60 bai hinh hoc khong gian ltdh co dap an

Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp CÂU 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng SAC và SBD cùng

HÌNH KHÔNG GIAN

CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH CHÓP CÂU 1) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC =

2

a

, SA=a 3, SAB SAC 30· =· = 0 Gọi M là trung điểm SA , chứng minh SA⊥(MBC) TínhV SMBC

Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau Do đó MB =

MC hay tam giác MBC cân tại M Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ⊥ BC Tương tự ta cũng có

MN ⊥ SA

16

a32

3a4

aaAMBN

ABAMAN

MN

2 2 2

2 2 2

2 2 2

SA SB SC = = = a , (a > 0) Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm M, N sao cho SM = BN =

a Tính thể tích khối chóp C.ABNM theo a.

GIẢI

* Chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh S là trung điểm H của cạnh AC

* Tính được

3

34 12

S MNC S ABC

V = V

3 C.ABNM

Qua B, C, D lần lượt dựng các đường thẳng

Song song với CD, BD, BC cắt nhau tại M, N, P

B D

A C P

M

N

Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC

từ đó ta có các tam giác AMN, APM, ANP

vuông tại A Đặt x = AM, y = AN, AP = z ta có

CÂU 3 ) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính theo a thể tích

khối chópS ABCD. và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó.

Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác SMN Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp

CÂU 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a,

BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥

(ABCD)

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là

trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3; OK //

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI

⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng

Diện tích đáy S ABCD =4S∆ABO =2.OA OB =2 3a2;

đường cao của hình chóp

O

I D

3a

a

B D

A C P

M

N

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC. là

tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC

Trong tam giác vuông DHA:

.sin 60 sin 30 sin 30

H

M N

B D

A C P

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

* Theo định lí sin trong ∆ABC ta có:

•Ta có

2

545

cos

2 2

HC AH

AC AH

15)

2(2

1.3

1

3

2

a a

a SH

;(2

1))

(

;

(

))(

;

BI SAH

B d SAH

K d SB

SK SAH

4

a

, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc

với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam

giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó

· 600

A DB =

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là

SO ⊥ (ABCD)

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB,

K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3;

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ

3

O

I D

B D

A C P

+BC vuông góc với (SAB)

⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1)

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

ABCD AECD EBC

S =S +S =2a +a =3a (E là trung điểm của AB).

O C

B

A D S

H

3 2

+Vậy V = 1 2

3 ( vtt)

6x −x d

CÂU 13) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 Trên cạnh

SA lấy điểm M sao cho AM = 3

3

a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM

D

B D

A

C P

M

N

Hạ AH ⊥BM Ta có SH⊥BM và BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥( BCNM)

⇒ SH là đường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB = MS = 1

2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒SBH· =300 ⇒ SH = SB.sin300 = a

a.4

3a.3a6

1BC.MN2

1.SA3

1V

3 ABC

.

Theo định lí côsin ta có: SB2 =SA2 +AB2−2SA.AB.cosSAB 3a· = 2+ −a2 2.a 3.a.cos300 =a2

Suy ra SB=a Tương tự ta cũng có SC = a

Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam

giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy ra SA ⊥ (MBC)

3

1S

.SA3

1S

.MA3

1V

V

Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên

chúng bằng nhau Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M Gọi

N là trung điểm của BC suy ra MN ⊥ BC Tương tự ta cũng có MN ⊥

SA

16

a32

3a4

aaAMBN

ABAMAN

MN

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Câu 14 ) Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a Hai

đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt

là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h

SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB,

S ABD S ACD S ABCD

Câu 15 ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA vuông góc

với mp (ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD.

M N

N

a) Mặt phẳng (α) đi qua OM và vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) cắt hỡnh chúp SABCD theo thiết diện là hỡnh gỡ? Tớnh diện tớch thiết diện theo a.

b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trờn SD Chứng minh OH ⊥ (SCD); và hỡnh chiếu của O trờn CI thuộc đường trũn cố định.

a Kẻ MQ//SA => MQ⊥(ABCD)⇒( ) (α ≡ MQO)

Thiết diện là hỡnh thang vuụng MNPQ (MN//PQ)

Gọi K là hỡnh chiếu của O trờn CI ⇒OK ⊥CI OH, ⊥CI ⇒CI ⊥(OKH)⇒CI ⊥HK

Trong mp(SCD) : H, K cố định, gúc HKC vuụng => K thuộc đường trũn đg kớnh HC

Cõu 16) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB=BC=CD=a

Gọi C và ’ D’ lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD Tính thể tích tích tứ diện ABC D’ .’

CÂU 4 Vì CD⊥BC,CD⊥ AB nên CD⊥mp (ABC)và do đó

)()

Vì tam giác ABC vuông cân nên

2

2''' CC BC a

Ta có AD2 = AB2+BD2 = AB2 +BC2+CD2 =3a2 nên AD=a 3 Vì BD’ là đờng cao của tam giác vuông ABD nên AD'.AD= AB2 , Vậy

3' a

AD= Ta có

12

23

13

32

22

1'

'

2

1ˆsin''

A C AD AC D

AC

2

2.12

23

1a2 a

Cõu 17 ) Trờn đường thẳng vuụng gúc tại A với mặt phẳng của hỡnh vuụng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ là hỡnh chiếu

vuụng gúc của A lờn SB và SD Mặt phẳng

(AB’D’ ) cắt SC tại C’ Tớnh thể tớch khối đa

diện ABCDD’ C’ B’.

+ Trong tam giỏc SAB hạ AB'⊥SC

Trong tam giỏc SAD hạ AD' ⊥SD

D'

O

Q H

Từ đó suy ra: SC' (⊥ AB C D' ' ')

a AB

S ABCD S AB C D

Câu 18 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó A D· B =600

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ

Diện tích đáy S ABCD =4S∆ABO =2.OA OB =2 3a2;

đường cao của hình chóp

2

a

SO = Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

O

I D

3a

a

2a a

Câu 19 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.

2 2 2 ' ' '

Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC Chứng minh

được góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M

Chứng tỏ AC’⊥ BD

C/m AC’⊥ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN Suy ra AC’⊥ (BDMN)

Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’ Nếu dùng cách hiệu các thể tích thì phải chỉ ra cách tính

Tính đúng diện tích hình thang BDMN Suy ra thể tích cần tìm là: 3 3

16

a

Câu 23 ) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

CD, A′D′ Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD′ = 2PD Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (A′AM) và tính thể tích của khối tứ diện A′AMP.

Gọi Q là giao điểm của NP và AD Do PD′ = 2PD nên D′N = 2DQ

2 2

Câu 24 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D Biết AD

= AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a Tính thể tứ diện ASBC theo a

Ta có SABC = SABCD – SADC = 1 2

S

M

* Chú ý: - Nếu HS chỉ xét trờng hợp góc 60 thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng.0

- HS có thể giải bằng phơng pháp vectơ hoặc toạ độ với nhận xét:

''

'.')'

,'cos(

)','cos(

BC AB

BC AB BC

AB BC

CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH THỂ TÍCH CHểP

Cõu 26 ) Cho khối tứ diện ABCD Trờn cỏc cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy cỏc điểm M, N,

P sao cho BC=4BM BD, =2BN và AC= 3AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tớnh tỉ số thể tớch giữa hai phần đú.

Cõu 27 ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi,gúc A=120 0 , BD = a >0 Cạnh bờn

SA vuụng gúc với đỏy Gúc giữa mặt phẳng (SBC) và đỏy bằng 60 0 Một mặt phẳng (α) đi qua

BD và vuụng gúc với cạnh SC Tớnh tỉ số thể tớch giữa hai phần của hỡnh chúp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hỡnh chúp

* Hỡnh thoi ABCD cú gúc A=1200 và tõm O nờn tam giỏc ABC đều :

22

tan

AI SA

∠

* Kẻ OK ⊥SC tại K thì mp(BD;OK) là mp(α).

Khi đó ∆ASC~∆KOC:

AC OC

SC KC

SC SC

AC OC KC KC

AC OC

HK

SA AC

SA KC

2 22

Trong đó H là hình chiếu của K trên mp(ABCD) và H thuộc AC

* Ký hiệu V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp

S

SA S

V

V

BCD ABCD

1

2 1

2 1

2 1 1

=

⇔

=+

V V

V V V

H

CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP NỘI TIẾP CHÓP

Câu 28 ) Cho h×nh chãp S.ABC cã SB ⊥ (ABC), ∆ ABC vu«ng t¹i A, c¹nh AB=a, AC=b, SB=c TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABC.

Ta có các tam giác SBA, SBC lần lượt vuông tại B.

Gọi I, r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC

S ABC I ABC I SAB I SBC I SCA

V V V V V

SB S r S r S r S r S

ab ac b a c c a b abc r

abc r

Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều.

Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD.

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Ta có OG ⊥ (SAB) và OI ⊥ (ABCD).

Suy ra: + OG = IH = a

2, trong đó H là trung điểm của AB.

+ Tam giác OGA vuông tại G.

Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, ta có:

1.Theo định lý ba đường vuông góc

⇒ TM là đường cao của tam giác STB

⇒ BN là đường cao của tam giác STB

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB ⊥ ST

⇒AB ⊥ (SAT) hay AB⊥ AT (đpcm)

CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH CHÓPĐẠT GIÁ TRỊ LN VÀ NN

Câu 31 ) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 <

x ≤ a).Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất

M là một điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để

tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3, SI = 2

3

R

,

SM = SO2+OM2 =2R⇒SH = R hay H là trung điểm của SM

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1

2SO= 3

2 R , (không đổi)

⇒VBAHM lớn nhất khi dt(∆MAB) lớn nhất ⇒M là điểm giữa của cung

AB

Khi đó VBAHM= 3 3

6 R (đvtt)

Cõu 33 ) Khối chúp tam giỏc SABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh C và SA vuụng gúc

với mặt phẳng (ABC), SC = a Hóy tỡm gúc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tớch khối chúp lớn nhất

Gọi ϕ là gúc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta cú : ϕ =ãSCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ

Từ đú ta thấy trờn khoảng (0;1) hàm số

f(x) liờn tục và cú một điểm cực trị là điểm

cực đại, nờn tại đú hàm số đạt GTLN

3

a

9 3, đạt được khisinϕ = 1

3 hay

1arcsin

O

B

M A

Cõu 34 ) Hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC bằng 2 )

Với giỏ trị nào của gúc α giữa mặt bờn và mặt đỏy của chúp thỡ thể tớch của chúp nhỏ nhất?

Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc từ N xuống SM Ta cú:

sin sin 2cos

1sin cos

Cõu 35 ) Trờn cạnh AD của hỡnh vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 <

x ≤ a).Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất

H

N

M I

D

C S

H

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Câu 36 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

3

IABC IBC

Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE

Ta có ACD cân tại A nên CD AE

Tương tự BCD cân tại B nên CD BE

I

M B

H

C

/

Thể tích của khối tứ diện ABCD là

Mà

Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0

trường hợp vì DE<a

Xét BED vuông tại E nên BE =

Xét BHE vuông tại H nên sin =

Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là

Câu 38 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 30 0

Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H

Câu 39 ) Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC

= 2, BC = 4 Cạnh bên SA = 5 vuông góc với đáy Gọi D là trung

K

Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC ,

1 a AA ABC

1

.

.

AC AH

C A AA AH AC

.

.

AC AH

C A

AH→ →

1 1

0

60 ) , ( 2

1 3 2 3 2

3 2 3

30 cos

a a AC

AH

AC AH

-13

*Gọi H là trung điểm BC , chứng minh SH ⊥(A B C)

*Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là

tan

33

Câu 43 ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao, bằng a.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB

ta tính được OI = a 5

5 →MH= 2a 5

52) * Xác định k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) →d(AB,SC) =

ON OI

Câu 44) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G

là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích của khối

đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300.

+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có

2

3

SG

SO = suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của

.

SA⊥ ABCD nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD)

chính là góc ·NAD , lại có N là trung điểm của SC nên

tam giác NAD cân tại N, suy ra ·NAD NDA=· =30 0

Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H

Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM

Suy ra: SM =AM =a23; ·AMS= 60 0 và SO ⊥ mp(ABC)

O

C

B S

G

∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA =a23

Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’ Gọi I, I’

là trung điểm của AB, A’B’ Ta có:

( ') ( ' ') ( ' ')'

Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy

tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm K II∈ '

Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn Ta có: