Câu hỏi 3: 3 điểm Cho tứ giác ABCD nội tiếp có các cặp cạnh đối không song song.. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E và các đường ch o AC và BD cắt nhau tại F.. Đường tròn ngo
Trang 1KỲ THI HSG KHU VỰC DH VÀ ĐBBB LẦN THỨ 9
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP : 11
Câu hỏi 1: ( 4.0 điểm) Giải hệ phương trình sau
3
,
y x x x y x y x
x y
x y x y x y x
Đáp án câu hỏi 1: ĐK:
0
x y y x
Ta viết lại pt (1)
y x x x y x y x xyy x y x y xy x x (3) Nếu x0 từ điều kiện (*) ta có y0 không thỏa mãn hệ phương trình
Nếu x0, chia hai vế của pt (3) cho 2
0
y y y
y x
x x x
VT
Mặt khác VP 4 8 Khi đó VT(4)VP 4 khi y2x, thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 3 2x32x2 x 2 x 1 x3x22x 1 0 (5) Đặt 3 2
f x x x x
Nh n t r ng f x li n t c tr n R và ta có f 2 0, f 0 0, f 1 0, f 2 0
nên phương trình f x 0 có cả 3 nghiệm ph n iệt đều n m trong 2; 2
Đặt x2cos ,u u0; Khi đó sinu0 và ( ) có ạng :
8cosu 4cos u 4cosu 1 0 hay 3 2
sinu 8cos u 4cos u 4cosu 1 0
4sin os 2 cos 1 4sin os sin 0 2sin 2 os2 2sin 2 cos sin 0
Giải pt ( ) ta thu được ; 3 ; 5
u
, khi đó vì x0 n n ta chọn
3
2 cos , 2 cos
x x
Với 2 cos
7
x
ta được 4 cos
7
y
Với 2 cos3
7
ta được 4 cos3
7
; 2 cos ; 4 cos , 2 cos ; 4 cos
x y
Số Phách
Số phách
Trang 2Câu hỏi 2: ( 4.0 điểm)
Cho ãy số thực ( ) un thỏa mãn
, (0; 1)
, 1
u u
u u u n
Chứng minh r ng ãy ( ) un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó
Đáp án câu hỏi 2:
Xét dãy
1
min ,
n
x
x x x
+ Ta thấy ngay x n(0;1)
+ Ta có
5
1
V y ãy x n tăng, ị chặn tr n n n hội t , limx n a (0 a 1) Chuyển qua giới hạn ta được: 1 3 43
1
a a a a + Ta sẽ chứng minh x n u2n1;u2n 1 (*) ng quy nạp theo n
Ta có x1 u u1; 2 1 Giả sử x n u2n1;u2n 1
1
x x x u u u
1
x x x x x u u u
V y (*) đúng với mọi n nguy n ương Từ đó suy ra limu n 1
Trang 3Câu hỏi 3: ( 3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp có các cặp cạnh đối không song song Các đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E và các đường ch o AC và BD cắt nhau tại F Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC cắt nhau tại điểm thứ hai K Chứng minh r ng hai đường thẳng EK và
FK vuông góc
Đáp án câu hỏi 3:
Gọi G là giao điểm của AD và BC, O là t m đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Ta ùng kí hiệu (ABC), (ABCD) tương ứng để chỉ đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, tứ giác ABCD
Ta có AD, BC, FK lần lượt là tr c đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (ADF), (ABCD)
và (BCF), (ADF) và (BCF) n n AD, BC, FK đồng quy tại G hay F, K, G thẳng hàng
Không mất tổng quát ta giả sử F n m giữa K và G
DKC DKF CKF DAF CBF DOC DOC DOC
(ta có thể ùng góc định hướng cho mọi trường hợp)
Suy ra các điểm D, C, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C1)
Tương tự, các điểm A, B, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C2)
Ta có AB, CD, OK lần lượt là tr c đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (C2),
(ABCD) và (C1), (C1) và (C2) n n AB, CD, OK đồng quy tại E hay O, K, E thẳng hàng
X t cực và đối cực đối với đường tròn (O), ta có GF là đối cực của E
n n GF vuông góc với OE
Mà G, K, F thẳng hàng; O, K, E thẳng hàng n n EK và FK vuông góc (điều phải chứng minh)
K
F
E
B A
O G
D
C
Trang 4Câu hỏi 4: ( 3 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f RR thỏa mãn:
2 2
, ,
xf xy xyf x f x f y x y x y R
Đáp án câu hỏi 3:
Cho =y ta được 2 2
0
x f x x f x (1)
Cho =0, y=0 ta được f 0 0
Cho =1, y=1 ta được f 1 1
Cho y=1 ta được 2 2
2xf x f x x f x f x f x x (2) Bây giờ, giả sử tồn tại a0 sao cho af a
vì f a a 0 nên ta có f a a f a a 2a0 vô lý
vì v y f x x, x 0 2 2
,
(1) x f x , x R f x x, x 0
x 0,y 0x yf x xf y 0 yf x xf y (3)
Thay x ởi y từ (3) xf y yf x xf y yf x f x cx, x 0
2xf x f x x 2x x f x x 0 f x x, x 0
vì v y f x cx, x 0 với c1
Từ đó ta được
0
0, 1
x khi x
f x
cx khi x c Thử lại thấy thỏa mãn
Trang 5Câu hỏi 5: (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của 2 2
P a b , trong đó a, b là các số nguy n thoả
mãn 1a b; 2014 và 2 2 2
(b aba ) 1
Đáp án câu hỏi 5:
Ta t các nghiệm nguy n ương ( ; ) x y của phương trình: ( x2 xy y2)2 1 (1) với x y Gọi ( ; ) b a là một nghiệm như thế (b a)
+ X t ộ ( a b b ; ) ta có: 2 2 2 2 2 2
( a b ) ( a b b ) b ( b ab a ) 1
Suy ra ( a b b ; ) cũng là một nghiệm của (1)
Rõ ràng (2; 1) là một nghiệm của (1), n n ta có các ộ sau cũng là nghiệm của (1):
(3;2), (5;3), (8;5), (13;8), (21;13),(34;21),
+ X t ộ ( ; a b a ) ta có: 2 2 2 2 2 2
Suy ra ( ; a b a ) cũng là một nghiệm của (1)
- Nếu a b a b 2 a b b ( a ) 2 a2 b2 ab a2 1 ( a 1) (vô lí)
- Nếu a b a thì ộ ( ; a b a )là một nghiệm của (1) nhỏ hơn nghiệm ( ; ) b a
Quá trình phải ừng lại và kết thúc ở nghiệm ( ;1) ( b b 1) Chú ý th m r ng (2; 1) là ộ uy nhất thoả mãn (1) mà b 1
Tóm lại tất cả các nghiệm nguy n ương của (1) sẽ là: F Fn; n1 với n 2 trong đó ãy số
F n : 1 2
1
2
F F
F F F n
Như v y giá trị lớn nhất của P ng giá trị lớn nhất của 2 2
1
n n
F F với Fn 2014.
Dãy các số hạng của ãy Fi onacci thoả mãn là: 1, 1, 2, 3, , 8, 13, 21, 3 , , 89, 1 , 233,
377, 610, 987, 1597
V y giá trị lớn nhất của P ng 2 2
Trang 6Câu hỏi 6: ( 3 điểm)
Cho t p hợp gồm 201 phần tử sau: 1; 2; 3; ; 2014 Cần loại ỏ ít nhất ao nhi u phần tử khỏi t p hợp tr n, sao cho t p hợp còn lại có tính chất: không có phần tử nào ng tích hai phần tử còn lại khác
Đáp án câu hỏi 6:
Trước hết, ta loại ỏ các số 2, 3, , , … , , và chứng minh t p các số còn lại là {1; ; 6;… ;201 } thỏa mãn đề ài
Th t v y, nếu trong 2 số có một số ng 1 thì hiển nhi n 1.xx y luôn đúng với mọi
x { ; 6;… ; 201 } và y{ ; 6;… ; 201 }\{x}
Nếu không số nào ng 1, tức là x, y{ ; 6;… ; 201 } và x y, thì 2
45 2025 2014
xy
sẽ không thuộc t p đã cho
Như v y, ta đã chỉ ra một cách loại ỏ 3 phần tử thỏa mãn đề ài
B y giờ, ta t một cách loại ỏ ất kỳ ít hơn 3 phần tử
X t 3 ộ số: (2; 87; 287)
(3; 86; 386)
(4; 85; 485)
………
(44; 45; 4445)
Do tất cả các số trong các ộ tr n đôi một khác nhau, và ta chỉ loại ỏ ít hơn 3 phần tử, n n trong t p còn lại sẽ chứa ít nhất một trong số các ộ tr n Bộ a số ấy sẽ không thỏa mãn đề
ài, n n cách loại ỏ đang t cũng không thỏa mãn ài toán
V y ta cần loại ỏ ít nhất 3 phần tử