07 một số phương pháp giải toán nguyên hàm tích phân

Ng-ời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán d-ới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên t-ởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán, giữa bài toán ch-a biết cách

A Đặt vấn đề

I Lời mở đầu

Để bồi d-ỡng năng lực t- duy độc lập ,t- duy tích cực và t- duy sáng tạo của học sinh, tr-ớc tiên phải trang bị cho các em có nền k iến thức cơ bản

phổ thông vững chắc, có khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, ng-ời giáo

viên phải vận dụng các ph-ơng pháp khác nhau, h-ớng các em vào một môi

tr-ờng hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục

Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo củ a

học sinh Ng-ời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán d-ới nhiều

góc độ khác nhau, kích thích sự liên t-ởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của

bài toán, giữa bài toán ch-a biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách

giảI, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng tr-ờng hợp riêng lẻ để đem đến cái

chung nhất mang tính chân lý Từ đó học sinh vận dụng các ph-ơng pháp toán

học để giải quyết các bài toán đặt ra

Với lý do đó tôi chọn đề tài “MỘT SỐ Ph-ơng pháp giải toán

nguyên hàm – tích phân “

II Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu

1) Thực trạng:

Trong ch-ơng trình Giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân

chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích

phân ch-a nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, ch-a có nhiều ph-ơng

pháp Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một h-ớng nhất định nào đó Do

đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân ch-a khai thác hết đ-ợc và ch-a

phát huy đ-ợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh

Tôi nhận thấy việc khai thác các ph-ơng pháp giải các bài toán về nguyên

hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành

nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 2

2) Kết quả:

Khi tôi đ-ợc phân cônggiảng dạy lớp 12, tôi nhận thấy kiến thức

về giải tích của học sinh lớp tôi giảng dậy đ-ợc phân công còn hạn chế: các

bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các ph-ơng pháp

giải của học sinh còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hình ph-ơng

pháp giải

Do vậy tôi đã dần hình thành các ph-ơng pháp giải, phát triển từ bài toán cơ

bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn Để công việc giảng dạy đ -ợc tốt

hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, ph-ơng pháp, khai thác cấu trúc logic

của bài toán, tìm ra nhiều ph-ơng pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn

d-ới nhiều hình thức khác nhau

B GiảI quyết vấn đề

I các Giải pháp thực hiện

1 Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân

1.1 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân, các tính chất cơ

bản và các ph-ơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân

1.2 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều ph-ơng

pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một

sốtr-ờng hợp ta có thể tính các tích phân bằng một ph-ơng pháp đơn giản

hơn

1.3 Học sinh đ-ợc phát triển về t- duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm,

tích phân theo những quy trình xác định, đ-ợc rèn luyện về tính linh ho ạt ,

khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán

Trong ch-ơng trình môn toán tr-ờng phổ thông trung học, nội dung kiến

thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề

0 )

(

2

x khi x

x

x khi e x

Ph-ơng pháp tích phân thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để

biến đổi biểu thức d-ới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên

hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đ-ợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ

bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết

Ph-ơng pháp chung:

B-ớc 1: Biến đổi f(x) về dạng:

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 4

f(x) = 



n i

i

i f x

1

) (

n i

i f x dx f x dx dx

x f

1 1

) ( )

( )

Ví dụ 2: Tính tích phân :   x

e

dx I

1.3 Xác định nguyên hàm bằng ph-ơng pháp đổi biến số

- Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân

Ph-ơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý

) (

) (

) (

) (

) ( )







b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t)

xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]







( ) '( ) )

(

Tuy nhiên cái khó của ph-ơng pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x)

sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

L-u ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

0 , 2

, 2

, sin

t

a x

t t

t

a x

x a

x a

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Tr-êng THPT Phï Cõ 6

1

x x

dx I

t

dt t t

tdt x

x

tdt x

1 2

1 1 1

***S©u ®©y chóng ta ®i vµo tõng d¹ng cô thÓ

*Trường hợp I Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa 2 2 2

0 1 3

dx I

0 1 3

dx I

1

1 tan 3

dx t





 =

3 2 0

1 cos 3

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Tr-êng THPT Phï Cõ 8

VÝ dụ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n:

1 2

1 1

dx I

1 1

dx I

2 1

dx x

1 1

dx I

2 1

dx x

sin 2 1

3 2

2 3

sin 2 1

Nếu hàm số dưới dấu tích phân f x  là hµm sè liªn

tôc, tuÇn hoµn víi chu kú T th×:    

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Tr-êng THPT Phï Cõ 10

VÝ dụ 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n:

200 0

Ph-ơng pháp tích phân từng phần đ-ợc sử dụng rất thông dụng trong

quá trình xác định nguyên hàm của hàm số Ph-ơng pháp này cụ thể nh-

udv

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=f(x)dx

ta tiến hành theo các b-ớc sau:

- B-ớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 12

I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx

- B-ớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx  du,v

- B-ớc 3: I = uv - vdu

Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần để

tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đ-ợc xác định một cách dễ dàng

- Tích phân vdu đ-ợc xác định một cách dễ dàng hơn so với I

2

2

dx x

x x x

I     

1 )

1 ln(

2

2

dx x

x x

1

1 ln

2

2 2

2

2 2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

Khi đó:

***Sau đây chúng ta ®i vµo tõng d¹ng cô thÓ:

*Trường hợp I:

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f x g x   .

trong đó g x  là một hàm đa thức còn f x  là một hàm số lượng giác thì

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f e x .g x  trong

đó g x  là một hàm đa thức thì ta có cách giải chung là

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Tr-êng THPT Phï Cõ 14

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng g x lnf x  .

Trong đó g x  là một hàm đa thức hoạc là một hàm số lượng giác thì ta

ln 1 2

2

dx

x dx

dv

v x

*** Để củng cố cho hai phương đổi biến số và tích phân từng

phần hay được sử dụng để tính tích phân ta đi làm một số ví dụ sau

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n: 2 2 2

s inx

a a



    ( a > 0 ) Lời giải:

2 2 2 2

1 2 sin x

a a

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 16

1 1

I    e

1.5 Xác định nguyên hàm bằng ph-ơng pháp dùng nguyên hàm phụ

Ph-ơng pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý t-ởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao

cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra

nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số

f(x) theo ph-ơng pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các b-ớc sau:

) ( ) ( ) (

C x B x G x F

C x A x G x F

- B-ớc 3: Từ hệ trên ta nhận đ-ợc: F(x) =

2

1[A(x) + B(x)] + C

Đối với ph-ơng pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) nh- thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn

Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =

x x

x

cossin

sin

Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) =

x x

x

cossin

x x

cossin

cossin





Suy ra: ( ) ( ) sin cos (sin cos ) ln sin cos

 

( ) ln sin cos 2

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm l-ợng giác

c) Sử dụng các phép biến đổi l-ợng giác đ-a về các nguyên hàm cơ bản

d) Ph-ơng pháp đổi biến

Đối với các dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi

biến lựa chọn một trong các h-ớng sau:

- H-ớng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép

đổi biến t = cosx

- H-ớng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi

f) Sử dụng nguyên hàm phụ

2

2 sin



dx x

x I

Giải: Ta có nhận xét rằng:

) cos , (sin

sin 2

) cos ( sin 2 sin

2

cos sin 2 sin

2

2 sin )

cos ,

x x

R

x

x x

x

x x x

x x

x R

Từ nhận xét đó giúp ta định h-ớng đ-ợc phép biến đổi

Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 18

5 Sử dụng các ph-ơng pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công

thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân

từng phần

Tuy nhiên, chọn cách sử dụng ph-ơng pháp nào cần phải căn cứ vào

dạng của từng bài toán cụ thể

3 4

1

0

2 4



x x

dx I

Giải: Biến đổi:

1 2

1 3 1

1 3

4

1

2 2

2 2

2 4

x x

x x

x x

3 1

2

1

x

dx x

dx I

+) Ta đi xác định tích phân

1

0 1

dx I

x





dt t tg x

dx dt

t tg dx

3

1 )

1 ( 3

1 3 3

13

0

6

0 2

Nhận xét: Nh- vậy, ta đã kết hợp nhiều ph-ơng pháp lại với nhau để giải

ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai ph-ơng pháp là

xdx I

Giải: Biến đổi I về dạng: 

xdx I

Thực hiện phép đổi biến: Đặt: t  1 x2 t2 x2  1

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 20

Suy ra: tdt = xdx và

t

dt t

t

tdt x

t t

I ( , ) ta thực hiện theo các b-ớc sau:

-B-ớc 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đó phân đoạn [a, b]

thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:

),()

,(

m x f dx m x f I

Ví dụ : Tính tích phân:   

1

0

dx a x x

Giải: Ta xét các tr-ờng hợp sau:

Tr-ờng hợp 1: Nếu a  1, khi đó ta có:

3

1 2 2

3 )

(

1

0

2 3

II, các bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

1.ĐH KA-08::

6 4 0

tan cos 2

tan os2

5

3 2 1

1

2 1

1 1

III.Các biện pháp để tổ chức thực hiện

1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự h-ớng dẫn của Thầy giáo

- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính

khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải Thầy giáo đ-a ra các ph-ơng pháp giải và

hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có đ-ợc của bài toán Sau đó cho

học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ đơn giản

- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi d-ỡng đối với những học sinh khá

hơn ở mức độ những bài toán cao hơn

2 Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự h-ớng dẫn của thầy giáo

Hình thức này cũng cần đ-ợc thực hiện liên tục trong quá trìnhhọc tậpcủa học

sinh, làm cho khả năng t- duy, sáng tạo của học sinh ngày càng đ-ợc tăng lên

Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 22

C Kết LUậN

1 Kết quả nghiên cứu

Sau khi tôI thực hiện dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi d-ỡng và cho

tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh Kết quả đạt đ-ợc

là có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu

2 Kiến nghị, đề xuất

- Cần tăng c-ờng hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách

dạy và đ-a ra các tài liệu tham khảo

- Đõy là một dạng toỏn hay được ra trong cỏc đề thi Trong chuyờn đề này

tụi đó cố gắng chọn lọc , tuy nhiờn thời gian cũn hạn chế cũng như sự trau

dồi chuyờn mụn chưa cao.Vỡ vậy, khụng trỏnh khỏi những thiếu sút nhất

định

- Rất mong được sự tham gia gúp ý kiến ,giỳp đỡ của cỏc đồng nghiờp để

đề tài này được ỏp dụng tốt hơn trong giảng dạy…

Tụi xin chõn thành cảm ơn !