Xấp xỉ tiệm cận tích phân bằng phương pháp điểm yên ngựa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HÀ VĂN DŨNG XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN DŨNG

XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN DŨNG

XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tácgiả chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn, tạođiều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhânviên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Hà Văn Dũng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trongluận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Hà Văn Dũng

Mục lục

1.1 Một số kiến thức căn bản về hàm biến phức 8

1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức 8

1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức 9

1.1.3 Hàm chỉnh hình 11

1.1.4 Chuỗi lũy thừa 12

1.1.5 Tích phân phức 15

1.2 Khai triển tiệm cận 23

1.2.1 Một số khái niệm bậc 23

1.2.2 Dãy tiệm cận 26

1.2.3 Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm cận 26 1.2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 28

1.2.5 Tính chất của khai triển tiệm cận 35

1.3 Phương pháp tích phân từng phần 39

2.1 Mô tả về phương pháp 522.2 Giải thích về mặt hình học 552.3 Một số ví dụ 56

3.2 Dáng điệu tiệm cận của dn 633.3 Phương pháp thế 69

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vựcVật lý dẫn đến việc giải một số các phương trình Toán học, mà nghiệmcủa nó được biểu diễn dưới dạng các tích phân Có khá nhiều các tíchphân như vậy được gắn với những hàm toán học đặc biệt như: hàmBessel, các hàm siêu hình học, Ngoài ra, cũng phải kể đến một sốcông cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương trình viphân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các phép biếnđổi tích phân Chẳng hạn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phươngtrình Sch¨otdinger

cơ bản về khía cạnh Vật lý cũng như về mặt Toán học đối với nhữngnghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu của chúng khi

các biến x và t khá lớn Thông thường, như đối với các bài toán vềchuyển động sóng, quá trình giới hạn được quan tâm đến là khi t → ∞

và H Poincaré [5] Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là

lý thuyết chuỗi tiệm cận Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà

nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận

Trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận, mang tính trực giác hơn cả, người ta cóthể thấy ngay đó là việc dùng phương pháp tích phân từng phần Tuynhiên, từ sự hạn chế nhất định của phương pháp này khi chuyển sangcác tích phân của hàm biến phức, các nhà toán học đưa ra một số cácphương pháp khác Một trong những điểm nổi bật đó, ta có thể kể đếnphương pháp điểm yên ngựa trong việc xử lý các tích phân dạng này Đểhoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoahọc Toán học Giải tích em chọn đề tài: Xấp xỉ tiệm cận tích phânbằng phương pháp điểm yên ngựa

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một cách hệ thống các kiến thức căn bản về Giải tích tiệmcận.

- Giới thiệu về phương pháp điểm yên ngựa và một số áp dụng của nótrong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận của tích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về lýthuyết xấp xỉ tiệm cận và mục tiêu chính là giới thiệu phương pháp điểmyên ngựa cùng một số ứng dụng của nó trong việc xấp xỉ một số tíchphân xuất hiện trong việc giải quyết một số bài toán thực tiễn

4 Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

5 Đóng góp của đề tài Hệ thống hóa các kiến thức căn bản về lýthuyết xấp xỉ tiệm cận và trình bày phương pháp điểm yên ngựa trong

lý thuyết này cùng một số ứng dụng của nó

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức căn bản về hàm biến phức

1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức Số phức là số có dạng z = x+iy,với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y làphần ảo, được ký hiệu tương ứng bởi

x = Rez, y = ImzTập hợp các số phức được ký hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)và

z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị

|z| = px2 + y2 Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu

và xác định bởi ¯z = x − iy Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được

Rez = z + ¯z

z − ¯z2i ;và

|z|2 = z.¯z,1

¯z

|z|2; với z 6= 0

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ, với r > 0 và

θ ∈ R được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là argz(argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự saikhác một bội của 2π) Argument của số phức z thỏa mãn 0 ≤ argz < 2πđược gọi là argument chính, ký hiệu là phz Ta có

eiθ = cosθ + i sin θ

Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng,

ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r} Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp

D (z ) = {z ∈ C : |z − z | ≤ r}

Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn

Cr(z0) = {z ∈ C |z − z0| = r} Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là

D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}

r > 0 sao cho Dr(z0) ⊂ Ω Phần trong của Ω ký hiệu là intΩ gồm tất

cả các điểm trong của Ω Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều làđiểm trong

Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở Điểm z ∈ Cđược gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ Csao cho zn 6= z và lim

n→∞zn = z Chúng ta có thể kiểm tra được rằng mộttập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập

Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là ¯Ω Biên của Ω

ký hiệu là ∂Ω = ¯Ω\intΩ

Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω Nếu tập

Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của tập đó bởi số

diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn Tập mở Ω ⊂ C đượcgọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng rời nhau

Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1 ∪ Ω2 Một tập mở liên thông trong C được gọi

là một miền Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F1 ∪ F2

ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau

1.1.3 Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω.Hàm f (z) được gọi là khả vi phức (hay C khả vi) tại điểm z0 ∈ Ω nếutồn tại giới hạn của biểu thức

Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f0(z) = 1.Thật vậy, ta có

phẳng trừ ra tại điểm z = 0 Thật vậy, ta thấy

không có giới hạn khi h → 0.

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉnếu tồn tại hằng số a sao cho

với ψ(h) là đại lượng vô cùng bé khi h → 0 Dĩ nhiên, ta có a = f0(z0).Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm haibiến có sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm f (z) = ¯z không khả

vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ

F : (x, y) → (x, −y)khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàm của nó tại một điểm

là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận

2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Mối quan hệ giữa hai kháiniệm khả vi đó được phản ánh qua kết quả dưới đây

Định lý 1.1.1 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Điều kiện cần và đủ đểhàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tạiđiểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồngthời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann

thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| < |z0| Hơn nữa, ta cũng biếtrằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.Định lý 1.1.2.(Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

(i) Nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Chứng minh Bởi vì lim

n→∞nn = 1, nên ta cólim

sử |z0| < r < R Ta viết

f (z) = Sn(z) + EN(z)với

(z0 + h)n − z0n

h

dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội trụ tuyệt đối với mọi |z| < R

Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi N ≥ N1 ta có