Boi duong giai tich lop 12 (NXB dai hoc quoc gia 2008) pham quoc phong, 238 trang (NXPowerLite copy)

Bồi dưỡng Hình học 12 do cùng một tác Cũng như các cuốn trước đó, Bồi dưỡng GIẢI TÍCH 12 có những đặc điểm sau: $ Hệ thống thí dụ được chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình và khai thác t

PHAM QUOC PHONG

BOI DUGNG

GIẢI TÍCH 12

® DÙNG CHO BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

® ÔN LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP THPT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LOI NOI DAU

Cac ban dang cém trong tay một trong các cuốn sách thuộc bộ sách Bồi dưỡng

Toán THPT (bao gom Bồi dưỡng Đại số 10, Bồi dưỡng Hình học 10, Bồi dưỡng Đại

số & Giải tích 11, Bồi dưỡng Hình học l 1 Bồi dưỡng Hình học 12) do cùng một tác

Cũng như các cuốn trước đó, Bồi dưỡng GIẢI TÍCH 12 có những đặc điểm sau:

$ Hệ thống thí dụ được chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình và khai thác tối ›

đa các góc cạnh của mỗi phần kiến thức nhằm giúp các bạn nắm vững nội dung chương trình Nhiều thi du moi me, ud 1a di tre cla cuốn tài liệu

Thứ tự thí dụ được trình bày theo trật tu tir co ban dén ndng cao, tit nhitng bai

toán đơn giản đến bài toán phối hợp nhiều kĩ năng

® Nêu bật các đựng là kết quả của sự khái quát hod xdu chudi nhiéu bài toán; Dua ra các thuật toán giải chúng đó là điều có được của quyển sách này

® Cát nghĩa phương pháp giải, vậch rõ bản chất bài toán, bản chất lời giải,

liên kết-xâu chuỗi các bài toán là vị trí của những fời bình

® Cuốn sách có 4 chương được biên soạn sát đúng với kiến thức chương trình Giải tích lớp 12 của Bộ Giáo dục và Đào tạo bắt đầu áp dụng từ năm học 2008 -

2009 để các em học sinh thuận lợi ôn tập, củng cố kiến thức của mình sau mỗi" buổi học trên lớp Tat, ca các chứng minh nêu trong sách được khai thác từ những kiến thức cơ bản được biên soạn trong SGK

Trong cuốn sách có trình bày :

* Phương pháp không dạo hàm Đó là những kinh nghiệm kết tỉnh trong quá trình dạy học làm cơ sở cho phép đoán thông mình khi trả lời trắc nghiệm

* Điểm hẹn, nút khơi thông bí mật về các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị

* Dưới ánh sáng hình học, lớp các tích phản đặc bit thấy càng rõ hơn

® Sau môi phần, sách có hệ thống bài tap thong thich để các bạn rèn luyện và hoàn thiện hiểu biết của mình Nên nhớ rằng, kiến thức chỉ trở thành hồng cầu trong cơ thể bạn, nếu bạn thấy mình vượt qua được các bài tập ấy (Bạn chỉ nên sử dụng phần hướng dẫn giải bài tập ở cuối sách để đối chiếu kết quả, hoặc tham khảo cách giải khác, sau khi đã phát huy hết mọi nỗ lực tự giải của mình).'

Mạc dù đã rất cố gắng, cuốn sách vẫn có thể còn những hạn chế và thiếu sót bởi kinh nghiệm và sự hiểu biết Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả theo địa chỉ sau:

Chương | UNG DUNG DAO HAM _

DE KHAO SAT VA VE 80 TH! HAM SO

§1 CAC KIEN THUC CAN NHO

x

Đạo hàm các hàm số sơ cấp Đạo hàm các hàm số hợp

[6 (sinx)' = cosx (sinu)' = u'.cosu

(tan v)"= — Ủ 3141802 x we =u'(l+tan? uv)

L—

2 Định lý La-grăng

e Định lý

Nếu hàm số y = #a) liên tục trên đoạn

{[a; b] và có đạo hàm trên khoảng (4; ở) thì

tồn tại một diém ce (a; b) sao cho

Nếu hàm số y = Ax) thoa mãn các giả thiết của định lý thì trên trên cung AB của

đồ thị đồ thị tồn tại điểm C, tại đó tiếp tuyến song song với dây cung 4B

3 Tiếp tuyến của đồ thị

3.1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

Hệ số góc của tiếp tuyến của đỏ thị (4) : y = Ẩx) tại tiếp điểm (xụ: vụ) là œ4(v¿) = 0%) 3.2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (xọ: vo) của đồ thị (): v =Ẩxy)lày=./(~ xao) + do

§2, CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1 Đồng biến và nghịch biến

Cho hàm số y = fix) xac dinh trén khoang (a; 5) Kí hiệu f(x) 1a dao ham: c: ấp |

của #x) trên | Khoang a ay

s Hàm số đồng biến trén (a; b) <> f(x) > 0 Vxe (a: 6) Dấu đăng thức meu cd thi chi xay ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi

s Hàm số nghịch biến trên (a; b) «> S(x) $0 Ve (a: b) Dau đăng thức miếtu có

thì chỉ xây ra tại mhột số điểm hữu hạn mà thôi

° Đồng biến trên khoảng (ø; ở), nghịch biến trên khoang (a; ở) gọi chung là đơn điệu trên khoảng ay

Chúng ta đã có định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Tổng quát với đa thức bậc n :

P(X) = px" + Ay x ' + tax? + aix + ấp (a,# 0)

Các bạn ghi nhớ két quả sau : `

~ Các nghiệm của P(x) chia truc Ox ra lam nhiều khoảng

Irong mỗi khoang đa thức /(x) luôn có cùng một dấu Dấu của hai

khoang kẻ nhau thì đối nhau ngoại trừ trường hợp đó là nghiệm bội bậc chăn

+ Trong Khoảng tận cùng bên phai (so với tất cả các khoảng), đầu của P(x)

†uôn cũng, dấu với hệ ứ„

Nói rồ hơn:

- Nếu đa thức P(x) vô nghiệm thì (x) luôn cùng dau voi dau cua a,

- Nếu đa thức #(v) có & nghiệm : xị < xy <x << eS Me

Thị trong khoảng (x¿; +2), dấu của (+) luôn cùng dấu với hé ay

Thí dụ 3 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của mỗi hàm số sau :

Lời giaj “ỐC 1) Xét hàm số y= V—x” +6x —l6 Tập xác định Ø2 = (~2; 8)

_—*.—_:y=0 ©'3-x=ú œ ø=ã

V-x! +6x—16 ‘ Dấu y`: y`>0 œ -2<x<3,:y`<0 œ@ 3<x<8

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (—2; 3), nghịch biết trên khoảng (3: 8)

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ; 0), đồng biến trên khoảng (0; +œo),

Thí dụ 4 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số sau :

Ta có y` = Inx + l =lnex; y`=0© eđx=l @ x=ể”,

Dấu y`: y'>0c> ex>l ©x>e”; y`<0«œ ex<l@Ầ0<x<e',

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; e3, đồng biến trên (e `"; +0)

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng, (2 +kZ; z vil eZ và đồng

biến trên các khoảng (= +kZ; atk + be) eZ

8

— - 1

Thí dụ 5 Cho hàm số y = xÌ - 3m) + 3(2m + 39x + | |

Tim giá trị của / thoả mãn một trong hai trường hợp sau :

1) Ham số luôn luôn đồng biến trên tập xác định |

2) Ham số nghịch biến trên khoảng (xị: x;) với | xị — x;|= 43 |

Vay [=1: 3] là tập giá trị phải tim cua m

2) Gọi xị ; là các nghiệm nếu có của y`

Từ công thức xi; =—————— Suy ra |xị—x¿|= ——— =2

Hàm số nghịch bién trén khoang (x1; x2) voi | x) — x | = 4/3 đồng

nghĩa với y`= 0 <> x° — 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt xị,; thỏa mãn |

xị — x;|> 4/3 Theo (1), điều ấy có khi và chỉ khi 2VA'>4/3

c A'>12@Œ m°~2m~3> 12 2 m-Im-15>0

<= me (~ø; ~3] C2 [ŠS; t>) Đó là các giá trị phải tìm của m

Lời bình

Ban cần hiểu "Hàm số nghịch biến trên khoảng (xị; x;) với | xị ~ x; | = 4/3"

nghĩa là hàm số tôn tại ít nhất một khoảng (a; b) có độ dài bằng 43 Với m vừa tìm được thì với mọi khoảng (ø, a + 43 )C (xị; x;) hàm số đều nghịch biến

® Cũng trong Thi dụ trên nhưng 2A’ = 4/3 <> A' = 4/3 là đáp án chung cho

các câu hỏi :

* Hàm số nghịch biến trên khoảng (xị; x;) với 0 < | xị — x;| < 4/3;

* Hàm số nghịch biến trên khoảng (x); x2) va nghịch biến trong các khoảng còn

lại với |xị —x;|= 4/5

e Những điều ấy chứa đựng trong kiến thức vẻ dấu của tam thức bậc 2 Xét tam thức bậc 2 : Ax) = ax’ + bx + c va k là số thực dương ta có

* affix) <0, V xe(x1; x): |x) - |= k ADak

* aflx) <0, V xe(xi;x;) : 0 <| xi —xạ|Sk ©A=a

x” + mx —Ï

định của nó

Lời giải Tập xac dinh R\ {1}

x 2 h(x):= xÌ -2x+l—m

Ta có y'=——————————

(x-1)

Ham số đồng biến trên từng khoảng xác định c_‹ nó khi và chỉ khi y`< 0 với VZx z

I ©h(x)<0, VxelR © A',<0 © I-(I-m)<0 €m<0

Vậy ( -ơ:; 0] là tập hợp giá trị phải tìm của m

Thi dy 7 Tim m để hàm số y = xÌ(m - x) — m đồng biến trên (1; 2)

Lời giải

Tập xác định IR

Ta có y`=— 3x?+ 2mx; y`= ©x= gx<e?,

Ham sé da cho dong bién trén (1; 2) ey >0, V xe(1; 2) Do hệ số của w có

mặt trong, y là -3 < 0 nên điều ấy xảy rạ khi và chỉ khi a >2 ©m>3

FT Ho Me h(x) <0,Vx€ (l;+œ) co h(x) <0,Vx € (l;+œ) © maxh(x)<0 (IJ fel

Taco h’(x) = -2x + 4m = ~2(x - |) + 2(2m - 1) Rõ ràng #`(x) < 0 với mọi x

Trường hợp 2: h(v) có hai nghiệm v - thoa mãn ý <v¿ ST

Lời bình

Trong hai Thí dụ 7 và 8 xét ở trên :

e Cách giải I đã chuyển bài toán xét dấu của đạo hàm về bài toán tim-miin -

max Cách này chỉ thực hiện được khi đánh giá được vị trí của tham số đối vvới

miễn đang xét (Thi du 8) hoặc có lập được tham số (Thí dự 9)

e Cách hai là cách giải truyền thống Bạn đừng quên xét dấu của của tam thhức trong hai trường hợp 41< 0 và 44 > 0

BÀI TẬP I Bài tập trắc nghiệm khách quan

1.1, Cho y = f(x) la ham sé không đổi trên khoảng (ø: ở) Trong các khăng định! ssau, khẳng định nào đúng?

C.f (x) #0, Vx € (a; b); D ƒ(x) không đôi dấu trên (a; b);

1.4”, Nếu hàm số y=2—)E* nghịch biến trên từng khoảng xác định thì giá

“x+m trị của m là :

A.Cøs; I) và (1; +00); B (—ø; 0) và (2; +œ); C (1; +00); D.(; 2)

12

1.15 Hàm số y = sua 7 đồng biến trên (3; +œ) khi và chỉ khi ø nhận giá trị nào

trong các giá trị sau?

A(T-œ; —l5]; B.[]; +2): C[-IS:+): ° D R\{-I)

Bài tập tự luận

1.16 Tim m dé ham s 43x = 24] nghich bien trén (1; 2)

(Dai hoe Ngoui Ngit ~ 2000)

1.17 Tim m dé ham $6 y = x) + 3x" + my + m nghich bién trén mot khoảng có độ

Bài toán 2 Cực đại và cực tiểu

Phương trình đường thẳng ni cực đại, cực tiểu

1 Dấu hiệu nhận biết các điểm cực đại, cực tiêu

# xo € (a; b) được gọi là điềm cực đại khi và chỉ khi xp thoa man | trong 2 điiều kiện dưới đây :

+ Khi qua xo ƒ(x) doi fit từ dương sang dm

* Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

* Đạo hàm (nẻu có) tại điểm cực trị bang khong

® vọ € (a; b) duge ggi là điểm tới hạn nêu ƒ(xo)=0 hoặc f(xo) không xác định

2 Phương trình đường thăng nỗi cực đại, cực tiểu

2.1 Hà ,1 Hàm số 2 yn LOE TEEPE uy đạn px+# ĐI] (1) 1

Toạ đệ cực trị là nghiệm của hệ :

_ I) eG ey y=mx+n+——— Pred (ay y=mx+nt—— (Ù px+q y'=0 m-——_ =4 mpr +q)=——~ (2)

Thế (2) vào (1) có y = mx + n+ m(px + q) @)

Toạ độ điểm cực trị nghiệm hệ (*) nên toạ độ điểm cực trị là nghiệm phương

trình (3) Bởi the (3) la phuong trình đường thăng nối cực trị của hàm số đã cho

2.2 Hàm số f(x) = ax’ + bx? + cx +d

Phương trình đường thăng nói cực đại, cực tiểu của hàm số /ƒxJ = ax” + bx’? te

Thí dụ 1 Tìm giá trị cực đại, cực tiêu của mỗi hàm số sau :

Từ (1), (2) suy ra x ¬ là điểm cực tiểu,

Yer = W= 214 2B cop = pet 1 tae

Loi binh: O cau 1, dưng! ta lựa quy tắc | vi a tinh dao ham cấp 2 có phần phhức

tạp Ở câu 2, chúng ta lựa quy tắc I vì việc tính đạo hàm cấp 2 thật giản đơn

Thí dụ 3 Chứng minh rằng hàm số y= Vx? khong có đạo hàm tại x = 0 nhungg

vải, đạt cực tiểu tại điểm đó

Lời giải

Rõ rang khi x = 0 thi y = 0 = y không xác định tại x = 0 hay y' không có điạo

mz2 m2 m=-l

y(2)=0.© 4(2+m)` =1 © J|m=-3 Om=-3

y"*(2)<0 2+m<0 m<-2

[semi ay 5 Tim a dé ham sb y= 2-2x+avdx?~4x+5 có cực đại

Lời giải Tập xác định ÍR

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thăng nỗi các điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số

Viết lại (1) ƒ(x)=2x+m+ Ta có ƒ'+)=2-——" 7

_ '[y=/Œ) y=2x+m+ (2) Xabephương tàn |? 1e 9-9 9° se

/ua= nh ¿đ-1n =2%x-m) @) 4

Thé (3) vao (2) y= 2x + m+ 2(x-m) <> y=4x-—m ` (4)

Toạ độ cực trị là nghiém cua hé (1), (2) nên toạ độ cực trị là nghiệm phương

trình (4) Bởi thé (4) là phương trình đường thẳng nói các điểm cực đại, cực tiểu

của hàm số đã cho

17

Lời bình

se Chúng ta viết phương trình đường thẳng | nối cực đại cực tiểu nhưng khiônng hé biết đến các điểm cực đại và cực tiểu ấy Điều này có ý nghĩa biết bao ! Wii rang thêm một phép toán là thêm một nguy cơ sai Hơn nifa viéc tinh toam nhiétu khi phức tạp, và không phải mọi phép toán đều "bám" được bằng máy tính

e Để có phương trình đường thẳng nối cực đại cực tiểu, lời giải trên đãi tách phần nguyên của y = fix) và khử phần hữu tỉ của nó "Có săn của nhà" sự phân rã tích cực của y' = 0 đã làm cho phép khử thật giản đơn

x42 Thi dy 7 Cho ham s6 f(x) = —mxe—x+m

1) Chứng tỏ hàm số trên luôn có cực đại, cực tiểu -

2) Viết phương trình đường thăng nỗi các điềm cực đại, cực tiêu của hàm sé,

Bởi thế hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu không phụ thuộc vào mm

2)Chia /ñ) cho/ƒ) ta 06 f(x)= +) f(a) + FL (m? +x m1)

y=/Œœ) (I) Xét

” lu 0 (2)

Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ (1), (2) suy ra toạ độ các điểm cực tri

là nghiệm phương trình @) Bởi thể (3) là phương trình đường thắng mói các điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số đã cho

Ta có ƒ(x) = (x— aX+x — ð) + (x — bx - c) + (x - eXx — a)

= 3# ~ 2(a + b + e)x + (ab + be + ca)

Ta 6 fa) = Ab) = 0 suy ra fb) — f(a) = 0 Theo định lý La-grăng tồn tại x, € (a; 5)

sao cho f(x, )(b — a) = fb) — f(a) = 0 hay f'(x) = 0 c6 nghiém x, (a; 6) Twong ty

Lời bình /

Bạn cũng có thê chứng tỏ ƒ'(x) có hai nghiệm phân biệt băng cách xét A' Ta có

A'=(a +b +c) —3(ab + be + ca) = 1 (aby + (b ~e}' *+(e=a)"]>0

Rõ ràng A' > 0 với mọi a < b < c nên ƒ(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt xị # x; Tuy nhiên ngoài các chứng tỏ ƒ(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt xị # x‡ , theo cách

sử dụng định lý La-grăng ta còn thây vị trí điểm cực đại, cực tiểu so với «, b, e

BÀI TẬP 2 Bài tập trắc nghiệm

1.23 Tập giá trị của để hàm số y= ee hehe có cực frị là:

1.27 Nếu x = —1 la diém cye tiéu cua ham s6 -

Ax) = -x" + (2m - I? - (me + 8)x + 2 thì giá trị của m là :

1.28 Nếu x = I là điểm cực đại của hàm số /x) = x`~ 2mw” + mổx + 3 thì m nhận

giá trì nào trong các số dưới đây ? '

A 3; ‘BI; C.1và3; D [1; 3]

Bai tap ty luan

1.29 Tìm các khoảng tăng, giảm, các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số Sx) = xe

(Đại học KTQD, khối A, 2000)

1.30 Tim m dé ham sé y = -mx' + 2m?x? + 5 dat cyc tri tại =t Khi đó x “4 là

điểm cực đại hay cực tiểu ? (Đại học Thái Nguyên, khối A + B, 2000)

1.31 Xác định ø để hàm soy = asiinx + sin3x dat cực trị tại x “ §

19

2

1.32 Cho hàm số y= Z1 +!

x-—m Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng nói ciực đại,

1) Tim m để hàm số có cực đại, cực tiểu -

2) Viết phương trình đường thing nồi cực đại, cực tiểu (Học viện KTMM, 98)

1.35 Viết phương trình đường thẳng nói cực đại, cực tiểu của ham số

xÌ~2x+m+2

#œ)= “uốn (Đại học Thương Mại, 1997)

‘ 2 4 1 - : £

Bài toán 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Pham vì của chương trình, là giới thiệu tìm GTLN.GTNN của hàm số bằng

phương ; pháp đạo hàm Các bạn xem lại một số ó phương pháp khác đã được tác gia

của cuôn tài liệu này trình bày trong cuồn "Boi dưỡng Đại số 10", Nhà xuất bản

Đại Học Quốc Gia Hà Nội

Cho hàm số y = x) xác định trên đoạn [a; 5]

Giả sử trên [a; b], hàm số có các điểm tới hạn x„ (¡=l,2, , #) Khi đó

© max f(x) = max {Ax, ), fa), Ad)}

° min = min {f{x, ), fa), Ab)}

Néu trén (a; b), ham soy = fix) co duy nhất một điểm tới lrạn x; thì

® max L(x) = fix), néu xọ là điểm cực đại

Cue tri cla hàm số chỉ đạt tại các điểm tới hạn hoặc các điểm biên nên

# min f(x) = min(Ñ0): 81): /2)1 =1) =-5 10.2]

[r i du 2 Tim giá trị lớn nhật của hàm số ƒ(Œœ)=x+l=2x

Tập xác định ( —œ; sh

Teed fhstee el SISO mm -2x

Wiis dị m imta( vim)

Giá trj x = ; khong thudc khoang (1; +00) đang xét

Taix= 36 y"=§>0 suy ra x = ; là điểm cực tiểu của hàm số,

x=-l x=1¢[-3;0]

Trén [-3; 0] ham sé y = fx) co duy nhất một điểm tới hạn la x =

Ta c6 | A-3) | = 16, | A-1) | = 4, | AO) | = 2, suy ra max | f(x) = |A-3) |= 16

SQ) = 3? = ),S@)=0 &

Thi dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất của biey thie Q = sind + sinB + sinC, mong até

A, B,.C là ba góc của một tam giác

Lời giải

Biến đổi @=sin 4+2sin cos =sin A + 2eos 7 cos

= Ø<sin4+2eos2 „ đấu đăng thức có khi 8 = C Cd)

Goi f(A) =sin A+ 2eos, Ae (0: Z)

1.37 Đâu là số a gt trị của m trong các số dưới đây, nếu 10 là giá trị lớn nhất

của hàm số f{x) = -xˆ + 4x — m trên đoạn [-1; 3]?

A.3; B.-3; C.-8; D.-7

1.38 Giá trị nhỏ nhất của ham sé y = 3x'- x?- 7x +1 trén doan [0; 2] là :

A 1; B 4; C.-4; D.7

1.39 đồng CC SE My MAG BN NL 3x +1} trên đoạn [0; 2] ?

1.40 Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy= 2x + sin2x trên đoạn |-§ 3Ì là :

22

1.41 Giá trị nhỏ nhất của hàm số fix) = x + cos2x trên [0; : là:

Bài toán 4 Cung lồi, cung lõm và điểm uốn của đồ thị

Cho ham s6 y = #x) xác định trên khoảng (4; b) Kí hiệu /(z),/'Œœ), (ở) là đạo

hàm cấp I, cấp 2 và đồ thị của #{x) trên khoảng ấy

e (Ó) được gọi là /oi trén khoảng (4; b) <> f"(x) < 0 Vxe (a; ở)

© (¥) duge goi là lõm trên khoảng (a; b) <> f(x) > 0 Vxe (a; b)

© x9 € (a; b) duge goi la diém udn <> khi qua xo,ý"(x) có sự thay đổi dấu

Tập xác định, R

Ta có y = 4x” - 12x, yt 1208-1), y" =O x=41 Taix=41 6 y= +3 Bang xét dau y" :

đỗ thị hàm số lồ: trén khodng (—c; -1), lm trén khodng (—1; +0) Tuy dao haim

cấp 2 đổi dấu khi qua x = —È, nhưng đồ thị khang có diém'udn vi tai x = — 1 hàm :số

không xác định

„J"<0<>x<-l,y">0<>x>-] Suy ra

Thí dụ 2 Xét tính lồi lõm, điểm uốn của mỗi đồ thị sau :

Ny= ve -1; 2)y= + In,

Rõ ràng y" đối dấu khi lần lượt di qua các nghiệm của nó Từ đó két luận đỗ thị

() đã cho có ba điểm uốn Toạ độ điểm uốn là nghiệm của hệ :

Toạ độ các điểm uốn nghiệm hệ (1), (2) nên toạ độ các điểm uốn là nghiệm

phương trình (5) Điều đó chứng tỏ các diễm uốn của đồ thị (ý) thăng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng (A) có phương trình 2x + 1 - 3y = 0 (dpem) Lời bình: Phương trình (2), hay cũng vậy phương trình (3) là phương trình hoành

độ giao điểm của đường thẳng (A) với đô thị () sau khi đã khử mẫu thức phương

trình của (*) Bởi thế việc chia cho x? + xr] (mẫu thức ctia f\x)) đó là cách đẻ khôi

phyc fx) mà thôi

1.45 Xéttính lôi lồm, điểm uốn của mỗi đô thị sau :

I y=x'- 3x42; dyyaat ers 2,

uốn thẳng hàng.

Bài toán 5 Đường tiệm cận của đồ thị

° Đường thang (A) :y =ax +b latiém can ctia dé thi (4): y = Ax) khi va chi khii

fim [/()~ (ax + 6)]= 0 hO&e tim (f(x) (ax +ð)]=0

> Néua mg 0 thì (4) được gọi là tiệm cận xiên, a = 0 thi (A): » = b được gọii là

tiệm cận đứng

> Ta có thê tìm a, b của đường tiệm cận y = ax + ở bằng cách sau

a= lim ree oy vbồ= dim [ f(x) - 4] hoặc 4= lim ——^ ree oe ) » b= lim[ f(x) ax]

s Đường thắng (4): x = xo là tiệm cận của đồ thị (0: :y= #) khi và chỉ khi

lim ƒ(x)= +œ hoặc lim /(x)= +œ hoặc lim ƒ(x) =~œ hoặc lim ƒ(x) = —œ-

Suy m lim Í mx -n- wiles 3 Jim, z =0 =_ đpcm

\ s|#|: e+ Ole lat vbere

e lim y= lim {2-5)=+ lim y= lim (2 4)- suy ra đồ thị

=> lim | y—3x|= 0 suy ra đồ thị có tiệm cận xiên y = 3x

« lim y= lim (3+ sins }-%+c0= 40,

lim y= lim EES) = lim Boe ~5 suy ra y = -5 là đường tiệm cận

ree we [| v2 tte LV ay

2

x

ngang phia dưới của đồ thị đã cho

Tóm lại : Đồ thị đã cho có hai đường tiệm cận ngang y = +5

Thí dụ 3 Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị sau :

, 1

1) y=x-74 Vox? +1 2) ys ————

x+Vx?+l Lời giải

DTa có y=x—7+\9x” +1 es y—x+7—3|x|=v9x +1 =3|x|

were m K- mm +1

có hai đường tiệm cận xiên là y = -Ảv+ 7 và y = 2x + 7

=0 suy ra đỗ § thị

Chú ý: y = -4x +7 được gọi là tiệm cận xiên bên trái, y= 2x + 7 được gọi là tiệệm

cận xiên bên phái của đô thị

2) Viết lại y= ——T— =-x+Ít' +1 =y+x-lx|l=x°+I-b|, ` x+ýx' +l

Lời bình : Xét đồ thị () : y= mx + n + Váy +bx+e (a> 0)

Nếu |] = va thì (Ý) có một tiệm cận ngang và một tiệm cận kiên

Nếu | m| # Va thi cả hai đường tiệm cận ( #) đều là tiệm cận xiên

(Bạn cần biết với ø < 0, đỗ thị y = mx + n+ Jax’ +bx+c không có tiệm cận bởi nó không có nhánh vô cực)

Thi dy 4 (Đại học Sư phạm Vinh, khói 4, 2000)

Diéu kién dé ham s6 co tiém can xién la: m ¢{-2; 0; 1} “

c© ST ml =0 Vậy với mọi m e [R hệ luôn có nghiệm x = 2 - 2m Ta có

điều phải chứng minh

Ta sẽ chứng mình tiệm cận xiên (2) tiếp xúc với parabol (Ø) : y= oe +8x+2

Phân còn lại như cách 1

29

Lời bình: Các bạn xem cách viết phương trình các đường, tiếp xúc với họ ducong cong được trình bày trong một số tài liệu Chang hạn : Phạm Quốc Phong, Chuyên

đề nâng cao Đại số và Giải tích THPT, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nộii Thí dụ 5 (Đại học Y Hà Nội, 2001)

Cho ho d thi (6): y=“ x= mt tham số a)

Tim mm sao cho đường tiệm xiên của đồ thị (Em) cắt các trục toa dé tại hai điểm

A va B sao cho dién tích tam giác O4 bằng 18

Loi giai

Viết lại (1) > y= xim+t + TT © yrx- m1

Điều kiện để hàm số có tiệm cận xiên là ï m z 0 (2)

Taco lim(y—x—m-1)= lim -“—=0 rote xoie y—]

Suy ra (%,,) ; š c6 tiệm cận xiên là (đ) : y = x + m +] +; Í @)

Để (2) cắt các trục toa độ tại hai điểm phân biệt phải có m +1 # 0 (4)

Khi ấy ta có (2) œ —T—+——=I —m-Ì|_ˆ m+l]

Suy ra A(-m —1; 0), B(O; m +1) la giao điểm của (đ) với các trục toạ độ

Bởi vậy S= I8 © = l§ ©m +] =+6 © m=- 3 3 (thoa-man (2) va (4))

Đó là các giá trị phải tìm của m

y=x*+l Lời bình: Khi m = 0, ta có (I) © a „ đồ thị ( Ýọ) không có tiệm cân bởi vì

nó là phần còn lại của đường thẳng y = x +1 sau khi đã bỏ đi điểm (1; 2) Giá trị m

= 0 là đáp án của câu hỏi tìm m để đỗ thị (Ý„) không có đường tiệm cận

Thí dụ 6 Cho A⁄ là một điểm thay đổi trên đồ thị (): y= 2x +3 +:

Chứng minh tích các khoảng cách từ A⁄ đến ,các tiệm cận của (<⁄) là một số

` Đồ thị có tiệm cận dimg x = I vi:

lim y = lim (2x+34+—"-)= —œ, lim y = lim(2x+3+—“—)= +0,

30

Đỏ thƑcó tiệm cận xiên y= 2x + 3 (c>2x~ y+3= 0) vì:

\

jim (y - 2x -3)= lim a =0, lim(y-2x-3)= lim ——=0 nx] — pe x= |

* Diem ÁM(xo: yo) thuộc (2) khi và chỉ khi yo = 2x + 3 + 4 i

cận xiên của () tại 4, tiệm cận đứng của (2) tại Ø Chứng minh X là trung

điệm của 48

Lời giải

Xét đỗ thị 2): y=x+ l wt Đỗ thị cổ tiệm cận đứng x = 1 vi: x-

lim y = Infxvize is —m, lim y = lim(x+l+—-)= +0,

đây, kết hợp với 4, B, A⁄ thẳng hàng ta suy A là trung điểm của 4B (đpcm)

©x+tl=(r-xọ)-

31

Lời bình: Bạn có thể quên các mệnh đề tương đương sau: -

X; tXy =2, «(ly e/latrung diém AB <> MA+MB=2Mi ‘> Vat dy =2y, (2)

> {Xt x4 = 2x) va A, B, ¡thắng hang} <> {y„ +y= 2y, và 4, B, / thắng | hanng}

Nghĩa là điều kiện 44, 8, 7 thăng hàng có thể thay thé cho một trong hai điều kkiện

(1) hoặc (2)

BÀI TẬP 5

Bai tap trac nghiệm

1.49 Trong các két ava sau, kết quả nào nêu đúng cả hai đường thắng đều là triệm

x =8 „ cận của hàm số y= 1

6x-7

AAx= = y =xt2}; ten Fiver B{x=~;y=x†2l te= Zi yaxt2h:

Ê= 3iy=x~2h Dx= €:y=x~2]

1.55 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

2

(Đại học Sư Phạm Hà Nội iI, 2001)

32

1.56 Tìm m sao cho tam giác tạo bởi hai trục toạ độ và đường tiệm cận của đồ thị

Bài toán 6 Sử dụng đạo hàm chứng minh bắt đẳng thức `

Thí dụ 1 Chứng mỉnh với mọi xe[0; 1] ta cd el sl-x+ = |

Do viy Ax) la hàm số đồng biến trên [0; 1] nén ƒ(x) > #40) =0

« -IxIE với V> € [0; 1] (dpem) ~ «

Tacéf (x)= cote +x-* fx) =1 ~ (14 cot'x) =~ coỦy

Rõ ràng f"(x) <0 ›„Vx€ (0`) suy ra ƒ'(x) nghịch biến trên oD

Bai thé fix) < ) = 0 hay 1a In(sin x) + ;ứ xẻ <0,Vxe (02) ; (đpem)

4*In4' ~(1+4*)In(l+ 4")

x'(1+4") khoảng (0; +œ) Bởi thế a > ® > 0 © #4) <ƒb)_ (đpcm)

Thí dụ 6 (Đại Học Sư Phạm Vinh, khối A, 2001)

Chứng ngiŸh ring néu a, b, c la độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì Q:= 3đ” + 3ð? + 3c? + 4abc > 13

Tacó f'tx)= <0 = fix) la ham số nghịc biển trên

Không giảm tính tông quát, ta có thê giả sử a <b <c

Từa+b+c=3 vàa + b> suy rà 1e < 2,8 + b =3 =e Biển đói:

@= 38? + b ) + 3c? + 4abc = 3[(a + b)’ - 2ab] + 3c? + 4abc

Xót hàm số #e) = c` “58 tS với ce[l; >) ta c6 f(c) = 3e(c? = 1)

Rõ ràng ƒ(c) < 0 với Vee[l: 3) nên fe) là hàm số nghịch biến trên [I; 3)

327

suy ra fic)> fll) = Poe =3 (dpem)

Tiasb<c=lvaatb+c=3 suyraa=b=c= 1 Tamgiac ABC đều

Cha ý: Các bạn xem lại lời giải bằng phương pháp bat dang thức được trình bày trong

một số cuốn sách Chẳng hạn : Phạm Quốc Phong, "Bỏi đưỡng Đại só 10", Nhà xuất

bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội

Thi du 7 (Dai Hoc Mo Dia Chat, 2001)

Cho tam giac ABC c6 0< A < BSC < 90" Chứng minh

Boi thé (1) <> 2(4cos'C — 3eosC) - 4(2cos°C - 1) + 1 > 2cosC

& 8cos'C - 8cos’C’ - 8cosC' + 5 20, (2)

Xét ham 6 As) = 87 - BF — 81+ 5 voi te(0; 3} Ta có :

f)= 24È - l6 -8=8(3È ~2r~ 1):/'0)=0e»r= Lư c~Š (loại);

1 re!

rin<0e |< 3 (Q>0e -F <tc

t>l

Từ đó suy ra ƒ' () <0 với mọi / e (i2)

Do vay Ax) la ham sé nghich bién trén D = (0; Sl suy ra min ƒ() = Ns )=0

1.59 Cho tam giác 4C thoả mãn 4 < B< : <C< =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = cos4 + cosB + cosC

(Học sinh giỏi 12 Hà Tĩnh, năm học 2002 - 2(003)

x*>at+l-a@

2) Từ đó chứng minh với mọi a, b, c > 0 luôn có

‘a & i a be Sata tal eh

‘ (Đại học Quốc Gia Hà Nội, khối D, năm học 2001-2002) 1.61- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = sind + sinB + V3 sinC,

trong đó 4,8, C là ba góc của một tam giác

(Học sinh giỏi 12 Hà Tình, năm học 2007 - 2(008)

§3.KHAO SAT SU BIEN THIEN, VE DO TH] HAM SO

' e Suy ra chiều biến thiên :

! b= 2) Tim cực trị và điểm uốn '

' b - 3) Tim cdc gidi han tai +00 và tìm tác tiệm cán ‘

song theo trục Óx theo từng bước chu kì

2) Để có đồ thị chính xác, nên tính thêm một số điểm, đặc biệt cần tính toạ độ

các giao

điểm của đồ thị với các trục toạ độ

Cần lưu ý các tính chất đối xứng (qua trục, qua tãm, ) của đồ thị.

I Khảo sát một số hàm thường gặp 1.Hàm số y = av` + 6x) +cx +đ

e Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) do y' <0 œ0 <x<2

e Hàm số đồng biến trên các khoảng

x<0 + (—œ; 0) và (2; +00) do y’ > vee

2 Cue trj va diém uén

Tai x = 0, ham số đạt cực đại; ye„= y(0) = 2

Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu; ycr =y(2) = ~2

Ta cĩ y” = 6(x - 1), y" =0 và đổi đấu khi qua x = l, y(1)= 0 nên /(1; 0) là điện uốn của đồ thị

3: Giới hạn: lim [Pa weg 4) =~s; lim [* ie Jy] pen ex rt š =

4 Bang bién thién

giac điểm của đồ thị với trục hồnh

> Chi ý : Tịnh tiền hệ trực toạ độ theo

vecơ Ọ = (1: 0) bằng cơng thức

2) Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình đường thăng (A) qua 4(—l; 2) với hệ số góc bằng & có dạng

y“k(qx+l)+2

(A) là tiếp tuyến của ( ý) khi và chỉ khi hệ $au có nghiệm

Íx?~3x? + 2=k(x+l)+2 a x(x? — 3x) = k(x +1) (2)

3x? -6x=k 3x(x-2)=h @ Thé (3) vio (2) 06 xx ~1) = 0 © x= 0,x= 2 (4)

Thé (4) ào Q3): Với x =0 có &= 0: tớix= 2 cók~— t5)

Thế (5) vào (1) có y = 2; y=-sŒl): Đó là các tiếp tuyến của ( j kẻ từ điểm 4 mà ta phải tìm

A Tap xdc dinh R

B Sự biến thiên

1 Chiều biến thiên

Hàm số ngịch biến trên ÏR do y'= ~3x” + 6x ~ 4= =1 - 3(x ~l)' <0 với Vxe lR

Hàm số không có-cực trị

Ta có y" = -6(x - 1), y" = 0 va di dau khi qua x = 1,}(1) =2 nén (1; 2) là

điểm uốn của dé thi

3 Giới hạn: lìm [+ inte |: lim |~ a -2.4-4p)- ~= II x x x + x x x

4 Bang bién thién

là giao điểm duy nhất của đồ thị với trục hoành

Khi x= 0 có y= 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ

thị với trục tung Đồ thị nhận điểm uốn / là tâm

đối xứng

38

2) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (xo, yo)

là a= ƒ(xo)= —1 — 3(xạ —L)°= maxø= ƒ(1) = —]

Chú ý : Vậy tại điểm uốn của hàm số y = axÌ + bx? + cx + đ, hệ số góc của tiếp

tuyến đạt trị só lớn nhắt nếu ø < (, nhỏ nhất nếu a > 0

> Đáng điệu của đồ thị hàm số y = ax” + bx” + cx + đ

1 Chiếu biên thiên

Tacó y'=4x`—:l6x =4x(@ -4),y'=0c>x“0,x= +2

\

0<x<2 x>2

biến trên (~e; =2) và (0; 2), hàm số đồng biến trên (~2; 0) và (2; +œ)

2 Cực trị và diém uon

Tại x = 0, hàm SỐ đạt cực, đại; Yep = 12

Tại x = +2, hàm số đạt cự tiểu; erE= -4

Dauy:y<00 „ J'>0< „ suy ra hàm số nghịch

đồ thị có hai điểm uốn 7 = -(} 3) 23)

4 Bang biến thiên :

Toạ độ cực trị là nghiệm của hệ nghiệm hệ (1), (2) nên toạ độ cực tri, la

nghiệm phương trình (3) Bởi thé (3), la phương trình parabo] di qua các điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số

> Đáng điệu của đồ thị hàm số y = ax‘ + bx’ +c, (a #0)

(Bạn có thê tính đạo hàm theo công thức ' Tay)

Thi dụ L: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị () của hàm số y = x- ĩ

2) Tìm trên dé thj (4) cac điểm có toạ độ nguyên