ÔN tập về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN1

Trong không gian khi viết phương trình đường thẳng đi qua mộtđiểm cho trước cắt hai đường thẳng cho trước hoặc khi đi tìm phương trình đường vuônggóc chung của hai đường thẳng chéo nhau,

KINH NGHIỆM

Đề tài : ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TRONG KHÔNG GIAN

A ĐẶT VẤN ĐỀ :

Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến thức đãhọc và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết Việc làm đó thể hiệnđược sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp với mụcđích giúp cho học sinh hiểu được bài và vận dụng nó vào giải bài tập

Nhìn chung khi thực hiện giải bài toán hình học, hầu hết học sinh có học lực từ mứctrung bình trở xuống rất lúng túng và mơ hồ, bởi lẻ khâu vẽ hình biểu diễn đa số học sinhkhông thực hiện được Trong không gian khi viết phương trình đường thẳng đi qua mộtđiểm cho trước cắt hai đường thẳng cho trước hoặc khi đi tìm phương trình đường vuônggóc chung của hai đường thẳng chéo nhau,… Quá trình trực tiếp giảng dạy trên lớp bảnthân tôi liên tục nghiên cứu học hỏi nhằm tìm ra những phương pháp giải toán ngắn gọn ,giúp cho học sinh lĩnh hội được kiến thức do bản thân truyền thụ ,từ đó hình thành cho học

có những kỹ năng và kỹ xảo khi giải các bài toán luyện thi Với đề tài này bản thân xin dưa

ra một số kinh nghiệm nhỏ đó là: “Ôn tâp về phương trình của đường thẳng trong khônggian” theo chương trình toán lớp 12 hiện hành

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :

Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị bài tốt trướckhi đến lớp đồng thời phải biết tích cực , tự giác học tập , phải biết suy nghĩ tìm tòi và sángtạo Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài , từ đó đi tìm tòi lờigiải đúng và sáng tạo, ngắn gọn Muốn làm tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo ántheo hướng tích cực hoá hoạt động học tập , cụ thể tiến hành theo các bước :

I BƯỚC CHUẨN BỊ :

1.) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt: Vạch ra mục tiêu của bài dạy

, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị trước , lâp phương án kiểm tra nội dung kiếnthức dùng cho tiết ôn tập

2.) Chọn bài tập mẫu : Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với

các đối tượng học sinh nhằm củng cố kiến thức , rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo , rèn luyện tưduy thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh

3.) Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò : Cần phải phân bố thời

gian phù hợp với mỗi bài tập Dự kiến thời gian cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng

4.) Bước chuẩn bị của trò và thầy :

* Chuẩn bị của trò : i.) Hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trong hình học phẳng và

trong không gian

ii.) Cách xác định một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng khiđường thẳng cho bởi phương trình tham số, phương trình chính tắc; hay đường thẳng làgiao tuyến của hai mặt phẳng

iii.) Phương trình tổng quát của mặt phẳng iv.) Cách tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong khônggian

vi.) Tích có hướng của hai vectơ

* Chuẩn bị của thầy : Thầy chuẩn bị các lí thuyết cơ bản và các bài tập sau : a.) Lí thuyết :

Trong hình học phẳng đường thẳng ∆luôn dược xác định duy nhất khi :

i.) ∆qua hai điểm M, N phân biệt

ii.) ∆qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M.iii.) ∆qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước

Do đó khái niệm vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT) được hình thành :

i.) u≠0được gọi là VTCP của đường thẳng ∆nếu giá của nó song song hay nằm trên ∆

ii.) n≠0được gọi là VTPT của đường thẳng ∆nếu giá của nó vuông góc với ∆.Khi đó đường thẳng trong hình học phẳng có ba dạng phương trình :

1.) Đường thẳng ∆qua điểm M(x0;y0)và nhận u=( )a;b làm VTCP nên :

i.) Phương trình tham số (PTTS) là : (t R)

btyy

atxx

x

x− 0 = − 02.) Đường thẳng ∆qua điểm M(x0;y0)và nhận n=(A;B) làm VTPT nên phương trình tổng quát (PTTQ) là : A(x−x0)+B(y−y0)=0

Trong không gian đường thẳng ∆qua hai điểm M, N phân biệt hay đường thẳng∆

qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M vẫn được xác địnhduy nhất Nhưng không xác định duy nhất đường thẳng∆qua điểm M và vuông góc vớiđường thẳng d cho trước; có vô số các đường thẳng ∆thoả tính chất trên, các đường thẳngnày nằm trong mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d Vì vậy không có kháiniệm VTPT đối với đường thẳng trong không gian Mặt khác đường thẳng ∆trong khônggian còn là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q); khi đó VTCP u∆vuông gócđồng thời với VTPT nP,nQlần lượt của (P) và (Q); do đó có thể chọn u∆ =[nP,nQ] làm

VTCP cho ∆

Để viết phương trình đường thẳng trong không gian cần nắm một số lí thuyết

cơ bản sau :

1.) u≠0được gọi là VTCP của đường thẳng ∆nếu giá của nĩ song song hay nằm trên ∆.

2.) Đường thẳng ∆qua điểm M(x0;y0;z0)và nhận u=(a;b;c) làm VTCP nên :

i.) Phương trình tham số (PTTS) là : (t R)

ctzz

btyy

atxx

0 0

c

zzb

yya

x

x− 0 = − 0 = − 03.) Chú ý :

i.) Nếu u là VTCP của ∆ thì ku với k≠0cũng là VTCP của ∆

d

uu : củau

: của

VTCP

d//

P

nu : củan

: của

P(VTPT

)P(

Q

P của (P) (Q) :u n nn

: VTPTcó

n : VTPT

)Q(

)P(

Như vậy để viết phương trình đường thẳng ∆ trong khơng gian cần xác định hai yếu

tố là : i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

ii.) Một VTCP u∆(a;b;c) của ∆

b.) Bài tập :

BÀI 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆

trong các trường hợp sau :

a.) ∆đi qua A(1;0; 3)− và B(3; 1;0)−

b.) ∆đi qua A( 1;2;3)− và song song với đường thẳng BC biết B(2; 4;3),C(4;5;6)−c.) ∆đi qua M( 2;6; 3)− − và song song với Oy

d.) ∆đi qua M(2;3; 5)− và song song với đường thẳng d biết :

−e.) ∆đi qua I(0;1; 3)− và vuơng gĩc với (P) : 2x 3y 5z 4 0− + − =

f.) ∆là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0− + + = và (Q) : 2x z 3 0− + =

Dụng ý : Củng cố về phương trình tham số ( PTTS ), phương trình chính tắc (PTCT) và

rèn luyện kỹ năng viết PTTS, PTCT cho học sinh

BÀI 2: Viết phương trình của đường thẳng ∆trong các trường hợp sau :

a.) ∆qua M(1;2; 3)− và vuông góc với hai đường thẳngd :1 x y 1 z 1

t1y

t2x

1y2

1x

:

(Đại Học Kế Toán Hà Nội - 1999)

d.) ∆nằm trong (P):x+2y−3z+4=0, cắt và vuông góc với

1

z1

2y1

2x:d

−

=

−

=+

( Đại Học Khối D - 2009 )

Dụng ý : Ứng dụng tính chất tích có hướng của hai vectơ để tìm vectơ chỉ phương của

đường thẳng

BÀI 3 : Viết phương trình của đường thẳng ∆trong các trường hợp sau :

a.) ∆qua M(1; 1;1)− và cắt hai đường thẳng 1

x 1 2t: y t

A> Mục tiêu bài dạy :

1 Kiến thức : Hệ thống hoá được các khái niệm về : PTTS , PTCT của đường thẳng

và VTCP của đường thẳng Tích có hướng của hai vectơ Hai vectơ cùng phương Hai đường thẳng chéo nhau

2 Kỹ năng : Biết viết PTTS , PTCT của đường thẳng.

3 Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh , tư duy thuật toán , tương tự hoá và tư duy

logic

B>Đồ dùng dạy học :

1.GV : Phiếu học tập phát cho học sinh hoạt động nhóm và kiểm tra ở phần củng cố.

2 HS : Bảng tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng trong hình học phẳng và

trong không gian và cách viết các loại phương trình đó

C>Hoạt động dạy và học :

1.Kiểm tra bài cũ ( 15 phút) : Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các dạng phương trình

đường thẳng trong hình học phẳng và trong không gian ở nhà của học sinh

Giáo viên dẫn dắt và tóm tắt lí thuyết :

Trong hình học phẳng đường thẳng ∆luôn dược xác định duy nhất khi :

i.) ∆qua hai điểm M, N phân biệt

ii.) ∆qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M.iii.) ∆qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước

Do đó khái niệm vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT) được hình thành :

i.) u≠0được gọi là VTCP của đường thẳng ∆nếu giá của nó song song hay nằm trên ∆

ii.) n≠0được gọi là VTPT của đường thẳng ∆nếu giá của nó vuông góc với ∆.Khi đó đường thẳng trong hình học phẳng có ba dạng phương trình :

1.) Đường thẳng ∆qua điểm M(x0;y0)và nhận u=( )a;b làm VTCP nên :

a Phương trình tham số (PTTS) là : (t R)

btyy

atxx

x

x− 0 = − 02.) Đường thẳng ∆qua điểm M(x0;y0)và nhận n=(A;B) làm VTPT nên phương trình tổng quát (PTTQ) là : A(x−x0)+B(y−y0)=0

Trong khơng gian đường thẳng ∆qua hai điểm M, N phân biệt hay đường thẳng∆

qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước khơng đi qua M vẫn được xác địnhduy nhất Nhưng khơng xác định duy nhất đường thẳng∆qua điểm M và vuơng gĩc vớiđường thẳng d cho trước; cĩ vơ số các đường thẳng ∆thoả tính chất trên, các đường thẳngnày nằm trong mặt phẳng qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d Vì vậy khơng cĩ kháiniệm VTPT đối với đường thẳng trong khơng gian Mặt khác đường thẳng ∆trong khơnggian cịn là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q); khi đĩ VTCP u∆vuơng gĩcđồng thời với VTPT nP,nQlần lượt của (P) và (Q); do đĩ cĩ thể chọn u∆ =[nP,nQ] làm

btyy

atxx

0 0

yya

x

x− 0 = − 0 = − 03.) Chú ý :

a Nếu u là VTCP của ∆ thì ku với k≠0cũng là VTCP của ∆

d

uu : củau

: của

: của

P(VTPT

)P(

Q

P của (P) (Q) :u n nn

: VTPTcó

n : VTPT

Như vậy để viết phương trình đường thẳng ∆ trong không gian cần xác định hai yếu

tố là : i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

iii.) Một VTCP u∆ =(a;b;c) của ∆

2 Hoạt động trên lớp :

Hoạt động của giáo giáo viên và học

sinh

Nội dung ghi bảng

Hoạt động 1 (15phút) Giáo viên phát

phiếu học tập về bài tập 1 cho học sinh;

hướng dẫn học sinh tìm lời giải; cho học

sinh hoạt động nhóm; gọi học sinh trình

bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt vấn đề

• GV :

+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?

+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế

btyy

atxx

0 0

yya

x

x− 0 = − 0 = − 0

• GV :

Như vậy để viết phương trình đường

thẳng ∆ trong không gian cần xác định

hai yếu tố là :

i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

ii.)Một VTCP u∆ =(a;b;c) của ∆

+ Đối với câu a,b,c,d,e yếu tố nào đã được

xác định ? cần xác định thêm yếu tố nào ?

Bài tập 1 : Viết phương trình tham số và phương

trình chính tắc của đường thẳng ∆trong các trường hợp sau :

a.) ∆đi qua A(1;0; 3)− và B(3; 1;0)−b.) ∆đi qua A( 1;2;3)− và song song với đường thẳng BC biết B(2; 4;3),C(4;5;6)−

c.) ∆đi qua M( 2;6; 3)− − và song song với Oy

d.) ∆đi qua M(2;3; 5)− và song song với đường thẳng d biết :

−e.) ∆đi qua I(0;1; 3)− và vuông góc với(P) : 2x 3y 5z 4 0− + − =

f.) ∆là giao tuyến của hai mặt phẳng(P): 2x y z 5 0− + + = và (Q) : 2x z 3 0− + =

Bài giải :

a.) ∆có VTCP : AB (2; 1;3)uuur= −Khi đó : : qua A(1;0; 3)

+ Làm sao xác định VTCP của ∆? Vì sao

?

• HS :

+ Một điểm thuộc ∆đã được xác định

Cần xác định thêm một VTCP của ∆

+ Câu a VTCP là AB hay BAuuur uuur

Câu b VTCP là BC hay CBuuur uuur

Câu c VTCP là j (0;1;0)r= ( vectơ đơn vị

Cố định một biến được hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn, giải hệ được tọa độ một

điểm thuộc ∆(thông thường cho một biến

Cách 2 : Lấy 2 điểm M , N thuộc ∆;

khi đó MNuuuur là VTCP của ∆

BC (2;9;3)uuur=Khi đó : : qua A( 1;2;3)

i.) VTCP của d :urd =(2; 3;2)−

Do // d∆ nên VTCP của ∆:d

ur∆ =ur =(2; 3;2)−Khi đó : : qua M(2;3; 5)

Gọi đại diện từng nhóm lên bảng trình

* Như vậy để viết phương trình đường

thẳng ∆ trong không gian cần xác định

hai yếu tố là :

i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

ii.)Một VTCP u∆ =(a;b;c) của ∆

iii.)

P

(P)VTPT cuûa (P) :n

P QVTCP cuûa (P) (Q): u∆ = ∩ r∆ = n ,nr r 

Do // d∆ nên VTCP của ∆:

ur∆ =urd =(2; 1;3)−Khi đó : : qua M(2;3; 5)

Do ∆ ⊥(P) nên VTCP của ∆:

P

ur∆ =nr =(2; 3;5)−Khi đó : : qua I(0;1; 3)

hệ : 2x y z 5 02x z 3 0

− + + =



 − + =

Cho x 0= ta được y z 5 0 y 8

Hoạt động 2 (15phút) Giáo viên phát

phiếu học tập về bài tập 2 cho học sinh;

hướng dẫn học sinh tìm lời giải; cho học

sinh hoạt động nhóm; gọi học sinh trình

bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt vấn đề

• GV :

+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?

+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế

nào ?

• HS :

+ Bài toán yêu cầu viết phương trình

đường thẳng∆ ( PTTS hoặc PTCT của

đường thẳng ∆)

+ Muốn viết PTTS hoặc PTCT của ∆ thì

ta đi tìm 1 điểm M∈∆ và 1 VTCP của nó

• GV :

Như vậy để viết phương trình đường

thẳng ∆ trong không gian cần xác định

hai yếu tố là :

i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

ii.)Một VTCP u∆ =(a;b;c) của ∆

• GV :

+ Đối với câu a,b,c yếu tố nào đã được

xác định ? cần xác định thêm yếu tố nào ?

+ Làm sao xác định VTCP của ∆? Vì sao

BÀI 2: Viết phương trình của đường thẳng ∆

trong các trường hợp sau :

a.) ∆qua M(1;2; 3)− và vuông góc với hai đường thẳngd :1 x y 1 z 1

t1y

t2x:

d2

b.) ∆qua N(1;4; 2)− và song song với hai mặt phẳng (P) : 6x 2y 2z 3 0+ + + = ;

(Q) : 3x 5y 2z 1 0− − − =c.) ∆qua A(1;1;−2),song song với

01zyx:)P( − − − = và vuông góc với

3

2z1

1y2

1x:

(Đại Học Kế Toán Hà Nội - 1999) d.) ∆nằm trong (P):x+2y−3z+4=0,cắt và vuông góc với

1

z1

2y1

2x:d

−

=

−

=+( Đại Học Khối D - 2009 )

∆ ⊥ 



∆ ⊥  nên : VTCP của[u ,u ] (1;1;0)u

: = 1 2 =

∆ ∆  Khi đó :

:VTCP

)3

;2

;1(Mqua

Giải hệ gồm phương trình của d và

phương trình của (P) ta tìm được tọa độ

còn lại theo dõi để nhận xét

nên phương trình tham số :

)P//(

nên : VTCP của

: u∆ n ,u ( 2; 5;3)

∆ r = v r = − −Khi đó :

:VTCP

)2

;1

;1(Aqua

nên phương trình tham số : (t R)

t32z

t51y

t21x

0 0 0

Hoạt động 3 (15phút) Giáo viên phát

phiếu học tập về bài tập 3 cho học sinh;

hướng dẫn học sinh tìm lời giải câu a,b;

cho học sinh hoạt động nhóm; gọi học

sinh trình bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt

y 2 t

vấn đề

• GV :

+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?

+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế

nào ?

• HS :

+ Bài toán yêu cầu viết phương trình

đường thẳng∆ ( PTTS hoặc PTCT của

đường thẳng ∆)

+ Muốn viết PTTS hoặc PTCT của ∆ thì

ta đi tìm 1 điểm M∈∆ và 1 VTCP của nó

• GV :

Như vậy để viết phương trình đường

thẳng ∆ trong không gian cần xác định

hai yếu tố là :

i.) Một điểm M(x0;y0;z0) thuộc ∆

ii.)Một VTCP u∆ =(a;b;c) của ∆

• GV : Đối với câu a yếu tố nào đã

được xác định ? cần xác định thêm yếu tố

x 1 2t: y 1 3t

⇒ ∆ =(P) (Q)∩

1

1

qua A(1;0;3):

2

2

qua B( 2;3;0):

(p), (Q) được xác định như thế nào ?

• GV : Đối với câu b yếu tố nào đã

được xác định ? cần xác định thêm yếu tố

nào ?

• HS : Do // d∆ nên VTCP của ∆:

ur∆ =ur với ur

là VTCP của d Cần xác định thêm một điểm thuộc ∆

• GV :

Từ giả thiết của bài toán có thể xác định

ngay 1 điểm thuộc ∆?

suy ra (P) chứa d và song song d1 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và 2 ∆, suy ra (Q) chứa d và song song d2 ⇒ ∆ =(P) (Q)∩

1

1

qua A( 4; 7;0)

d :VTCP : u (5;9;1)

Luôn viết được phương trình của (P),(Q)

+ (P) chứa d và song song d, suy ra (P) 1

Cố định một biến được hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn, giải hệ được tọa độ một

điểm thuộc ∆(thông thường cho một biến

bằng 0, chẳng hạn lấy M(x;y;0)∈ ∆)

Hoạt động 4 (10 phút) Hướng dẫn học

sinh tìm lời giải câu c; cho học sinh hoạt

động nhóm; gọi học sinh trình bày; giáo

viên chỉnh sửa và chốt vấn đề

• GV : Khi nào hình chiếu vuông góc

của một đường thẳng lên một mặt phẳng

giao điểm của d và (P)

• GV : Đối với câu c đường thẳng d có

vuông góc với (P) ? vì sao?

Ta thấy u ,nr rd P không cùng phương nên d không vuông góc với (P)

∆là hình chiếu vuông góc của d trên (P) (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và d Suy ra (Q) chứa d và vuông góc với (P)

d

qua A(0;8;3)

d :VTCP : u (1;4;2)

VTCP của ∆:ur∆ =[n ;n ( 4;5; 1)r rP ] = − −Khi đó : qua M 0;5;2( )

:VTCP : u (4; 5;1)

i.) Nếu d (P)⊥ thì trình hình chiếu

vuông góc của d trên (P) là một điểm,

đó là H d (P)= ∩

ii.) Nếu d không vuông góc với (P) thì

hình chiếu vuông góc của d lên (P) là

sinh tìm lời giải câu d; cho học sinh hoạt

động nhóm; gọi học sinh trình bày; giáo

viên chỉnh sửa và chốt vấn đề

• GV : Nếu ∆là đường vuông góc

chung của hai đường thẳng chéo nhau