Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 04.. KHOẢNG CÁCH TRONG LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’
Trang 1Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
04 KHOẢNG CÁCH TRONG LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt
phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với
AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
3 8
a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3, hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC)
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC' là hình chóp tam giác đều, mặt phẳng ( 'A BC) vuông góc với mặt phẳng ( ' 'C B BC AB a), = Tính theo a thể tích khối chóp A BCC B ' ' '
Bài 4: Cho lăng trụ ABCA B C′ ′ ′có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC) Góc giữa ( AB C′ ) và (BB C′ ) bằng 60 Tính thể tích lăng trụ 0 ABCA B C′ ′ ′ theo a
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' AB'= AC'=a 2; ' 'A B =A C' '=a khoảng cách từ , A đến '
mặt phẳng (AB C bằng ' ') 3
3
a
Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB C và ( ' '' ') A B C , biết thể tích của ')
khối lăng trụ ABC A B C bằng ' ' '
3
15 9
a
Bài 6*: Cho lăng trụABC A B C , biết ' ' ' A ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a Góc giữa hai mặt ' phẳng (A BC' ) và (BCC B' ') bằng 900 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C và khoảng cách giữa ' ' ' hai đường thẳng AA và ' B C theo a '
Bài 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm ' ' ' A cách đều ba '
điểm A, B, C Góc giữa AA và mặt phẳng (ABC) bằng ' 60 Tính thể tích khối lăng trụ 0 ABC A B C và ' ' ' khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CC’ theo a
Trang 2Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi đó (P) ≡ (BCH) Do góc
ABC đều cạnh a nên
3
3 a AM 3
2 AO , 2
3 a
AM= = =
Theo bài ra
4
3 a HM 8
3 a BC HM 2
1 8
3 a S
2 2
4
a 3 16
a 3 4
a 3 HM
AM
AH
2 2 2
=
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên
AH
HM AO
O ' A
=
suy ra
3
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O
'
Thể tích khối lăng trụ:
12
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
=
Bài 2:
Gọi M là trung điểm BC
Từ giả thiết ta có 2 2 0
a
3
a
A G AG
Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi 1 1 2 3 3
ABC
a
V =S A G= AB AC A G= a a =a (đvtt) Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK
Dựng GH ⊥ A’I tại H (1) Do (2)
'
BC A G
⊥
Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’
Từ đó d B[ ', ( 'A BC)]=d A[ , ( 'A BC)]=3 [ , ( 'd G A BC)]=3GH
3
Bài 3: (Các em tự vẽ hình nhé)
Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm của BC và B’C’
Ta có
2 2
3
A M =AI= A I= x − IM =x
'
A I BC
⊥
⊥
Do đó:
A I +IM =A M ⇔x +x − = ⇔ =x
3 ' ' '
1
A BCC B
a
Bài 4: (Các em tự vẽ hình nhé)
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
Trang 3Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
+ Ta tính được AA'=BB'=CC'=a 2
+ V ABC A B C′ ′ ′=a 2.a2 =a3 2
Bài 5:
+ Đặt A I' =x⇒B I' 2 =2a2−AI2 =a2−x2⇒ AI = a2+x2
+ ' ' sin φ sin φ sin φ 3
3
+ Ta có AK =AIsin φ= a2+x2sin φ
' ' '
3
x
Bài 6: (Các em tự vẽ hình nhé)
Gọi M N E, , lần lượt là trung điểm của AB, BC và B’C’; H =CM ∩AN Có Hlà tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác đều ABC Từ A ABC là hình chóp đều ' ⇒ A H ' ⊥ ( ABC )
Góc giữa hai mặt phẳng (A BC' ) và (BCC B' ') bằng 900⇒( 'A BC)⊥(BCC B' ')
Ta có A N' ⊥BC⇒A N' ⊥(BCC B' ')⇔ A N' ⊥NE
• Đặt A A' =A B' =A C' =x x( >0)
2
4
a
/ / ' / / '
Tứ giác ANEA ' là hình bình
'
2
NE x
a
A E
=
⇒
=
• Trong tam giác vuông A NE có '
2 2
Trang 4Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
( ) ( )( )
3 96 384 512 3 8 2
3 96 384 512 3 7 2 8 2 3 84 294 344
= − + − + − −
≤ − + − + − − − ⇒ ≤ − + − +
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là
ABC
' / / ' ' / /( ' ')
A A B B⇒A A BCC B ⇒ d A A B C( ' , ' ) (=d A A BCC B' , ( ' ')) (=d A BCC B, ( ' '))
'
BC AN
BC A N
⊥
⊥
2 '
B BC
3
'.
' 3
2
3
, ( ') , ( ')
2 8 , ( ')
2 2 4
B ABC
B BC
V a
S a
a
d A BCB
a
∆
∆
Bài 7:
G là trọng tâm∆ABC Ta có A G' ⊥(ABC) và
() 0
AA ABC =A AG=
3 3
a
AG= Xét ∆A AG' cóA G' = AG tan 600 =a
và
2
3 4
ABC
a
S = Thể tích
' ' '
ABC A B C ABC
Kẻ CK ⊥A H' ⇒CC'//AA'⇒d CC AA( ', ')=d CC( ',(AA B B' ' ) )=CK
Ta có
2
6
a
CK
A H A G HG a
+
C
B A
A'
B'
C'
K
G H