Phuong phap giai toan giai tich to hop va xac suat (NXB dai hoc quoc gia 2011) ha van chuong, 247 trang (NXPowerLite copy)

Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” là một phần của “ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không

PHUONG PHAP GIAI TOAN

Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” là một phần của

“ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi

Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng

“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thức Newton”

Về phân xác suất, học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác

suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi Cao đẳng và Đại học Qua nhiều năm giảng dạy ở THPT và Luyện

thi Đại học Chúng tôi viết cuốn sách “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ

XÁC SUẤT” này nhằm giúp các em có một hệ thống bài tập từ

thấp đến cao, giúp các học sinh phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”, khi nào dùng “chỉnh hợp” Tính xác suất các biến cố, một cách hệ thống để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán

Mặc dù đã cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi những

thiếu sót Rất mong sự góp ý của các em học sinh và độc giả, để

lần tái bản sau sách được hoàn thiện hơn Rất cảm ơn

Tác giả

Hà Văn Chương

II NGUYÊN LÍ CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM

1 Quy tắc nhân

Một hành động H gồm có các hành động liên tiếp A, B, C và nếu có

m cách thực hiện A, n cách thực hiện B, p cách thực hiện C, thì ta

có m x n x p cách thực hiện H

Quy tắc cộng

Một hành động H gồm có hoặc là hành động A, hoặc là hành động B, hoặc là hành động C và nếu có m cách thực hiện A, n là cách thực hiện B, p cách thực hiện C thì ta có m +n + p cách thực hiện H

IV NH] THUC NEWTON

— Ta có :

+ (a+b) = Cða" +Cl +Cla" !b+ + Cta" - bV + + Cập"

"

xẻ > Ghat kbk k=0

+ (a=b}" = Coa” - Cla" 'b+ +(-1) Cha" Kb* + + (-1)" Cb"

Mỗi cách xếp đặt n phần tử trên một đường tròn theo một thứ tự nhất

định, được gọi là một hoán vị tròn phần tử

2 Số hoán vị n phần tử là P„ = (n -1)!.

CAC DAU HIEU CHIA HET

Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Số chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành chữ

Giả sử bài toán đúng với n = k (k € Zk > 3), tlic la taco: k! > 2*' (1)

Ta chứng minh bai toán đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh

(k + 1)! > 2,

Nhan hai vé cua (1) cho (k + 1), ta cd: kk + 1) > 2"! (2

9 Chung minh rang sn! > 2 ned ve a

k

(k Tacé tk += kik + > + DỊ )

Giai Xét một hộc có 8 ô trống CL] |

C6 7 cach lay chit sé 0 bo vao hoe (do a, # 0)

Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do con 7 hoc trống

Gọi n = ajayaya, 1a sé can lập

Taco: 9 cach chon a (via 4 0)

9 cach chon ay

8 cach chon a;

7 cách chon ay

Vay tacd: 9x 9x 8 x 7 = 4586 son

14 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, lập nên từ các chữ số

1,9,3, 4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện sau :

a) Bất đầu bởi chữ số 5 b) Bất đầu bởi chữ số 1

Giải

a) Goi n = ajava,aya; là số cần lập

Ta có: 1 cach chon a, (vi a, = 5)

4 cach chon a, (vi a, # a))

3 cách chon ay

2 cách chon a,

1 cách chon a;

Vậy ta có: 1x4x3>x2x1= 24 số n

b) Goi n = ajavayaya; 1a s6 can lap

Ta có : 4 cach chon a, (vi a, +1

c) Goi n = ajavayaya; la sé can lap

Vì hai số đầu là 23 nên ta chỉ chọn ba số sau

Giai Gọi n = aiasa;a¿a; là số cần lập

Vi n chan, nén a; chan = a, © I0, 2, 4) Có hai trường hợp :

2 cach chon ax

1 cach chon ay Vậy ta có:1x4x3x2x1= 24 số n

Tổng cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n thỏa yêu cầu bài toán

Goi n = ayaa,a, là số tự nhiên cần lập

Bước 1 : Tính số các số n có bốn chữ số (không chú ý đến điều kiện

không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần)

Chọn a, = a; = a¿, có 1 cách (a; lặp lại 3 lần)

Chọn a¿, có 9 cách (vì a¿ # ai)

Đề thì tuyển sinh ào ĐH An nình - khối D - 200;

Giải

Có 4 cách chọn cho mỗi ngày

Vậy số cách chọn 6 ngày trong tuần là :

a) Có bao nhiệu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ?

b) C6 bao nhiêu số chẩn gồm 6 chữ số được tạo thành ?

: Đề thi tuyén sinh oào ĐH Huế - 1995

Giải a) Goi n = aia;a;a¿a;as là số cần lập

Trong một tuần lễ, bạn A dự định mỗi đêm đi thăm người bạn trong

12 người bạn của mình Hỏi A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ hai chọn 1 trong 11 người bạn để thăm, có 11 cách

Đêm thứ bảy chọn 1 trong 6 người bạn để thăm, có 6 cách

Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số

khác nhau từ năm chữ số đã cho, sao cho :

hoán vị ba chữ số 1, thì n không đổi) Do đó ta chỉ có = =ð880 số n

thỏa yêu cầu bài toán

Cho chín chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số, được rút ra từ chín chữ số nói trên

Giải Gọi n = aia;asa;a;as là số cần lập Ta có bốn trường hợp :

28 Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 học sinh

trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Ta có C? cách chọn hai ô để xếp chữ số 2 vào

Mỗi cách xếp hai chữ số 2, còn năm ô trống, mỗi ô trống có hai cách

xếp 1, 3 vào Vậy ta có 2” cách xếp 1, 3 vào hai ô trống

Bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ?

Bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm năm chữ số khác nhau ?

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4 5, 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm năm chữ số

lấy từ bảy chữ số trên sao cho

Chữ số đầu tiên là 3 b) Không tận cùng bằng chữ số 4

b) Số các số tự nhiên có năm chữ số lấy từ bảy chữ số cho trên :

m _am-l yam ly aml m1, qm-l

= Cp =Chy +tÊn ; ti g + trÊm + Cnc

Ta dé dang ching minh duge : C? - = ce L+Ot + CR'3+ + ce 1

Suy ra: Chg = C82 + Ch +Ch l + CN] nel nà]

Cho k= 4, ta có: CẢ ned > +h + Ơi + Ch + + C3 + Ch + CY Thế công thức ta có :

3! 4! 5! (n =2)! (n + 3)!

ef ees 013! 1a! 213! 7 3n am —D! i sft rag EO,

Nhân hai vế cho 3! ta có :

42 Chứng minh rằng nếu n và k 1a hai sé tu nhién thoa 0 < k <n thi

Dé thi tuyen sink’ vao truaug DH Y Duoe TPLHCM - 199

Giai Đặt uy = 3n ck2n -k Cy với k thay đổi từ 0 đến m; k e N

Ta chứng mình dãy (tuy) giảm

That vay : Bet <y © (2n+k+41(n-k) <(n+k + 1/2n - k)

ak

© 2nk + n >0 hiển nhiên đúng vì 0 < k < n

Do đó day (u¿) giảm

Từ đó ta suy ra k >0 thì uy <uy ©> C? C3, ¿ < (C?u)”

Thật vậy, ta chi cần chứng mình Chị < Đi

Voik = 0,1, 2 1999 ta có bất đăng thức cần chứng minh tương đương

Đăng thức xay ra => k = 999 hay k = 1000

Cộng (1) va (2) vé theo ve ta c6 + Chay, + Chgoy < C00 4 Ch

Dang thie xay ra = k = 1000

47 Chung minh rang: n"*' nel > (n+ 1)" với moi n € Z*, n > 3

49 Gọi n là một số nguyên dương cố định, chứng minh rằng C‡ lớn nhất

nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá ^” 4

Đề thi tuyển sinh uào trường ĐH Vinh - khéi A, B - 2001

55 Dinh x va y sao cho Cf x+1 nOyt OY 26 1609

58 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh

để xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh Hỏi có bao

Giải

— Chọn 3 học sinh trong 11 học sinh, ta có : CG, = 165 cach

— Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ, ta có : Cỷ = 4 cach

Vậy số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam là :

Đề thi ĐH - khối D - 2006

Giải

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Cƒ, = 495 cách

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau :

+_ Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh là :

Đề thị tuyển sinh ào ĐH Y Hà Nội - 2000

Giải

Ta có ba trường hợp sau :

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí

nam là : CẠC}C} =5x3x 4 =60 cách

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là CẬC} =12 cách Tổng cả ba trường hợp trên ta có : 60 + 18 + 12 = 90 cách

61 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra ð người, sao cho :

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó ?

b) Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Đề thị tuyển sinh vao DH Thái Nguyên - khối A, B - 2000

— Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam, nữ trong 15 học sinh, có Cộ;

— Số cách chọn 6 hoc sinh toàn là nam, có Cộo

— Số cách chọn 6 học sinh có 5 nam, 1 nữ, có Cặo Cs

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ là :

: Cổ; (Cặo + Cio-Cis) = 5413695 cach

63 Cho tập X có 10 phần tử khác nhau Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chắn các phần tử

Đề thì tuyến sinh uào ĐH Nông nghiệp - khối B - 2000

CHax=1 = Cif -Cly +e?) +c, + + 18x70 = 0

64 Có hai đường thẳng song song (d;) và (d;) Trên (d,) lấy 15 điểm phân

biệt, trên (d,) lấy 9 điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm ấy

Giải

Có hai loại tam giác tạo thành :

a) Tam giác có 1 đỉnh trên (dị) và 2 đỉnh trên (d;)

Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d,), có Cš cách lấy 2 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : 15C = 540 tam giác

b) Tam giác có 2 đỉnh trên (d,) và 1 đỉnh trên (d;)

Có C7; cách lấy 2 đỉnh trên (d,), 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : och = 945 tam giác

Theo quy tắc cộng, ta có : ð40 + 945 = 1485 tam giác

A đ, B cd,

B Cc A

65 Một chỉ đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chọn ra một tổ

công tác có 5 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất

1 nữ

Dé thị tuyển sinh uào trường ĐH Y Hà Nội - 1998 Giải

Số cách chọn ð đoàn viên bất kì là Cỗ,

Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là Cỹu

Vậy số cách chọn 5 đoàn viên có ít nhất 1 nữ là :

1 !

C8, = 0%, = 20L _ 10! 505 esen B15! 5!5!

66 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ Cô giáo muốn

chọn ra một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và

2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Dé thị tuyển sinh uào trường CĐSP Hà Nội - 1999

Giải

Số cách chọn 3 em nam va 2 em nit: C3)Cip

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là :

_61 Một đội cảnh sát có 9 người Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại

địa điểm A, 2 người làm tại địa điểm B, còn lại 4 người trực đồn Hỏi

có bao nhiêu cách phân công

Dé thi tuyển sinh uào Học vién Quan sự - 2000

Giải

Số cách phân công 3 người tại điểm A : g

Số cách phân công 2 người tại điểm B : CZ

Số cách phân công 4 người còn lại : 1

Vậy số cách phân công là : C3.CZ = 1260 cách

Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, có Co cách

Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia

nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác

Đề thi tuyển sinh uào trường ĐH Kiến trúc Hà Nội - 1998

a) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người từ 12 người đó, không

phân biệt nam, nữ

b) Có bao nhiêu cách chọn một tô gồm 8 người từ 12 người, sao cho tổ có

ít nhất 1 nữ

e) Có bao nhiêu cách chọn một tỏ gồm 8 người nam

Giải a) Chọn 8 người trong 12 người là số tổ hợp 8 chập 12 :

Z1 Cho đa giác lôi n cạnh

a) Tìm số đường chéo của đa giác này

b) Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác

c) Tìm số giao điểm của các đường chéo Biết rằng không có ba đường

chéo nào đồng quy

Giải a) Cứ nối hai đỉnh của tam giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n

giác Do đó tổng các đường chéo là CẢ

Suy ra số đường chéo của n giác là : Cỷ -n = 5 -n= age),

21n -2)! 2

b) Số tam giác tìm được là Cỷ

c€) Cứ một đỉnh từ n đỉnh của n giác, tạo thành một tứ giác lồi nên có

một giao điểm của hai đường chéo

Vậy số giao diểm của các đường chéo của đa giác là Cá

72 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn

ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong

số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu

Giải

Để 4 viên bi lấy ra không đủ ba màu, có các trường hợp sau :

Cả 4 viên đều vàng, ta có C§ = 5 cách chọn

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc trắng, ta có C‡ = 5 cách

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc vàng, ta có C? = 35 cách

Trong 4 viên bi chỉ có trắng hoặc vàng, ta có C§ = 70 cách

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là : 5 + 5 + 35 + 70 = 115 cách

Có bao nhiêu tập hợp con của A ?

C6 bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn ?

Đề thi tuyển sinh uùo trường ĐHSP TP.HCM - 2001

Đâu tiên, chọn 4 trong 12 học sinh cho để một, có Cƒ, cách Tiếp đến,

chọn 4 trong 8 học sinh còn lại cho dé hai, có C§ cách

Các học sinh còn lại làm đề ba

Cho tập hợp A gồm n phản tử (n > 4) Biết rằng, số tập con gồm 4

phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A

Tìm k e {1, 2, ., n} sao cho sé tap con gồm k phần tử của A là lớn nhất

Đề thi ĐHQG - khối B - 2006

Giai

Số tập con cé k phan tu cua A bang Ck

Từ giả thiết suy ra : CẬ = 20C? = n® - 5n - 234 =0

tên Cl <C?, « <cO = C= CQ o> GIỀ

Vậy, số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9

76 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để dự đại hội học sinh ưu

tú toàn quốc Có mấy cách chọn :

Tùy ý

Sao cho hai học sinh A và B không cùng đi

ce: Sao cho hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi

a' Mời 3 trong 11 người, có Cj, cách

Mời 4 trong 11 người, có Cf, cach

Tương tự cho khi mời 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, trong 11 người Vậy ta có :

b) Mời 1 nữ trong 6 nữ, 2 nam trong 5 nam, ta có C¿C? cách

Mời 2 nữ trong 6 nữ, 3 nam trong 5 nam, ta có CậC? cách

Mời 3 nữ trong 6 nữ, 4 nam trong 5 nam, ta có CặC? cách

Mời 4 nữ trong 6 nữ, 5 nam trong 5 nam, ta có CC? cách

Vậy ta co : ChC? + C2C3 + CRC} + CCB = 325 cach

78 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?

c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu cuối ?

Giải

a) Chọn tùy ý trong 10 câu ta có CŸ, = 45 cách chọn

b) Vì có 3 câu đầu bắt buộc, nên phải chọn thêm 3 câu trong 7 câu đầu còn

lại, ta có CỆ = 21 cách

c) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có C§ cách

Tiếp theo, chọn 4 trong 5 câu sau có C¿ cách

Vậy theo quy tắc nhân ta có : CC? = 25cách

79 Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn ra một đoàn

đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành

viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích

Đề thị tuyển sinh uào ĐHQG TP.HCM - 1997

Giải

— Số cách chọn 1 trưởng đoàn : 12 cách

— Số cách chọn 1 thư kí : 11 cách

— Số cách chọn 3 thành viên : C?; = 120 cách

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu : 12 x 11 x 120 = 15840 cách

80 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình

a)

b)

Trong to phai cé mat tat ca nam lan nu?

Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tô viên, hơn nữa An và Bình không

đồng thời có mặt trong tô

Đề thì tuyển sinh ĐỊT Kinh tế TP.HCM - 200

Chọn tùy ý 6 người trong 14 người, ta có Cý, = 3003 cách

Chọn An và Bình rồi chọn thêm 4 học sinh trong 12 học sinh còn lại

ta có C‡, cách

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó An và Bình không đồng thời cc

mật là Cỹ, - Cƒ,

Với 6 học sinh đã chọn xong, ta có 6 cách chọn ra 1 tô trưởng

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là :

6(Cÿ, - Cj„) = 15048 cách

81 Cho tập A có n phần tử, n > 7 Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phar

tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A

Cho tap hợp A gồm n phần tử, n > 4 Tim n, biét rang trong sé cdc tay

con của tập A có đúng 16n tập con có số phần tử là số le

Đề dự bị khối A - 200: Giải

Số tập hợp con của A là : C? +C) + C2 + + CC) =2"

3