toán mới sử dụngtính đơn điệu suy rộng của song hàm f đó là tính giả đơn điệu đồng thời khắcphục một số hạn chế của các phương pháp trước đó

Mục đích của luận án nhằm nghiên cứu một số phương pháp tìm điểm chungcủa tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãntrên cơ sở giải quyết các vấn đề sau:

1) Giải bài toán trong hai trường hợp: Song hàm f giả đơn điệu liên tục kiểuLipschitz và không liên tục kiểu Lipschitz

2) Giải bài toán với tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn và tậpđiểm bất động của một họ vô hạn hay đếm được các ánh xạ không giãn.3) Xây dựng một số thuật toán mới và chứng minh sự hội tụ mạnh, yếu củacác thuật toán đó

4) Áp dụng các kết quả đạt được cho bài toán bất đẳng thức biến phân.5) Xây dựng một số ví dụ tính toán để minh họa cho các thuật toán tìm được.Nội dung của luận án được trình bày trong bốn chương, các kết quả chínhcủa luận án nằm ở Chương 2, Chương 3 và Chương 4

Chương 1 là chương có tính chất bổ trợ, cung cấp những vấn đề cơ bản nhất

về bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn Cụ thể, chương này đã nhắc lại một

số khái niệm cần thiết về giải tích hàm và giải tích lồi như: Sự hội tụ mạnh vàyếu trong một không gian Hilbert thực, phép chiếu lên tập lồi đóng Bên cạnh

đó, định nghĩa về ánh xạ không giãn cùng với các định lý điểm bất động nổi tiếngcũng được trình bày khá chi tiết Sau đó, chúng tôi đã giới thiệu về bài toán cânbằng, đưa ra một số trường hợp riêng điển hình của bài toán này, trình bày cácđiều kiện tồn tại nghiệm và tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Trong phầncuối chương 1, chúng tôi đã trình bày chi tiết một số phương pháp tìm nghiệmchung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãnnhư: Phương pháp xấp xỉ gắn kết, phương pháp chiếu, phương pháp đạo hàmtăng cường xấp xỉ nhằm so sánh và chỉ ra mối quan hệ với các thuật toán mới sẽtrình bày ở các chương tiếp theo

Chương 2 đưa ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bàitoán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz trênmột không gian Hilbert thực H và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S.

Thuật toán này cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N Anh [4] vớiphương pháp chính quy hóa tương đối của S Sun [52] để làm giảm nhẹ các điềukiện của hàm f từ đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh xuống giả đơn điệu, đồng thờiloại bỏ được quá trình giải các bài toán cân bằng phụ, một công việc khá phứctạp và thường chỉ cho nghiệm dưới dạng xấp xỉ Thay vào đó, tại mỗi bước lặpthứ n, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh, là những bài toán có thể thu

được lời giải chính xác và chứng minh được sự hội tụ yếu của thuật toán

Trong Chương 3, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chiếu dạng lai ghép để tìm điểmchung của tập nghiệm bài toán cân bằng với tập điểm bất động của một họ cácánh xạ không giãn Thuật toán sử dụng phương pháp lặp kiểu Mann kết hợp vớiphép chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên giao của hai họ các tập lồi, đóng chứatập nghiệm của bài toán để đạt được sự hội tụ mạnh mà không cần bất kỳ giảthiết nào về tính bị chặn

Toàn bộ nội dung của Chương 4 là phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijođược áp dụng để giải ba loại bài toán: Bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm

bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn, bài toántìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một

họ các ánh xạ không giãn, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cânbằng, tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập các điểm bất độngcủa một ánh xạ không giãn Nét nổi bật của phương pháp này là khá đơn giản vềmặt cấu trúc và tính toán cũng như không cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitzcủa song hàm f - một điều kiện rất mạnh và khó kiểm tra Cụ thể, chúng tôi xâydựng một siêu phẳng chứa tập nghiệm của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳngthức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Sau đó chiếu điểmlặp hiện tại vào phần giao của siêu phẳng trên với một tập con lồi, đóng khácrỗng của một không gian Hilbert thực H chứa điểm xuất phát x0 của dãy lặp kếthợp với kỹ thuật điểm bất động để xây dựng điểm lặp tiếp theo và thu được cácđịnh lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán

Các kết quả của chúng tôi nêu trong luận án đã được báo cáo tại:

• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 11, Ba Vì, Hà Nội, 27/04/2013

24-• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 13, Ba Vì, Hà Nội, 25/04/2015

23-• Workshop on equilibrium and fixed point problems theory and algorithms,VIASM, Hanoi, August 25-26, 2014

• Seminar tại Học viện CNBCVT, VIASM, Khoa Toán-Cơ-Tin của ĐHQG Hà Nội

ĐHKHTN-Chương 1 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Trong chương này, phần đầu tiên nhắc lại một số khái niệm cần thiết về giảitích hàm và giải tích lồi Phần thứ hai nghiên cứu ánh xạ không giãn cùng một

số định lý điểm bất động nổi tiếng Phần cuối giới thiệu về bài toán cân bằngnhư khái niệm, các trường hợp riêng, điều kiện tồn tại nghiệm, và một số phươngpháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động củaánh xạ không giãn

Các khái niệm hội tụ mạnh và yếu là những khái niệm rất cơ bản trong khônggian Hilbert Nó là cơ sở để xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ của cácthuật toán sau này

Định nghĩa 1.1 Cặp ( H, ⟨·, ·⟩ ) trong đó H là không gian véc tơ thực và

(c) ⟨λx, y⟩=λ ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ H, λ ∈R;

(d) ⟨x, x⟩ ≥0, ∀x ∈ H , ⟨x, x⟩= 0⇒ x = 0.

Số ⟨x, y⟩ gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Nếu ( H, ⟨·, ·⟩ ) là một không gian

tiền Hilbert, thì

|⟨x, y⟩|2 ≤ ⟨x, x⟩.⟨y, y⟩, ∀x, y ∈ H.

Định lý 1.2 (H, ⟨·, ·⟩ ) là một không gian tiền Hilbert, thì

Sau đây ta sẽ đưa ra một số ví dụ về không gian Hilbert thực

Ví dụ 1.1 Không gian vectơ Rn với tích vô hướng ⟨x, y⟩ =

là tuyến tính liên tục trên H, tức là f ∈ H ∗ Đảo lại, ta sẽ chỉ ra rằng mọi phiếm

hàm tuyến tính liên tục trên một không gian Hilbert thực đều có dạng đó thôngqua định lí sau

Định lý 1.3 ([11], Định lí Riesz) Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H , thì tồn tại một phần tử duy nhất y của H sao cho f(x) = ⟨x, y⟩ với mọi

Định nghĩa 1.4 Ta nói dãy phần tử {x n } của H hội tụ yếu đến phần tử x của

H nếu {x n } hội tụ đến x đối với tôpô yếu σ( H, H ∗ ) Khi đó, ta ký hiệu x n ⇀ x , x

gọi là giới hạn yếu của dãy {x n }

Định nghĩa 1.5 Dãy {x n } trong H hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu lim

n →∞ ∥x n −x∥= 0

và ta viết x n → x

Mệnh đề 1.1 ([11]) Cho dãy {x n } và x thuộc H Khi đó, ta có

(i) x n ⇀ x khi và chỉ khi ⟨x n , y ⟩ → ⟨x, y⟩, ∀y ∈ H ;

(ii) Nếu x n ⇀ x và ∥x n ∥ → ∥x∥ trong H , thì x n → x ;

(iii) Nếu x n → x , thì x n ⇀ x ;

(iv) NếuH là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương;

(v) Mọi dãy bị chặn trong H đều chứa dãy con hội tụ yếu.

Định lý 1.4 ([44], Điều kiện Opial) Với bất kì dãy {x n } ⊂ H mà x n ⇀ x , thì bất đẳng thức

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con của H Một ánh xạ T : C → H , được gọi là

(i) Nửa đóng (demiclosed) tại điểm x , nếu dãy x n ⊂ C , sao cho x n ⇀ x và

T(xn)→ p , thì T(x) =p ;

(ii) Liên tục yếu tại điểm x nếu x n ⇀ x , thì T(xn) ⇀ T(x)

Ví dụ 1.3 Giả sử {e n } là một cơ sở trực chuẩn của không gian khả ly H, y n làmột phần tử trực giao với các phần tử e1, , e n và ∥y n ∥= 1, với n = 1,2, Khi

đó, dãy {y n } hội tụ yếu đến 0

Trong mục này, ta sẽ nhắc lại khái niệm và một số tính chất điển hình vềphép chiếu trực giao của một điểm lên một tập lồi, đóng, khác rỗng của H Đây

là một công cụ sắc bén nhưng cũng khá đơn giản để chứng minh sự hội tụ mạnh

và yếu của các thuật toán sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm x ∈ H lên C , ký hiệu

P r C(x) được xác định bởi

P r C(x) = argmin{∥x − y∥: y ∈ C}.

Dùng định nghĩa 1.7, ta chứng minh được các tính chất sau:

Tính chất 1.1. (i) Với mỗi x ∈ H, P r C(x) tồn tại và duy nhất;

(iv) ∥P r C(x)− P r C(y)∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ H ;

(v) ∥P r C(x)− P r C(y)∥2 ≤ ∥x − y∥2− ∥P r C(x)− x+y − P r C(y)∥2, ∀x, y ∈ H ;

(vi) ∥P r C(x)− y∥2 ≤ ∥x − y∥2− ∥P r C(x)− x∥2, ∀x ∈ H, y ∈ C

1.3 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động

Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng vàkhoa học kỹ thuật nói chung Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giảimột phương trình, hay tìm nghiệm của bài toán cân bằng hoặc bài toán bất đẳngthức biến phân được quy về tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Mụcnày dành cho các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn Ở đây chúng tôi giớithiệu khái niệm ánh xạ không giãn và những khái niệm liên quan đến cấu trúchình học của các không gian Banach được sử dụng trong lý thuyết điểm bất động

để chứng minh các kết quả cơ bản của F.E Browder, D Gohde (xem [12, 28]),

và W.A Kirk [31] về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.8 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Ánh xạ

S :C → C được gọi là ánh xạ không giãn, nếu

∥S(x)− S(y)∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.9 Cho S : C → C là một ánh xạ không giãn Một điểm x ∈ C

được gọi là điểm bất động của ánh xạ S nếu S(x) = x Ký hiệu F ix(S) là tập các

Chú ý 1.1 Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất (chẳng

hạn, xét ánh xạ đồng nhất).

Việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi phải cónhững công cụ đặc biệt Công cụ chính để nghiên cứu vấn đề này là cấu trúc hìnhhọc của không gian Banach Sau đây là một số khái niệm cơ bản của lí thuyếtnày

Định nghĩa 1.10 Không gian Banach ( X, ∥ · ∥ ) được gọi là lồi chặt nếu với mọi

x ̸=y mà ∥x∥= 1,∥y∥ = 1 ta có x+y

2 <1.

Định nghĩa 1.11 Không gian Banach ( X, ∥ · ∥ ) được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε > 0 đều tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X mà ∥x∥= 1,∥y∥= 1,∥x−y∥ ≥ ε

ta luôn có

x+y

2 ≤1− δ(ε)

Như vậy, mọi không gian Hilbert đều là lồi đều

Định nghĩa 1.12 Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn D của nó với diamD > 0 đều

chứa một điểm x ∈ D sao cho

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của H Khi đó, mọi ánh

xạ không giãn S :C → C có điểm bất động trong C

Định lý 1.6 ([31], Kirk) Cho X là một không gian Banach và C là một tập con lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong X Khi đó, mọi ánh xạ không giãn

S :C → C có điểm bất động trong C

Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ để thấy rằng ánh xạ không giãn

có thể không có điểm bất động trong không gian Banach tổng quát

Ví dụ 1.6 Cho X là một không gian Banach, S :X → X là ánh xạ dịch chuyểnxác định bởi

S(x) = x+a, a ̸= 0

Khi đó, S là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động

Ví dụ 1.7 Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong C0 (không gian Banach các dãy

số hội tụ đến 0 với chuẩn sup) và ánh xạ S :B → B xác định bởi

S(x1, x2, ) = (1, x1, x2, ).

Khi đó, S là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động

Ví dụ tiếp theo cho thấy tồn tại một số ánh xạ không giãn không đi từ C vàochính nó nhưng vẫn có điểm bất động

Ví dụ 1.8 Cho X =R, C = [−1,1] vàS : C → X định nghĩa bởiS(x) = 1 −x, x ∈

C Khi đó, S( −1) = 2∈ C / nhưng S có điểm bất động duy nhất trong C.

Bài toán cân bằng được E Blum và W Oettli [10] giới thiệu năm 1994 Ở

đó, các tác giả xem bài toán này là mô hình tổng quát của bài toán tối ưu và bàitoán bất đẳng thức biến phân Bài toán cân bằng xét về mặt hình thức khá đơngiản nhưng nó bao hàm được nhiều bài toán quan trọng trong kinh tế và nhiềulĩnh vực thực tiễn khác nhau như bài toán điểm bất động, bài toán bù phi tuyến,bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, Nhiều kết quả của các bài

toán trên có thể được mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điềuchỉnh hợp lý và đã thu được nhiều ứng dụng rộng lớn Đến nay, bài toán cân bằng

đã được nghiên cứu và mở rộng rất nhiều so với bài toán gốc trên các phươngdiện tồn tại nghiệm, ổn định nghiệm và thuật toán giải Đó là lý do tại sao bàitoán cân bằng ngày càng được nhiều người quan tâm Trong phần này, chúng tôixin giới thiệu các nét chính về bài toán cân bằng như định nghĩa, các trường hợpriêng, điều kiện tồn tại nghiệm và ứng dụng của nó

1.4.1 Bài toán cân bằng

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm bài toán cân bằng cùng một sốđịnh nghĩa cơ bản của song hàm f

Định nghĩa 1.13 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một song hàm f : C × C → R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng, viết tắt là EP(C, f), được phát biểu như sau:

Tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) ≥0, ∀y ∈ C.

Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán EP(C, f) là Sol(C, f) Sau đây, ta nhắclại một số định nghĩa của song hàm f.

Định nghĩa 1.14 Song hàm f được gọi là

(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số β > 0, nếu

(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C , nếu

f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z)− c1∥x − y∥2− c2∥y − z∥2, ∀x, y, z ∈ C.

1.4.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát, nó bao hàm nhiều lớp bài toán quantrọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bùphi tuyến, bài toán cân bằng Nash [43], Sau đây, ta sẽ trình bày cụ thể hơn

về các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Ví dụ 1.9 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một hàm F :C → H Taxét bài toán bất đẳng thức biến phân sau:

Định nghĩa 1.15 Hàm F :C → H được gọi là

(a) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu

Ví dụ 1.10 Bài toán tối ưu

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, một hàm F : C →R Bàitoán tối ưu, kí hiệu (OP), là bài toán được xác định bởi

min

x∈C F(x).

Đặt f(x, y) = F(y)− F(x) với mọi x, y ∈ C Khi đó, bài toán (OP) tương đươngvới bài toán cân bằng EP(C, f)

Ví dụ 1.11 Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của Rn và φ:C →2Rn

là một ánh

xạ đa trị nửa liên tục trên sao cho φ(x) là một tập con lồi, compact, khác rỗng

của C với mọi x ∈ C Bài toán điểm bất động, kí hiệu (F ix), có dạng:

Tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ ∈ φ(x∗ .

Đặt f(x, y) = max

v ∈φ(x) ⟨x − v, y − x⟩ với mọi x, y ∈ C Khi đó, bài toán (F ix) tươngđương bài toán cân bằng EP(C, f)

Ví dụ 1.12 Bài toán điểm yên ngựa

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Các tập C1, C2 ⊂ C và songhàm f1 : C1 × C2 → R Điểm (x ∗

Ví dụ 1.13 Bài toán bù phi tuyến

Cho C ⊂Rn là một nón lồi, đóng, C ∗ ={x ∈Rn : ⟨x, y⟩ ≥0, ∀y ∈ C} là nónđối ngẫu của C Giả sử F : C →Rn là một ánh xạ liên tục Bài toán bù phi tuyếnđược phát biểu dưới dạng:

Ví dụ 1.14 Bài toán cân bằng Nash

Xét một trò chơi không hợp tác gồm p người chơi Cho I = {1,2, , p} làtập chỉ số hữu hạn (tập p người chơi) Giả sử K i là tập con lồi, đóng, khácrỗng của Rn i (i ∈ I và n i ∈ N) và là tập con chiến lược của người chơi thứ i.

Cho trước hàm f i : K1 × K2 × · · · × K p → R ta gọi là hàm tổn thất của ngườichơi thứ i khi vi phạm chiến lược của những người chơi với mọi i ∈ I Giả sử

p)∈ K sao cho f i(x∗ ≤ f i(x∗[yi]), ∀i ∈ I , y i ∈ K i

Điểm x ∗ thỏa mãn bài toán trên gọi là điểm cân bằng Nash Về ý nghĩa kinh tế,

điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kỳ đối thủ nào chọn phương án ra khỏiđiểm cân bằng trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án điểm cân bằng thìđối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt Đặt f : K × K →R là một songhàm xác định bởi

Khi đó, bài toán cân bằng Nash tương đương với bài toán cân bằng EP(C, f)

1.4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Bây giờ, ta sẽ nhắc lại một số kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm vàtính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng Cho C là một tập con lồi, đóng,khác rỗng của H và một ánh xạ F :C →R Ánh xạ F được gọi là

(a) nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) tạix ∈ C, nếu với mọi dãy{x k } ⊂

F(λx+ (1− λ)y)≤max{F(x), F(y)}.

Để việc trình bày các kết quả được thuận lợi, ta cần sử dụng một số giả thiết saucủa song hàm f : C × C →R,

(A1) f(x, ·) nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ C;

(A2) f(x, ·) tựa lồi với mỗi x ∈ C;

(A3) f( ·, y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C.

Định lý 1.7 ([33]) Cho f thỏa mãn các giả thiết ( A2) và (A3) Giả sử ít nhất

một trong các điều kiện sau xảy ra:

(i) C bị chặn;

(ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng V của C sao cho với mọi x ∈ C \ V

đều tồn tại y ∈ V sao cho f(x, y)< 0.

Khi đó, bài toán EP(C, f) có nghiệm.

Định lý 1.8 ([33]). (i) Nếu f giả đơn điệu chặt trên C , thì bài toán EP(C, f)

có nhiều nhất một nghiệm.

(ii) Nếu f(x, · ) lồi với mỗi x ∈ C , f thỏa mãn các giả thiết ( A1),(A3), và đơn

điệu mạnh trên C , thì bài toán EP(C, f) có duy nhất nghiệm.

bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

Trong những năm gần đây, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toáncân bằng và tập các điểm bất động của các ánh xạ không giãn là một đề tài hấpdẫn đối với rất nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [9, 19, 55]) Tuy nhiên,các phương pháp giải mới đạt được cho bài toán cân bằng với song hàm nhận giátrị thực và có thêm những tính chất đơn điệu Hầu hết các thuật toán đều dựavào tính chất của ánh xạ nghiệm được đề xuất bởi các tác giả E Blum và P.L.Combettes trong hai bổ đề dưới đây

ChoClà một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Một song hàmf :C ×C →Rthỏa mãn các điều kiện sau:

(B1) f(x, x) = 0, ∀x ∈ C;

(B2) f đơn điệu trên C;

(B3) Với mỗi x, y, z ∈ C,

lim

t ↓ 0 f(tz+ (1− t)x, y) ≤ f(x, y);

(B4) Với mỗi x ∈ C, hàm f(x,·) lồi và nửa liên tục dưới

Bổ đề 1.1 ([10]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một song hàm f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện ( B1)−(B4) Cho r > 0 và x ∈ H Khi

đó, tồn tại z ∈ C sao cho

f(z, y) + 1

r ⟨y − z, z − x⟩ ≥0, ∀y ∈ C.

Bổ đề 1.2 ([21]) Giả sử f : C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4) Cho r > 0 và

x ∈ H , ta định nghĩa ánh xạ T r :H → C như sau

(iv) Sol(C, f ) là tập lồi, đóng.

Khi đó, tại mỗi bước lặp thứ n, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {x n }

điểm lặp x n+1 được tính theo x n và u n thông qua các kỹ thuật điểm bất động

Do đó, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tậpđiểm bất động của ánh xạ không giãn được chuyển về việc giải một dãy các bàitoán cân bằng phụ Sau đây, ta sẽ trình bày một vài phương pháp nổi bật giảibài toán này trên một không gian Hilbert thực H trong thời gian gần đây

1.5.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết

Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuấtbởi nhóm tác giả S Takahashi và W Takahashi [55] dựa trên kết quả của P.L.Combettes và S.A Hirstoaga [21] về tính chất của ánh xạ nghiệm và phươngpháp xấp xỉ cho bài toán điểm bất động của A Moudafi [38]

Định lý 1.9 ([55]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho một song hàm f : C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4) và S: C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S) ∩ Sol(C, f) ̸=∅ Cho g : H → H là một ánh xạ co, các dãy

Tiếp theo là hai hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lý trên

Hệ quả 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và S : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S) ̸=∅ Cho g :H → H là một ánh xạ co và

{x n } là dãy sinh bởi x1 ∈ H và

Khi đó, {x n } hội tụ mạnh tới z ∈ F ix(S), với z=P r F ix(S) g(z).

Hệ quả 1.3 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho một song hàm f :C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4), sao cho Sol(C, f)̸=∅ Cho g :H → H

là một ánh xạ co và {x n }, {u n } là các dãy sinh bởi x1 ∈ H và

Khi đó, {x n } và {u n } hội tụ mạnh tới z ∈ Sol(C, f), với z =P r Sol(C,f ) g(z).

Trong Định lý 1.9, việc đưa ánh xạ co g vào trong dãy lặp cùng với hệ số cocho trước, hệ số này gần như một tham số chính quy hóa để điều khiển sự hội

tụ của dãy {x n } Nhờ sự có mặt của ánh xạ co g mà dãy lặp {x n } đã hội tụ vềnghiệm tối ưu cần tìm Nếu không có sự tham gia của ánh xạ co g thì dãy lặp

{x n } sẽ chỉ hội tụ yếu về nghiệm tối ưu cần tìm như trong định lý sau

Định lý 1.10 ([53]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho một song hàm f : C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4) và S: C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S) ∩ Sol(C, f)̸=∅ Cho các dãy {x n }, {u n } sinh bởi x1 ∈ H và

W Takahashi [53] đã cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết bằng cách bỏ quaánh xạ co g khi xây dựng dãy lặp Thay vào đó, tác giả chiếu xấp xỉ ban đầucủa dãy lặp lên giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũngthu được sự hội tụ mạnh của thuật toán Khi đó, kỹ thuật chứng minh cũng đơngiản hơn khá nhiều Điều này được thể hiện ở phương pháp chiếu mà chúng tôigiới thiệu ở mục tiếp theo đây.

1.5.2 Phương pháp chiếu

Định lý 1.11 ([53]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Một song hàm f :C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4) và S :C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S) ∩ Sol(C, f) ̸=∅ Cho {x n } và {u n } là các dãy sinh bởi x1 =x ∈ H

n →∞ r n > 0 Khi đó, dãy {x n } hội tụ mạnh tới P r F ix(S) ∩Sol(C,f)(x).

Hệ quả 1.4 Cho C một là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Một song hàm

f :C × C → R thỏa mãn ( B1)−(B4), sao cho Sol(C, f) ̸=∅ Cho {x n }, {u n } là các dãy sinh bởi x1=x ∈ H và

với mọi n ∈N∗ , trong đó {r n } ⊂(0,∞ ) thỏa mãn lim inf

1.5.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ

Phương pháp này được đề xuất bởi R Wangkeeree [60] Trong đó, tác giả

đã kết hợp giữa kỹ thuật điểm bất động của Y Yao, Y.C Liou và J.C Yao [65]trong việc tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phânvới tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn và phương pháp xấp xỉ gắnkết của S.Takahashi và W.Takahashi [55] khi tìm điểm chung của tập nghiệmcủa bài toán cân bằng với tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn Trongbài báo của mình, tác giả đã đưa ra phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ(extragradient approximation method) để tìm điểm chung của tập nghiệm bàitoán cân bằng, tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập các điểmbất động của một họ đếm được các ánh xạ không giãn Tuy nhiên, phương phápnày vẫn phải sử dụng tính đơn điệu của song hàm f và vẫn phải giải các bài toáncân bằng phụ tại mỗi bước lặp

Định lý 1.12 ([60]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho một song hàm f : C ×C → R thỏa mãn ( B1)−(B4), A:C → H là một ánh xạ đơn điệu,

liên tục Lipschitz với hệ số L , g :H → H là một ánh xạ co và {S n } là dãy các ánh

xạ không giãn từ C vào chính nó, sao cho

sup{∥S n+1 z − S n z ∥ : z ∈ B} < ∞ với bất kỳ tập con bị chặn

B của C Cho S : C → C là một ánh xạ được định nghĩa bởi Sy = lim

Hệ quả 1.6 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Một song hàm

f : C × C → R thỏa mãn ( B1) − (B4), A : C → H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz với hệ số L , {β k

n } là một họ không âm các số thực với chỉ số

n, k ∈N, k ≤ n sao cho:

F ix(S k)∩Sol(C,A)∩Sol(C,f) g(q).

Hệ quả 1.7 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho A:C → H

là một ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz với hệ số L Cho S: C → C là một ánh

xạ không giãn, sao cho F ix(S) ∩ Sol(C, A) ̸=∅ Giả sử x1 =u ∈ C và {x n }, {y n }

Chương 1 là chương có tính chất cơ sở, cung cấp những vấn đề cơ bản nhất

về bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn Cụ thể, chương này đã nhắc lại một

số khái niệm cần thiết về giải tích hàm và giải tích lồi như: Sự hội tụ mạnh vàyếu trong một không gian Hilbert thực, phép chiếu lên tập lồi đóng Bên cạnh

đó, định nghĩa về ánh xạ không giãn cùng với các định lý điểm bất động nổi tiếngcũng được trình bày khá chi tiết Tiếp theo, chúng tôi đã giới thiệu về bài toáncân bằng, đưa ra một số trường hợp riêng điển hình của bài toán này, trình bàycác điều kiện tồn tại nghiệm và tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán đồng thờicũng nhắc lại một ứng dụng của bài toán cân bằng trong lĩnh vực kinh tế thôngqua mô hình cân bằng Nash Trong phần cuối chương 1, chúng tôi đã trình bàychi tiết một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toánđiểm bất động của ánh xạ không giãn như: Phương pháp xấp xỉ gắn kết, phươngpháp chiếu, phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ nhằm so sánh và chỉ ra mốiquan hệ với các thuật toán mới sẽ trình bày ở các chương tiếp theo

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Bài toán tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung là một bài toán tổng quát

và có nhiều ứng dụng quan trọng Nó được xem như một công cụ hữu hiệu đểgiải các bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng và một số bài toántối ưu khác Chính vì vậy, cho đến nay các nhà toán học trong và ngoài nước vẫnđang tiếp tục nghiên cứu và mở rộng lý thuyết điểm bất động áp dụng cho ánh

xạ đa trị, ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn Trong đó, phương phápđiểm bất động áp dụng cho ánh xạ không giãn đặc biệt được quan tâm vì nó cóthể giải quyết một lớp các bài toán tìm nghiệm chung của hai trong ba bài toánhoặc cả ba bài toán bất đẳng thức biến phân, cân bằng và ánh xạ không giãn.Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạkhông giãn Phần tiếp theo, chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đưa

ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằnggiả đơn điệu và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong một không gianHilbert thực trên cơ sở kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường được giớithiệu bởi P.N Anh [4] với phương pháp chính quy hóa tương đối của S Sun [52].Phần cuối, sử dụng phần mềm Mathlab đưa ra ví dụ tính toán cho Định lý 2.1.Nội dung chính của chương đã được công bố trong các công trình [3]

2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không

giãn

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Ánh xạ S :C → C là mộtánh xạ không giãn Cấu trúc về tập điểm bất động của ánh xạ không giãn là mộtphần khá quan trọng trong lý thuyết ánh xạ không giãn Trong [35], W.R Mann

đã xây dựng dãy lặp như sau:

x n+1 =α n x n+ (1− α n)Sxn , ∀n ≥0, (2.1)trong đó giá trị ban đầu x0 ∈ C tùy ý Với điều kiện hạn chế trên {α n }, dãy lặp

{x n } hội tụ yếu đến một điểm ¯x ∈ F ix(S)

Việc cải tiến phương pháp lặp của W.R Mann để đạt được sự hội tụ mạnh

đã được nghiên cứu nhiều trong thời gian gần đây Trong [41], K Nakajo và W.Takahashi đã đề xuất một phương pháp mới cải tiến phương pháp lặp của W.R.Mann để tìm một điểm bất động của một ánh xạ không giãn S trong H như sau:

Các tác giả đã chứng minh rằng, nếu dãy {α n } ⊂ [0, a], a ∈ [0,1), thì dãy {x n }

sinh bởi (2.2) hội tụ mạnh tới P r F ix(S)(x0)

Trong những năm gần đây, kỹ thuật lặp dạng ẩn để xấp xỉ điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn được giới thiệu và nghiên cứu bởi một số tác giả Cụ thể,năm 2011, H.K Xu và R.G Ori [64] đã giới thiệu kỹ thuật lặp dạng ẩn để tìmđiểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {S i } N

i=1 trongmột không gian Hilbert thực:

x n =α n x n−1+ (1− α n)Sn x n , ∀n ≥1, (2.3)

với S n ≡ S n mod N, và các tác giả đã chứng minh được dãy lặp (2.3) hội tụ yếuđến điểm bất động chung của {S i } N

i=1 Để đạt được sự hội tụ mạnh, F Zhang và

Y Su [68] đã cải tiến dãy lặp (2.3) bởi phương pháp lai ghép dạng ẩn cho một

họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {S i } N

với S n ≡ S n mod N, {α n } ⊂(0, a], a ∈(0,1) và {β n } ⊂[b,1], b ∈(0,1) Khi đó, {x n }

hội tụ mạnh đến z0 với z0 = P rΩ(x0), ở đây Ω là tập các điểm bất động chungcủa {S i } N

i=1

Ở trong nước, năm 2014, các tác giả P.K Anh, D.V Hieu, C.V Chung (xem[1, 2]) đã giới thiệu phương pháp song song để tìm điểm bất động chung của một

họ toán tử không giãn suy rộng Nét nổi bật của phương pháp này là giảm bớt

số lượng phép chiếu lên các tập lồi, đóng và có tốc độ hội tụ nhanh

Trong thời gian gần đây, các thuật toán lặp để tìm điểm chung của tậpnghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert thực đã được nghiên cứu và mở rộng bởi nhiều tác giả (xem[4, 5, 8, 18, 29, 52, 55, 59, 60, 66]) Trong [55], S Takahashi và W Takahashi lầnđầu tiên đã giới thiệu một kỹ thuật lặp bằng phương pháp xấp xỉ gắn kết Dãy

{x n } được định nghĩa bởi:

phức tạp và khó khăn khi chạy thuật toán trên máy tính Để tránh được điều

đó, chúng tôi đã kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường được giới thiệubởi P.N Anh [4] với phương pháp chính quy hóa tương đối của S Sun [52], đưa

ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằnggiả đơn điệu EP(f, C) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong mộtkhông gian Hilbert thực Khi đó, tại mỗi bước lặp thứ nchúng tôi chỉ cần giải haibài toán lồi mạnh với phương pháp giải tương đối đơn giản và thu được nghiệmchính xác Dãy {x n } được xác định như sau