ĐẠI số HÌNH học 10 lý THUYẾT và PHÂN DẠNG bài tập

Phép biến đổi tương đương: Định lý: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phép biến đổi mới tương đương..

LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Tập hợp:

 Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa Ví dụ tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu:

a  A đọc là a thuộc A

Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay

e không là phần tử của A

 Các phần tử của một tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn "{" và

"}", cách nhau bởi dấu ";" (nếu có phần tử là số) hoặc dấu ","

 Có hai cách viết một tập hợp:

 Liệt kê các phần tử của tập hợp:

Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B={x  Nx < 4}, trong đó N là tập số tự nhiên

 Tập hợp còn được minh họa bằng một vòng kín (gọi là giản

đồ Ven)

A c b a

 Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào

Ví dụ: C = {x}

D = {1; 2; 3; ; 100}

E = {2; 4; 6; 8; }

Tập hơp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu 

2 Tập hợp con:

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập

A gọi là tập hợp con của tập hợp B

Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là con của tập hợp B = {1; 2;

3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

9 7 5

6 4 2

Z: tập hợp số nguyên

Q: Tập hợp số hữu tỷ

R: Tập hợp số thực

CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

§1 MỆNH ĐỀ

I- MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN:

1 Mệnh đề:

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng

Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai

 Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

* Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, để kí hiệu cho một mệnh

đề nào đó Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là một số chẵn"

2 Mệnh đề chứa biến:

Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là một mệnh đề vì ta không khẳng định được tính đúng sai của nó

 Khi n = 4 ta được "4 chia hết cho 3" là một mệnh đề sai

 Khi n = 15 ta được "15 chia hết cho 3" là một mệnh đề đúng

Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là một mệnh đề chứa biến

II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:

Cho mệnh đề P Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và

kí hiệu P Ta có: P đúng khi P sai, P sai khi P đúng

III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO:

Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề " Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo,

kí hiệu P  Q

Mệnh đề P  Q được phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy ra Q" hay " Vì

P nên Q"

Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q Khi đó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:

Mệnh đềQ  Pđược gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q

Nếu cả hai mệnh đềP  QvàQ  Pđều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Khi đó ta kí hiệuP  Q (đọc P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q)

Mệnh đềP  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại

V- KÍ HIỆU VÀ :(được sử dụng trong các mệnh đề chứa biến)

1 Mệnh đề chứa kí hiệu , :

 Kí hiệu:  (đọc là "với mọi")

 Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một))

 Mệnh đề:

 "Với mọi x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là "x  X:P(x)"(*)

(*) đúng nếu với bất kì x 0 X ta có P(x 0 ) là mệnh đề đúng

(*) sai nếu có một x 0 X sao cho P(x 0 ) là mệnh đề sai

 "Tồn tại x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là "x  X:P(x)"(**)

(**) đúng nếu có ít nhất một x 0 X ta có P(x 0 ) là mệnh đề đúng

(**) sai nếu với bất kì x 0 X sao cho P(x 0 ) là mệnh đề sai

2 Phủ định của mệnh đề chứa các kí hiệu , :

 Phủ định của mệnh đề"x  X :P(x)" là mệnh đề "x  X:P(x)"

 Phủ định của mệnh đề"x  X :P(x)" là mệnh đề "x  X:P(x)"

1 Mệnh đề

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai

2 Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P

 Mệnh đề "Khơng phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P

 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

3 Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P  Q

 Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để

Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai Do

A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng

9 Bổ sung

Cho hai mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q

 Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q

 Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: P Q P Q   , P Q P Q  

§2 TẬP HỢP

I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP:

1 Tập hợp và phần tử:

 Tập hợp (còn gọi là tập) là khái niệm cơ bản của Toán học

 Để chỉ a là phần tử của tập A, ta viết aA (đọc a thuộc A)

 Để chỉ b không là một phần tử của tập A, ta viết bA (b không thuộc A)

2 Cách xác định tập hợp:

 Liệt kê các phần tử của nó (viết các phần tử của nó trong hai dấu móc{ })

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

 Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình

phẳng được bao quanh bởi một đường kín gọi là

biểu đồ Ven

B

3 Tập hợp rỗng:

 Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào

 Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử:



II- TẬP HỢP CON:

Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói A là tập hợp con của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B) A  B ta cũng viết BA (đọc B chứa

A hay B bao hàm A) Như vậy:

A  B Tính chất:

a) A  A với mọi tập hợp A

b) Nếu A  B và B  C thì A  C

B C

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:

Khi A  B và B A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết A = B

Như vậy: A = B  ( x:xA xB)

1 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa

 Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu mĩc { … }

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu 

2 Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

 A B      x A x B

§3 CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP

I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

A x B A x

B A

II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu: C = AB

A x B A x

B A

III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B Kí hiệu: C = A\B

A x B A

B A

§4 CÁC TẬP HỢP SỐ

I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC:

1 Tập hợp các số tự nhiên N:

a là phân số tối giản

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

* Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2 an) = n +

1 10

2 1



n n

a a a

4 Tập hợp các số thực R:

Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ

Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại

2 3 2

2

-

0

(-, + chỉ là kí hiệu - không phải là một số)

Ta có quan hệ: N  Z  Q  R

II- CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R:

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

§5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ

I- SỐ GẦN ĐÚNG:

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng

II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:

1 Sai số tuyệt đối của một số gần đúng:

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a  aa được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

2 Độ chính xác của một số gần đúng:

Nếu a  aa d thì -d  a - a d hay a - d  a  a + d Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a d

* Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc

đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó

III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG

1 Ôn tập quy tắc làm tròn số:

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn

2 Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác cho trước:

Ví dụ: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng biết:

a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300; b) 3,1463  0,001

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Mặt phẳng tọa độ:

 Hãy xác định tọa độ các điểm A,

y

x

O 1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3

-4 -5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

2 Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0):

 Khi a > 0: Hàm số nghịch biến trên (-; 0), đồng biến trên (0; +)

Bảng biến thiên:

x - 0 +

y + + 0

y

x O

 Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-; 0), nghịch biến trên (0; +)

Bảng biến thiên:

x - 0 +

y 0 - -

y

x O

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1 HÀM SỐ

I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ:

1 Hàm số Tập xác định của hàm số:

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của

y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số

2 Cách cho hàm số:

a) Hàm số cho bằng bảng:

Ví dụ: Quãng đường đi được y (tính bằng km) và thời gian x kể từ lúc xuất phát (tính bằng giờ) của một xe khách được ghi trong bảng sau:

b) Hàm số cho bằng biểu đồ:

Ví dụ: Tỉ lệ học sinh đỗ Đại học - Cao

đẳng của một trường THPT từ năm 2004

đến 2007 được cho bởi biểu đồ:

c) Hàm số cho bằng công thức:

 Hàm số cho bởi công thức có dạng: y = f(x), trong đó f(x) là một biểu thức chứa biến x

 Tập xác định của hàm số y = f(x) là D = {x  R  f(x) có nghĩa}

Với mỗi giá trị x0D, giá trị tương ứng y0=f(x0) được gọi là giá trị của hàm số tại x=x0

 Chú ý: Một hàm số có thể xác định bởi hai, ba, công thức

3 Đồ thị của hàm số:

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D

II- SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1 Ôn tập:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), nếu x1, x2 (a; b)

 x1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b)

 x1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên (a; b)

2 Bảng biến thiên:

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên đi xuống Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên đi lên

Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào)

* Nhận xét: Khi x > 0 nhận các giá trị túy ý ta nói x dần tới +, khi x < 0 và x

nhận các giá trị tùy ý ta nói x dần tới - Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới +

III- TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

Hàm số y = f(x) với tập xác định D

 là hàm số chẵn nếu xD thì -xD và f(-x) = f(x)

 là hàm số lẻ nếu xD thì -xD và f(-x) = -f(x)

* Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ

2 Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

y = x 2

y

x O

Đồ thị hàm số chẵn: y = x2

y = x 3

y

x O

Đồ thị hàm số lẻ: y = x3

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường Khi đó ta nói y

= f(x) là phương trình của đường đó

4 Sư biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K

 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1 2, K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D

 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x)

 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x)

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

2) Hàm số y = R x( ): Điều kiện xác định: R(x)  0

Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không

 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D)

+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn

+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D + Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ

§2 HÀM SỐ y=ax+b

I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b (a0)

TXĐ: D = R

Chiều biến thiên:

Với a > 0 hàm số đồng biến trên R

Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R

Bảng biến thiên:

II- HÀM SỐ HẰNG y = b

Đồ thị hàm số y = b là một đường

thẳng song song hoặc trùng với trục

hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b)

Đường thẳng này gọi là đường thẳng

y = b

* Đặc biệt: Khi b = 0 ta có đường

thẳng y = 0 là phương trình của trục

hoành

b y = b

x y

O

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

III- HÀM SỐ y = x

0

x khi x

x khi x

 Chiều biến thiên: Hàm số y = xnghịch biến trên khoảng (-;0) và đồng biến

Trong nửa khoảng [0; +) đồ thị của hàm số y = x

trùng với đồ thị của hàm số y = x

Trong khoảng (-; 0) đồ thị của hàm số y = x

trùng với đồ thị của hàm số y = -x

* Chú ý: Hàm số y = xlà hàm số chẵn, đồ

thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng

 Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R

 Đồ thị là đường thẳng cĩ hệ số gĩc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:

+ (d) song song với (d)  a = a và b  b + (d) trùng với (d)  a = a và b = b + (d) cắt (d)  a  a

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b  ta cĩ thể vẽ hai đường thẳng y=ax+ b

và y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh

§3 HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số bậc hai cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a0) có tập xác định D = R

I- ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

1 Nhận xét:

a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có trục tung là trục đối xứng (đường thẳng x = 0) Khi đó:

 a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y 0 với mọi x

 a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y 0 với mọi x

x y

(

a a

Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0

3 Cách vẽ parabol y = ax 2 + bx + c (a0):

 Xác định tọa độ của đỉnh )

4

; 2

(

a a

 Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với các trục tọa độ:

Giao với trục tung: x = 0 y = c

Giao với trục hoành: y = 0  ax2+bx+c=0, giải phương trình tìm x (nếu có)

 Vẽ parabol

- b 2a

4a

4a

-x y

O

a < 0

II- CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bảng biến thiên:

a

b

2

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Nghiệm của đa thức:

Nghiệm của đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + + an-1x + an là số x = x0 làm cho đa thức bằng 0

2 Giá trị tuyệt đối:

A nếu A A

3 Hai quy tắc biến đổi phương trình:

 Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

 Trong một phương trình, ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số khác 0

4 Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) và phương trình đưa về dạng ax + b:

 Phương trình: ax + b = 0  ax = b  x =

-a

b

5 Phương trình tích:

A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

6 Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

7 Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):

Nêu cách giải phương trình bậc hai và các trường hợp nghiệm đặc biệt?

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I- KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình một ẩn:

 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1)

 Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm của nó)

 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

2 Điều kiện của một phương trình:

Điều kiện xác định của phương trình (1) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa

3 Phương trình nhiều ẩn:

Đó là phương trình có dạng F(x, y, z, ) = G(x, y, z, ), trong đó F(x, y, z, ) và G(x, y, z, ) là những biểu thức của nhiều biến

Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0

(với x0, y0 là số) thì ta gọi cặp số (x0, y0) là một nghiệm của nó

Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … cũng được hiểu tương tự

4 Phương trình chứa tham số:

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò ẩn số còn có các chữ cái khác được xem như hằng số và được gọi là tham số

Việc giải phương trình chứa tham số thường được gọi là giải và biện luận

phương trình

II- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

2 Phép biến đổi tương đương:

Định lý:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phép biến đổi mới tương đương

 Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng một số hoặc một biểu thức;

 Nhân hoặc chia hai vế phương trình với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0

* Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép

cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó

Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của các phương trình

)

( ) (

)

(

x h

x g x h

x f

 (h(x) ≠ 0)

3 Phương trình hệ quả:

Nếu mọi nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) đều là nghiệm của phương trình

1 ( ) 1 ( )

f x g x thì phương trình f x1 ( ) g x1 ( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x( ) g x( )

Ta viết: f x( ) g x( ) f x1 ( ) g x1 ( )

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình

ban đầu Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1 Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)

 x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng

 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình

Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

P x

1 ( ) thì cần điều kiện P(x) 0

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x)  0 + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x)

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1

và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S2

 (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2

 (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2

3 Phép biến đổi tương đương

 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0

 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT, BẬC HAI

I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1 Phương trình bậc nhất:

 Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0:

 Khi a  0 phương trình ax+b=0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

2 Phương trình bậc hai:

Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0):

x1  2   , P =

a

c x

S v u

thì u, v là các nghiệm phương trình:

x2–Sx+P=0

II- PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa

của giá trị tuyệt đối:

A nếu A

A hoặc bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình hệ quả

3 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương

hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn

4 Phương trình trùng phương:

Phương trình trùng phương ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc

hai bằng cách đặt t = x2 (t 0)

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax2bx c  0

Để giải và biện luận phương trình ax2bx c  0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0 

– Nếu a  0 thì mới xét các trường hợp của  như trên

2

 < 0 (1) vô nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax2bx c  0 (a 0) (1)

 (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0  (1) có hai nghiệm cùng dấu    P 00

 (1) có hai nghiệm dương  P

S

0 0 0

2 Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số

Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

ax4+bx2+c=0 (a  0)

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện

xác định của phương trình (mẫu thức khác 0)

2 Số nghiệm của phương trình trùng phương

Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng

 (1) vơ nghiệm 

vô nghiệm có nghiệm kép âm có nghiệm âm

(2) (2)

 (1) cĩ 1 nghiệm  có nghiệm kép bằng





 (1) cĩ 2 nghiệm  có nghiệm kép dương

có nghiệm dương và nghiệm âm

(2)





 (1) cĩ 3 nghiệm  (2)có nghiệm bằng1 0,nghiệm còn lại dương

 (1) cĩ 4 nghiệm  (2)có nghiệm dương phân biệt2

2 2

I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó

a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 0)

* Chú ý:

 Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c, khi đó:

Nếu c 0 thì phương trình trên vô nghiệm

Nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0, y0) đều là nghiệm

 Khi b 0, phương trình ax + by = c trở thành: y =

a

c x b

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

1 1 1

c y b x a

c y b x

trong đó x, y là hai ẩn; các chữ còn lại là hệ số

Nếu cặp số (x0, y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ thì (x0, y0) là nghiệm của hệ phương trình (3)

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó

II- HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

2 2 2 2

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x a

d z c y b x

a

(4)

trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số

Mỗi bộ ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng cả ba phương trình trong hệ được gọi là nghiệm của hệ phương trình (4)

§3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã

biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

2 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn

 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi)

 Đặt S = x + y, P = xy

 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P

 Giải hệ (II) ta tìm được S và P

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

 Khi x  0, đặt y kx Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học ở lớp 12)

– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( ; )x y0 0 thì

y x0 0

2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

a) Dạng: ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0), trong đó a, b là các số đã cho, a ≠ 0

b) Hai quy tắc biến đối bất phương trình:

 Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia phải đổi dấu hạng tử đó

 Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, phải:

 Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

 Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§1 BẤT ĐẲNG THỨC

I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1 Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức

* Chú ý: Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" gọi là các bất đẳng thức

ngặt Các mệnh đề dạng "a  b" hoặc "a  b" gọi là các bất đẳng thức không ngặt

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

Nếu mệnh đề "a < b  c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b  c < d

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b  c < d

Để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0

3 Tính chất của bất đẳng thức:

Điều kiện Nội dung

a < b  a + c < b + c

Cộng hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số ta được một bất đẳng thức tương đương

cùng chiều

c > 0 a < b  ac < bc Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được một bất đẳng thức tương

đương cùng chiều

b a

 a + c < b + d Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta

được bất đẳng thức cùng chiều

b

a  ac < bd Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta

được bất đẳng thức cùng chiều

n nguyên

dương

a < b  a2n + 1 < b2n + 1 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

lẻ ta được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều

0 < a < b  a2n < b2n Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

chẵn ta được một bất đẳng thức cùng chiều

Khai căn bậc lẻ hai vế của một bất đẳng thức ta

được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều

II- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (CAUCHY)

1 Bất đẳng thức CauChy (Cô-si):

Định lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

a, b  0, ab  ab

2 Đẳng thức ab  ab

2 khi và chỉ khi a = b

2 Các hệ quả:

Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

 Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

 Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Ý nghĩa hình học:

 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

III- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

Điều kiện Nội dung

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản

 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh  Một số BĐT thường dùng:

+ A2  0 + A2B2  0 + A B  0 với A, B  0 + A2B2  2AB

Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức

§2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH MỘT ẨN

I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình một ẩn:

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x)<g(x) hoặc f(x)g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x

Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0)  g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình (1)

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm

* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc

g(x)  f(x)

2 Điều kiện của một bất phương trình:

Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1)

3 Bất phương trình chứa tham số:

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số

Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó

II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn a gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó

Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương đó

2 Phép biến đổi tương đương:

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương

3 Cộng (trừ):

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương

P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

* Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu

thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x) Do đó:

P(x) < Q(x) + f(x)  P(x) - f(x) < Q(x)

(Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của f(x) ta được bất phương trình tương đương)

* Chú ý: Trước khi giải bất phương trình ta phải tìm điều kiện của bất phương

trình đó

4 Nhân (chia):

Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương

Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương

P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, x

P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, x

* Chú ý: Khi nhân hai vế bất phương trình cho f(x), nếu biểu thức f(x) nhận cả

hai giá trị dương lẫn âm thì ta phải xét lần lượt cả hai trường hợp f(x)<0 và f(x)>0

 P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình

 P(x), Q(x) cùng giá trị âm, ta biến đối P(x) < Q(x)  -P(x) > -Q(x) rồi bình phương