LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I... Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar3r rj5k.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar4rj... Hãy tìm tọa
Trang 1CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I Tọa độ của vectơ
1)Định nghĩa a ar 1.ira2.rja3.kr ar ( ; ; )a a a1 2 3
2)Tính chất: Cho ar( ; ; );a a a b1 2 3 r( ; ; )b b b1 2 3
.Ta có:
a b
a b
r r
a br r (a b a1 1; 2b a2; 3b3)
kar(ka ka ka1; 2; 3)
, k¡
0 (0;0; 0),r ri (1;0; 0),rj ( ;1; 0),kr(0; 0;1)
ar
cùng phương br
k a kb b
¡ a a a b b b
3
1 2 3
ar.
b
r = a1b1 + a2b2 + a3b3
a a a a
r
a br r
a.b 0
r r
a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 cos r r
(a,b) = 2 1 12 22 2 2 3 32 2
ab
rr
r r
II.Tọa độ của điểm:
1.Định nghĩa: OMuuuurx i y j zk.r r rM ( ; ; )x y z
Chú ý:
M(Oxy) z 0; M(Oyz) x 0; M(Oxz) y 0
M Ox y z 0; M Oy x z 0; M Oz x y 0
Tọa độ hình chiếu của M lên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) lần lượt là: (x;y;0), (0;y;z), (x;0;z)
Tọa độ hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: (x;0;0), (0;y;0), (0;0;z)
2.Tính chất:
ABuuur(x Bx y A; By z A; Bz A)
A B A B A B
x x y y z z M
A B C A B C A B C
G
G là trọng tâm tứ diện ABCD
4 4 4
A B C D G
A B C D G
A B C D G
x
y
z z z z z
A,B,C thẳng hàng ABuuur và ACuuur
cùng phương uuurAB k AC k uuur ( )
¡
III.Tích có hướng của hai vectơ:
1)Định nghĩa: Cho ar ( ; ; );a a a b1 2 3 r ( ; ; )b b b1 2 3
.Ta có:
a,br r
=
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
r r
2)Tính chất:
z
O
x
y
i
r
j
2
A3
A 1
A’
A
Ox:trục hoành Oy:trục tung Oz:trục cao
Trang 2 r ri, jk;r r rj,kr r r ri; k,i j.
a,br ra; a,br r r br
. a,br r b,ar r
.
a,br r a b sinr r
với a,b
r r
ar và
br cùng phương a,b
r r
= 0r
3)Ứng dụng:
a,b,cr r r
đồng phẳng a,br r
.cr = 0
Diện tích hình bình hành ABCD: SYABCD AB,ADuuur uuur
.
Diện tích tam giác ABC: SABC1 AB,AC
2
uuur uuur
Thể tích khối hộp ABCD.A’D’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = AB,AD AA 'uuur uuur uuuur
Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD.A’B’C’D’ = 1 AB,AC AD
6
uuur uuur uuur
Loại 1 : Tọa độ của vectơ, của điểm và các phép toán vectơ
Định nghĩa:a a i a j a kr 1.r 2.r 3.r ar ( ; ; )a a a1 2 3
, OMuuuurx i y j zk.r r r M ( ; ; )x y z
Tính chất: Cho ar( ; ; );a a a b1 2 3 r ( ; ; )b b b1 2 3
.Ta có:
a br r (a b a1 1; 2b a2; 3b3)
, kar (ka ka ka1; 2; 3)
,
a b
a b
r r
uuurAB(x Bx y A; By z A; Bz A)
Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar r r ri 2j3k
Tọa độ của vectơ ar
là:
A.(-1;2;-3) B.(2; 1; 3) C.( 3; 2; 1) D (2; 3; 1)
Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar3r rj5k
Tọa độ của vectơ ar
là:
A (0; 5;3) B ( 5;3;0) C (3;0; 5) D (0;3; 5)
Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar4rj
Tọa độ của vectơ ar
là:
Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar 2r ri 3j 4 ;k b jr r r r 3k
Tọa độ của vectơ
u a br r r
là:
A (3; 4; 1) B (3;6; 4) C (2; 4; 1) D (2;3; 12)
-Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a ir r r r r uur r 2j3 ;k b 2i k
Tọa độ của vectơ
ur 2ar r3b
là:
A ( 4;3; 4) B (8; 4; 9) C (4; 4;3). D. ( 4; 4; 3)
-B
A
C
D
A
B
C
B
A
C D
A '
D '
A B
C D
Trang 3-Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (3;2;1), br(1;3;2), cr(0;1;1)
Tọa độ của
vectơ ur2ar r r3b c
là:
A (3; 4; 3) B (3; 4;3). C. (4; 3; 3) D ( 4;3;3)
-Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar(2; 1;1), br (1; 2;2), cr(3; 2;1)
Tọa độ
của vectơ u ar r 2br r3c
là:
A (9; 9; 4) B ( 9;9; 6) C (9; 4;9) D ( 9;9;9)
-Câu 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar(3; 1; k1), br(2m1;3 2 ;1) n
Tìm m, n , k
để br ar
:
m n k B 5, 5, 3
m n k
m n k D 7, 1, 3
m n k
-Câu 9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar(2;1;1), br (3; 1;2)
Tìm tọa độ vectơ cr
thỏa:
c a b
2r r 3r r0
A ( 7; 2; )5
( ; 2; )
( ; 2; )
( ; 2; )
.
-Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a ( 1;2;3),r
b (2; 3; 4),
r
c (3;4; 5),
r
d ( 4;5; 1)ur
Hãy phân tích vectơ dur
theo 3 vectơ a b cr r r, ,
A 97 59 17
dur ar br cr
dur ar br cr
dur ar br cr
dur ar br cr
-Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A( 1;2;3), B(2; 3;4), OCuuur 2 3r r ri j k
Hãy tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
A ( 1;2; 2) B ( 1; 2;1) C ( 1; 2;0) D ( 1;2;3)
-Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0;1), OBuuur r r r 3 2i j3k
Hãy tìm tọa độ điểm C
Trang 4sao cho tứ giác ACOB là hình bình hành.
A ( 4;2; 2) B (4; 2; 2) C (2; 2; 4) D ( 2;2;4)
-Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành OADB có
OAuuur ( 1;1; 0),OBuuur (1;1; 0)
Hãy tìm tọa độ tâm của hình bình hành OADB
-Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0;1), B(2;1;0), C(3;2;1) Hãy tìm tọa độ điểm M
sao cho: 2uuuur uuuurAM BM 5uuurAC
-Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(2;1;2), C(2;2;-1) Hãy tìm tọa độ điểm
M sao cho: uuuurAM 5BMuuuur uuuur r3CM 0.
A (1;2; 12) B (1; 2;12) C (2; 4;10) D ( 2;4; 10)
-Loại 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
ar.
b
ar a a a
a br r
a.b 0
r r
a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 cos r r
(a,b) = 2 1 12 22 2 2 3 32 2
ab
rr
r r
AB = xB xA2yB yA2zB zA2
Câu 16 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a b cr r r r, , 0; k
¡ Phát biểu nào sau đây sai?
A a b cr r r( ) a b a cr r r r
a b
a b
a b
r r
r r
r r C k b c.( ) ( ).r r k b cr r
D a b cr r r.( ) ( ). a b cr r r
Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (1; 2;0),br (2; 1;1), cr (1; 1;0)
Phát biểu nào sau đây sai?
A ar 5
B a cr r. 1
Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a i jr r r 2 ,k br r 3r rj k
Khi đó a br r.
bằng:
A 5 B 4 C 3 D 0
-Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a i jr r r 2 ,k b ir r r (m1)r rj k
Tìm m để ar rb.
-Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(2;4;5) Điểm M nằm trên trục Ox và
tam giác ABM vuông tại A Tọa độ điểm M là:
Trang 5A (0;1;6). B (5;0; 0). C (0;3;1). D ( 4;0;0)
-Câu 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a mir r r3j2kr
Hãy tìm m, biết ar 13
-Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a mir r r3j2 ,k br r(1;2;1)
Hãy tìm m, biết
3
ar br
nhỏ nhất
A m3 B m2 C m1 D m0
-Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(1;2;-1) Điểm M nằm trên trục Oy và
cách đều 2 điểm A, B Tọa độ điểm M là:
2
D (2;0;3).
-Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OAuuur 3r ri 5j5kr
Điểm M thuộc trục tung thỏa độ dài đoạn AM nhỏ nhất Tọa độ của điểm M bằng:
-Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OAuuur 2r ri 3j5kr
Điểm M thuộc mp(Oxy) thỏa độ dài đoạn AM nhỏ nhất Tọa độ của điểm M bằng:
-Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA iuuur r r j 3 , (2;1;1)k Br
Điểm M thuộc trục tung thỏa MA2MB2 nhỏ nhất Tọa độ của điểm M bằng:
-Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A, B, C Phát biểu nào sau đây sai?
AB AC
AB AC
AB AC
uuur uuur uuur uuur
AB CA
AB AC
AB AC
uuur uuur
AB AB
cos ( , )
AB AC
AB AC
AB AC
uuur uuur
Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (1; 2;1),br (1;1; 2)
.Khi đó cos a b( , )r r
bằng:
A 1
1
1
3
2.
Trang 6
-Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar ( ; 2;1),m br(1; 2; 2)
.Tìm m, biết ( , ) 1
3
cos a br r
:
1
3
4.
-Câu 30 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A( 2;0; 2), (0; 2; 2)B Góc O của tam giác OAB bằng:
-Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A( 2;0; 2), (0; 2; 2)B Góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng:
-Loại 3 Công thức trung điểm và công thức trọng tâm
A B A B A B
x x y y z z M
A B C A B C A B C
G
G là trọng tâm tứ diện ABCD
4 4 4
A B C D G
A B C D G
A B C D G
x
y
z z z z z
Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), (3;7; 4)B Tọa độ hình chiếu trung điểm của đoạn AB lên trục hoành là :
-Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), (3;7; 4), (2; 0; 1)B C Tọa độ hình chiếu trọng tâm của tam giác ABC lên mặt phẳng (Oyz) là :
-Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), B(3;7; 4) Tọa độ điểm M đối xứng với A qua B là :
A.(2;6; 1) B (7;9; 10) C (5;9; 3) D (5;9; 10)
-Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5;0), (3;7; 4), (2;0; 1)B C Tọa độ điểm E sao cho A là trọng tâm của tam giác EBC bằng:
A.( 2;8; 5)
3
Trang 7
-Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;0), (3; 2; 2), (2;3;1)B C Khoảng cách từ trung điểm của đoán AB đến trọng tâm tam giác ABC bằng :
-Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;0), (3; 2; 2), (2;3;1)B C , có G là trọng tâm tam giác ABC, M là điểm chạy trên mp(Oxz) Độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng :
-Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3; 2;1),B(3; 2;5), có I là trung điểm của AB Khoảng cách từ I đến trục Oz bằng:
-Loại 4 Công thức tích có hướng
Cho ar ( ; ; );a a a b1 2 3 r ( ; ; )b b b1 2 3
.Ta có:
a,br r
=
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
r r
r ri, jk;r r rj,kr r r ri; k,i j
a,br ra; a,br r r br
. a,br r b,ar r
.
a,br r a b sinr r
với a,b
r r
ar và
br cùng phương a,b
r r
= 0r
Câu 39 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (3;2;1), br (3;2;5)
Khi đó : a,br r
có tọa độ
bằng:
A (8; 12;5) B (8; 12;0) C (0;8;12). D (0;8; 12)
-Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (1; 2;1),br (2; 4; 2)
Khi đó : a,br r
có tọa
độ bằng:
-Câu 41 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a b cr r r, ,
Chọn đáp án sai
A a b ar r r, 0 B a b cr r r,
là 1 số C a br r,
là 1 số D a br r, 0r ar rb
Câu 42 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;0), B(3; 2; 2), (2;3;1) C Tọa độ của vectơ
,
AB AC
uuur uuur
bằng:
A (6;0; 6) B (6; 6;0) C ( 6;0;6) D ( 6;6;0)
-Câu 43 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (1; 2;1),br ( ;m m1; 2),cr ( 1;1;3)
.Tìm m để
Trang 8a b c
r r r
-Câu 44 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar (1; 2;1),br ( ;m m1; 2) Tìm m để , 30 a b r r A 1 4 m m . B 2 3 m m . C 0 3 m m . D. 0 4 m m .
-Loại 5 Hai vectơ cùng phương, không cùng phương ar cùng phương br : ( 0) k a kb b r r r r ¡ 1 2 3 1 2 3 a a a b b b ( , ,b b b1 2 30) ar và br cùng phương a,b r r = 0r Câu 45 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Bộ 3 điểm nào sau đây thẳng hàng: A.M(1;2;3), N(-1;3;2), P(2;1;2) B M(2 ;3 ;1), N(1 ;1 ;1), C(3 ;2 ;3) C M(0;1;1), N(2;1;2), P(1;1;2) D.M(1;1;1), N(2;3;-1), P(3;5;-3)
-Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;1), B(3; 2; 2) , điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng Tọa độ của điểm M là: A ( 1;6;0) B ( 1; 1;0) C (0;0;4). D (0;0;3).
-Loại 6 Ứng dụng của tích có hướng
a,b,cr r r
đồng phẳng a,br r
.cr = 0
Diện tích hình bình hành ABCD: SYABCD AB,ADuuur uuur
.
Diện tích tam giác ABC: SABC1 AB,AC
2
uuur uuur
Thể tích khối hộp ABCD.A’D’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = AB,AD AA 'uuur uuur uuuur
Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD.A’B’C’D’ = 1 AB,AC AD
6
uuur uuur uuur
Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng:
B
A
C
D
A
B
C
B
A
C D
A '
D '
A B
C D
Trang 9A ar ( 1;1;0),br (2; 1;1), cr(1;1;1)
B ar (0; 1;1), br (2;1;0),cr (2;1; 2)
C ar (0;0;1),br (2;1;1),cr(1;0; 2)
D ar (1;0; 2),br(2;3;1),cr (1;1;1)
-Câu 48 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, ar ( ;1;0),m br(2;m1;1),cr (1;m1;1) Tìm m để 3 vectơ a b cr r r, , không đồng phẳng A 1 2 m . B 3 2 m C m 1 D m 2
-Câu 49 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2;1), (2;1;3), (3;2; 2)B C . Diện tích tam giác ABC bằng: A 11 2 . B 3. C 13 2 . D. 14 2 .
-Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1), (2;1;3), (3; 2;2)B C Độ dài chiều cao AH của tam giác bằng: A 21 6 . B 21 3 . C 14 6 . D 14 3 .
-Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2;1), B(2;1;3), C(3; 2;2), (1;1;1) D Thể tích của tứ diện bằng: A.1 B 2 C 1 2. D.3.
-Câu 52 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2;1), B(2;1;3), C(3; 2;2), (1;1;1) D Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng: A 3 14 7 . B. 14 14 . C 4 14 7 . D 3 14 14 .
-Câu 53 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1), B(2;1; 2), ( 1; 2; 2),
E D(3;1;2) Thể tích khối hộp bằng:
Trang 10A 1 B 2 C 1
1
3.
Câu 54 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1), B(2;1; 2), ( 1; 2; 2),
E D(3;1;2) Khoảng cáh từ A đến mp(DCGH) bằng:
1
3.
PHẦN 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Loại 1 : Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 4 có tọa độ của tâm là:
A.(-1;2;1). B.(1; 2; 1) C.(1; 2;1) D (1;2;2).
Câu 56 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 9 có bán kính bằng:
Câu 57 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 – 2x + 6y + 1 =
0 Mặt câu có tâm I, bán kính R là:
A (2; 6;0)
40
I
R
(1; 3;0) 11
I R
( 1;3;0) 3
I R
(1; 3;0) 3
I R
-Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương trình x2 + y2 + z2 + 2(3 – m)x – 2(m + 1)z – 2m + 2m2 + 7 = 0 Tìm m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu A.m1 B.m2 C 1 2 m D m4
-Loại 2 : Viết phương trình mặt cầu Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(3;0;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A .(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 3 B.(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 3 C (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 3 D (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 12
-Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) Phương trình mặt cầu tâm A và qua O là: A .(x -1 )2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 14 B.x2 + y2 + z2 = 14 C (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 7 2. D x 2 + y2 + z2 = 7 2.
-I)Dạng 1: (x - a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 , tâm I(a;b;c) , bán kính R
Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O, bán kính R là: : x2 + y2 + z2 = R2
II)D
ạ ng 2 : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, với điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0, là phương trình trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 b2 c2 d