Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12

Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12

NHA XUAT BAN DAI HO

-a Tr-an

g Ha Npi

-Dien thoai : Bie

n tap-Che

" ban : (04 ) 39714896 :

Hanh chinh : (04 ) 39714899 : Ton

g bie

n tap : (04 ) 3971501

1

Fax: (04)3971489

9

rjc ^ ^

Chiu trdch nhiem xuat

ban:

Gidm doc

- Tong bien tap:

T S.

HA

M TH

I TR

AM

Bien tap:

N GO

C LA

M

Siia bdi:

N HA S AC

H HO NG A

N

Che' ban:

N GU YE

N KH OI M IN

H

Trinh bay bia:

VO

HI T HI

TA

Ddi tdc lien ket

IE

N KE

T

CAC CHU DE CAN BAN HINH

HOC 1

2

Ma so : 1L

- 155OH201

4 •

In 2.00

0 cudn , kh

d 1

7 x

24cm tai Con

Giay phe

p xua

t ba

n so : 463-2014/CXB/09-9

9 OHQGHN , nga

B OHQGHN

vQng kien thufc can ban ve mon Toan ngay tCr luc vao THPT cho den khi chuan bj thi Tot nghiep, tuyen sinh Cao dang, Dai hoc, tac gia da bien scan bo sach P H U O N G P H A P G I A I gom 6 cuon:

npi dung la phan dang Toan, tdm tat kien thufc va phadng phap giai, cac chu y; phan tiep theo la cac bai toan chpn Ipc can ban minh hpa vdi nhieu dang loai va mifc dp; phan cuoi la 8 bai tap cd hudng dan hay dap so

Du da CO gang kiem tra trong qua trlnh bien scan song khdng tranh

khoi nhufng sai sot ma tac gia chua thay het, mong don nhan cac gdp y cua quy ban doc, hpc sinh de Ian in sau hoan thien hon

Tac gia

L E HOANH PHb

Hinh da dien va khoi da dien

- Hinh da dien gom mot so hint hgn da gidc phang thod man hai dieu kien:

(1) Hai da gidc hai ki hodc khong co diem chung hodc cd moi dinh chung,

hoac CO moi cgnh chung

(2) Moi cgnh cua moi da gidc la cgnh chung cua dung hai da gidc

- Hinh da dien chia khong gian lam hai phdn: phdn ben trong vd phdn ben ngodi Hinh da dien ciing vai phdn ben trong cua no goi la khoi da dien

- Moi khoi da dien co the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tic dien

Moi da gidc cua hinh H duac goi la mot mat cua khoi da dien Cdc dinh, cdc cgnh cua moi mat con goi la dinh, cgnh ciia khoi da dien Cdc diem nam trong hinh H con goi la diem trong cua khoi da dien

Khoi chop va khSi long tru

- Khoi da dien duac goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duac giai hgn bai mot hinh chop, hinh chop cut Tuang tu cho khoi chop n-gidc, khoi chop cut n- gidc, khoi chop deu khoi tit dien,

- Khoi da dien duac goi la khoi Idng Iru neu no duac giai hgn bai mot hinh Idng tru, tuang tu cho khoi hop, khoi hop chu nhdt, khoi lapphuang

- Phdn chia va lap ghep cdc khoi da dien: Moi khoi chop vd khoi Idng tru ludn

CO the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tit dien bang nhieu cdch khdc nhau

Chiiy:

1) Dgc so O-le ciia khoi da dien loi: D6i v&i moi khoi da dien loi H, ta ki hieu

D la so dinh C Id so cgnh, M la so mat cua H ihi co dgc so

Z(H) = D-C + M = 2

2) Hinh lang tru

deu: hinh lang tru

dung (c6 canh ben

vuong gdc vai mat

day) va

CO day

la da giac deu

3) Hinh chop deu:

day la

da giac deu va

cac canh ben bang

nhau

Bai toa

n 1 : Chung

minh r^ng nSu khoi d

6 ma

t l

a M V

y r

a M la so chan

Sau day la mot s

Bai toa

n 2 : Chun

da dien la dinh chung

Gidi

Ta dung phan chung Ne

Vay moi din

Bai toa

n 3 : Chun

Gidi

Gia su khoi d

a die

n c

6 C canh va c6

D dinh V

Gidi

Goi A la mot din

h cu

a kh6

i d

a dien The

o gi

a thiet, din

o

la hai ma

6 3 canh)

c

Tuomg tir, ta c6 cac mat tam giac ACD va BCD

Vay Ichoi da dien do cliinh la khoi tu dien ABCD

Bai toan 5: Chung minh rang, so goc cua tat ca cac mat gap doi so canh cua khoi

da dien Suy ra so goc chan

Gidi

Goi so goc la G va so canh cua khoi da dien la C

Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh dugc tinh 2 Ian nen G = 2C, do do G chEn

Bai toan 6: Chung minh khong ton tai khoi da dien c6 mot so le mat va moi mat

lai CO mot so le canh

Vay khong ton tai kh6i da dien thoa de bai

Bai toan 7: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh ba khoi tu dien bed hai mat phang

Cho kh6i tu dien ABCD

Lay diem M va N phan biet nam giiia C va D

Bang hai mat phang (ABM) va (ABN), ta chia

khoi tu dien da cho thanh ba khoi tu dien: ABCN,

ABNM va A B M D

Bai toan 8: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh bon khoi tu dien bai hai mat phang

Giai A

Cho kh6i tu dien ABCD

Lay diem M nam giiia A va B, diem N nam giua C va D

AMCN, A M N D , BMCN va, BMND

Bai toan 9: Hay phan chia mot khoi hop thanh nam khoi tu dien

Co t h i phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D'

thanh nam khoi tu dien sau day:

ABDA', CBDC, B'A'C'B, D'A'C'D va, BDA'C

DANG TOAN

2

PHEP Ddfl HIN

H

Phep den hinh

- Mot phep hien

hinh F trong khdng

gian duac goi la

phep dai hinh neu

no hdo

toan khoang each giita

hai diem hat ky:

neu F bien hai

N' thi M'N' =

MN

Phep dai hinh bien

duang thdng thanh duang

thdng, matphdng thanh matphdng

Hap thanh cua nhung

phep dai hinh la

phep dai hinh

Cdc phep d&i

hinh dqc biet

- Phep dong nhdt:

Phep dai hinh bien

diem M bdt ki thanh chinh

no

- Phep tinh tien:

Phep tinh tien theo

vecta v

Id phep bien hinh

bien moi diem

M thanh diem M'

sao cho

M

M ' = v

- Phep doi xung

qua duang thdng (phep

doi xung true):

Cho duang thdng d,

phep doi xicng qua

duang thdng

d la phep bien

hinh bien moi diem

thudc d

thanh

chinh no

vd bien moi diem

M khdng thudc d

thanh diem M' sao

cho trong mat

phdng (M, d) d

Id dmrng trung true

cua dogn thdng MM'

- Phep doi xirng

qua mot diem (phep

doi xung tdm): Cho

diem O, phep doi

xicng qua diem O

la phep bien hinh

bien moi diem M

thanh diem M' sao

cho O

M

+ O

M ' = 0

, hay

O la trung diem

cua MM'

- Phep ddi xicng

qua mat phdng (P)

la phep bien hinh

bien mdi diem thudc

(P)

thanh chinh

no vd bien mdi

diem M khdng thudc

(P) thdnh diem M'

sao cho

(P) Id

mat phdng trung true

cua dogn thdng MM'

Hai hinh bang nhau

- Hai hinh da

dien goi

Id bdng nhau neu

eo mot phep dai

hinh bien hinh nay

thdnh hinh kia

Ddi vai cdc khdi

da dien Idi: Neu

phep dai hinh F

bien tap cdc dinh

cua khdi

da dien Idi H

thdnh tap cdc dinh

ciia khdi

da dien Idi H'

thi F bien H

thdnh H'

Dinh ly: Hai hinh

tic dien ABCD vd

A 'B'C'D' bdng nhau niu

chiing eo cdc egnh

tuang icng bdng nhau,

nghia Id

AB -=

A'B', BC = B'C,

CD = CD', DA

= D'A',

AC = A'C, BD

= B'D'

Bai toa

n 1 : Ch

h f biln

g min

h ran

g f bien moi die

m M nam tren ducmg

thang

AB

thanh diem

= A , f(B

) =

B

Gia su diem M thuoc duong thang A B va f(M) = M ' K h i do M ' thuoc duomg

M n g A B va A M = A M ' , B M = BM' Suy ra M ' triing M , turc la f bi^n M thanh chinh no

Vay f bien mpi diem M nam tren duong thang A B thanh chinh diem M

Bai toan 2: Cho tam giac ABC va phep dai hinh f bien tarn giac ABC thanh chinh

no, tuc la f(A) = A , f(B) = B, f(C) = C Chung minh rang f bien moi diem M cua mp(ABC) thanh chinh no, tuc la f(M) = M

Bai toan 3: Cho t u dien ABCD Chung to rang phep dai hinh bien moi diem A ,

B, C, D thanh chinh no phai la phep dong nhat

Gidi

Gia su phep dai hinh f bien cac diem A , B, C, D thanh chinh cac diem do, tuc

la f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D

Ta chung minh rang f bien diem M bat ki thanh M That vay gia su M ' = f ( M )

va M' khac vai M Khi do vi phep dai hinh khong lam thay doi khoang each giCra

hai dikm nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = CM', D M = D M ' , suy ra b6n di^m A ,

B, C, D nam tren mat phang trung true cua doan M M ' , dieu do trai vai gia thidt ABCD la hinh t u dien

Vay M ' triing vai M va do do f la phep dong nhk

Bai toan 4: Cho hai t u dien A B C D va A'B'C'D' c6 cac canh tucmg ung b ^ g nhau:

AB = A'B', BC = B'C, CD = C D ' , D A = D'A', DB = D'B', AC = A ' C Chung minh rang c6 khong qua mot phep dai hinh bien cac diem A , B, C, D Ian luat thanh cac diSm A', B', C , D'

Khi do vi fi va deu la phep dai hinh nen A ' M i = A M va A'M2 = A M , vay

A ' M i = A'M2, tuang t u B'Mi = B'M2, C'Mi = C'M2, D'Mi = D'M2, do do b6n dikm

A\, C, D' cung nam tren mat phang trung true cua doan thang M1M2, trai vai

gia thi^t A'B'C'D' la hinh t u dien

Do do vai mpi diem M ta deu c6 f i ( M ) = f2(M), tuc la hai phep dai hinh fi va T2

trung nhau

9

I

C =

B'C,

AC = A'C) Chun

, tren duong than

g a' vuon

AD h t c hin O ca Ta C

u die

n ABCD, A'B'C'D

c f bie

n D thanh D2

n ta h bie i hin p da i phe g ha O diin Vay C

a t

u dien Ti

g gia

n sa

o ch

o M = f(M) tron

B, f(B) =

C, f(C) =

A

b) f(A) =

B, f(B) =

C, f(C) =

B, f(B) =

A, f(C) =

D

Do d

o f(M) =

B, f(B) =

C, f(C) =

D

Do d

o f(M) =

mot dikm duy nhk

Bai toan 7: Chung minh rang cac phep tinh tien, phep doi xung tam la cac phep

dai hinh

Giai

- Neu phep tinh tien theo vecta v biln hai diSm M , N ISn lugt thanh hai d i l m M', N' thi M M ' = N N ' = v , suy ra M N = M ' N ' va do do M N = M'N' Vay phep

tinh tien la mot phep dai hinh

- Neu phep doi xung tam O bien hai diem M , N ISn luat thanh hai diSm M ' , N ' thi O M ' = - O M , O N ' = - O N

Suyra: M ' N ' = O N ' - O M ' = - O N + O M = N M

Do do M ' N ' = M N , suy ra phep doi xung tam O la mot phep dai hinh

Bai toan 8: Chung minh rang cac phep doi xung true, doi xung qua mat phSng la

cac phep dai hinh

Gidi

- Gia su phep doi xung qua duang thing d bi§n hai

diem M , N Ian lugt thanh hai diem M ' , N' Goi H va K Ian

luoft la trung diem cua M M ' va NN', ta c6:

Vay phep doi xung qua d la phep dai hinh

- Gia su phep doi xung qua mat phang (P) bien M , N thanh M ' , N '

N6u M , N thupc (P) thi M ' s M , N ' = N nen M'N' = M N

Neu CO it nhat mot trong hai diem M , N khong nam tren (P) thi qua bon diem

M, N , M ' , N ' CO mot mat phang (Q) ( M M ' va N N ' cung vuong goc vai (P) nen

song song vai nhau)

Goi A la giao tuyen cua (P) va (Q) thi trong mp(Q), phep doi xiing qua duang thang A bien hai diem M , N thanh hai diem M ' va N ' nen M N = M'N'

Bai toan 9: Chung minh 2 hinh lap phuomg c6 canh bang nhau thi bang nhau

Giai

Gia su ABCD.A'B'C'D' va MNPQ.M'N'P'Q' la hai hinh lap phuang c6 canh d k bang a

Hai tu dien ABDA' va M N Q M ' c6 cac canh tuang ung bang nhau nen bang nhau,

tire la CO phep dai hinh F bien cac diem A, B, D, A' Ian lugt thanh M , N , Q, M '

Vi F la phep dai hin

h ne

n F bien hinh vuong lhanh hinh vuong, d

n die

m B' than

h N', bie

n die

m D' than

h Q' v

Vay hai hin

Bai toa

n 10 : Ch

o hin

h la

p phuon

g ABCD.A'B'C'D' Chun

g min

h rang:

a) Ca

c hin

h cho

p A.A'B'C'D' v

Gidi

a) Go

i O la tarn cua hinh lap phuorng

y ha

i hin

h

chop do bang nhau

Phep tinh tien theo

vecta v

la phep hien hinh

hien moi diem M thdnh diem M'

sao cho

M

M ' ^ v

Cac phep

doi xung

- Phep doi xicng

qua duang thdng (phep

doi xung true): Cho

duang thdng

d,

phep doi xung qua

duang thdng

d la phep hien

hinh hien moi diem

thuoc d

thdnh

chinh no

va hien moi diem

M khong thuoc d

thdnh diem M' sao

cho trong mat

phdng (M, d) d

la duang trung true

ciia doan thdng MM'

- Phep doi xicng

qua mot diem (phep

doi xicng tam): Cho

diem O, phep doi

xicng qua diem O

la phep hien hinh

hien moi diem M

thdnh diem M' sao

cho

OM O

M ' = 0

, hay

O la trung diem

cua MM'

- Phep doi xicng

qua mat phdng (P)

Id phep hien hinh

hien moi diem thuoc (P)

thanh chinh

no va hien moi

diem M khong thuoc

(P) thdnh diem M'

sao cho

(P) id

mat phang trung true

cua doan thdng MM'

Yeu to doi xmtg

r

- Hinh

H co tam doi

xung khi c6 phep

doi xung qua tam

khi co phep doi

xicng qua true hien

co phep doi xiing

qua mat phdng hien

hinh H

thdnh chinh

no

c) True doi xung

Bai toan 1: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' Tim

a) Tam doi xung b) Mat d6i xung

Gidi

a) Tam doi xung O la giao diem eua 4 duong cheo

A C , BD', CA' va DB'

b) Goi a la mat doi xung cua hinh lap phuong thi

phep doi xung qua a bien hinh vuong ABCD thanh

chinh no, hoae thanh hinh vuong chung canh hoae

thanh hinh vuong A'B'C'D'

Tir do thi hinh lap phuong c6 9 mat phang doi

xung la 3 mat phang trung true cua cac canh va 6 mat

phang chua hai canh doi

c) 9 true doi xung gom 3 true cua cae mat va 6 duong thang di qua trung diem cua hai canh doi

Bai toan 2: Cho hinh tu dien deu ABCD

a) Tim tit ca eac true doi xung

b) Tim tat ca cac mat phang doi xung

Gidi

a) Tu dien deu ABCD eo 3 true doi xung la 3 duong

thang di qua trung diem 2 canh doi dien (duong trung binh)

b) Tu dien deu ABCD c6 6 mat phang doi xung do

la cae mat phang trung true eua eac canh

Bai toan 3: Tim cac mat phang doi xung eua eac hinh sau day:

a) Hinh chop tu giac deu

b) Hinh chop cut tam giac deu

e) Hinh hop chij nhat ma khong c6 mat nao la hinh vuong

Gidi

a) Hinh chop tu giac ddu S.ABCD c6 4 mat phang doi xung: mp(SAC), mp(SBD), mat phang trung true eua AB (dong thai eua CD) va mat phang trung true cua A D (dong thai ciia BC)

b) Hinh chop cut tam giac deu ABC.A'B'C c6 ba mat phang doi xung, do la ba mat phang trung true cua ba canh AB, BC, CA

e) Hinh hop chu nhat ABCD.A'B'C'D' (ma khong c6 mat nao la hinh vuong) eo

ba mat phang doi xung, do la ba mat phang trung true cua ba canh AB,AD, AA'

S A

i (T) l

i d

o (T) l

g a

va a', ha

i ma

t phan

g (P) v

a bie

n (P) than

a gia

o die

m cu

a a' v

a (P') Kh

00

' s

e bie

n a thanh a' v

a bie

n (P) than

h (P')

Vi MM, =

V, v

a MjM

^ = v, ne

n M

M, = M

M, +M,M

Mot eac

h ton

g quat: ho

p than

h cu

a n phep tin

m sa

o cho: CC'

= DD' = M

thanh B, C thanh C

, D

thanh D

'

va M thanh

M', tuc l

a bi6

n t

u die

n ACD

M than

h t

u die

n BC'D'M'

Do d

o T bien tam

O cu

a ma

t ca

u (S) ngoa

i tie

p t

u die

n ACD

c la

00

' =

v = A

B

Vi OO' = A

B =

R ne

n dikm

O' nim tren ma

t cku

(S)

14

Bai toan 8: Cho tu dien ABCD Goi A i , B|, C i , Di \an lugt la trong tarn cac tarn

giac BCD, ACD, A B D , ABC V a i d i l m M hk ki trong khong gian ta goi M i la

anh ciia M qua phep tinh tien A A , , M2 la anh ciia M i qua phep tinh tien theo BB| , M3 la anh cua M2 qua phep tinh tien theo CC, , M 4 la anh cua M3 qua phep tinh tien theo DD,

Chung minh rang M trung vai M4

Gidi

Ta CO M4 la anh cua M qua 4 phep tinh tien lien tiep Hop thanh phep tinh tien

do la mot phep tinh tien theo vecta

Bai toan 9: Cho phep dai hinh f thoa man dieu kien phep hgp thanh cua f va f

la phep dong nhat: f o f = e, biet rang c6 mot diem I duy nhat sao cho f bien I thanh chinh no Chung minh rang f la phep doi xung tam

Gidi

Vai mot diem M bat ki khac 1, ta goi M ' la anh cua M qua f, khi do M va M ' khong trung nhau V i f o f = e nen f bien M ' thanh M , vay f bi^n doan thang M M ' thanh doan thang M ' M

Tu do suy ra f bien trung diem doan thang M M ' thanh chinh no va vi vay, theo gia thiet trung diem M M ' phai la diem I Vay f la phep doi xung qua tam I

Bai toan 10: Chung minh rang hop thanh ciia mot so chan cac phep doi xung tam

la mot phep tinh tien, hop thanh cua mot so le cua phep doi xung tam la phep doi xung tam

Gidi

- Gia su Di va D2 la cac phep doi xung tam c6 tam Ian lugt la Oi va O2 Goi M

la mot diem bat k i , M i = D i ( M ) va M ' = D2(Mi) thi phep hgp thanh D2 o D i bien

M thanh M'

Ta c6: M M ' = MM, + M , M ' = 2 0 , M , + 2M,0, = 2 0 ^

Suy ra D2 o Di la phep tinh tien theo vecta v = 2 0 , 0 ,

- Vai diem M ta lay M i doi xung vai M qua O, va lay M ' sao cho M , M ' = v Khi do hap thanh T o Dobien M thanh M'

V

— • V

Neu goi I la trung diem cua M M ' thi 01- ~

Vay diem

I c

6 dinh Su

Tuong ty Do

o T la phep doi xun

g qu

a die

m I' m

a 01' = —

tinh tien nen hop

thanh

cua 2n phep d6i xun

mot phe

p

tjnh tien

Hop thanh cua 2n + 1 phep doi xun

doi xun

g tam

b) Ho

p than

h cu

a mot phep

e do

i xun

g l

a mot phep

doi xun

g true

a ca

c duon

g than

g a va

a go

i M

i = Da(M) v

M' Ne

u go

i H la trung diem cua MM| v

a K la trung

diem cua

M

|M ' thi

:

MM' = M

M, + M,M' = 2HM, +

2M|K = 2H

K = 2IJ

Vay hop thanh

V

Goi b la anh cua

o

Da

o

Da = D b

o e =

Db

Goi b' l

a an

h cu

a a qua phep tinh tien theo vecta

- — thi phe

p do

i xun

g Db' v

a a: =

Dg

o Db'

Do do:

e o D^

= D^

Bai toan 12: Goi D la phep doi xung qua mat phang (P) va a la mot duong thang nao

do Gia su D bien duong thang a thanh duong thang a' Trong truong hop nao thi: a) a trung vai a' b) a song song vai a'

c) a cat a' d) a va a' cheo nhau?

Gidi

a) a trung vai a' khi a nam tren mp(P) hoac a vuong goc vod mp(P)

b) a song song vdi a' khi a song song vai mp(P)

c) a cat a' khi a cat mp(P) nhimg khong vuong goc vai (P)

d) a va a' khong bao gia cat nhau

Bai toan 13: Chung minh:

a) Hop thanh cua hai phep doi xung qua hai mat phang song song (P) va (Q) la mot phep tinh tien

b) Hop thanh cua hai phep d6i xung qua hai mat phang (P) va (Q) vuong goc

vai nhau la mot phep doi xung qua duong thang

Gidi

a) Lay hai diem A va B Ian lugt nam tren (P) va (Q)

sao cho AB J_ (P) Vai mot dikm M bat k i , ta goi M i la

diem doi xiing vai M qua mp(P) va M ' la diem doi xung

Vay phep hop thanh la phep tinh tien theo vecta 2 A B

b) Goi d la giao tuyen cua (P) va (Q)

Vai mot diem M bat ki, ta goi M i la diem doi xung vai M qua mp(P) va M ' la diem doi xung cua Mi qua mp(Q)

Neu M nam tren (P) hoac tren (Q) thi

thay M' la diem doi xung cua M qua d

Neu M khong nam tren ca (P) va (Q)

thi ba diem M , M i va M ' xac dinh mat

phang (R) vuong goc vai (P) va (Q), do

do vuong goc vai d

Goi giao tuyen cua (R) vai (P) va (Q)

lugt la p, q, con O la giao diem ciia p va q

Xet trong mat phang (R) thi diem

M' la anh cua diem M qua hop thanh cua phep doi xung qua duong thang p va phep doi xung qua duong thang q Suy ra O la trung diem ciia M M '

Mat khac M M ' _L d nen phep hop thanh la phep doi xung qua duong thang d

Bai toa

n 14 : Ch

o ma

t phan

g (P) v

dikm

M than

h die

m M ichi v

t phan

g (P)

Gidi

"1 ,

Phep dai hin

h f bien moi die

m M nam tren (P) than

h M

Vai die

m A khong

nam tren (P) t

a go

i a la duang

thang

di qu

a A va vuong

goc va

i (P) Ne

u H la giao

diem cua a va (P), v

i f(H) =

H ne

n f bien

i (P), va

y f(a) =

Vay (P) l

Suy ra

Bai toa

n 15 : Ch

o t

u die

n de

u ABCD Go

i M, N Ian lugt l

a trun

g dil

m ca

c can

h

AB va

CD Go

i O la trung diem cua doa

C + KD > O

A + OB + O

C +

OD

Gidi

Ta CO M

B = A

K + AK' >

2AH va KC + K

D CK + CK' >

2CH

Ta chung minh ring A

H + CH > O

dilm A' sa

o ch

o ti

a MA' vuon

A

Ta

CO

HA' HA nen HA + H

-C = HA' +H

O A'C

Vi A'

C d

i qu

a O nen A'C = O

C + OA' = OC + OA

Vay K

A + KB + K

C + K

D >

OA + O

B + OC + OD

Bai toa

n 16 : Ch

o lan

g tr

y dun

g ABC.A'B'C, c

n MM'

Gidi

Goi

I, J la trung diem canh ben AA' v

o d

o M va M' d6

i xun

g va

i

nhau qua IJ Va

y tap

c doa

n IJ

Bai toa

n 17 : Ch

o ma

t phin

g (P) v

a t

u die

n ABCD Va

MA + M

B + MC + M

D = 2MN

Tim tap hop N, kh

i M

di don

g tron

g (P)

18

Gidi

Goi G la trong tarn cua tu dien A B C D thi G c6 dinh

<^ 4 M G = 2 M N <=> M G = G N « G M = - G N

Do do N la anh ciia M qua phep doi xung tam G

Vay tap hop N la mat phang d6i xung vai (P) qua G

DANG TOAN

•

Dinh nghia dir&ng va mat song song

a //b khi a, h dong phdng vd khong c6 diem chung

a // (P) khi chung khong c6 diem chung

(P) // (Q) khi chung khong co diem chung

Dinh ly song song ca ban

Niu a cr (P), a//h,b<^ (P) thi a //(P)

Neu (P) chua 2 duang thdng cat nhau ciing song song vai (Q) thi hai mat phang (P)//(Q)

Trong tarn tu dien

Trong tu dien 3 duang trung binh (dogn noi trung diem 2 cgnh dSi dien) dSng

quy tai trung diem ciia moi dogn goi la trong tdm tic dien

Goi G Id trong tdm cua tic dien ABCD thi duang thdng di qua G vd mot dinh

cua tu dien se di qua trong tdm ciia mat doi dien vai dinh ay Niu goi A' Id trong

tarn cua mat BCD thi GA = 3GA'

Giao tuyen song song

allb,\Ja-=ia:^P^b,ar\p^ Mia hay Mlb

aIIp,\fy,y(^a = a,yP = allb

Dinh ly Talet

Hai cat tuyen bat ky dinh ra tren 3 mat phdng doi mot song song cdc dogn tucmg icng ti le

Ddo Igi, tren 2

du&ng cheo nhau Idn

luat lay cdc diem A,

B, C va A', B',

C

AB BC

theo thu

tu, neu = thi

AA ', BB', CC' nam tren

3 mat phdng song

song

A'B' B'C y

s s

s

Gdc giCca

2 du&ng titang

La gdc giita 2

dirang thdng cung di

qua mot diem ndo

do v

o Idn luat song

song vai

2 duang thdng da

cho

Bai toa

n 1 : Ch

g cun

g na

m

trong mot ma

t phang

a) Chun

g min

h OO' son

a (BCE)

b) Go

i M va

t phan

g (CDEF)

Giai

a) T

a c6: 00' // DF, nen: 00' // (ADF)

Tuang tu:

00' // C

E ne

n 00' // (BCE)

b) Go

i I la trung diem cua AB

Trong mp(IDE), v

i M, N, l

a tron

g ta

m nen:

IM IN

1 ^^,,,T^T, — = — =

- =

> M

N // DE

ID IE

3

Vi MN khong

nam trong (CDEF) ne

n M

N // (CDEF)

i I va

i E va

D va

i ma

t phan

g (UK)

J

b) Go

i M

va N la hai die

m gia

o

diem cua duon

Giai

a) Tron

g (BCD), C

D ci

t J

K ta

i E nen

E l

a

giao diem cua C

D va

i (UK)

Trong tam giac BCD, dun

g DD' // JK

- JB

2 2

Vi J

B = JC nen JD' =

- JC

2

Suy ra: D'

J = D'C

Do do: D

E =

DC

Trong (ACD),

AD cSt I

E ta

i F Da

g ta

m

giac ACE, AD va

EI l

a ha

i trun

g tuyen, ne

n F la trong tam

Do do FA = 2 FD.Vi K va F la trong tarn cac tarn giac BCE va ACE nen ta c6:

— = — = 2 suy ra FK // IJ

KJ FI

b) MC cat IJ tai P, MD ck FK tai Q thi PQ la giao tuygn cua mp(MCD) va mp(IJK) Trong (MCD), MN ck PQ tai O, chinh la giao dikm cua MN voi (UK)

Bai toan 3: Cho hinh chop tu giac S.ABCD c6 day la hinh binh hanh ABCD Goi

M va N theo thu tu la trung diem cua AB va SC

a) Goi I va J la giao diem cua mp(SBD) voi cac duong thang AN va MN

Chung minh ba diem B, I , J thang hang

b) Tmh cac ti so IN JN IJ

Gidi

a) Goi O la tam hinh binh hanh ABCD

Trong ASAC, AN c^t SO tai I

Vay I la giao dilm cua AN va mp(SBD)

Trong ANAB, MN ck BI tai J

Vay J la giao diem cua MN va mp(SBD)

Theo each ve thi B, 1, J thang hang

b) Vi I la trong tam ciia tam giac SAC nen lA

Bai toan 4: Cho tu dien ABCD Cac diem P, Q Ian lugt la trung diem cua AB

va CD; diem R nam tren canh BC sao cho BR = 2RC Goi S la giao diem cua

SA

mp(PQR) va canh AD Tinh ti ' SD

Goi I la giao diem cua R Q va B D ;

E la trung diem cua B R

Do do DB = D

Vay — =2 SD

Bai toa

n 5 : Ti

Ax, By, C

t

mat phan

g (a) ca

a) (Ax, By) // (Cz, Dt), (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Tu

r gia

c A'B'C'D' l

C = BB' + DD'

Gidi

a) Ta

CO

Ax // D

t =

^ A

x // (Cz, Dt)

AB // D

C =

> A

B // (Cz, Dt)

Vi mp(Ax, By

) chii

a 2 duong

thang

Ax,

AB cat nha

nen (Ax, By) // (Cz, Dt)

Tuong tu (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Ma

t phan

g (a) ca

t 2 cap mat phan

g

song song (Ax, By) v

a (Cz, Dt)

; (Ax, Dt) v

a

(By, Cz) the

o ca

c gia

o tuyl

n A'B' // D'C,

A'D' // B'

C ne

n A'B'C'D' l

a hin

h bin

h hanh

Tuong tu

0' = BB'+DD'

Vay AA' + C

C = BB' + DD'

Bai toa

n 6 : Ch

C v

a A'B'C Chung

minh:

a) (IGK) /

/ (BB'C'C) b

) (A'GK) /

/ (AIB')

Hu&ng dan gidi

a) Go

i M va M' tuon

Theo tinh chat tron

= =>

IG //

BC ^ I

G // (BB'CC)

MB M'B'

va M M ' // BB' => IK // BB'

IK // (BB'C'C)

Vay (IGK) // (BB'C'C)

b) Goi E va F tuong ung la trung diem cua BC va B'C

B'E // CF => B'E // (A'CF) Ma AE // A'F ^ AF // (A'CF)

Do do (AEB') // (A'CF)) hay (AIB') // (A'GK)

Bai toan 7: Cho hinh hop thoi ABCD.A'B'C'D' c6 th ca cac canh dSu bSng nhau

Tren AB, DD', C'B' liy ba dikm M , N , P sao cho A M = D'N = B'P Chung

minh rang mp(MNP) song song mp(AB'D')

Theo dinh li Ta let dao, cac duong thang B C , MP, AB'

Tuong tu thi dugc M N // mp(AB'D') Vay mp(MNP) // mp(AB'D')

Bai toan 8: Chung minh rSng tong binh phuomg tat ca cac duong cheo cua mot

hinh hop bang tong binh phuong tat ca cac canh cua hinh hop do

Gidi

Ta biet trong mot hinh binh hanh, tong binh phuong hai duong cheo bang tong

binh phuong bon canh

Vai hinh hop A B C D A ' B ' C ' D '

Ap dung d6i vai 2 hinh binh hanh ACCA' va BDD'B'

AC^ + CA'^ = 2(AC^ + AA'^)

va BD'^ + DB'^ = 2(BD^ + BB'^)

Nen AC'^ + CA'^ + BD'^ + DB'^- 2 [ ( A d + BD^) + (AA'^ + BB"^)]

= 2[(2(AB^ + AD^) + 2AA'^] = 4(AB^ + AD^ + AA'^)

Vi 12 canh hinh hop chia lam 3 nhom song song va bang nhau => dpcm

Bai toan 9: Cho hinh chop S.ABCD c6 day la hinh binh hanh Mot mat phang (P) Ian

lugt cat cac canh SA, SB, SC tai A', B', C Goi O la giao dikm cua AC va BD; I la

giao diem cua A'C va SO Goi D ' la giao diem cua mp(P) voi canh SD

Trong mp(SAC), A ' C ck SO tai I Trong mp(SBD), B'l cat SD tai D'

Khi do D' chinh la giao diem cua mp(P) voi SD

Trong mp(SAC), v

e A

E // A'C

nen OE = OF

Suy ra:

Vay:

SA SB'

SC + SD'

a trun

g die

m cu

a SA, BC, CD Dun

g thiS

t die

n

cua hinh chop khi ca

t ba

i mp(MNP) v

Gidi

Duong thing NP cSt AD tai I va

ck

AB tai J,

N6i NL P

K th

i thi

Trong mp(ABCD), A

C ck

NP tai E

Trong mp(SAC), S

O ck

ME tai H thi H

la

giao diem cua SO vai mp(MNP)

c din

h thi^

t

dien ciia hinh chop khi ca

AB,

song song vai B

D v

a SA

C ta

i I Qu

a M, I, N ve cac duon

g thin

g

song song vai S

A lA

n lug

t ck

SB, SC, S

D ta

i R, Q, P

Thiet die

n l

a ngu

giac MNPQR

Cach khac: Ti

m gia

o die

m Q cua mat phan

g ca

t va

i

canh SC bang each noi gia

o die

m J cua M

N v

a B

C

vai R va keo dai ca

t S

C ta

i Q

Bai toan 12: Cho hinh lang tru tarn giac ABC.A'B'C Goi H la trung diem cua

canh A'B'

a) Chung minh rang duong thang CB' song song voi mp(AHC')

b) Tim giao tuyen d cua hai mat phang (AB'C) va (A'BC) Chung minh rang d song song voi mp(BB'C'C) Xac dinh thiet dien cat bai mp(H; d)

Giai

a) Goi I la tarn cua hinh binh hanh AA'C'C

Xet tarn giac A'B'C thi HI la mot duong trung binh

cua no, nen CB' // HI Mat khac H I nSm trong mat

phdng (AHC) nen CB' // mp(AHC')

b) Goi J la tam cua hinh binh hanh AA'B'B

Ta CO I , J la hai diem chung cua hai mat phang

(AB'C) va (A'BC) Vay giao tuyen d cua chiing

la ducmg thSng IJ Vi d // B'C nen d // (BB'CC)

Duong thang HJ ci\B tai M

mp(AA'C'C) cat mp(H; d) theo giao tuyin qua I

va song song voi AA'

Giao tuyen nay cat AC va A'Clan luot tai N va E Vay thiet dien la hinh binh hanh MNEH

BAI T A P T O N G H O P Bai tap 1: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh hai khoi tu dien boi mot mat phang

HD-DS

Ket qua Chon mat phang qua mot canh va cit mat d6i dien

Bai tap 2: Cho ba doan A A ' , B B \C nam tren 3 duong thang song song va khong

d6ng phang sao cho: AA" < BB' < C C Hay chia hinh da dien A B C A ' B ' C thanh mot hinh chop va mot hinh lang tru

HDDS

Qua miit cua doan ngan nhat A A ' , ve mat phang song song voi mat day kia

Bai tap 3: Cho khoil da dien loi H ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so

mat cua H thi s6 x(H) = D - C + M = 2

Chung minh tong so do caq goc cua cac mat la T = 2(C - M)7r

Bai ta

p 4 : Chun

g minh: i

Bai ta

p 5 : Ch

o die

m I nam tren ducm

g than

g d, duon

g than

g d nam tren ma

t

phang (P) Chun

h (P), d thanh

Bai ta

p 6 : Ch

o t

u die

n ABC

i M, N Ian lug

i A', B' l

a hin

h chiS

u cii

a A, B len CD

B

Chung min

h doa

n A'C = B'D' v

a A'D' = B

Bai ta

p 7 : Ch

o hin

h ho

p ABCD.A'B'C'D'

g son

g (B'D'C), duon

a B'D'C, ho

a pha

n ban

g nhau

g son

g (B'D'C)

Bai ta

p 8 : Ch

h AiC

i Tin

h t

i s

o JG,

Diem O goi la tdm vi lie, so k goi la ti so vi tu

Neu phep vi tu ti so k bien hai diem M, N thanh hai diem M\ thi

Bai toan 1: Chung minh rang phep v i t u bien moi duong thSng thanh mot duong

thang song song hoac trung v a i no, bien moi mat phang thanh mot mat phang song song hoac trung v a i mat phang do

Giai

- Gia su phep v i t u V t i so k bien duong t h i n g a thanh duong thang a' Ldy hai diem phan biet M , N nam tren a thi anh ciia chung la cac diem M ' , N ' nam tren a' Theo tinh chat cua phep v i t u thi M ' N ' = k M N

Do do hai duong thang a va a' song song hoac trung nhau

- Gia su phep v i t u V bien m p ( a ) thanh mp(a') LSy tren ( a ) hai duong t h i n g cat nhau a va b thi anh cua chung qua V la hai duong thang a' va b' nam tren ( a ' )

va Ian lugt song song hoac trung v o i a va b

Tu do suy ra hai mat phang ( a ) va (a') song song hoac trung nhau

Bai toan 2: Cho phep v i t u V tam O t i so k 1 va phep v i t u V tam O' t i so k'

Chung minh rang neu kk' === 1 thi phep hop thanh V ' o V la mot phep tinh tien

Gidi

Goi V la phep v i t u tam O t i so k, V la phep v i t u tam O' t i so k'

Voi moi diem M ta lay M i sao cho O M , = k O M roi lay diem M ' sao cho O'M' = k ' O ' M , thi phep hop thanh V ' o V bien diem M thanh diem M '

Taco: MM'=

M, + M,M'=

O

M, -O

M + O'M'-O'

M,

1 , OM0M

, +k'0'

M, -O'M, -1-

1 OM,+

(k'-l)

0'

M,

k

1 OM,+

(l-k')M,0'

Vi kk' =

1 ne

n k' = — ba

1

kJ iOM, +M,0' k-

1 OO'

o phe

p v

i t

u V tarn

O t

i s

6 k va phep v

i ti

r V tarn O'

o V Chun

g min

h rang:

a) C

o die

m 1 duy nhat sa

o ch

o F(I) =

b) F la phep v

i t

u ta

m 1 t

i s

o kk'

Gidi

a) Gi

a s

u F(I) =

1 D'lku

do xay ra khi v

a ch

i kh

i ng

u V biSn

1, tu

c la: n

k O

F = kOI thi O^

= k'O

^ hay:

OI-00'

=k'(

OI, -00') = k'(

k01-00')

— (l-k)OO' 1 = 0 '« 00 ') k 1 - = ( 01 kk') 1 - « (

1 kk

Vay diSm

i die

m M bdt ki go

i t

u V, M' l

i t

u V th

i F bien

M than

h M'

^ = kOM va O

^' = k'O'M, Ti

r d

o t

a c6:

lM' =

'M'-0'

l = k'0'M, -O'l

= k'(O

M, -00')-0'

l =

'(

kOM-00')-0'I

kk' OM

- k' 00' - O' 1 = kk' (01 + IM) - k' 00' - O' I

= kk' I

M + kk'

Ol k' OO' - 0

-1 + 00' = kk' IM

D v

a A'B'C'D' c

A'

C, AD //

A'D', C

B // C'B', B

D // B'D"

, D

C // D'C

Chung minh rang c6 mot phe

u die

n kia

Gidi

Vi A B // A'B' nen c6 s6 k ?i 0 sao cho A B = k A ^ '

Ta chung minh rang khi do ta cung c6

AC = k A ^ ' , A D = k A ^ ' , CB = k C B ' , BD = k B ^ ' , DC = k D ^ '

That vay, xet tam giac ABC va A'B'C c6 cac canh tuomg ung song song nen ta

phai CO cac so n va m sao cho AC = n A ' C va CB = m C B '

Khi do:

A B = k A ^ ' « AC - BC = k ( A T " ' - B T ' )

o n A C - B C = k ( A C - B C ) « ( n - k ) A ^ ' = ( m - k ) B ^ '

Vi hai vecta A ' C va B ' C khong cung phuong nen dSng thuc tren xay ra khi

va chi khi n - k = m - k = 0, tuc la n = m, vay AC - k A ' C va BC = k B ^ '

Cac dang thuc con lai dugc chung minh tuomg tu

Xet truong hofp k = 1

Khi do A B = A l i ' , BC = B ^ ' n e n A A ' = BB' = CC' =

Suy ra phep tinh tien theo vecta v = A A ' bien tu dien A B C D thanh tu dien

A'B'C'D'

Xet truong hop k ^ \ Khi do hai ducmg thing A A ' va BB' cSt nhau tai mot

diem O nao do

Suy ra phep vi tu V tam O ti s6 k biSn tu dien ABCD thanh t u dien A'B'C'D'

Bai toan 5: Cho tu dien ABCD DiSm M luu dong trong tam giac ABC Cac di6m

A', B', C l4n lugt thugc cac mat (BCD), (CAD), (ABD) sao cho M A ' // A D ,

MB' // BD, M C // CD Tim tap hop cac trong tam cua tam giac A'B'C

Giai

Ta chung minh: DA' + DB' + D C = 2 D M

Vi G la trong tam tam giac A'B'C nen

tap hop cac diem G la anh cua tam giac ABC qua phep

vi tir do

Bai toa

n 6 : Ch

AB ~ B

C ~ CD ~ D

A ~ AC " B

D ~

Chung minh hai t

u die

n ABC

D v

a A'B'C'D' d6n

g dang

Goi AiBiCi

Ta c6: A,B, = kAB, B,C

, = kBC, C,D, = kCD, D,A,

= kDA, A|C, = kAC, B,D

i =

A'C,

BiDi = B'D', d

Di v

a A'B'C'D' bSn

g nhau

Vay hai t

u die

n ABC

D v

a A'B'C'D' d6n

g dang

Bai toa

n 7 : Chun

h a va hinh lap phuong

MNPQ

M'N'P'Q' can

h b

Xet phe

p v

i t

u V tam

a MNPQ.M'N'P'Q' c

6 cun

g can

h b

nen bang nhau

Vay hai hin

h la

p phuon

g ABCD.A'B'C'D' v

a MNPQ.M'N'P'Q' d6n

dien duac goi la

khoi da dien loi

neu bat

ki hai diem A

va B

nao

cita no thi moi diem cua

doan thdng

AB cung thuoc khoi

do

- Khoi

da dien deu la

khoi da dien loi

co hai tinh chat

sau day:

(1) Cdc mat la

nhitng da gidc deu

va co cung so

canh;

(2) Moi dinh la

dinh chung cua ciing

mot so canh

Khoi da dien deu

ma moi mat la

da gidc deu n

cgnh va moi dinh

la dinh

chung

cua p cgnh duac

goi la khoi da

dien deu logi {n,

pj

- Co nam logi

khoi da dien deu:

khoi tu dien deu,

khoi lap phuong, khoi

tdm

mat deu, khoi muai

hai mat deu, khoi

hai muai mat deu

Khoi tu dien deu

la logi (3; 3};

Khoi bat dien deu

la logi (3; 4}

Khoi lapphuang

Id logi (4; 3};

Khoi 20 mat deu

la logi {3; 5}

Khoi 12 mat deu

la logi {5; 3}

Khoi tu dien deu Khoi bat dien deu

>

/

Khoi lap phuang

Chiiy:

De chirng minh khoi da dien (K) la khoi da dien deu, ta cd the dung dinh nghia

cm 1 trong 5 loai khoi da dien hogc dung phep vi tu, khoi (K) la dnh cua khoi da dien deu nao do

Bai toan 1: Hai dinh cua mot khoi tarn mat deu dugc goi la hai dinh doi dien neu

chung khong ciing thuoc mot canh cua khoi do Doan thang noi hai dinh doi dien goi la duong cheo cua khoi tarn mat deu Chung minh rang trong khoi tam mat deu thi ba duong cheo cat nhau tai trung diem cua m o i duong; doi mot vuong goc v a i nhau va bang nhau

Giai

Gia su A B C D E F la khoi tam mat deu Ba duong cheo

ciia no la EF, A C va B D B6n diem A , B , C, D each dhn

hai diem E va F nen cung nam tren mot mat phang

Vay A B C D la hinh thoi, ngoai ra E each d8u A , B , C, D

nen hinh thoi do la hinh vuong

Suy ra hai duong cheo A C va B D cSt nhau tai trung

diem ciia moi duong, chung vuong goc v o i nhau va c6 do

dai bang nhau

Tuong tir doi v o i cac cap duong cheo con lai

Bai toan 2: Cho hinh bat dien d6u A B C D E F T i m :

a) Tam doi xung b) Mat doi xung c) True doi xumg

a 9 mat

phang d6i xung: b

a ma

t ph^n

g (ABCD), (BEDF)

,

(AECF) v

a 6 mat phang, mo

a tru

e cu

a

mat (ABCD), (BEDF)

, (AECF) v

a 6 duong

thing

di qu

a 2 trung

diSm cua 2 canh

song song

Bai toa

n 3 : Ch

o hin

h t

u die

n ABCD Go

i A', B', C, D' Ia

g min

h rkg hai t

g l

a t

u

dien deu

Gidi

Goi G la trong tam cua t

u die

n ABCD

vi t

u V tam

G, t

i s

o k = -

— bie

n ca

c die

m A, B, C, D Ian luot than

h ca

c

diem A, B', C, D' Va

y V bik tu dien ABCD

thanh tu dien A'B'C'D' ne

n 2

tu

dien

do dong dang =>

dpcm

Bai toa

n 4 : Ch

o kh6

i la

p phuon

g ABCD.A'B'C'D'

Chung minh ACB'D' l

a kho

i t

u die

n deu

= CD' = CB' = B'D' =

a V2

Vay ACB'D' l

m ma

t deu

Gidi

Goi

M,

N, P, Q, R, S

Khi do, tarn tam giac MPR, M R Q , M Q S , MSP,

NPR, NRQ, NSP la nhung tam giac deu, chung lam

thanh khoi.da dien vai cac dinh la M , N , P, Q, R, S

ma moi dinh la dinh chung cua bon canh

Vay MNPQRS la kh6i tam mat d6u

Bai toan 6: Chung minh tam cac mat cua mot khoi tam mat deu la cac dinh cua

mot khoi lap phuong

Gidi

Cho kh6i tam mat dhu SABCDS'

Goi M , N , P, Q, M ' , N ' , P', Q' \kn lugt la

trong tam cua cac mat S A B , SBC, SCD,

SAD, S'AB, S'BC, S'CD, S'DA thi cac t u

giac MNPQ, M'N'P'Q', M N N ' M ' , PQQ'P',

NPP'N', M Q Q ' M ' dku la hinh vuong va moi

dinh M , N , P, Q, M ' , N ' , P', Q' dku la dinh

chung cua 3 canh

Vay MNPQ.M'N'P'Q' la kh6i lap phuong

Bai toan 7: Cho t u dien deu A B C D canh a Goi M la tmng diem C D Tinh goc

giira hai duong thang A B va C D , BC va A M

1

= — (a^

+ a.a.cosGO

" a.a.cos60

° a.a.cos60°) =

—

ma B

C =

a, AM = ne

n cos(BC,AM) =

1

h ban

g a Tin

h klioan

g

each giiia hai duon

g lhang:

a) AA' v

a DB' b) B

C v

a CD'

/ mp(BB', DD'

)

nen d(AA'; DB'

) d(AA', (BB'

-, DD') = d(A; (BB', DD')

a B

C na

m tron

g mp(A'BC') V

i ma

t phan

g (ACD')

va (A'BC) la

n lua

t ta

i G, G' th

i D

G = GG' = G'B'

Vayd(CD'

;BC')=

^ =

^

B'

C

DANG TOAN

3

ON TAP QUAN

HE VUONG

GOC

Dinh nghia vuong goc

a Lh khi g(a,

b) = 90"

a ±

(P) khi

a vuong goc v&i

moi duang thang ciia

(P)

(P) ± (Q) khi

goc cua

2 duang thdng a,

b Idn luat vuong

1 (P)

Niu (P)

chita 1 duang thdng

vuong goc

vai (Q)

thi hai mat phang

(P)

1 (Q)

Niu (P)

L (Q), (P) n

(Q)=^ A vdaci(P),

a 1.

A thi

a 1

(Q)

Cho b' la hinh chieu cua b len (P), vaa a (P) Neu a ±b thia ±b'va nguac Igi

Cdc hinh khoi

-Hinh chop deu: Day da gidc deu va cdc cgnh ben bang nhau Hinh chieu cua dinh la tarn cua day Trung doan cua hinh chop deu la doan noi dinh vai trung diem ciia cgnh day

- Hinh Idng tru deu: Day da gidc deu vd cdc cgnh ben vudng gdc vai day (Idng tru dung)

- Hinh hop chit nhgt: hop dicng vd cd day Id hinh chif nhgt

- Hmh lap phuang: Hinh hop chu nhgt cd 3 kich thuac bdng nhau

Gdc giu'a dir&ng thang va mat phang

- Gdc giua 2 duang thang Id gdc hap bai 2 dudmg thang ciing di qua mot diem

va Idn lugt song song vai 2 dudmg thang da cho

- Gdc giira 2 mat phang la gdc hap bai 2 dudmg thang Idn lugt nam tren 2 mat phang vd vudng gdc vai giao tuyen

- Gdc gi if a duang thang vd mat phang Id gdc giita duang thang dd vai hinh chieu ciia nd len mat phang Dac biet neu duang thang vudng gdc vai mat phang thi cd sd do 90"

Khodng each giira diem, du&ng thang vd mat phang

- Khodng each tit 1 diem den 1 duang thang Id dogn vudng gdc hg tit diem dd den dudmg thang

- Khodng each tit I diem den 1 mat phang Id dogn vudng gdc hg tic diem do den mat phang

- Khodng each giita 2 yeu to song song la each tit 1 diem cua yeu to ndy den yeu to kia

- Khodng each giira 2 duang cheo nhau la dd ddi dogn vudng gdc chung, ciing

Id khodng cdeh lit duang thang ndy den mat phang song song chita duang kia

Chiiy:

1) Dung them quan

he vecta

de giai toan

2) Neu mot hinh

c6 dien tich S

nam tren (P) c6

hinh chieu len (Q)

vai dien

tich

S'thi: S'= S.cosa, a

Id goc giita 2

mat phdng.

Tit do suy ra each tinh

goc giita

2

mat phdng nha dien

tich

Bai toa

n 1 : Ch

a) Chun

g min

h S

A 1 (ABC)

b) H

a A

H 1

SB, AK _L

SC s

Chung minh (AHK) 1

b) T

a C

O A

B 1 BC nen duong

xien SB

^ (SBC) ± (SAB)

Vi AH vuong

H c (AHK) ne

n (AHK) ±

H vuon

g go

c va

i (ABC) Chun

g minh:

b) ^ =

T- + +

OH-

OB- OC'

A vuon

g ta

i O nen:

AB^

= OA

^ + OB^

BC^

= OB

^ + OC^

AC^

= OA

^ + OC^

Do do BC^

< AB

^ + AC^

nen goc B ciia

tam giac

ABC la goc nhon Tuan

Vi H la hinh chi

k cu

a dil

m O tren mp(ABC

) ne

n O

H 1 (ABC)

Ma OA

1 (OBC) ne

n O

A 1 BC do do hinh chiSu AH

1 BC

Tuong tu thi B

H 1

CA Va

y H la true tam tam giac ABC

b) Ngu AH J BC tai A' thi BC J OA* Vi OH la ducmg cao cua tam giac vuong

AOA', vuong tai O va OA' la duong cao cua tam giac vuong BOC, vuong tai O nen:

• +

OH' O A ' OA'' OA' OB' ' OC'

Bai toan 3: Cho hinh chop S.ABC c6 SA L mp(ABC) va tam giac ABC khong

vuong Goi H va K Ian lugt la true tam cua cac tam giac ABC va SBC

Chung minh rSng:

a) AH, SK, BC d6ng quy

b) HK 1 mp(SBC); (SAC) 1 (BHK)

Gidi

a) Goi AA' la duong cao cua tam giac ABC, do

SA 1 (ABC) nen SA' 1 BC Vi H la true tam tam

giac ABC, K la true tam tam giac SBC nen H thuoc

AA', K thuoc SA'."

Vay AH, SK, BC d6ng quy tai A'

b) Do H la true tam tam giac ABC nen BH ± AC, ma BH 1 SA nen BH J_ SC

Ma K la true tam tam giac SBC nen BK _L SC

Vay SC 1 (BHK).Suy ra HK 1 SC

Ma HK 1 BC do BC 1 (SAA') Vay HK 1 mp(SBC)

Vi K la true tam cua tam giac SBC nen BK ± SC Vi H la true tam cua tam

giac ABC va SA 1 (ABC) nen BH 1 AC, BH 1 SA

Suy ra BH 1 (SAC) nen BH ± SC

Do do SC 1 (BHK) nen ta c6 (SAC) 1 (BHK)

Bai toan 4: Cho tu dien ABCD, goi P, Q ikn luat la trung dikm cua AB va CD

Chung minh rang PQ la doan vuong goe ehung cua AB va CD <=> AC = BD

b + c) =

a-b + c) =

0

= 0 c) b + a- ( c) + b + (-a +

(-a +

b + c)-(a-b+c) PQ.c =

0

= 0 jPQ

IC

D

PQ(b-a) =

0 [PQI

AB

Gidi

Bai toa

n 5 : Cho hin

B = 2BC, S

A vuon

g go

c vo

i day

Chung minh:

a) (SBC) 1 (SAB)

b) (SCD) 1

(SAC)

a) Ta

Do d

o (SBC) 1 (SAB)

b) Go

i O

la trun

g dilm A

D

thi O

A = A

B =

BC

va O

A // BC, t

a c

6 go

c A, B vuong ne

n OBC

D l

a hin

h vuong

Do d

o O

B 1 A

D 1 (SAC) Va

y (SCD) 1 (SAC)

Bai toa

n 6 :

a trun

g dilm cua BC BB'

a c6: C

C 1 (ABC)

Do do: C

C 1 A

I Su

y ra: A

I 1 (BCC)

Vay

AI 1 B

C

Ta d

a c6: BC

1 AI Ma

t khac, BCCB' l

a hin

h

vuong can

h a nen BC ± CB' IM

n I

M // CB'

Tu

do t

a c6: B

C 1 I

M

Ta su

y ra: B

C 1 (AIM) Vay: B

C 1 A

M

b) Hinh chi6u A M len (A'B'C) la A'B'

Tarn giac A'B'C dku nen C'N ± A'B' ma JK // C'N nen JK ± A'B'

Vay A M 1 JK

Bai toan 7: Tarn giac ABC vuong c6 canh huySn BC nkm trong mp(a), canh A B

va AC Ian lugt tao vai mp(P) cac goc (3 va y

Goi a la goc tao bai mp(P) va mp(ABC)

Chung minh sin^a = sin^P + s i n \

G i d i

c ->

Ha AA' vuong goc voi mp(P) thi A B A ' , ACA'

Ian lugt la goc giua AB, AC voi mp(P), theo gia

Mk ABA' = p, ACA' = y

Ha duong cao AH cua tarn giac vuong ABC thi A'H ± BC

nen AHA' = a la goc giua mp(ABC) va mp(P)

^ , „ AA' AA' AA'

Trong tam giac vuong ABC, ta c6:

Bai toan 8: Cho tu dien ABCD c6 BC = A D - a, AC = BD = b, AB = CD = c

Tinh cac goc a la goc giiia BC va AD; p la goc giiia AC va BD; y la goc giua

AB va CD Chung minh rang trong ba so hang a^cosa, b^cosp, c^cosy c6 mot

so hang bang tong hai so hang con lai

Gidi

Ta c6: BC.DA = BC(BA - BD) = BC.BA - BC.BD

= ^ ( B C ' + B A ' - C A ' ) - ^ ( B C ' + B D ' - C D ' )

2 c ' - 2 b ' c ' - b ' Nen: cos(BC,DA) =

2a'

Tuong tu nhu tren, neu goi P la goc giiia AC va BD thi:

cosp - a ' - c ' • b ' cosp = a ' - c '

39

Vai a, b, c la do dai cu

a BC, CA, AB, t

a c

6 th

e xe

t a > b > c

thi

a cos

a = c'-b' ; b'cosp

= a^-c

^

b -a y = ; c"cos

Tir do, tron

+ c^cosy

Bai toa

n 9 : Ch

C = A

D = BC = B

D =

a v

a C

D = 2x

b) Xa

c din

h x

sao cho (ABC) vuon

g go

c vo

i (ABD)

Gidi

a) Gp

i I va

Tam giac ACB can dinh

D ± (AJB) ne

n IJ ±CD

a (ABD) l

a CI

D = 2Cij

(BCD) ± (ACD) v

a B

J ± CD

BJ ± (ACD)

> x ) =

2

I

2 ,

Do do: (ABC) ±

(ABD) » CIJ =

>

a'

- X"

= X

cj>

3x^ = a^

a, can

h

SA vuong

goc va

i ma

t phan

g (ABCD) v

a S

A =

a Go

i I la trung diem

cua can

h

SC va

Tinh khoang

each tu

I de

n (ABCD) v

a de

n duon

g than

g CM

a 1

0 // S

A

do do 10

± (ABCD

) ne

n

SA _ a

~ 2'

d(I; (ABCD)) =

10 =

Ha IH ± C

IH

Goi N la trung diem cua can

h CD