BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ TAM GIÁC

Biểu thức chứa căn được ứng dụng nhiều trong các biểu thức vật lí, hóa học, công thức tính khoảng cách, diện tích…Biểu thức chứa căn giúp ta giải quyết các bài toán về tam giác dễ dàng h

Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thuờng xuyên 3

Huế, tháng 11 năm 2013

Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thuờng xuyên 3

Huế, tháng 11 năm 2013

Biểu thức chứa căn và tam giác có khá nhiều ứng dụng trong cuộc sống Biểu thức chứa căn được ứng dụng nhiều trong các biểu thức vật lí, hóa học, công thức tính khoảng cách, diện tích…Biểu thức chứa căn giúp ta giải quyết các bài toán về tam giác dễ dàng hơn Hiểu rõ hơn về tam giác và biểu thức chứa căn ta sẽ có cách giải quyết các tình huống thực tế một cách đơn giản

Sách “Algebra 1” cho chúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về biểu thức chứa căn và tam giác, phục vụ cho cuộc sống thường nhật

Tôi đã đọc và tìm hiểu chương 11 của cuốn sách Algebra1 Sau đây xin trình bày lại

về nội dung “biểu thức chứa căn và tam giác” qua các phần sau:

I Giới thiệu về tác giả cuốn sách

II Giới thiệu về nội dung chương 11

III Nhận xét và so sánh với sách về biểu thức chứa căn và tam giác ở Việt Nam

IV Kết luận

Từ nội dung được trình bày ở đây và ở các sách về biểu thức chứa căn và tam giác,

hi vọng các bạn khám phá được những điều bổ ích về biểu thức chứa căn và tam giác

Huế, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Cuốn sách này được viết bởi:

¯ Rerchie Holliday, Ed.D Bà là một giáo viên dạy toán có nhiều năm kinh nghiệm Hiện bà đang giảng dạy tại trường nhỏ phía Tây Bắc Cincinnati,

¯ Daniel Marks, Ed.D Ông là một chuyên gia toán học của trường đại học Aubum ở Montgomery Montgomery, AL

¯ Ruth M Casey: Bà là giáo sư toán học đang giảng dạy ở trường cấp hai Anderson ở nông thôn

Chương 9: Phân tích ra thừa số Chương 10: Hàm mũ và hàm bậc hai Chương 11: Biểu thức chứa căn và tam giác Chương 12: Biểu thức hữu tỉ và phương trình Chương 13: Thống kê

Chương 14: Xác suất Sau khi được viết, sách được gửi đến nhiều nhà cố vấn đọc và cho ý kiến

Các nhà cố vấn toán học và các nhà cố vấn về đọc sách cho nhận xét từng chương một và đưa ra những đóng góp nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục môn toán

Những nhà phê bình là giáo viên bình luận ít nhất là hai chương của cuốn sách này và đưa ra những phản hồi và đề nghị góp nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục môn toán

Vì vậy mà cuốn sách được hoàn thiện và trở nên có giá trị hơn

¯ Bài 1 và 2: Rút gọn và biểu diễn công thức toán với biểu thức chứa căn

¯ Bài 3: Giải phương trình có chứa căn thức

¯ Bài 4 và 5: Sử dụng định lí Pythagorean và công thức tính khoảng cách

¯ Bài 6 và 7: Sử dụng tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác

Bài toán vật lí là một trong số nhiều ứng dụng của phương trình chứa căn Các công thức này chứa các giá trị của gia tốc, trọng lượng Ví dụ: thời gian rơi tự do, vận tốc vũ trụ

và vận tốc của xe lửa, tất cả đều có thể viết dưới dạng một phương trình

I

¯ Rút gọn biểu thức chứa căn bằng quy tắc nhân các căn bậc hai

¯ Rút gọn biểu thức chứa căn bằng quy tắc chia các căn bậc hai

Một chiếc tàu vũ trụ rời khỏi Trái Đất phải có tốc độ tối thiểu là 11,2km/s

(25000 dặm/s) để bay vào quỹ đạo Vận tốc này được

gọi là vận tốc vũ trụ Vận tốc vũ trụ của vật thể được

cho bởi công thức

R

GM

2 , trong đó G là hằng số hấp dẫn, M là trọng lượng Trái Đất, R là bán kính Trái

Đất Một giá trị được thay thế bởi nhiều biến số và

công thức này có thể rút gọn được

v Biểu thức chứa căn là biểu thức chứa dấu căn bậc hai

v Biểu thức dưới căn là biểu thức nằm dưới dấu căn, là dạng đơn giản nhất nếu Biểu thức dưới căn không có thừa số là bình phương của số lớn hơn 1 Tính

chất này có thể được sử dụng để rút gọn căn bậc hai

Quy tắc nhân của các căn bậc hai có thể sử dụng để rút gọn các căn bậc hai

Tính chất của phép nhân các căn bậc hai

Cho hai số a và b, trong đó a≥0 ≥,b 0, căn bậc hai của tích bằng tích

22

= quy tắc nhân các căn bậc hai

32

= rút gọn

b 90 = 2.3.3.5 tích các thừa số nguyên tố của 90

5.2

32

= quy tắc nhân của các căn bậc hai

10

22

)2(

2 2

Đối với biểu thức chứa căn mà số mũ của biến trong căn là chẵn và kết quả rút gọn có

số mũ lẻ, ta phải dùng dấu giá trị tuyệt đối để đảm bảo kết quả không âm

x

3 5 4 3 3

5

40x y z = x y z phân tích thành thừa số nguyên tố

z z y y

.5.2

z z y y

.5.2

yz z y

Quy tắc chia của các căn bậc hai

Cho hai số a và b trong đó a≥0 ≥,b 0, căn bậc hai của thương bằng thương các căn bậc hai

.Kí hiệu:

b

a b

a

4

494

a

ac b

b x

a

ac b

a

b x

a

ac b

a

b x

a

ac b

a

b x

a

ac b

a

b x

a

b ac a

b x

a

b a

c a

b x a

b x

a

c x a

b x a

c x a

b x

c bx ax

242

42

4

42

4

42

4

42

4

42

44

00

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

−

±

=+

−

±

=+

−

=+

−

=+

=++

=++

Cuối cùng ta suy ra được công thức bậc hai

Dạng đơn giản nhất của phân số chứa dấu căn là không có thừa số nguyên tố với số mũ lớn hơn một và biểu thức chứa căn nằm ở mẫu số Hữu tỉ hóa mẫu số của biểu thức chứa căn là một phương pháp để khử căn thức ở mẫu

a,

3

33

= phân tích thành thừa số nguyên tố

2

222

4

14x

= quy tắc nhân các căn bậc hai

Nhị thức có dạng p q+r s và p q−r s được gọi là lượng liên hợp của nhau Ví dụ 3 + 2 và 3 − 2 là liên hợp của nhau Lượng liên hợp rất cần thiết khi

đơn giản biểu thức chứa căn vì nếu p,q,r,slà các số hữu tỉ, tích của chúng luôn là

số hữu tỉ Sử dụng hằng đẳng thức (a−b)(.a+b)=a2 −b2 để tìm tích của chúng

23

23.2

3636

23

36

=++

−

+

= (a−b)(.a+b)=a2 −b2

336

3212

v Biểu thức dưới căn không có thừa số là bình phương của số lớn hơn 1 v Biểu thức dưới căn không chứa phân số

v Không có căn thức ở mẫu của phân số

a) Giải thích tại sao giá trị tuyệt đối lại không cần thiết đối với công thức

CĂN có thể biểu diễn số mũ dưới dạng phân số Ví

dụ x =2 x Sử dụng tính chất này để rút gọn các biểu thức sau:

)(

(s a s b s c s

A= − − − , trong đó

2

c b a

Tính diện tích của tam giác nếu biết độ dài ba cạnh là 13, 10, 7 ft

Chu kì của con lắc đồng hồ là thời gian cần thiết để con lắc quay trở

về vị trí ban đầu Công thức tính chu kì con lắc là

32

P= π , trong đó l

(feet) là chiều dài con lắc Nếu con lắc đồng hồ dài 8

feet thì chu kì là bao nhiêu? Lấy π =3.14

Một cơ quan cảnh sát dùng công thức s = 30fd

để tính vận tốc (mph) mà xe hơi đi bằng cách đo

khoảng cách d(ft) của đoạn đường xe trượt Trong

công thức này, f là hệ số ma sát của con đường

a) Đơn giản biểu thức của vận tốc nếu f =0.6 đối với đường khô ráo

b) Đơn giản biểu thức của vận tốc nếu f =0.6 đối với đường ẩm ướt

c) Một chiếc xe đi đoạn đường dài 110 ft Tính vận tốc của xe cho cả điều kiện đường khô ráo và ẩm ướt

¯ Cộng trừ các biểu thức chứa căn

¯ Nhân các biểu thức chứa căn

Sử dụng biểu thức chứa căn để xác định một người có thể nhìn xa bao nhiêu như thế nào?

Công thức

2

3h

d = (miles) biểu diễn khoảng

cách d mà một người có chiều cao h

(ft) có thể nhìn thấy Để xác định một

người nhìn từ đỉnh Sears Tower xa

hơn bao nhiêu so với khi nhìn từ đỉnh

Emprire State Building, ta có thể thế

chiều cao của cả tòa nhà đó vào

phương trình

Biểu thức chứa căn mà trong đó biểu thức dưới căn giống nhau Ta có thể cộng hoặc trừ giống như cộng hoặc trừ các đơn thức

Đơn thức Biểu thức chứa căn

212

2)315(23215

119

11)72(117112

Tính chất phân phối được sử dụng để rút gọn biểu thức chứa căn

a 4 3+6 3−5 3 =(4+6−5) 3 Tính chất phân phối

35

b 12 5+3 7 +6 7 −8 5 =12 5−8 5+3 7+6 7 Tính chất giao hoán

7)63(5)812

= Tính chất phân phối

795

4 +

=

Trong , =4 5+9 7không thể rút gọn hơn vì biểu thức dưới căn khác nhau, không có nhân tử chung và mỗi biểu thức dưới căn đều ở dạng đơn giản nhất Nếu căn thức trong biểu thức chứa căn không ở dạng đơn giản nhất thì ta đưa chúng

về dạng đơn giản nhất

5.65.335.2218045

3

20

++

=+

+

5.6)5.3(3)5.2(

++

=

56)53(3)52(

=

56595

=519

= là dạng đơn giản nhất

y

y y

y

x

x x

x

12

)315(315

9

)72(72

Ta có thể dùng máy tính để thử lại kết quả rút gọn biểu thức chứa căn là tương đương với phương trình ban đầu Xét đầu tiên ta tìm số thập phân gần đúng với đề bài

Sau đó tìm số thập phân gần đúng của kết quả Nếu hai giá trị gần đúng là như nhau thì ta đã biểu diễn đúng

Muốn nhân hai biểu thức chứa căn có biểu thức dưới căn khác nhau, ta làm tương tự như nhân các đa thức

Để tìm diện tích của hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng

238

30

14

302218220

30

12

3022.362.5

4

30

12

30218650

4

30

12

)10)(

32()63)(

32()10)(

54()

4 3

2 1

−+

−+

Diện tích của hình chữ nhật là 14 30−38 2 units2

a) Giải thích tại sao ta nên rút gọn mỗi căn thức trong biểu thức chứa căn trước khi cộng hoặc trừ chúng

b) Giải thích cách sử dụng tính chất phân phối để rút gọn biểu thức dưới căn giống nhau của phép cộng và phép trừ

c) Chọn giá trị của x và ysau đó tính( x + y)2

a) 8 5+3 5

b)

7

1102834

7

)1063)(

S = , trong đó, d1, d2 lần lượt

là độ dài hai đường chéo hình thoi

Hiệu điện thế V cần thiết của mạch điện được cho bởi công thức

PR

V = , trong đó, P(w) là công suất nguồn điện, R(Ω)là điện trở So sánh hiệu điện thế cần dùng cho đèn 100w và đèn 75w cho điện trở hai đèn là như nhau và bằng 100Ω

¯ Giải phương trình chứa căn

¯ Giải phương trình chứa căn với nghiệm ngoại lai

Một vận động viên nhảy dù rơi từ 1050 đến 1480 feet trong 5giây, tốc độ đạt được từ 120 đến 150 dặm mỗi giờ tại vận tốc cuối Đó là vận tốc lớn nhất họ có thể đạt được khi lực cản bằng trọng lượng Nếu không có lực cản

không khí, thời gian một vật thể rơi h( feet) được xác định bởi công thức

Hai vật thể được thả rơi đồng thời Vật thứ nhất chạm đất sau 2.5s, vật thứ hai chạm đất chậm hơn 1.5s Hỏi độ cao hai vật rơi là bao nhiêu?

Tìm độ cao vật thứ nhất rơi, ta thế t=2.5s

5.2

101004

10

1004

1004

h thay t

h t

Vậy vật thể thứ nhất rơi ở độ cao 100 feet

Thời gian vật hai rơi là 2.5+1.5=4s

h h h

t thay h

h t

44

44

2 2

Vậy vật thể thứ hai rơi ở độ cao 256 feet

107

1+ =+

x

8

1)

1(9

1

3)1(

31

1071

2

2 2

=

+

=+

=+

=+

=+

=++

x

x x

vì x

2 7

0 2

0 7

) 2 )(

7 ( 0

14 9 0

16 8 2

) 4 ( ) 2 (

4 2

2 2

2 2

x x x x

x x

x x

x x x

x x

x x

Thử lại:

33

39

74

72

7

42

−

=+

x

x x

22

24

24

222

42

−

=+

x

x x

Nghiệm bằng 2 không thỏa mãn phương trình đã cho, 7 là nghiệm duy nhất

a) Mô tả các bước cần thiết để giải phương trình chứa căn

b) Giải thích tại sao cần phải kiểm tra nghiệm ngoại lai của phương trình chứa căn

c) Tìm lỗi sai

Ai đúng ai sai? Giải thích lí do

Sóng thần, tốc độ thủy triều dâng được sinh ra bởi động đất dưới đáy Thái Bình Dương Tốc độ sóng thần là s =3.1 d(m/s) Trong đó, d (m) là độ sâu mực nước biển

a) Tính tốc độ sóng thần biết độ sâu mực nước biển là 10m

b) Tính độ sâu mực nước biển nếu tốc độ sóng thần là 240m/s

c) Sóng thần bắt đầu dâng cao trong 2phút và di chuyển 450-500 dặm/h nó có thể tiến gần đến bờ biển trong 50 phút Hỏi tốc độ sóng thần dao động trong khoảng nào nếu độ sâu từ 10000m xuống 20m

Diện tích hình tròn được cho bởi công thức A=πr2, trong đó r là bán kính hình tròn

a) Viết phương trình r theo A

b) Tính bán kính hình tròn lớn khi diện tích hình tròn lớn bằng 96π(m2) c) Tính bán kính hình tròn nhỏ khi diện tích hình tròn nhỏ bằng 48π(m2)

d) Nếu diện tích hình tròn này gấp đôi hình tròn kia thì bán kính thay đổi như thế nào?

Công thức L = kP biểu diễn

mối quan hệ giữa chiều dài máy

b A Boeing 747 dài 232 hải lí và nặng 870000 pounds Tính hằng số tỉ lệ k?

¯ Giải bài toán bằng cách dùng định lí Pythagorean

¯ Xác định môt tam giác là tam giác vuông

Ride of Steel ở Agawam, Masachusetts, là tàu lượn

cao nhất thế giới với độ cao 208 feet Nó

Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với hai cạnh góc vuông được gọi là cạnh huyền cạnh huyền có độ dài lớn nhất trong tam giác vuông Hai cạnh còn lại được gọi là cạnh góc vuông

Để tìm độ dài các cạnh trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh, ta sử dụng công thức của nhà toán học Hy Lạp Pythagoras

Cho một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là a và b, độ dài cạnh huyền

c khi đó bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.Kí hiệu: c2 =a2 +b2

của tam giác vuông có a=8, b=15

17289289

158

2

2 2 2

2 2 2

c

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác bằng 17 units

Tính độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có c=25 và b=10 units

a a a a a

b a c

1025

2 2

2 2 2

2 2 2

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, độ dài cạnh góc vông còn lại là 22.91 units

Những bộ số thỏa mãn định lí Pythagorean được gọi là bộ ba Pythagorean.

Bội số của bộ ba Pythagorean cũng thỏa mãn định lí Pythagorean Những bộ ba thông thường là ( 3, 4, 5 ), ( 5, 12, 13 ), ( 8, 15, 17 ), ( 7, 24, 25 )

Diện tích tam giác là bao nhiêu?

Diện tích của tam giác là

Pythagorean Cạnh huyền là 4.5 units, cạnh góc vuông là 4.3 units Tam giác này là bội của tam giác ( 3, 4, 5 )

4 3=12

4 4=16

4 5=20

Chiều cao của tam giác là 16 units

96

1612

thay A

bh

A

Diện tích của tam giác là 96 units2 Chọn câu A

Một phát biểu được chứng minh dễ dàng nhờ sử dụng định lí được gọi là

hệ quả Hệ quả sau đây được suy ra từ định lí Pythagorean và được sử dụng để nhận biết một tam giác vuông

Nếu c là số đo cạnh dài nhất và a, b là số đo hai cạnh còn lại của tam giác thỏa

2

2

c = + thì tam giác đó là tam giác vuông

Nếu c2 ≠a2 +b2 thì dó không phải là tam giác vuông

a 20, 21, 29

Số đo cạnh dài nhất là 29, ta có c=29, a=20 và b=21 Kiểm tra c2 =a2 +b2

841841

441400841

2120

292 2 2

2 2 2

810

122 2 2

2 2 2

Do c2 ≠a2 +b2 nên tam giác đó không phải là tam giác vuông

Giả sử tàu lượn trèo lên cao

208 feet so với mặt đất Khoảng

cách từ điểm xuất phát đến điểm

b) Hỏi tàu lượn đi xuống một đoạn bao xa?

c) So sánh tổng đoạn đường nằm ngang, độ cao thẳng đứng, và tổng chiều dài tàu lượn đi?

Cột của một thuyền buồm và sào căng buồm tạo thành một góc vuông Cánh buồm

chính có hình dạng của một tam giác vuông

Nếu một cạnh của cánh buồm chính gắn với

cột buồm dài 100 feet và cạch kia g ắn với

sào căng buồm dài 60 feet thì cạnh dài nhất

của cánh buồm chính có độ dài bao nhiêu?

a) Xác định độ dài ván lợp?

b) Nếu mái nhà dài 30 feet, bản lề dài thêm 2 feet thì cần bao nhiêu feet2ván lợp để mái ga-ra được hoàn thiện?

¯ Tìm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ

¯ Tìm một điểm khi biết điểm còn lại và khoảng cách giữa hai điểm đó

Cho hai điểm A, B trong mặt phẳng tọa độ Chú ý rằng một tam giác vuông

có thể được biểu diễn bởi hai đường thẳng đi qua

hai điểm A, B và song song với hai trục tọa độ Hai

đường thẳng này cắt nhau tại C và C là góc vuông

Cạnh huyền của tam giác này là khoảng cách giữa

A và B Ta có thể xác định độ dài hai cạnh góc

vuông của tam giác vuông này và sử dụng định lí Pythagorean để tìm khoảng cách giữa hai điểm Chú ý rằng AC là hiệu của tọa độ y, BC là hiệu tọa độ x Vì vậy,

2 2

Ta có thể tìm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ bằng cách

xử lí tương tự Kết quả đó được gọi là công thức tính khoảng cách

Khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ (x1,x2) và (y1,y2) được cho bởi công thức

2 1 2

2 1

45

3)6(

)36()24(

)(

)(

2 2

2 2

2 1 2

2 1 2

−

−

=

−+

đánh đầu tiên, banh đến nằm tại vị trí 2 feet về bên trái và

vượt quá 3 feet so với lỗ golf Giả sử banh đi theo đường

thẳng, hỏi banh đi được một đoạn bao nhiêu trong lần

đánh đầu tiên

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ vuông