Luận văn bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tựa lồi

Một bài toán hiển nhiên được đặt ra là phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức dạngHermite-Hadamard cho các lớp hàm lồi suy rộng, vấn đề này đã được nhiều nhà toánhọc nghiên cứu và phá

Hà Nội - 2016

DƯƠNG BÍCH HỒNG

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD

CHO HÀM TựA LỒI

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD

■

CHO HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Sau một thòi gian đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu khoa học, luận văn của tôi

Hầ Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2016

Tác giả luận văn

Dương Bích Hồng

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Hầ Nội, ngầỵ 05 tháng 07 năm 2016

Tác giả luận văn

Dương Bích Hồng

Mục lục

Chương 1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi5

Chương 2 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm tựa lồi 25

hàm là tựa lồi 26

đạo hàm bậc hai là tựa lồi 49

đạo hàm bậc ba là tựa lồi 58

Tài liêu tham khảo

Tức là diện tích hình thang cong không lớn hơn diện tích hình thang vuông ABCD vàkhông nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật ABMN Từ đây ta cũng suy ra diện tích hìnhtam giác cong NDP bao gid cũng nhỏ hơn diện tích tam giác cong MCP.

Trong [15], Fejer đã mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức

Định lí 2 Nếu f : E —> M ỉà ỉồi trên [a, b] và g : [a, 6] —> R ỉà một hàm không ăm,khả tích và đối xứng qua điểm = thì

f(t)g(t)dt< /(a)yM Jb (2)

Khi g ( x ) = 1 thì Bất đẳng thức Fejer trỏ thành Bất đẳng thức Hermite- Hadamard.

Sau đó, nhiều tác giả đã mỏ rộng các bất đẳng thức Hermite-Hadamrd và sử dụng chúng đề đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của hàm lồi Xem thí dụ cuốn sách chuyên khảo [6], [7] và các Tài liệu tham khảo khác Nhiều bài toán thực tế mô tả bỏi các hàm không nhất thiết là lồi Vì vậy,

Cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi và nghiên cứu các tính chất của hàm lồi suy rộng,nhằm áp dụng vào các bài toán tối ưu nảy sinh trong thực tế

Hình 1: Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Một bài toán hiển nhiên được đặt ra là phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức dạngHermite-Hadamard cho các lớp hàm lồi suy rộng, vấn đề này đã được nhiều nhà toánhọc nghiên cứu và phát triển Thí dụ, bất đẳng thức Hermite-Hadamard đã được mở

rộng cho các lớp hàm tựa lồi, lớp hàm log-lồi, lớp hàm r - lồi,

Một trong những cách xây dựng và nghiên cứu lớp hàm lồi suy rộng, là giữ lại một(một số) tính chất đặc trưng của hàm lồi Thí dụ, ta đã biết, hàm lồi có tập mức dưới làtập lồi và hàm lồi liên tục trên tập compact đạt giá trị lớn nhất tại biên Hai tính chấtnày vẫn còn đúng cho lớp hàm tựa lồi Do ý nghĩa toán học và ý nghĩa thực tế, có thểnói, trong số các lớp hàm lồi suy rộng, lớp hàm tựa lồi được nghiên cứu đầy đủ hơn cả

Mục đích chính của Luận văn này là trình bày tỏng quan về Bất đẳng thức H Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi.

ermite-2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi và một số vấn đề liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi

• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các sách báo liên quan đến bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu, các sách báo về các bất đẳng thức dạng Hermite- Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi.

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các kiến thức về bất đẳng thức Hermite- Hadamard chocác lớp hàm tựa lồi

6 Dự kiến đóng góp của luận văn:

Cố gắng xây dựng luận văn thành một bản tỏng quan tốt về Bất đẳng thức Hadamard cho hàm tựa lồi

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi, chứngminh các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi một biến và một số mởrộng của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard, Bất đẳng thức Hermite-Hadamar cho hàmtựa lồi Nội dung Chương 1 chủ yếu theo Tài liệu [11], [6], [7] và tham khảo thêm một

số tài liệu khác

Định nghĩa 1.1 Tập X c Rn được gọi là lồi nếu với mọi X E [0; 1] và X\ E X, x 2 £ X

ta có

Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.

mọi X E [0; 1], Xị E X, X2 c X ta có

ỉ (ZA) < X f { x l ) + (1 - X ) f ( x 2 )

là không giảm khi =

—oo) Tương tự,

= t + s,h = s + r, Điều này chỉ ra rằng hàm số h I— >

r

Định lý 1.1 (Theorem 2.1, [11], p 42-43) Hàm thực f(t) xác định trên tập mở (a,b)

là lồi nếu và chỉ nếu nó liên tục trên (a,b) và có cấc đạo hàm trái có giá trị hữu hạn

(hữu hạn hoặc = +oo) Hơn nữa, đặt y ta cũng có

f{t + s) - f{t ) < f{y + r) - f ( y ) ^

ta viết lại (1.3) như sau

9 { t ) = f { t ) - /(c) - { t - c ) :

thứ nhất của (1.1) và tính hữu hạn của các đạo hàm này Vì f'_(t ) tồn tại hữu hạn nên

Do đó, /(í) liên tục tại mọi t G (a, b).

Lấy s ị 0, — r t 0 trong (1.4) ta được bất đẳng thức thứ hai trong (1.1)

(ii) Giả sử rằng hàm / có tất cả các tính chất được đề cập trong Định lý 1.1 và chọn c, d sao cho c , d G (a, b ) Xét hàm số:

f { d ) - f ( c )

d — c Với mọi t = (1 — A)c + Ad , ta có

9 { t ) = f { t ) - /(c) - x ư { d ) - /(c)] = f ( t ) — [(1 — A)/(c) + X f ( d ) ]

Để chứng minh cho tính lồi của f ( t ) thì ta cần phải chỉ ra rằng g ( t ) < 0 với mọi t G [c , d ] Giả sử điều ngược lại rằng, giá trị lớn nhất của g ( t ) trên đoạn [c , d ] là dương (giá trị lớn nhất của g ( t ) tồn tại vì g ( t ) là hàm số liên tục trên đoạn compact [ c , d ] )

Lấy e G [c , d ] là điểm mà tại đó hàm số đạt được giá trị lớn nhất.

Nếu A = 0 thì t = c, ta suy ra

g { c ) = f ( c ) - f ( c ) = 0;

Nếu A = 1 thì t = d , ta suy ra

g { d ) = ỉ { d ) - ỉ { d ) = 0.

Suy ra g ( c ) = g ( d ) = 0 Vì g ( t ) chỉ sai khác /(í) một đại lượng hằng số nên g ( t )

Ta sẽ chỉ ra rằng, g'_(y ) > 0 Vy G [ e , d ] Thật vậy, giả sử phản chứng, g'_(y) < 0

= 0 với mọi t G [e , y ) Vì g ( t ) là hàm hằng trên [ e , d ] Do đó g ( y ) = g ( e ) > 0.

Do g ( d ) = 0 nên tồn tại y G (e , d ) sao cho g'_(y ) > 0 Lấy tị G [y, d) là

Q x • Ì Q i j { ^ ) ) ì ì«(z) :: 9 2 /

dxidx.

điểm mà tại đó hàm g(t ) đạt được giá trị lớn nhất trên đoạn [y, d].

nếu và chỉ nếu đạo hàm của nó là một hàm không giảm trên (a,b) Hàm f(t) khả

vi hai lần trên tập mở (a,b) là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó không âm trên toàn khoảng (a,b).

Hệ quả này gợi ý mở rộng tiêu chuẩn hàm lồi cho hàm nhiều biến Ta có

M" là hàm lồi nếu và chỉ nếu ma trận Hessian

b — a

Định lý 1.3 (The Hermite-Hadamard Integral Inequality, [6], p 55-56) Nếu f : K —>

K là hàm lồi trên đoạn [ a , b] thì ta có

Chứng minh Do tính lồi của / trên [ữ, b] với mọi t G [0,1] ta có

f ( t a + (1 - t ) b ) < t f ( a ) + (1 - t ) f ( b ) Tích phân theo t trên đoạn [0,1] ta được

ị [ f { t a + (1 - t ) b ) + /((1 - t ) a + t b )]

Tích phân bất đẳng thức này theo t trên đoạn [0, 1] ta được

/(-y-) < 2 \ _ J f { t a + ( l - t ) b ) d t + J /((1 - t)a + tb)dt í f ( x ) d x

J a

chứng tỏ / là lồi trên (a,b ) Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Điều này nghĩa là:

1 3

b — a

= {b-a)

max{|/'(z)| 9 , |/'(ò)| 9 }

max {|/ , ( æ )l 9 ! l/'(ô)| 9 }

[a, b] —> R khả vi trên ( a,b ) Nếu /' G Lịa, b] và |/'| là tựa lồi trên [a,

\ m \ +

X

b — a

—> R khả vi trên ( a,b ) Nếu /' G Lịa, b] và \ f\ q là hàm tựa lồi trên [a,b]

fW-T-^ÎfiVdv <

b — a J a 2 ( 0 — a)

I = b — a J a

Hệ quả 2.18 Trong Định lý 2.12

(1) Nếu \f'\ là hàm tăng, ta được Bất đẳng thức 2.21;

(2) Nếu \f'\ là hàm giảm, ta được Bất đẳng thức 2.22.

Khi |/'| 9 là tựa lồi thì ta có:

□

m ( t )

<

Trong [10] đã chứng minh một số bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm bậc hai là tựalồi Ta có:

L ị ị a , b], thì

Hệ quả 2.20

Hệ quả 2.20 Trong Định lý 2.19, nếu chọn

X

Iị = — —-t 2 f'(ta + (1 — t)b ) -—— / tf'(ta + (1 — t)b)dt

/ /(z)ư/1(ò - a ) 2 2 (a + ò ) 3 J a

X

(b - a)

b] —> M khả vi trên (a,b) Nếu Ị" G L[a,b] và \ f"\là tựa lồi trên [a, b] thì:

14P(2p+ 1)'

V d i

Suy ra

+ ( L max íl/"C*)l , > l/"( t t )l g at^ }

= ãfel^ (inax{|/ " (ffi)|, - l/ " (6)|ĩ})1/ĩ

-Ta có điều phải chứng minh

Ta có điều phải chứng minh

Trong [3] cũng đã chứng minh một số bất đẳng thức tương tự dạng

Hermite-Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm bậc hai là hàm tựa lồi Ta có:

Bổ đề 2.5 ([3], Lemma 1) Giả sứ a,b E I c R; a < b, hàm f : [a, ồ] —> R

khả vi trên (a,b), f" E L[a,b] khi ấy

f ỉ { x ) d x = f i ( 1 _ t ) n t a +( 1 _ t ) b ) d t

I = /(a) + f{b)

2

1

b — a

Vì |/"| là tựa lồi nên

Ta có điều phải chứng minh □

> R khả vi trên (ữ, ồ) Nếu f" G L ị a , b ] và \f"\ g với q > 1 là tựa lồi trên [ a ,

b ] thì:

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.18 ([3], Theorem 5) Giả sứ a,b E I c R ,và a < b, hàm

V

f : [a, b] —> R khả vi trên

( a, ồ) Nếu f" € Lịa, b] và \

f"\p ~ 1 với p > 1 là tựa lồi

trên [a, b] thì: f{a) + /(ồ)

f (t — t 2 ) p dt= j t p (l — t) p dt = ¡5{p + l,p + 1) a o *'0

Suf dung tinh chat cua ham Beta

Ham Beta va ham Gamma diipc xac dinh nhii sau

B(x,x) = 2 1 ~ I X B(-,x)

B(P+1 P+ 1 ) = 2 I - 2 <’’+1 ) BQ P +I) =2

+ m

2.3 Bất đẳng thức dạng Her mit e- Hadamar d cho lớp hàm

có đạo hàm bậc ba là tựa lồi

Trong [4] đã chứng minh một số bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm bậc ba là tựa lồi Ta có:

ị ' f{x)dx - 6 f ( a ) + 4/

t ) b ) (a — ồ)

I <

Định lý 2.20 ([4], Theorem 2) Giả sứ a,b G / ç R và a < b, hàm Ị" : [a, bị —>

R là liên tục tuyệt đối trên (a,b ) Nếu /"' £ Lịa, b] là tựa lồi trên [ a , b] thì:

+ m

(ft - ạ) 6

< (ồ-a) ỵ"4 |p(t)||/'"(ta 1 H- (1 — t)6)|dt ■'0

(ò — a)4 /- 1 / 2

Ta có điều phải chứng minh.

Nếu /"' G L[a,b] và \ f"\ q với q > 1 là tựa lồi trên \a, b] thì

Ị f{x)dx - f ( a ) + 4/ + f { à )

1152 +

B ( x , y ) = í t x 1 ( l — t ) y 1 dt, x,y > 0

+(max|Ịr(4L 6)Ị ,i/»r})1 / 5

]-Ta có điều phải chứng minh

Luận văn trình bày được một số kết quả sau:

- Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi và hàm tựa lồi

- Chứng minh các Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi một biến

- Chứng minh các Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm tựa lồi một biến

- Một số mở rộng Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp ba

là tựa lồi

Tiếng Anh

[2] M Alomari, M Darus and u s Kirmaci, Refinements of Hadamard- type inequalities for quasi-convex functions with

applications to trapezoidal formula and to special means, Comput Math A p p l , 59, (2010), 225-232.

[3] M Alomari, M Darus and s s Dragomir, New inequalities of Hermite Hadamard for functions whose second

derivatives absolute values are quasi-convex, Tamkang Journal of Mathematics, Volume 41, No 4, 2010, 353-359.

E-Notes, 11, (2011), 110-117.

[5] Peter Bullen, Dictionary of Inequalities, Second Edition, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.

whose second derivatives ab solute values are quasi-convex.