Luận văn về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân toeplitz hankel

Trongnhững năm gần đây đã có một số kết quả nghiên cứu giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel bằng cách chọn các nhân k i , k 2 cụ thể,

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PGS.TS TRỊNH TUÂN

Đô Phi Hùng

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS TrịnhTuân Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tácgiả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kínhtrọng đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy côgiáo trong nhà trường cùng các bạn học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập và hoàn thành luận văn này!

H à N ộ i , n g à y 3 0 t h á n g 6 n ă m 2 0 1 6

Lồi cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS TrịnhTuân

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những kết quả khoa học của các nhà khoa học

và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo.

H à N ộ i , n g à y 3 0 t h á n g 6 n ă m 2 0 1 6

DANH MỤC KÍ HIỆU

Phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier sine

Phép biến đổi Fourier sine ngược

Phép biến đổi Fourier cosine

Phép biến đổi Fourier cosine ngược Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược

Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace ngược

Tích chập của hai hàm / và g

Tích chập của hai hàm / và g với hàm họng 7

Tích chập của hai hàm / và g đối với phép biến đổi T.

Tích chập của hai hàm / và g với hàm họng 7 đối với phép biến đổi T

M-I-Mục lục

6

V

trong đó k i là nhân Hankel, k 2 là nhân Toeplitz, L p là hàm cho trước và / là hàm phải tìm Tuy nhiên cho đến nay

để giải nghiệm đúng của phương trình

(1) với nhân k i , k 2 tổng quát thì hãy còn là bài toán mở và chỉ mới tìm được nghiệm xấp xỉ của nó Trongnhững năm gần đây đã có một số kết quả nghiên cứu giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình

tích phân với nhân Toeplitz-Hankel bằng cách chọn các nhân k i , k 2 cụ thể, sau đó dùng công cụ tích chập,tích chập suy rộng và đa chập để giải đóng một số lớp các bài toán dạng này [5,6,7,8,9]

Với mong muốn được tìm hiểu về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và ứng dụng để giải một lớp phươngtrình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel

Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ của mình là:

“về một lốp phương trình và hệ phương trình tích phân

với nhân Toeplitz - Hankel”.

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các chương sau

Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

cosine (F c), Fourier sine [ F s ) , Laplace [ L ) để giải đóng một lớp phương hình tích phân với nhân Toeplizt

-Hankel Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Định lý 2.3

Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

cosine [ F c ) , Fourier sine { F s ) và Kontorovich - Lebedev [ K ) để giải đóng một lớp hệ phương trình tích phân với

nhân Toeplitz - Hankel Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 vàĐịnh lý 3.4

Để tiện cho quá trình theo dõi, chúng tôi còn đưa vào phần đầu các ký hiệu dùng để trình bày cho luận văn

8

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về tích chập và tích chập suy rộng

Nghiên cứu về đa chập

Dùng công cụ tích chập và đa chập suy rộng nói trên để giải một lớp phương trình và hệ phương trình với nhânToeplitz - Hankel

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích chập và đa chập.

Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel

Giải một lớp phương trình và hệ phương trình nói trên bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải một lớp phương trình, hệ phương trình tíchphân với nhân Toeplitz - Hankel bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập

5 Phương pháp nghiên cứu Dùng kĩ thuật của giải tích hàm.

Dùng kĩ thuật của phương trình tích phân

Dùng kĩ thuật của tích chập suy rộng và đa chập

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày một cách có hệ thống về một số tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến các phép

biến đổi tích phân Fourier [ F ) , Kontorovich-Lebedev [ K ) , Laplace [ L )

Luận văn trình bày một vài lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel giải đượcbằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân nói trên

9

Chương 1

Các kiến thức dùng cho luận văn

Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số không gian hàm, phépbiến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép

biến đổi tích phân Fourier cosine ( F c ) , Fourier sine ( F s ) , Laplace (L), Kontorovich-Lebedev [ K ) dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận

văn

Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [4,5,7,8,9,10]

1.1Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm1.1.1 Các không gian hàm

• Li (M) là tập hợp tất cả các hàm / xác định và đo được Lebusgue trên

(—x>, -fx>) sao cho

và L \ (M) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

L \ (M-I-) là tập hợp tất cả các hàm / xác định và đo được Lebusgue trên

(0, -|-oo) sao cho

-1-30

j \ f { x ) \ d x < +00,0

và L 1 ( R I ) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

1.1.2 Các phép biến đổi tích phân

Phép biến đổi tích phân Fourier (F) (x[10j) :

Cho hàm f { x ) e L \ (M) Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier ( F ) đối

với hàm / được định nghĩa như sau

Ị-30 e i x y f { y ) d y ] ĩ t l (1.1)

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược là

Ị-30

■-+“7)1») - - j =

V27Ĩ e i x y f { x ) d y ] ĩ t K (1.2)

Phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs) (Jf [10]):

Cho hàm f { x ) t L 1 [R) Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier sine { F s ) của hàm / là một hàm được xác định

như sau

Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) (X [10]):

Cho hàm f { x ) e L ị [R) Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier cosine ( F c ) của hàm / là một hàm được xác

định như sau

{ F c f ) { x ) - \ J - j cosx y f { y ) d y , X > 0 (1.5)

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược [ F c 1 ) là

( F ' T 1 f ) ( x ) = ị cosx y f { y ) d y , X > 0 (1.6)

Phép biến đổi Laplace (L)

Định nghĩa 1.1 (X[6j) Giả sử với mỗi hàm f(t) là hàm phức của biến số thực t sao cho tích phân f{t)e~ s ị dt hội tụ ít nhất với một số phức s — a + ib Khi đó ảnh của hàm / qua phép biến đổi Laplace (L) là hàm F được định nghĩa

bởi tích phân sau

-1-30

F { s ) -I (1.7)

0

Khi đó F{s) được gọi là phép biến đổi Laplace (L) của hàm fit).

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược L~ l là

{ K 1 f ) i x ) = \Ị - ị sinac y f { y ) d y , X >

0

(1.3)

(1.4)

Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (K)

Định nghĩa 1.2 (X[10]) Cho f i x ) L ị (R_) Khi đó phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev [ K ) của hàm / là

một hàm được xác định như sau

1.2.1 Tích chập

Định nghĩa 1.4 (X.[6j) Cho U i { X i ) , u 2 { x 2 ) là các không gian tuyến tính, v(y) là một đại số Khi đó:

w : Ud X,)X U 2 (X->

( f , g ) - > ■ ự * g ) { y ) được gọi là phép toán tích chập Ký hiêu là { * )

Định nghĩa 1.3 Cho f { x ) ~ L ỵ (R) Khi đó phép biến đổi tích phân

Kontorovich- Lebedev ( K ) có phép biến đổi ngược [ K 1 ) đối với hàm / là một

hàm được xác định như sau

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính ư (X) vào đại số V { Y ) : K : ư { x ) —>• v(y) Tích chập của hai hàm / £ ư i { X i ) ] g £

ư 2 { x 2 ) đối với phép biến đổi tích phân K là một hàm, ký hiệu [ J * g ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau đây

K { f * g ) { y ) = { K f ) { y ) { K g ) { y ) (1.11)

Khi đó không gian ư { x ) cùng với phép toán chập ( * ) trên xác định một đạị số Sau đây chúng tôi xin trình bàycác ví dụ về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc), Fourier sine {F s ), Laplace (L) Các

tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương

II và chương III của luận văn

Ví dụ 1.1 (X.[9]) Cho / g £ L{R^) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F c ) của hai hàm / và

Ví dụ 1.2 (X.[9j) Cho / g £ L ị { R - ị - ) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Laplace ( L ) của hai hàm / và g

ký hiệu là [ f * g ) { x ) được xác định bởi

(/ ^ g ) i x )

-L f { x - y ) g { y ) d y , X >

(1.15)

Ví dụ 1.3 (X.[4]) Cho f , g r ^ L i (K-I-) Tích chập của hai hàm / và g với hàm trọng 7 l y ) — sin y đối với phép biến

đổi tích phân Fourier sine được xác định như sau

Ví dụ 1.4 (X.[9]) Cho LlR-ị-) Tích chập với hàm họng 7i = cosy

của hai hàm số /, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác định như sau

Trong phần này chúng tôi trình bày tốm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy rộng và tích chập suy rộng với hàm

trọng đối với các phép biến đổi tích phân K ị , I = 1,2,3.

Cho các toán tử tuyến tính

K 3 - U 3 I X 3 ) ^ V I X ) , ¿ - 1 , 3

(1.16)

F s [ f l 9 ) l y ) - siny { F s Ị ) l y ) l F a g ) l y ) , V y > 0 , f , g £ L ị l R + )

(1.17)

Trong đó U j [ X j ) là các không gian tuyến tính và V [ X ) là một đại số.

F j - { K j f j ) { x ) - [ k j [ x X j ) f j { x j ) d X j \ f j £ U j l X j ) ^ - 1,3 (1.20)

J x , Định nghĩa 1.5 (X.[5]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân K I , K 2 , K S với hàm họng 7 của hai

hàm / và ổ là một biểu thức ị f * g ^ j sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K \ (/ * 9 ) { y ) - ' r { y ) { K 2 f ) { y ) { K 3 g ) { y ) , Vy £ Y (1.21)

Nhận xét 1.1 Sự khác biệt rõ rệt nhất giữa tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tử hóa của tích

chập suy rộng (1.21) có các phép biến đổi tích phân khác nhau K I , K 2 , tham gia còn ở tích chập ở đẳng thức nhân tử hóa (1.10) chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân K tham gia.

Khi K ị = K 2 = K s — K , 7 — 1 thì khi đó tích chập suy rộng với hàm họng trở thành tích chập trong địnhnghĩa (1.4)

Sau đây chúng tôi xin hình bày các ví dụ về tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine

( F c ) , Fourier sine ( F s ) , Laplace [ L ) Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình

tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn.

Ví dụ 1.5 (X.[9j) Cho hai hàm số f , g £ Li(M+) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine

{ F s ) ; Fourier cosine { F c ) của hai hàm / và g được xác định như sau

f { u ) [ g { \ u — x \ ) — g { u + x ) \ d u ; X > 0 (1.22) Tích chập này thuộc không gian L i (M-I-) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Ví dụ 1.6 (X.[9j) Cho hai hàm số /, g £ L(M+) Tích chập suy rộng với hàm họng 7l y ) — sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) ; Fourier sine (F s ) của hai hàm / và g được xác định như sau

- j - g { \ x F u — 1|) — g { \ x + u + 11)Jci'u; X > 0.

Tích chập này thuộc không gian L(M+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F c Ụ Ị 9 ) i y ) = siny { F a f ) { y ) { F c g ) { y ) ] Vy > 0. (1.25)

Ví dụ 1.7 (X.[9]) Cho hai hàm số /, g t Z/(K-|_) Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine

(Fc); Fourier sine [ F s) của hai hàm / và g được xác định như sau

(/ * g ) (&) = I f { x ) [ s i g n { u - x ) g { \ u - x \ ) + g { u + x ) \ d u ; X > 0.

(1.26)Tích chập này thuộc không gian L(M+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

f ' c ( f * g ) { v ) = ự f ) ( y ) ( F g ) { y Y , y > 0 (1.27)

Ví dụ 1.8 (X.[6]) Cho hai hàm số /, g e Li(M+) Tích chập suy rộng với hàm trọng 72 [ y ) —e_w sin y , ị i > 0 của hai

hàm /, g đối với phép biến đổi tích phân

Fourier sine và Laplace, được xác định bởi

Ví dụ 1.9 (X.[6]) Cho hai hàm số f , g t Li(M-i-) Tích chập suy rộng với hàm trọng 72 [ y ) — e ~ l i y sin y , ¡1 > 0

của hai hàm /, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F c ) và Laplace ( L ) , được xác định bởi công thức

(1.24)2\/2TT

■ + x> f { u ) [ g { \ x - u - 1|) — g { \ x — u

{ v + ụ ) 2 + (& — 1 +- u ) 2

V + ¡1

(v Ịl) 2 f (x f 1 f u)2

Tích chập này thuộc không gian L \ [ R ^ )

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F c Ụ g ) i y ) = - e wsiny ự s f ) { y ) { L g ) { y ) , Vy > 0. (1.31)

Nhận xét 1.2 Trong các đẳng thức nhân tử hóa 1.23-1.31 của các tích chập suy rộng đều có từ hai phép biến đổi tích

phân khác nhau tham gia Các tích chập, tích chập suy rộng được trình bày ở các phần ví dụ đều được sử dụng chocác chương sau của luận văn

Cho các phép biến đổi tích phân

K i : U t { X t ) V { Y ) ] i - Ĩ7n.

Ở đây U i { X ị ) là không gian tuyến tính, v(y) là một đại số.

Định nghĩa 1.6 (X.[7]) Giả sử /i t t U n { X n ) thì đa chập

với các phép biến đổi tích phân K ị \ i — 1 n với hàm họng 7 được xác định bởi đẳng thức nhân tử hóa như sau

n

K ( * { f i , Ỉ 2 , , f n Ỷ ) { y ) = l l v ) Y ị { K i f i { y ) ) (1-32)

1-3

trong đó K K % I — 1, n là các phép biến đổi tích phân khác nhau.

Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine { F c ) , Fourier sine { F s ) , Kontorovich-Lebedev { K ) Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân

với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II, chương III của luận văn.

Ví dụ 1.10 (X.[9]) Cho các hàm f , g , h ^ Z/(K-ị-) thì đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f , g \ ầ h được định nghĩa bởi

Chương 2

Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel

Như ở phần đặt vấn đề đã trình bày việc giải đóng phương trình tích phân với nhân Toeplizt-Hankel k i , k 2

f { x ) + j [ k ị [ x + y ) + k 2 [ x - y ) \ f [ y ) d y = V? (x), X > 0 0

còn là vấn đề mở Trong chương này, chúng tôi hình bày việc giải đóng một lớp phương trình có dạng trên bằng cách

chọn lớp nhân Toeplizt-Hankel k \, k 2 cụ thể và sử dụng các công cụ về tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối

với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) , Fourier sine [ F s ) , Laplace ( L ) và một số kỹ thuật của giải

tích hàm chẳng hạn như Định lý Wiener- Levy cũng như việc chọn lớp không hàm cụ thể để giải các lớp phươngtrình dạng này Kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Định lý 2.3

Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là [4,6,9],

Nhắc lại nội dung của Định lý Wiener- Levy (X[6]): Nếu l là biến đổi Fourier của một hàm trong L i (R I), và 77 là một hàm giải tích trong một lân

cận của gốc chứa miền giá trị [ l { y ) , V y Rf và 7/(0) — 0, thì 7/(0 cũng là một phép biến đổi Fourier của hàm thuộc L ỵ (R-0.

Chú ý rằng định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho phép biến đổi Fourier cosine củamột hàm thuộc LI(R-H) Tức là nếu l là phép biến đổi Fourier cosine của hàm thuộc L ỵ (R-0, và 7/ là giải tích trong một lân cận của gốc chứa trong miền giá trị (l { y ) , V y e R} và 7/(0) — 0, thì 7/(0 cũng là phép biến đổi Fourier cosine của của hàm thuộc L ỵ (R).

Xét phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel

[ k i { x + y ) + k 2 { x - y ) \ f { y ) d y - g { x ) , x > 0,

J 0

Trong đó: g là hàm cho ừước thuộc L(M-0, / là ẩn hàm phải tìm

Để giải phương hình tích phân (2.1) chúng tôi chọn lớp nhân Toeplitz-Hankel k

Ở đó: h \ (s) — (</?i -Is í p 2 ) { x ) và L f i , t p 2 ĩ h 2 là các hàm cho trước thuộc

L i (M-H) Để giải phương trình tích phân (2.1) ngoài việc chọn nhân

Toeplitz-Hankel k ] k 2 như trên Chúng tôi còn sử dụng tích chập, tích chập suy rộng

đối với các phép biến đổi Fourier cosine [ F c ) và Fourier sine { F s) để giải.Các

f { x )

)

tích

chập suy rộng: được xác định trong (1.22), (1.16) và đẳngthức nhân tử hóa tương ứng với các tích chập suy rộng này được xác định ở(1.23), (1.17).

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn hên không gian Li(M+) cũng như công thức nghiệmcủa phương hình tích phân (2.1)

Định lý 2.1 (X.[4]) G i ả s ử điều kiện sau thỏa mãn

1 + { s i n y ự s h ^ l y ) H- { F c h 2 ) { y ) ) 7 ^ 0 , Vy > 0

Khi đó phương trình tích phân với nhân Toepỉitz-Hankeỉ (2.1) có nghiệm duy nhất trong Lị (K-I-) và có dạng như sau

f { x ) - g { x ) + [ g * l ) { x ) , x > 0, Trong đó l là hàm thuộc Lị (M+) và được xác định:

ựcWi * ụ> 2 \ { y ) H- { F c h 2 ) { y ) [ F c l ) { y ) -

được xác định ở (1.22),

i p i , i p 2 , h 2 là các hàm cho hước thuộc Zq (K-I-) Chứng minh Thay nhân

Toeplitz-Hankel kị, k 2 đã chọn vào phương trìnhtích phân (2.1) ta được

^^(sign(z - j - u — l ) h i { \ x - ị - u — 1|) — h ị { x + u + 1 ) )

-L sign (a; — u + l ) h i { \ x — u + 1|) — sign(a; — u — l ) h i { \ x

như vậy khi đó sẽ tồn tại hàm: l E L i (M-I-) thỏa mãn

[F c [<Pi * <P 2 \ { y ) + ự c h 2 ) { y ) ) { F c l ) { y ) = 1 * ( p 2 \ l y ) H- lF c h 2 ) [ y ) )

Mặt khác theo giả thiết g , l t L i (K-I-) và tích chập L { R + )

Nên nghiệm của phương trình: / e L 1 (M-H)

Như vậy ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân với nhân

Toeplitz-Hankel (2.1), trong đó nhân Toeplitz-Hankel k ị và nhân Toeplitz k 2 xác định bởi (2.2)

và (2.3)

Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm / chứa trong dấu tích phân và nằm

Để giải phương trình tích phân (2.10) chúng tôi chọn lớp nhân Toeplizt- Hankel

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại trên không gian Li (M-I-) cũng như công thứcnghiệm của phương trình tích phân (2.10)

Đinh lý 2.2 (X.[?]) G i ả s ử g { x ) , < p { x ) , i ) { x ) l à c á c h à m c h o trước thuộc L\ (M+) VÀ

Chứng minh

Giả sử phương trình tích phân (2.10) có nghiệm trong Lị ( R I ) , với mọi g e L ỵ

(K+) Vì thế, tồn tại (K-I-) sao cho

Thay nhân k ì k 2 đã chọn vào phương trình tích phân (2.10) ta được

Áp dụng công thức tích chập suy rộng với hàm trọng 7 Ỉ , J (1.28) thì phương

hình (2.12) được viết về phương trình dạng chập

Điều này mâu thuẫn với (2.11) Do đó, 1 — F c {ip 72 i Ị j ) { y ) ^ 0, y y > 0.

Từ (2.15) và giả thiết của Định lý (2.2), ta có

- (F s g ) (y) + { F a g ) (y) FcW 1 * ý ) (y)

4

1 - F c { i p ^ é ) { y ) ,

- , V y > 0 (2.17)Với điều kiện 1 — 72 ^)(y) 7^ o, Vy > 0, và ta áp dụng Định lý Wiener-

Levy cho hàm r ¡ ( z ) có dang T j ( z ) — 7 ^ 0, trong đó z — F c Up ỉ 4 > ) { y )

M y > 0. (2.18)

Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.23) đối với tích chập suy rộng * J ta được

{ F s f ) { y ) = [ F a g ) { y ) + F a { g * q ) { y ) , V y > 0.

Suy ra

[ F s f ) [ y ) = F s ị g + ị g * q j j l y ) , Vy >

0 Vì vậy f { x ) = g { x ) + { g * q ) { x ) (h.k.n)

Mặt khác theo giả thiết g (z) b L i (M+) và tích chập j - L i (K-I-).

Nên nghiệm của phương hình / e L 1 ( R _ )

trong đó các hàm: ( f , ĩ Ị j \ à h là các hàm cho trước thuộc L(R-I-), A là một

hằng số phức và / là ẩn hàm phải tìm Chú ý rằng ẩn hàm / nằm trong nhân