Môn: TOÁN
Bài 05: Tương giao của hàm phân thức bậc nhất
Bài tập tự luyện
Bài toán 1: Cho hàm số:
1
2 1
x
x
Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( )C cắt đường thẳng :y 2m x tại hai điểm phân biệt A B,
sao cho độ dài đoạn thẳng AB 2.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và :
2
x
m x x x
2x2 4mx 2m 1 0 *
Để C A B; * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
2
' 0
2
0
2
m m
m
Khi đó, C A B; A x 1 ;2m x 1 ;B x2 ;2m x 2
AB x x x x x x x x
Theo định lý Vi-et, ta có: 1 2
1 2
2
.
2
x x m
m
x x
Ta có:
3
1 2
2
m m
m
Kết luận: Vậy 3 1
;
2 2
m
để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A B, sao
cho độ dài đoạn thẳng AB 2.
Trang 2Bài toán 2: Cho hàm số:
2 2 1
x
x
Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( )C cắt đường thẳng d y: 2x m tại hai điểm phân biệt A B,
sao cho độ dài đoạn thẳng AB 5.
Đáp án: m 10;m 2
Bài toán 3: Cho hàm số:
2 1
x
x
Tìm tham số m để đường thẳng d y: mx m 2 cắt đồ thị hàm số ( )C tại 2 điểm phân biệt
,
A B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2
1
x
mx m x
x
mx2 2mx m 2 0 *
Để d C A B; * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
2 0
Khi đó, d C A B; A x mx 1 ; 1 m 2 ; B x mx2 ; 2 m 2
Theo định lý Vi-et, ta có: 1 2
1 2
2 2
x x m
x x
m
Kết luận: Vậy AB MIN 4 m 1
Bài toán 4: Cho hàm số:
2 1 1
x
x
Tìm m để đường thẳng d y m: 3x cắt ( )C tại A B, , sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng :x y 2 0.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2 1
1
x
m x x x m x m x
Trang 3
2
2 2
10 11 0
1
m
m
Khi đó, d C A B; A x m 1 ; 3x1 ;B x m2 ; 3x2
1 2
1 2
0
3 3
0
G G
x x
x x
x x
m x x
y y
Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2
1 2
1 3 1
3
m
x x m
x x
;
m m
G
G m
( Thỏa mãn điều kiện )
Kết luận: Vậy m 7để d C A B; thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng :x y 2 0.
Bài toán 5: Cho hàm số:
2 1 1
x
x
Tìm tham số m để đường thẳng d y m: 2x cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 sao cho 1 2 4.( 1 2) 7
2
x x x x
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2 1
1
x
m x x x m x m x
Để d C A B; * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
2 2
8 0
Theo định lí Vi-et, ta có:
1 2
4 2 1
2
m
x x m
x x
Ta có: 1 2 4.( 1 2) 7 1 2 4 7 22
m
Kết luận: Vậy 22
3
m để d C A B; có hoành độ x x1, 2 sao cho 1 2 4.( 1 2) 7
2
x x x x
Trang 4Bài toán 6: Cho hàm số:
3 1
x
x
Tìm m để đường thẳng d y: x 2m cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
3
1
x
x m x x mx m x
Để d cắt C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình * phải có 2 nghiệm
phân biệt dương
2
1 2
1 3
3
2
2
m m
m m
m
Kết luận: Vậy 3
1;
2
m
để d cắt C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài toán 7: Cho hàm số:
2 1
x
x
Tìm m để đường thẳng : 1
2
y x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và :
x
x m x x m x m x
Để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung thì phương trình * phải
có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
2 2
1 2
2
2;
2
m m
m m
Kết luận: Vậy m2; để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung
Bài toán 8: Cho hàm số:
2 1 1
x
x
Tìm m để đường thẳng :y 2x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị ( ).C
Bài giải:
Trang 5 2
2 1
1
x
x m x x m x m x
Để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị C thì phương trình
* phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa mãn: x1 1 x2
Nghĩa là: x1 1x2 1 0 x x1 2 x1 x2 1 0
Vậy ta có hệ điều kiện sau:
2
0
x x x x
2
2 2
24 0
0
x x x x
( Luôn Đúng )
Kết luận: Vậy với mọi tham số m thì cắt C tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị ( ).C
Bài toán 9: Tìm tham số m để đường thẳng d y x m: cắt đồ thị hàm số ( ) : 2 1
1
x
C y
x
tại 2
điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2 1
1
x
x m x x m x m x
Để d C A B; * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
1
1 0
m
Khi đó, d C A B; A x x 1 ; 1 m B x x ; 2 ; 2 m
Theo định lí Vi-et, ta có:
1 2
1
x x m
x x m
Yêu cầu bài toán: OAB vuông tại O OA OB OAOB 0
Ta có: OAx x1 ; 1 m OB; x x2 ; 2 m
OAOB x x x m x m x x m x x m
3
Trang 6Kết luận: Vậy 2
3
m để d cắt C tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O
là gốc tọa độ
Bài toán 10: Cho hàm số:
2 1 1
x
x
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d y: mx 1 cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B,
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3,
2 biết C(1; 1).
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2 1
1
x
x
Để d C A B; * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0 0
\ 0; 3
m m
m m
Nhận xét: 2
0
x
x m
0; 1 ; m ; 2
m
6
ABC
m L
m TM
Kết luận: Vậy m 6 để d cắt C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác
ABC bằng 3,
2 biết C(1; 1).