tài liệu ôn thi môn toán trắc nghiệm lớp 12

Ta cần đi tìm điều kiện cho t.

BÀI 01

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Môn: TOÁN

Bài 01: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( Tự luận) Bài tập chuẩn bị Thứ 5 quay clip:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số H x  x  1 7 x 4 x1 7 x 5

Bài giải:

Điều kiện xác định: 1 x 7

Đặt:                       2 

2

t

Khi đó,            

2

2 6

2

t

H x t H x t t Ta cần đi tìm điều kiện cho t

Xét hàm số: g x   x  1 7x với: x  1;7

2 1 2 7

Ta có: g 1  6;g 4 2 3;g 7  6 Mà g x là hàm số liên tục và xác định trên:1;7 Suy ra:    

Tới đây, ta chỉ cần khảo sát hàm số: H x   2t2  t 17trên 

 6;2 3 

        

H x t t , suy ra:H x là hàm số nghịch biến trên đoạn  

 6;2 3 

Mà:H 6  5 6;H 2 3   7 2 3.H x là hàm số liên tục và xác định trên 

 6;2 3 

Vậy:  

 

 

1;7

x

 

 

     1;7

x

Bài tập tự luyện Bài toán 1: Cho hàm số: y x3 3m1x2 3m m 2x 1 Tìm m để hàm số:

a Đồng biến trên

b Nghịch biến trên

Tập xác định: D  ; y'  3x2 6m1x 3m m 2

a Hàm số đồng biến trên khi y'   0, x   

       

a

m m

Kết luận: Vậy  3

2

m để hàm số đồng biến trên

b Hàm số nghịch biến trên khi y'   0, x   



3 0 ' 6 9 0

a

m ( Vô nghiệm )

Kết luận: Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên

Bài toán 2: Cho hàm số: y  x3 3x2 3mx 1 1 , với mlà tham số thực Tìmmđể hàm số

 1 nghịch biến trên khoảng 0;

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số:

Ta có: y'  3x2 6x 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  y'   0 x 0; *

Vì y x' liên tục tại x 0nên * y'   0 x 0;   3x2 6x 3m   0, x 0;

m x2 2 ,x  x 0; m g x , x 0; ( Trong đó:g x  x2 2x)

  

 



0;

Xét hàm số g x  x2 2xtrên   0;  g x' 2x  2 g x'  0 x 1



0;

x

Kết luận: m  1thì hàm số nghịch biến trên khoảng 0;

Cách 2: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc 2:

Ta có: y'  3x2 6x 3m   ' 9 9m

Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  y'   0 x 0; *

Trường hợp 1: Nếu    ' 0 9 9m 0 m 1 Theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta

có y'   0 x  * luôn đúng

Trường hợp 2: Nếu    ' 0 9 9m  0 m 1, thì  * đúngphương trình y'  0có hai nghiệm phân biệt x x x1, 2 1 x2và thỏa mãn x1 x2 0 1 





 





1 2

0

0

0 0

2

( Theo định lý Vi-et: x1 x2 2; x x1 2  m )

  



  

 



1

0

2 0

m

m ( Vô nghiệm )  * không thỏa mãn)

Kết luận: Kết hợp TH1 và TH2 ta có m  1thì hàm số nghịch biến trên khoảng 0;

Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y m 1x3 3m 1x2 3 2 m 3x mnghịch biến trên

Tập xác định: D 

Ta có: y' 3m1x2 6m 1x 3 2 m3

Hàm số nghịch biến trên y'   0, x

Nhận xét: ' y chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: m 1khi đó: y'     3 0, x nên hàm số nghịch biến trên

Trường hợp 2: m 1, khi đó 'y là tam thức bậc hai nên hàm số nghịch biến trên

y'   0, x

  



1

m

m

Kết luận: Kết hợp TH1 và TH2 ta có m 1thì hàm số nghịch biến trên

Bài toán 4: Cho hàm số:  



4

mx y

a.Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;

Tập xác định: D  \ m ;







2

2

4 ' m

y

a Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

 



2

m

Kết luận: Vậy m    ; 2 2;để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b Hàm số đồng biến trên khoảng 2;khi và chỉ khi:

4 0

2;

m

m

Kết luận: Vậy m2; để hàm số đồng biến trên khoảng 2;

Bài toán 5: Tìm m để hàm số: y x33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài 

bằng 1

Tập xác định: D  ;y' 3x2 6x m

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi:



      2           

m

m m

Kết luận: Vậy  3

4

m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

Bài toán 6: Cho hàm số:   1 3    2  

3

m

y x m x mx , với mlà tham số thực Tìmm

để hàm số đồng biến trên khoảng ; 2

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số:

Ta có: y'  m1x2 2m 2x 3m

Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 y'    0 x  ; 2 * 

Vì y x' liên tục tại x  2nên  * y'      0 x  ; 2 * 

  m 1 x2 2 m1 x 3m      0, x ; 2

m x2 2x 3  x2 4 ,x    x ; 2 m g x ,   x ; 2

( Trong đó:    

2

2

4

2 3

g x

   

; 2

Xét hàm số:     

2

2

4

2 3

g x

x x trên đoạn   ; 2

    



2

2

6

x

 

 g x là hàm số nghịch biến trên   ; 2  



  

; 2

4 2

5

Kết luận: Vậy  4

5

m thì hàm số đồng biến trên khoảng ; 2

Cách 2: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc 2:

Ta có: y'  m1x2 2m 2x 3m;  

          

2

Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 y'    0 x  ; 2 * 

Trường hợp 1: Nếu m 1  0 m  1 y'  6x       3 0, x  ; 2

 

 * không thỏa mãn

Trường hợp 2: Nếu m 1 0 m 1 thì  * đúng phương trình y'  0có hai nghiệm phân biệt x x1; ,2 x1 x2và thỏa mãn  2 x1 x2 1

1 2 1 2

1 2

0

m

m

( Theo định lí Vi-et:   

;

 





3

5 1

1

m m

m

m

Trường hợp 3: Nếu m 1 0 m 1, thì  * không thỏa mãn vì phương trình y'  0có hai nghiệm phân biệt x x1; ,2 x1 x2và y'   0 x x x1; 2

Kết luận: Kết hợp TH1, TH2, TH3 ta có:  4

5

m thì hàm số đồng biến trên khoảng ; 2

Bài toán 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  x2  x 1

y

x trên đoạn

 

 

 

1

;2 2

Ta có:

 

  

 



2

2 2

1

1

2

x x

Mà:         

 

 x2 x 1

y

x là hàm số liên tục và xác định trên

 

 

 

1

;2 2

Kết luận: Vậy    

 

 

 

 

 

1;2 2

 

 

 

1

;2 2

Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 

    1 3 2 6 9

Điều kiện xác định: 3x2 6x      9 0 1 x 3

2

' 1

y

   2    

 



2

2

x x

Bảng biến thiên:

'

4

0

Từ bảng biến thiên, ta được: Max y  6 x 2;Min y   0 x 1

Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

5cos cos 5

4 x 4

  

Ta có: y' 5sinxsin 5x; ' 0 sin 5 sin 2  

k x

k x









  



Do:

4 x 4

Bảng biến thiên:

x

4





6



6



4



'

y

3 3 3 3

4

3 2 3 2

Từ bảng biến thiên, ta được: Max y=3 3 ; 4 0

6

Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y f x  e e  với x 0; 2

Ta có: f x' 2e x2e4 2 x; 'f x  0 2e x2e4 2 x  0 2e x 2e4 2 x e x e4 2 x

4

4 2

3

3

 

Mà f x là hàm số liên tục và xác định trên0; 2

 

Bài toán 11: Cho hàm số:  3  2 7 2 11 

3

m

y x mx x , với mlà tham số thực Tìmmđể hàm

số  11 nghịch biến trên khoảng 1;

Đáp án:  7

3

m

Bài toán 12: Cho hàm số:   



2

y

a.Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

b.Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0

Đáp án: a) m  2;1

b) m  2; 0

Bài toán 13: Cho hàm số:   3    2      1 

3

y x m x m m x , với mlà tham số thực Tìmmđể hàm số  13 nghịch biến trên khoảng 1;

m

Bài toán 14: Gọi x x1; 2là nghiệm của phương trình: 2   2   

2

12

m

Tìm m để biểu thức:  2  2

1 2

A x x đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Đáp án: Max  3 3  2 3

4

A x và Max  3 3   2 3

4

Bài toán 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x2 2 x

Đáp án: Max y=16 6   0;   0 4

5