SKKN sáng kiến kinh ngiệm giúp học sinh nhận dạng và giải một số dạng toán hình học không gian ở trường THPT triệu sơn 2

Qua những năm giảng dạy tại trường THPT tôi nhận thấy học sinh thườnggặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian trong các đềthi đại học.. Nguyên nhân là do các b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN 2

Người thực hiện: Hồ Văn Quảng Chức vụ: Giáo viên

Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2014

1 Đặt vấn đề

Trong những năm qua việc đổi mới phương pháp dạy và học luôn được sựquan tâm không chỉ của ngành giáo dục mà của toàn xã hội Việc viết sáng kiếnkinh nghiệm hàng năm nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đúc rútkinh nghiệm và đổi mới trong giảng dạy của từng giáo viên

Qua những năm giảng dạy tại trường THPT tôi nhận thấy học sinh thườnggặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian trong các đềthi đại học Nguyên nhân là do các bài toán hình học không gian mang tính trừutượng cao, không có thuật giải và không được phân dạng cụ thể chính vì vậy màhọc sinh gặp khó khăn khi tiếp thu kiến thức và vận dụng vào giải toán Để giúpcác em dể tiếp thu kiến thức và vận dụng vào giải toán tôi xin giới thiệu một sốdạng toán thường gặp và có định hướng giải cụ thể nhằm giúp học sinh địnhhướng được phương pháp giải cho từng dạng

Với mong muốn có thể góp phần nhỏ nâng cao chất lượng dạy và học,cung cấp cho các em học sinh thêm một số phương pháp để giải quyết các bài

toán hình học không gian một cách dể dàng hơn, tôi viết đề tài: “Giúp học sinh

nhận dạng và giải một số dạng toán hình học không gian ở trường trung học phổ thông Triệu Sơn 2”

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Cơ sở lý luận

Để tính thể tích của một khối đa diện người ta thường chia khối đa diện đóthành các khối đa diện đơn giản(khối chóp) dể tính thể tích Tuy nhiên việc làmnày gặp khá nhiều khó khăn kể cả những học sinh có học lực khá giỏi và đặc biệtđối với học sinh có học lực trung bình thì điều này là không thể thực hiện được

Trong nhiều trường hợp khi đã chia khối đa diện thành các khối chóp thìviệc tính thể tích của các khối chóp này vẫn gặp không ít khó khăn do không xácđịnh được đường cao hay không tính được diện tích đáy Nhưng nếu học sinhbiết chuyển việc tính thể tích các khối này bằng cách thông qua tính tỉ số thể tíchcủa hai khối chóp thì bài toán trở nên đơn giản đi rất nhiều

2.2 Thực trạng của vấn đề

Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học đã được Bộgiáo dục triển khai sâu rộng trong cả nước và đã đạt được một số chuyển biếntích cực Các phương pháp dạy học hiện đại đã được nhiều giáo viên áp dụng.Với sự đổi mới đó đã góp phần tạo môi trường học tập mà trong đó học sinhđược hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức, qua

đó học sinh có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển tư duy cho bảnthân họ Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên gặp khó khăn trong việctiếp cận và thực hiện các phương pháp dạy học mới đặc biệt là trong việc dạyhình học mà trong đó có giải bài tập hình học

Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 2 tôi nhận thấy rằng đa

số học sinh rất ngại học hình học đặc biệt là hình học không gian Nguyên nhân

là do bản chất của hình học không gian mang tính trừu tượng cao, các bài toánkhông có thuật giải cụ thể Bên cạnh đó một phần không nhỏ là do trong quátrình giảng dạy người giáo viên chưa tạo cho học sinh hứng thú trong học tập,chưa quan tâm bồi dưỡng hình học một cách đúng mức và có khoa học, chưa cóphương pháp và hệ thống bài toán phù hợp cho từng dạng

Chính vì vậy câu hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh Đại học

và Cao đẳng luôn là những câu khó đối với đa số học sinh Phần lớn các em đãquên các kiến thức hình học không gian ở lớp 11 do đó việc học hình học khônggian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích các khối đa diện học sinh tỏ ra rấtlúng túng Trước thực trạng đó trong quá trình giảng dạy tôi đã nghiên cứu xâydựng một lớp các bài toán tính thể tích và các bài toán có liên quan dựa vào tỉ sốthể tích của hai khối chóp tam giác

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng nếu người giáo viên biết định hướng

và đưa ra một hệ thống bài tập phù hợp thì học sinh sẽ dể dàng tiếp thu và vậndụng làm các bài toán dạng này một cách đơn giản kể cả những học sinh có họclực trung bình Từ đó giúp các em biết mở rộng vận dụng cho các bài toán , dạngtoán liên quan khác khó hơn

Sau đây là hệ thống bài toán tôi đã xây dựng theo quan điểm trên bằngviệc bắt đầu từ một bài tập trong sách giáo khoa rất quen thuộc đối với họcsinh

Bài toán: (Bài 4 trang 25 hình học 12 cơ bản)

Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’,B’, C’ khác với S Chứng minh rằng: ' ' '

.

' '

1sin ' '. '. '

' '

1sin 2

B SC SB SC

S  BSC SB SC SB SC Từ

đó suy ra điều phải chứng minh

Vận dụng bài toán 1 ta đi giảiquyết một số dạng toán thường gặp trongcác đề thi đại học và thi học sinh giỏi sau

H

C' B'

A'

B A

S

C' B'

C

S

B A

2.3.1 Dạng 1: Tính tỉ số thể tích của các khối đa diện

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Lấy M,

N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho: SM SN 2

a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P Tính tỉ số SP

CP.b) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAMPN và SABCD

BM DN OE  Trong tam giác

SAC ta có SO là đường trung tuyến

và SE 2

OE  nên E là trọng tâm của tam

giác AE cũng là đường trung tuyến

của tam giác nên P là trung điểm của

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC (AC=

BC = a), SAABC SA AB,    qua A và vuông góc với SB tại B’, cắt SC tạiC’ Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện tạo thành do thiết diện cắt hình chópS.ABC

M

N

OS

D

B

2.3.2 Dạng 2: Tính thể tích của các khối đa diện

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC

= 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi

M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N.Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chópS.BCNM theo a

Giải: + Cách 1: Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

suy ra MN//BC và N là trung điểm AC

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên

Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là

tam giác đều cạnh a, DA=2a và SA vuông góc

với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên các đường thẳng DB,

DC Tính thể tích khối chóp ABCNM theo a

S

AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông DAB, DAC vàhai tam giác này bằng nhau nên ta có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA

vuông góc với đáy G là trọng tâm tam giác ASC, (ABG) cắt SC tại M, cắt SDtại N Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a và góc hợp bởiđường thẳng AN và (ABCD) bằng 300

Giải: Từ giả thuyết suy ra M, N lần

lượt là trung điểm SC, SD

1212

ADC ABC ABCD

SADC SABC SABCD

1 1

SBCM

SBCM SBCA SBCA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc đỉnh S trênmặt phẳng ABCD là điểm H thuôc đoạn thẳng AC sao cho AH=AC/4 Gọi CM

là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng M là trung điểm của SA vàtính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Giải:

*) Chứng minh M là trung điểm SA:

Từ giả thiết ta tính được

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là

trung điểm của SA

AD a , SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và

SC, gọi I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

N M

D

C B

A S

D

C

B A

H M S

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC,

v

Gọi H là trung điểm của AD ta có:

SH AD  SH (ABCD)(do (SAD) ( ABCD))

SH AD  SH (ABCD)(do (SAD) ( ABCD))  SH BP(1) Xét hìnhvuông ABCD ta có CDH BCP CH BP(2) Từ (1) và (2) suy ra BP (SHC)

P

H

N M

B A

S

Vì MN//SC và AN//CH nên (AMN)//(SHC) Suy ra BP (AMN)  BPAM. Kẻ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng

  bất kì không đi qua S, cắt các cạnh SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’, D’ Chứngminh rằng:

SA D C SADC

b) Nếu SABCD là hình chóp đều thì SA= SB= SC= SD  đpcm

Ví dụ 2:   cắt hình chóp lục giác đều SA B C D E F1 1 1 1 1 1 tại A B C D E F, , , , ,

S

Ví dụ 3: Trên đáy ABC của hình

chóp SABC lấy điểm M Qua M kẻ các

đường thẳng song song với SA, SB, SC cắtmặt bên hình chóp lần lượt tại A’, B’, C’

' ' ' ' ' '

MA B C SABC

Ví dụ 4: Cho góc tam diện Oxyz và điểm M bên trong nó Một mặt phẳng

qua M cắt các cạnh của góc tại A, B, C Chứng minh rằng:

v v v có giá trị không phụ thuộc cách chọn mặt phẳng

Giải: Qua M kẻ các đường thẳng song song ox, oy, oz lần lượt cắt các mặtbên của hình chóp OABC tại A’, B’, C’ Áp dụng ví dụ 9 ta có:

S

3

OAB OABC

qua một điểm I cố định trên đường cao SO lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại

C'

B'

A' K

H

B A

O

N M

C

B A

S

2.3.4 Dạng 4: Giải các bài toán cực trị hình học

Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC có thể tích V M là 1điểm tuỳ ý trong đáy

ABC.Qua M kẻ các đường thẳng // với SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SAC, SABtại A’ B’ C’ Gọi V1 là thể tích MA’B’C’ Chứng minh rằng: 1

1 27

Giải: Gọi giao điểm của AM,

BM, CM với các cạnh của ABC là: P,



(*)Theo ví dụ 9 ta có:

Ví dụ 2: Cho góc tam diện

Oxyz và điểm M cố định trong góc

đó Hãy dựng một mặt phẳng qua

M cắt góc tam diện thành tứ diện

có thể tích bé nhất

Giải: Giả sử   qua M cắt

Ox, Oy, Oz tại A,B, C, qua M kẻcác đường thẳng song song Ox,

Oy, Oz cắt các mặt OAB, OBC,OAC tại C’, A’, B’ Theo ví dụ 9 tacó:

A' B'

S

Ví dụ 3: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCS Mặt phẳng quay xung quanh

AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt ở M, N Gọi v v ABCS,v1 v SAMN Chứng minhrằng: 4 1 1

SA M SA M SOB SBC

K H

N M

C B

A

S

Mặt khác

 

1 2

Tương tự ta có: x 1 ;1       

 

2 1

Ví dụ 4: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD của tứ diện ABCD

lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q, S, R Gọi v v v v v lần lượt là thể tích của1, , , ,2 3 4

các khối tứ diện AMSQ, BMNR, CNPR, DPQR và ABCD Tìm giá trị nhỏ nhất

Q

P N

M

D

C B

A

Ví dụ 5: Cho điểm O ở bên trong tứ diện ABCD, các tia AO, BO, CO, DO

lần lượt cắt các mặt đối diện tại A B C D Tìm giá trị nhỏ nhất của1, , ,1 1 1

D

C B

A

Giải: Ta có: AC2 CD2 AD2nên tam giácACD vuông tại C  CDAC CDSC

nên tam giác SCD vuông tại C

SHCD

SBCD

v SH

v SB , tam giác SAB vuông tại A và AH

B

M

C D

A

Ví dụ 3: (ĐH khối D – 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC

= a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích củakhối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Giải: Từ giả thuyết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B Thể tích của

khối lăng trụ là VABC.A’B’C’ = AA’.SABC =

12

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta

có BH AE Hơn nữa BM (ABE) BM AE  AEHM Mà

BH AB  EB a   Tam giác BHM vuông tại B nên:

714

2.3.6 Dạng 6: Tính diện tích đa giác

SI



2 10(dvd )16

cơ bản về hình học không gian là có thể làm được

Đề tài có thể áp dụng cho mọi đối tượng học sinh đặc biệt là ôn thi Đạihọc – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi Qua thực tế tôi đã gặt hái được một

số kết quả như: có nhiều học sinh đậu Đại học – Cao đẳng trong đó có những em

đỗ Á khoa, nhiều học sinh đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh

A

C M

S

B

J G

I N

3 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:

Tôi đã thử nghiệm dạy đề tài qua nhiều khoá, có bổ sung chỉnh sửa thêmcho phù hợp và hoàn thiện tuy nhiên vẫn không thể tránh được những sai sót vìvậy rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo để sáng kiến kinh nghiệm ngàycàng hoàn thiện hơn

Xác nhận Triệu Sơn, ngày 20 tháng 5 năm 2014

của thủ trưởng đơn vị Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh

nghiệm do tôi viết, không sao chép của người khác

Người viết

Hồ Văn Quảng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Văn Như Cương, Bài tập hình học 11 nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục

2 Đề và đáp án thi đại học từ năm 2002 đến năm 2013

3 Trần Văn Hạo, Hình học 12 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục

4 Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học không gian, Nhàxuất bản giáo dục

5 Phan Huy Khải, 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất bản HàNội