Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân toeplitz hankel

Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối vớicác phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Laplace... pLq để giải đóng một lớp phương trìn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRỊNH TUÂN

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ và hướng dẫn tậntình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúptác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn đề nghiên cứu khoa học.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạnhọc viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016

Đỗ Phi Hùng

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngkết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016

Đỗ Phi Hùng

DANH MỤC KÍ HIỆU

F Phép biến đổi Fourier

Fs Phép biến đổi Fourier sine

Fs
1 Phép biến đổi Fourier sine ngược

Fc Phép biến đổi Fourier cosine

Fc
1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược

K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev

K
1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược

L Phép biến đổi Laplace

L
1 Phép biến đổi Laplace ngược

Mục lục

1.1 Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm 4

1.1.1 Các không gian hàm 4

1.1.2 Các phép biến đổi tích phân 5

1.2 Tích chập và tích chập suy rộng 7

1.2.1 Tích chập 7

1.2.2 Tích chập suy rộng 9

1.3 Đa chập 12

2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel 14 2.1 Bài toán 2.1 15

2.2 Bài toán 2.2 18

2.3 Bài toán 2.3 22

3 Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 27 3.1 Bài toán 3.1 27

3.2 Bài toán 3.2 313.3 Bài toán 3.3 353.4 Bài toán 3.4 39

Với mong muốn được tìm hiểu về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập

và ứng dụng để giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân vớinhân Toeplitz – Hankel

Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi chọn đề tài nghiên cứuluận văn thạc sĩ của mình là:

“Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân

với nhân Toeplitz – Hankel”.

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho cácchương sau

Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối vớicác phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Laplace

pLq để giải đóng một lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt - Hankel.Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 vàĐịnh lý 2.3.

Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đốivới các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq vàKontorovich - Lebedev pKq để giải đóng một lớp hệ phương trình tích phânvới nhân Toeplitz - Hankel Các kết quả chính của chương này là các Định lý:Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 và Định lý 3.4

Để tiện cho quá trình theo dõi, chúng tôi còn đưa vào phần đầu các ký hiệudùng để trình bày cho luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về tích chập và tích chập suy rộng

Nghiên cứu về đa chập

Dùng công cụ tích chập và đa chập suy rộng nói trên để giải một lớpphương trình và hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập và đa chập

Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz –Hankel

Giải một lớp phương trình và hệ phương trình nói trên bằng công cụ tíchchập, tích chập suy rộng và đa chập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải mộtlớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel bằngcông cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập

5 Phương pháp nghiên cứu

Dùng kĩ thuật của giải tích hàm

Dùng kĩ thuật của phương trình tích phân

Dùng kĩ thuật của tích chập suy rộng và đa chập

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày một cách có hệ thống về một số tích chập, tích chậpsuy rộng, đa chập liên quan đến các phép biến đổi tích phân Fourier pF q,Kontorovich-LebedevpKq, Laplace pLq

Luận văn trình bày một vài lớp phương trình và hệ phương trình tích phânvới nhân Toeplitz – Hankel giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suyrộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân nói trên

Chương 1

Các kiến thức dùng cho luận văn

Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số không gian hàm,phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với cácphép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Laplace pLq,Kontorovich-LebedevpKq dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luậnvăn

Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [4,5,7,8,9,10]

1.1 Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm1.1.1 Các không gian hàm

• L1pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trênp
8, 8q sao cho »

1.1.2 Các phép biến đổi tích phân

Phép biến đổi tích phân Fourier (F) pXr10sq:

Cho hàm fpxq P L1pRq Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier (F ) đốivới hàm f được định nghĩa như sau

Phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs) pXr10sq:

Cho hàm fpxq P L1pRq Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier sine pFsqcủa hàm f là một hàm được xác định như sau

pFsfqpxq 

c2π

» 8

0

sin xyfpyqdy, x ¡ 0 (1.4)

Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) pXr10sq:

Cho hàm fpxq P L1pRq Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier cosine

pFcq của hàm f là một hàm được xác định như sau

pFcfqpxq 

c2π

» 8

0

cos xyfpyqdy, x ¡ 0 (1.6)

Phép biến đổi Laplace (L)

Định nghĩa 1.1 (X[6]) Giả sử với mỗi hàm fptq là hàm phức của biến số thực

t sao cho tích phân ³ 8

0 fptqe
stdt hội tụ ít nhất với một số phức s a ib.Khi đó ảnh của hàm f qua phép biến đổi Laplace (L) là hàm F được địnhnghĩa bởi tích phân sau

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược L
1 là

Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (K)

Định nghĩa 1.2 (X[10]) Cho fpxq P L1pR q Khi đó phép biến đổi tích phânKontorovich-LebedevpKq của hàm f là một hàm được xác định như sau

pKfqpyq 

» 8

0

fpxqKixpyqdx, t P R (1.8)trong đó Kit là hàm Macdonald được xác định bởi

Kitpxq 

» 8

0

e
x cosh ucosptuqdu, x P R (1.9)

Định nghĩa 1.3 Cho fpxq P L1pRq Khi đó phép biến đổi tích phân Lebedev (K) có phép biến đổi ngượcpK
1q đối với hàm f là một hàm đượcxác định như sau

1.2 Tích chập và tích chập suy rộng

Về lịch sử của tích chập, tích chập suy rộng và đa chập có nhiều tài liệu đãtrình bày [5,6,7,8], vì vậy chúng tôi không trình bày ở đây Tuy nhiên, chúngtôi sẽ trình bày một số khái niệm cũng như một số tích chập, tích chập suyrộng và đa chập đã được các tác giả công bố trước đó Các kết quả này dùng

để nghiên cứu cho các chương sau

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính UpXq vào đại

số VpY q : K : UpXq Ñ V pY q Tích chập của hai hàm f P U1pX1q; g P

U2pX2q đối với phép biến đổi tích phân K là một hàm, ký hiệu pf  gq thỏamãn đẳng thức nhân tử hóa sau đây

Kpf  gqpyq  pKfqpyq.pKgqpyq (1.11)Khi đó không gian UpXq cùng với phép toán chập p  q trên xác định mộtđạị số Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Laplace pLq Cáctích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tíchphân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn

Ví dụ 1.1 (X.[9]) Cho f, g P LpR q Tích chập đối với phép biến đổi tíchphân Fourier cosinepFcq của hai hàm f và g ký hiệu là pf 

Fc gqpxq được xácđịnh bởi công thức

Fc gqpyq  pFcfqpyqpFcgqpyq, @y ¡ 0 (1.13)

Ví dụ 1.2 (X.[9]) Cho f, g P L1pR q Tích chập đối với phép biến đổi tíchphân Laplace (L) của hai hàm f và g ký hiệu làpf 

Lgqpxq được xác định bởicông thức

Lpf 

Lgqpyq  pLfqpyqpLgqpyq (1.15)

Ví dụ 1.3 (X.[4]) Cho f, g P L1pR q Tích chập của hai hàm f và g với hàmtrọng γpyq  sin y đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác địnhnhư sau



f γ

Fsg pxq  1

2?2π

g px y 1q sign px
y 1q g p|x
y 1|q

sign px
y
1q g p|x
y
1|q



dy, x ¡ 0 (1.16)Tích chập này thuộc không gian L1pR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs



f γ

Fsg pyq  sin y pFsfq pyq pFsgq pyq , @y ¡ 0, f, g P L1pR q (1.17)

Ví dụ 1.4 (X.[9]) Cho f, g P LpR q Tích chập với hàm trọng γ1  cos ycủa hai hàm số f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xácđịnh như sau



f γ1

Fc g pxq  1

2?2π

»

R

fpyqrgpx y 1q gpx y
1q

gp|x
y 1|q gp|x
y
1|qsdy, x ¡ 0, (1.18)Tích chập

Trong đó UjpXjq là các không gian tuyến tính và V pXq là một đại số.

Fj  pKjfjqpxq 

»

Xj

kjpx, xjqfjpxjqdxj; fj P UjpXjq, j  1, 3 (1.20)

Định nghĩa 1.5 (X.[5]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích

phân K1, K2, K3 với hàm trọng γ của hai hàm f và g là một biểu thức

f γ g sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K1

f  gγ pyq  γpyqpK2fqpyqpK3gqpyq, @y P Y (1.21)

Nhận xét 1.1 Sự khác biệt rõ rệt nhất giữa tích chập và tích chập suy rộng là

trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng (1.21) có các phép biếnđổi tích phân khác nhau K1, K2, K3 tham gia còn ở tích chập ở đẳng thứcnhân tử hóa (1.10) chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân K tham gia.Khi K1  K2  K3  K, γ  1 thì khi đó tích chập suy rộng với hàmtrọng trở thành tích chập trong định nghĩa (1.4)

Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập suy rộng đối với cácphép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Laplace pLq.Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trìnhtích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn

Ví dụ 1.5 (X.[9]) Cho hai hàm số f, g P L1pR q Tích chập suy rộng đốivới các phép biến đổi tích phân Fourier sinepFsq; Fourier cosine pFcq của haihàm f và g được xác định như sau

Ví dụ 1.6 (X.[9]) Cho hai hàm số f, g P LpR q Tích chập suy rộng với hàmtrọng γpyq  sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq;Fourier sine pFsq của hai hàm f và g được xác định như sau

» 8

0

fpuqgp|x
u
1|q
gp|x
u 1|q

gp|x u
1|q
gp|x u 1|qdu; x ¡ 0 (1.24)Tích chập này thuộc không gian LpR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Ví dụ 1.7 (X.[9]) Cho hai hàm số f, g P LpR q Tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi tích phân Fourier cosinepFcq; Fourier sine pFsq của hai hàm f

và g được xác định như sau

Ví dụ 1.8 (X.[6]) Cho hai hàm số f, g P L1pR q Tích chập suy rộng vớihàm trọng γ2pyq  e
µysin y, µ ¡ 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổitích phân Fourier sine và Laplace, được xác định bởi công thức

Ví dụ 1.9 (X.[6]) Cho hai hàm số f, g P L1pR q Tích chập suy rộng vớihàm trọng γ2pyq  e
µysin y, µ ¡ 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổitích phân Fourier cosine (F c) và Laplace (L), được xác định bởi công thức

Nhận xét 1.2 Trong các đẳng thức nhân tử hóa 1.23 - 1.31 của các tích chập

suy rộng đều có từ hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia Các tíchchập, tích chập suy rộng được trình bày ở các phần ví dụ đều được sử dụngcho các chương sau của luận văn

1.3 Đa chập

Cho các phép biến đổi tích phân

Ki : UipXiq Ñ V pY q; i  1, n

Ở đây UipXiq là không gian tuyến tính, V pY q là một đại số

Định nghĩa 1.6 (X.[7]) Giả sử f1 P U1pX1q; ; fn P UnpXnq thì đa chậpvới các phép biến đổi tích phân Ki; i  1, n với hàm trọng γ được xác địnhbởi đẳng thức nhân tử hóa như sau

Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier cosine pFcq, Fourier sine pFsq, Kontorovich-LebedevpKq Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân vớinhân Toeplitz-Hankel ở chương II, chương III của luận văn

Ví dụ 1.10 (X.[9]) Cho các hàm f, g, h P LpR q thì đa chập đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f, g và h đượcđịnh nghĩa bởi

Fcppf, g, hqqpyq  pFsfqpyqpFsgqpyqpFchqpyq, @y ¡ 0 (1.34)

Ví dụ 1.11 (X.[8]) Cho các hàm f ,g P L1pR q và h P L0,β

1 pR q, 0   β ¤ 1

đa chập với hàm trọng γ  sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fouriersine (F s) và Kontorovich-Lebedev (K) của các hàm f, g, h được định nghĩanhư sau

γ

pf, g, hq  1

4?2π

Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là [4,6,9].

Nhắc lại nội dung của Định lý Wiener- Levy (X[6]): Nếu l là biến đổiFourier của một hàm trong L1pR q, và η là một hàm giải tích trong một lâncận của gốc chứa miền giá trị tlpyq, @y P Ru và ηp0q  0, thì ηplq cũng làmột phép biến đổi Fourier của hàm thuộc L1pR q.

Chú ý rằng định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho phép biến đổi Fourier cosinecủa một hàm thuộc L1pR q Tức là nếu l là phép biến đổi Fourier cosinecủa hàm thuộc L1pR q, và η là giải tích trong một lân cận của gốc chứa trongmiền giá trịtlpyq, @y P Ru và ηp0q  0, thì ηplq cũng là phép biến đổi Fouriercosine của của hàm thuộc L1pRq

Trong đó: g là hàm cho trước thuộc LpR q, f là ẩn hàm phải tìm

Để giải phương trình tích phân (2.1) chúng tôi chọn lớp nhân Toeplitz-Hankel

2πh2ptq,(2.2)

k2ptq  1

2?

2π signpt
1qh1p|t
1|q
1

2?2π signpt 1qh1p|t 1|q
?1

2πh2p|t|q.(2.3)

Ở đó: h1pxq  pϕ1

1ϕ2qpxq và ϕ1, ϕ2, h2 là các hàm cho trước thuộc L1pR q

Để giải phương trình tích phân (2.1) ngoài việc chọn nhân Toeplitz-Hankel

k1, k2 như trên Chúng tôi còn sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đối vớicác phép biến đổi Fourier cosine pFcq và Fourier sine pFsq để giải.Các tích

chập suy rộng:

.

1

,

 γ

Fs được xác định trong (1.22), (1.16) và đẳngthức nhân tử hóa tương ứng với các tích chập suy rộng này được xác định ở(1.23), (1.17)

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn trên không gian L1pR q cũng như công thứcnghiệm của phương trình tích phân (2.1)

Định lý 2.1 (X.[4]) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn

1 psin ypFsh1qpyq pFch2qpyqq  0, @y ¡ 0 (2.4)

Khi đó phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel (2.1) có nghiệm duy

nhất trong L1pR q và có dạng như sau

fpxq  gpxq pg 

1 lqpxq, x ¡ 0, (2.5)

Trong đó l là hàm thuộc L1pR q và được xác định:

pFclqpyq  pFcrϕ1 1 ϕ2spyq pFch2qpyq

được xác định ở (1.22), ϕ1, ϕ2, h2 là các hàm cho trước thuộc L1pR q

Chứng minh. Thay nhân Toeplitz-Hankel k1, k2 đã chọn vào phương trìnhtích phân (2.1) ta được

signpx
u 1qh1p|x
u 1|q
signpx
u
1qh1p|x
u
1|q

1

?2π

Fs (1.16) và tích chập suy rộng

.

1 (1.22) thì phương trình tích phân (2.7) được viết về phương trình dạng chập

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.17) đối với tích chập

 γ

Fs và (1.23) đốivới tích chập suy rộng

.

1

ta được

pFsfqpyq sin ypFsfqpyqpFsh1qpyq pFsfqpyqpFch2qpyq  pFsgqpyq

pFsfqpyqp1 sin ypFsh1qpyq pFch2qpyqq  pFsgq pyq

Theo giả thiết h1pxq  pϕ1 

1 ϕ2qpxq và theo điều kiện (2.4) ta có

pFsfqpyq  pFsgqpyq



1
psin ypFsh1qpyq pFch2qpyqq

1 psin ypFsh1qpyq pFch2qpyqq



 pFsgqpyq



1
psin ypFsϕ1qpyqpFcϕ2qpyq pFch2qpyqq

1 psin ypFsϕ1qpyqpFcϕ2qpyq pFch2qpyq

Với điều kiện (2.4), ở đây chúng tôi áp dụng Định lý Wiener-Levy cho hàm

ηpzq có dạng ηpzq  z

1 z, 1 z  0 và z  Fcprϕ1

1ϕ2sqpyq pFch2qpyq,như vậy khi đó sẽ tồn tại hàm: l P L1pR q thỏa mãn

pFclqpyq  pFcrϕ1 1 ϕ2spyq pFch2qpyqq

1 pFcrϕ1 

1 ϕ2spyq pFch2qpyqq

Suy ra

pFsfqpyq  pFsgqpyqr1
pFclqpyqs, @y ¡ 0

Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.23) cho tích chập suy rộng

.

Như vậy ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân với nhân Hankel (2.1), trong đó nhân Hankel k1 và nhân Toeplitz k2 xác định bởi (2.2)

Toeplitz-và (2.3)

Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm f chứa trong dấu tích phân và nằmtrong tích chập

.

2

Để giải phương trình tích phân (2.10) chúng tôi chọn lớp nhân Hankel k1, k2 như sau:

.

1

,

.

2

,

.γ2

3

,

.γ2

4

được xác định ở:(1.22), (1.26),(1.28) và (1.30) và các đẳng thức nhân tử hóa tương ứng trong các tích chậpsuy rộng này xác định tại (1.23), (1.27), (1.29), (1.31)

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại trên không gian L1pR q cũng như công thứcnghiệm của phương trình tích phân (2.10)

Định lý 2.2 (X.[?]) Giả sử g pxq, ϕpxq, ψpxq là các hàm cho trước thuộc

Trong đó q pxq là hàm thuộc L1pR q được xác định là pFcqqpyq  Fcpϕ

γ2



4 ψ qpyq

1
Fcpϕγ2 ψ qpyq

Chứng minh

Giả sử phương trình tích phân (2.10) có nghiệm trong L1pR q, với mọi g P

L1pR q Vì thế, tồn tại g P L1pR q sao cho

pFsgq pyq  0, @y ¡ 0 (2.11)Thay nhân k1, k2 đã chọn vào phương trình tích phân (2.10) ta được

3

(1.28) thì phươngtrình (2.12) được viết về phương trình dạng chập

Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.29) đối với tích chập suy rộng

.γ2

3

vàophương trình (2.14) ta được

pFsfq pyq e
µysin yF

Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.27) đối với tích chập suy rộng

.

2

tađược

pFsfq pyq e
µysin ypFsϕqpyqpFsfqpyqpLψqpyq  pFsgq pyq