Luận văn về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân

HÀ NỘI, 2016 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II LÊ HƯONG GIANG VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG • • TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC...

HÀ NỘI, 2016

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG

• •

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG

• •

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Dũng Mưu

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận đuợc sụ dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo ở truờng Đại học Su phạm Hà nội II Đặc biệt là sụ chỉ bảo, huớng dẫn trực tiếp của GS TSKH Lê Dũng Muu Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Lê Dũng Muu, các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thục hiện luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Lê Huơng Giang

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thục và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sụ giúp đỡ cho việc thục hiện luận văn này đã đuợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đuợc chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Nguời cam đoan Lê Huơng Giang

§2.1 Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân 44

§ 2.2 Sự tồn tại ngiệm của bài toán bất đẳng thức 45 biến phân đơn điệu

Các ký hiệu và danh mục các từ viết tắt

H - Không gian Hilbert.

M-Tập số thực

[a,b] - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b (a,

domf - Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị / gphf - Đồ thị của ánh xạ đa trị

/ rgef - Miền ảnh của ánh xạ đa trị /

2 Y - tập gồm toàn bộ các tập con của Y.

2 H - tập gồm toàn bộ các tập con của H.

Pc - Phép chiếu.

VIP - Bài toán bất đẳng thức biến phân.

Soi - Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các lĩnh vực của giải tích hiện đại, toán tử đơn điệu không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có đóng góp quan trọng trong lĩnh vục kinh tế Đặc biệt, toán tử đơn điệu là công cụ đuợc sử dụng nhiều và rất hiệu quả trong toán học ứng dụng Nó giúp ích cho việc nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, xây dụng phuơng pháp giải các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và bài toán tối uu Bản luận văn này nghiên cứu toán tử đơn điệu và ứng dụng của nó vào bất đẳng thức biến phân Đề tài luận văn là “ về tính đơn điệu của toán tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu về tính đơn điệu của toán tử trong không gian Hilbert.

• Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân.

• ứng dụng về tính đơn điệu của toán tử vào bài toán bất đẳng thức biến phân.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn đối tượng áp dụng chính là toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và áp dụng toán tử đơn điệu vào bất đẳng thức biến phân.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tìm tòi, thu thập các tài liệu về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân.

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

• Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của toán

tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân.

6 Dự kiến đóng góp mới

Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “

về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu cầu

tìm hiểu về đề tài này.

1.1 Không gian Hilbert

trong đó ( x , y ) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ X và y.

Định lý 1.1 H được gọi là không gian tiền Hỉlbert (hay không gian Unita , không

gian với tích vô hướng) khỉ H là không gian tuyển tinh định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức:

3 c ^ a b ] là không gian gồm L 2 [a,b] không gian các hàm bình phương khả tích là một không gian tiền Hilbert không đủ với tích vô hướng:

{ x , y ) = ị b x ( t ) y ( t ) d t

1.1.2 Một số tính chất quan trọng

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Cho H là một không gian tiền Hilbert Với V x , y £ H ta cỏ bất đẳng thức:

Dấu’ ’=” xảy ra khi ịx, y)| = ||x|| Ill’ll <=> (3 a £ M), X = ay hoặc y = ax

1 Trong không gian R 2 , siêu phẳng là đường thẳng một chiều.

2 Trong không gian R 3 , siêu phẳng là chính là mặt phẳng hai chiều.

Định nghĩa 1.6 Cho x° G c Ta nói a TX = a là siêuphẳng tựa của c tại x° nếu:

a T x° = a , a T x > a , Vx e c.

Định nghĩa 1.7 Nửa không gian đóng là một tập hợp có dạng

Định nghĩa 1.8 Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu

hạn các nửa không gian đóng hay nói cách khác nó chính là tập hợp nghiệm của một hệ hữa hạn các bất phưong trình tuyến tính, có nghĩa là:

Một nón lồi vừa là tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.

Ví dụ 1.5 Trong M", tập jx = x ì x 2 , , x n : X ị > 0 , i = l, ,«j góc (orthant) không

âm là một nón lồi có đỉnh tại 0.

Định nghĩa 1.11 Một tập c là nón lồi khỉ và chỉ khỉ c thỏa mãn hai điều kiện sau:

i ẮC c c, V/L > 0.

ii C+CcC.

Ví dụ 1.6.

1. c := |x G M ịx ^ oj là nón nhưng không phải là một tập lồi.

2. c := |x|^4x > oj là nón lồi đa diện với A là ma trận thực cấp hữu hạn Định nghĩa 1.12 Cho c là một tập lồi trong H và X G c Nc (x) được gọi là

nón pháp tuyến ngoài của c tại X khi và chỉ khi:

Ịw (w, y - x ) < 0, Vy e cj.

Định nghĩa 1.13 Cho c là tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất kỳ, đặt

dÁy)-=™£\V-yị

Ta nói d c (y) là khoảng cách từ y đến c, nếu tồn tại n £ c sao cho

d c (y) = \\ĩĩ - y|| thì ta nói n là hình chiếu (khoảng cách) của y trên c.

Ký hiệu: n = p c { y ) hoặc p(y) nếu không nhấn mạnh đến tập chiếu c.

Mệnh đề 1.2 Cho c là một tập đỏng khác rỗng Khỉ đỏ: ỉ Với mọi y £ //, n G c

hai tinh chất sau là tương đương:

a) x = P c ( y )

b ) y - 7 t e N c ( à )

ìì Với mọi y e H , hình chiểu p c (y) của y trên c luôn tồn tại và duy nhất.

iii Nếu y Ể c thì ( p c ( y ) - y , x - P c ( y ) ) = 0 là siêu phẳng tựa của c tại Pc (T) và

Điều này đúng với mọi X G c và Ẳ G (0,1).

Do đó khi cho Ả —» 0, ta đuợc:

-ii Do d c (_y) = inT^c ||x-_y| nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (iníĩmum),

tồn tại một dãy x k e c sao cho

Vậy dãy |x k | bị chặn, do đó nó có một dãy con |x kj| hội tụ yếu đến một điểm K nào

đó.

Mà c lồi đóng, nên n £ c.

Vậy

Chứng tỏ n là hình chiếu của y trên c.

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm n và

7ĩ~ l đều là hình chiếu của y trên c, thì

Cộng hai bất đẳng thức này lại ta suy ra n - n < 0 và do đó Ĩ I = 7Ĩ1

iii Do y - 7t e îtNç (;r) nên (n - y, X - 7t) > 0, Vx e c.

Vậy ( î i - y , x ) = ( î i - y , 7 i ) là một siêu phẳng tựa của c tại n

Siêu phang này tách y khỏi c vì y * K nên

Định nghĩa 1.15 Trong H, cho c là tập lồi và f \C —> R Tập domf được gọi là

miền hữu dụng của f khi

domf :=Ịx e c|/(x) < +ooj.

Tập epif := j(x,//) G cX R|/(x) < //j được gọi là trên đồ thị của hàm f.

Định nghĩa 1.16 Trong H cho c lồi khác rỗng và /://—> R u I+QOj.

Định nghĩa 1.17 Hàm f là hàm lõm trên c nếu —f lồi trên c.

Định nghĩa 1.18 Một hàm f được gọi là chinh thường trên nếu domf + 0 và /(*)> —00 với mọi X.

Định nghĩa 1.19 Hàm f được gọi là đỏng, nếu epỉf là một tập đóng trong

H.

là lồi với mọi a G M.

Định nghĩa 1.20 Hàm /:77—»i?u{+ooj và mọi dãy ị x k } ( ^ E , x k — » X đuợc

iii liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới đối với E tại X Mệnh đề 1.4 Với mọi hàm Mu|+oo| các điều sau là tương

đương:

i Trên đồ thị của f là một tập đóng trên H, nói cách khác f = /.

ii Với mọi sổ thực a, tập mức dưới

Lf (ơ) := Ịx|/(x) < aj

là một tập đỏng.

iii f nửa liên tục dưới trên tì.

Mệnh đề 1.5 Đổi với một hàm lồi chinh thường trên H và x° E

int {domf ), các khẳng định sau đây là tương đương:

ỉ f liên tục tại điểm Xo

ỉỉ f bị chặn trên trong một lãn cận của Xo

iii ỉnt(epỉ J) ^ 0.

iv int(dom ý) ^ 0 và ỉ liên tục trên tập ỉntịdom j).

Mệnh đề 1.6 Giả sử f là một hàm lòi chinh thường trên H Khi đỏ, f liên tục tại mọi

điểm X E int ( domf).

Mệnh đề 1.7 Cho f là một hàm lồi chỉnh thường trên tì và Dç domf là một tập lồi đa

diện Khi đó, f nửa liên tục trên đối với tập D tại mọi điểm của D.

Định nghĩa 1.21 Cho CçH khác rỗng và f:H^lu {+ 00 } ■ Một điểm

X* G c được gọi là cực tiểu địa phương của f trên c nếu tồn tại một lân cận

u của X* sao cho

f (x*) < f (x) với VxeUnC.

Nếu

thì X* được gọi là cực

tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên c.

Mệnh đề 1.8 Cho f:H—>Ru|+ooj lồi Khi đó mọi điểm cực tiểu địa

phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục Hơn nữa,, tập họp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi Neu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại sẽ duy nhất.

Định nghĩa 1.22 Cho hàm f xác định trên một lân cận của X G H, hàm f được gọi

là khả vi tại X nếu tồn tại X* G H

Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả v ỉ tại mọi điểm X G H.

Nhận xét 1.1 Nếu điểm X* tồn tại thì sẽ là duy nhất và được gọi là

đạo hàm của hàm f tại X.

Kí hiệu: Vf(x) hoặc f'(x).

Định nghĩa 1.23 Cho f : H —» M U j+ooj ■ Ta nói X* G H là dưới đạo hàm của f tại X nếu

^x*,z-x^ + f(x) < f (z),Vz.

Ký hiệu: dĩ (x) là tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại X.

Khi dĩ (x) + 0 thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại X.

Ví dụ 1.8 Trong H cho c là một tập lồi, khác rỗng Khi đó f = 8C là hàm chỉ được định nghĩa bởi

' 0, xeC +QO, X Ể c

1.2.2 Toán tử đon điêu

rgef = {y £ Y : 3x £ X sao cho y £ F(x)|.

Định nghĩa 1.26 Ảnh xạ ngược F -1 : Y —» 2 X của ánh xạ đon trị

F : X —» 2 Y được xác định bởi công thức:

F _ 1 (y) = ịxeX:yeYnF(x)Ị.

Định nghĩa 1.27 Ánh xạ đa trị F : H —» 2 H được gọi là

i nửa liên tục trên tại X G domF nếu với mọi tập mở V ID F(X ), tồn tại lân cận

mở u của X sao cho

F(x')çV, Vx'eU.

ii nửa liên tục dưới tại X £ domF nếu với mọi tập mở VcH thỏa mãn F (x) n w

0, tồn tại lân cận mở u của X sao cho

F(x')nV^0, Vx'eUndomF.

iii Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên ( nửa liên tục dưới) trên H nếu F nửa

liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc H.

iv F được gọi là liên tục tại X G domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại X.

V Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.

Định nghĩa 1.28 (Khoảng cách Hausdorff)

Với A,B cz H là hai tập đóng bất kỳ và khác rỗng, khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B được xác định bởi

p(A,B) := max|d(A,B),d(B,A)j, trong đó

d(A,B) = supinf ||a-b||; d(B,A) = supinf ||a — b||.

Định nghĩa 1.29 (Ánh xạ liên tục Lipschitz)

Cho CcH là tập khác rỗng Ánh xạ đa trị F:c —»2 H được gọi là liên tục Lipschitz với hệ số L > 0 (viết tắt là L- Lipschitz) trên c nếu

p(F(x),F(y))<L||x-y||, Vx,yeC.

i Nếu L < 1 thì ta nói F là ảnh xạ co trên c.

ii Nếu L = 1 thì ta nói F là ảnh xạ không giãn trên c.

1.2.2.2 Toán tử đơn điêu

Định nghĩa 1.30 Cho toán tử đơn trị T:H->H* và KçH Khi đó T được gọi là:

i đơn điệu trên K nếu

^F(u),v-u^ > 0 => (F( V ), V - U ) > 0,Vu,v G K.

iv giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại y > 0 thì ta có

^F( U ), V - U ^ > 0=> ( F ( V ), V - U ^ > ỴIIV — u|| 2 ,Vu,V G K.

oỴx,WioJỤí 2 J to

( x - y \ A x - A y } = |x-.y||2 + a ( x - y \ T x - T y }

>

X-Vậy A s là toán tử đơn điệu.

Mệnh đề 1.10 Toán tử tuyến tinh T : H —> H là đơn điệu khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.31 Toán tử đa trị T : H —» 2 H T đuợc gọi là

i đơn điệu nếu

<=>

ii giả đơn điệu nếu Vx,y G domT, Vu G T(x), Vv G T(y), ta có

(x-y,u)>0 kéo theo (x-y,v)>0.

iii đơn điệu mạnh với hằng số a > 0 nếu

Vx,y G domT,Vu G T(x),Vv G T(y),(u-v,x-y) > a||x-y|| 2

tức là T - ai là đơn điệu.

IV đơn điệu ngặt nếu

Vx,y G domT,Vu G T(x),Vv G T(y),x * y : (u-v,x-y) > 0.

Nhân xét 1.2.

*

- T là đơn điệu mạnh thì T cũng đơn điệu ngặt.

- T là đơn điệu ngặt thì T cũng đơn điệu.

- T là đơn điệu thì T cũng là giả đơn điệu.

Ví dụ 1.11 Cho f : H f : H —» [-oo,+oo] hàm lồi, chính thuờng Khi đó Đì là toán

tử đơn điệu đa trị.

Chứng minh: Lấy (x,u) và (y, v) G dom(ỡf ) Khi đó, ta có

{x-y,u) + f(y)>f(x),

<y-x,v) + f(x)>f(y).

Cộng vế với vế ta đuợc:

(x-y,u) + (y-x,v)>0

Mệnh đề 1.11 (Phép bảo toàn tinh đon điệu)

i Cho T : H —» 2H là toán tử đơn điệu khỉ và chỉ khỉ T-1 : H —» 2 H là toán tử đơn

điệu.

ỉỉ Neu Tp T2 là các toán tử đơn điệu từ H —» 2H và ẰpẰ2 > 0 thì

^l T l +^2 T 2

cũng là toán tử đơn điệu.

Đặc biệt, nểu Tj hoặc T2 là đơn điệu ngặt thì XJ T J +Ằ 2 T 2 cũng đơn điệu ngặt với A.J >0, X 2 > 0.

iii Neu T : H —> 2H là toán tử đơn điệu và: A : H —> H là toán tử tuyển tỉnh

( A* là toán tử liên hợp của A), b G H thì

(x-y,u-v}>0, Vu,v G domT“ 1 , Vx G T“ 1 (u), Vy G T“ 1 (v).

Điều này cho thấy T 1 là toán tử đon điệu.

ii Hiển nhiên ta có

dom(Ằ 1 T 1 + Ằ 2 T 2 ) = {zeH: ( Z ) + Ằ 2 T 2 (z) * 0}

= dom^ ndomT 2 Giả sử x,y E dom^ n domT 2 và

Vậy X 1 T 1 + X 2 T 2 là toán tử đơn điệu.

Hiển nhiên khi Tj hoặc T 2 là ngặt thì bất đẳng thức trên là ngặt,

Vậy s là toán tử đơn điệu.

Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt Khi đó, nếu X ï y thì Ax

Ay kéo theo

Ax + b * Ay + b.

Giả sử U, V, Uj, Vj đuợc lấy nhu trên, vì T là toán tử đơn điệu

ngặt nên (V1 - u i>(Ay + b)-(Ax + b)) >0.

Định nghĩa 1.32 Toán tử đơn điệu T : H —» 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ

thị của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác.

Mệnh đề 1.12 Cho ảnh xạ đơn trị A : H —» H là toán tử đơn điệu và liên tục Khi

đó, A là toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.13 Với mọi toán tử đơn điệu T : H —» 2H luôn tồn tại toán tử đơn điệu

cực đại T :H —» 2 n sao cho gphT czgphT và T được gọi là toán tử đơn điệu cực đại

mở rộng của T.

Mênh đề 1.14 Toán tử T : H —» 2H là đơn điêu cưc đai khỉ và chỉ khỉ với • •

mọi (a,b|eHxH thỏa mãn

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Nguợc lại giả sử beĩ(a) Với mọi toán tử đon điệu T ta có gphT Ç gphT.

Hiển nhiên nếu (a, b) e gph T thì

(b-u,a-x}>0, V(x,u)egphT Và

suy ra b e T(a), từ đó ta có (a,b) e gph T.

Tức là gphT ÇZ gphT.

Vậy T là toán tử đơn điệu cục đại.

Mênh đề 1.15 Toán tử đa tri T : H —» 2H là đơn điêu cưc đai khỉ và chỉ khỉ

XT là toán tử đơn điệu cực đại (x > o).

Chứng minh:

Giả sử T là toán tử đơn điệu cục đại và X > 0, theo phép bảo toàn tính đơn điệu ta

có XT là toán tử đơn điệu.

Đe chứng minh rang XT là toán tử đơn điệu cực đại ta sử dụng mệnh đề 1.15.

Giả sử (a, bjeHxH thỏa mãn

(b-u,a-x)>0, v(x,u)Ggph(XT).

Vì

Do T là toán tử đơn điệu cực đại từ đó ta có

X _ 1 bGT(a)=>b GXT(a).

Vậy XT là toán tử đon điệu cực đại.

Ngược lại giả sử XT là toán tử đơn điệu cực đại và X > 0 Đặt T = XT, khi đó T =

X -1 T là toán tử đơn điệu cực đại.

Định nghĩa 1.33 Cho toán tử đa trị s : H —» 2H s được gọi là toán tử tràn khỉ và chỉ khỉ với mỗi V G H tồn tại X G H thỏa mãn V G s(x).

Định lý 1.7 (Định lý Min-ty)

Cho T : H —» 2 U ỉà toán tử đơn điệu và X > 0 Khỉ đỏ, T là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi IX + T là toán tử tràn, hay

rge(I + XT) = H.

Định lý 1.8 Cho hàm sổ f :H —>Ru|+ooj là hàm lồi, chinh thường, nửa liên tục

dưới Khỉ đỏ, ánh xạ đa trị T : H —» 2H cho bởi công thức

T(x) = ổf (x).

là toán tử đơn điệu cực đại.

Chứng minh:

Giả sử hàm f : H —» M U |+Qoj là hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới.

Ta có T = ổf cũng là một toán tử đơn điệu Theo định lý trên, ta chỉ cần chứng minh T +1 là toán tử tràn.

Với mỗi d G H ta đặt

h d( x ) = f ( x ) + ^Hf-(d> x