Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d giả sử là trục Ox tại 4 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước... Định m để đồ thị Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân b
Trang 1SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax4
+ bx2 + c ( với a ≠ 0, a,b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (giả sử là trục Ox) tại 4 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Bước 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là: ax4
+ bx2 + c = 0 (1) Đặt t = x2, (t ≥ 0) Khi đó ta được phương trình at2
+ bt + c = 0 (2)
Để đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn 0 < t1 < t2 ⇔ { ( )
⇔Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)
Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm dương (giả sử 0 < t1 <t2 ), ứng với mỗi giá tri dương của t ta sẽ được 2 giá trị đối nhau của x tức là √ Khi đó phương trình (1) sẽ có
4 nghiệm phân biệt và các nghiệm này sắp xếp theo theo thứ tự √ √ √ √ (do tính chất đối xứng của hàm chẵn) với t1, t2 là nghiệm của phương trình (2)
Bước 2:
Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận
Ví DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm m để đường y = -1 cắt đồ thị y = x4
– (3m +2)x2 + 3m tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là:
x4 – (3m +2)x2 + 3m = -1
⇔ x4
– (3m +2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔ [ ( )
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và <2
Trang 2⇔{
⇔ {
Vậy giá trị cần tìm là {
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 +2mx2 + m + 3 (Cm) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 < 1 < 2 < x4 Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x4 + 2mx2 + m + 3 = 0 (1)
Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0 Phương trình trở thành t2 + 2mt + m + 3 = 0 (2) Giả sử nếu phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < t2 thì phương trình (1) sẽ có các nghiệm là √ √ √ √
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: t1 < 1< 4< t2 ⇔{
⇔ { [
√ √
⇔ { √
( )
Ta có:
⇔{ ⇔ {( )( )
( )( ) ⇔ {
( )
( )
Thay m từ Định lý Vi-et ta có: { ⇔ {
⇔
Kết hợp với (*) ta có là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x4
– (m2 + 10)x2 + 9 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm
số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn|x1|+|x2|+|x3|+|x4| = 8
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox là: x4
– (m2 + 10)x2 + 9 = 0 (1) Đặt t =x2
(t ≥ 0 )
Trang 3Để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: 0 < t1 < t2
⇔{ ( ) ( )( )
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn và theo giả thiết:
|x1|+|x2|+|x3|+|x4| = 8 ⇔ √ √ ⇔ √ ( )
Áp dụng Viet
Thay vào phương trình (*) ta được: m2 + 10 = 10 ⇔ m = 0
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x4
+ 5x2 – 4 (1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB = BC = CD
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số (1) là:
-x4 + 5x2 – 4 = m ⇔ x2
– 5x + 4 + m = 0
Đặt t = x2, t ≥ 0, ta được phương trình t2
– 5t + 4 + m = 0 (2)
Để đồ thị cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2 > t1 > 0
⇔{
⇔ ( ) Khi đó 4 điểm tương ứng có tọa độ là:
( √ ) ( √ ) (√ ) (√ ) với t1; t2 là 2 nghiệm của phương trình (2) Theo giả thiết AB = BC = CD
⇔ √ √ √ ⇔ √ √ ⇔
Theo định lý viet ta có: {
⇔ {
⇔ ⇔ thỏa mãn(*)
Vậy là giá trị cần tìm
Trang 4Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4
– 2(m+1)x2 + m2 + m + 2 (1) (với m là tham số thực) Giả sử đồ thị (1) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 Chứng minh rằng:
T = x1x2 + x1x3+ x1x4 + x2 x4 + x3 x4 ≤ 0
Giải
Phương trình hoành hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục Ox là:
x4 – 2(m+1)x2 + m2 + m + 2 = 0
Đặt t = x2, t ≥ 0, ta được phương trình t2
– 2(m+1)t + m2 + m + 2 = 0 (2)
Để đồ thị cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt ⇔phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2 > t1 > 0
⇔{
( )
⇔ ( )
Gọi t1, t2 là hai nghiệm dương phân biệt của (2), khi đó x2 = t1, x2 = t2
Nhận thấy 4 nghiệm phân biệt này đối dấu nhau nên x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Mặt khác:
(x1 + x2 + x3 + x4 )2 – 2(x1x2 + x1 x3 + x1x4 + x2 x3 + x2x4 + x3x4 )
=
=>0 – 2T ≥ 0 =>T ≤ 0
Ví dụ 6: Cho hàm số y = -x4
+ 2(m+2)x2 – 2m – 3 (Cm) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: -x4
+ 2(m+2)x2 – 2m – 3 = 0 (1)
Đặt t = x2, t ≥ 0 (1) ⇔ g(t) = -t2
+ 2(m + 2)t – 2m – 3 (2)
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ (1) có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3,
x4 (x1<x2< x3<x4) ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt:
0 < t1 < t2 ⇔ { ( )
⇔ {
( ) ⇔ { ( ) Theo định lí Viet, ta có: { ( ) ( ) ( ) Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm
Trang 5Ta có: x1, x2, x3, x4 lập thành một cấp số cộng:
⇔ x2 –x1 = x3 – x2 = x4 – x3⇔ √ √ √ √ √ √
⇔ t2 = 9t1 (c)
Từ (a) và (c), ta có: ( ) ( )
Thế vào (b), ta được: ( ) ( ) ⇔
⇔ [ (Thỏa mãn (*))
Vây m = 3 hoặc là giá trị cần tìm
Tương tự: Cho hàm số y = (x2
– 1)2 – (m + 1)2 (1 – m)2 (m là tham số)
Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ tương ứng lập thành 1 cấp số cộng
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm (x2
– 1)2 – (m + 1)2 (1 – m)2 = 0 ⇔ (x2
– 1)2 = (m2 - 1)2 Đặt t = x2
, t ≥ 0 phương trình trở thành
( ) ( ) ⇔ (x2
– 1)2 = (m2 – 1)2 Đặt t = x2, t ≥ 0 phương trình trở thành
(t – 1)2 = (m2 – 1)2 ⇔ [
⇔ [
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔ {| | √
Khi đó 4 giao điểm có hoành độ theo thứ tự là √ √ √ √ ( là nghiệm của phương trình theo t trên)
Để chúng lập thành cấp số cộng ta phải có: √ √ ⇔
Vậy m2 = 9(2 – m2) hoặc 2 – m2 = 9m2
Từ đó nhận được kết quả √ √ (nhận)
