Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độdài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐỊNH LƯỢNG Phần 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 1Bài 1 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ
dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có AB 1; 4; 3 nên phương trình đường thẳng AB:
1
5 4
4 3
Để độ dài đoạn CD ngắn nhất nên D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm
D(1-a;5-4a;4-3a)DC( ; 4a a3;3a3)
Vì ABDC=>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21
26
a
Tọa độ điểm 5 49 41; ;
26 26 26
Bài 2 Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :
x y z; d2 :
1 2
1
Tìm Ad B1; d2 sao cho AB ngắn nhất
Hướng dẫn giải:
Gọi A t; t;2t và B 1 2t ; t ;1 t1 1 1, AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
d1 và d2
1 2
1
3
35
t
Bài 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P :x2y z 5 0 và đường thẳng
3
2
x
d y z
, điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d)
và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐỊNH LƯỢNG (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Trang 2Hướng dẫn giải:
Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:
1 3
Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I2t3;t1;t3
Do I P 2t 3 2(t 1) (t 3) 5 0 t 1 I 1;0;4
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là a(2;1;1)
, mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1; 2; 1
a n
Gọi u
là vectơ chỉ phương của u 1;1;1
1 :
4
Vì M M 1 u u; ;4u AM1u u; 3;u
AM ngắn nhất AM AM u AM u 0 1(1 u) 1(u 3) 1.u0 4
3
u
Vậy 7 4 16; ;
Bài 4 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d 2 1
và hai điểm:
A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2) Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có AB
= ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
Trang 3Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;2;3), song song
với đường thẳng d:
1 2 9
3 4
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d, khi đó khoảng cách giữa d
và (P) là khoảng cách từ H tới (P)
Giả sử I là hình chiếu của H trên (P), ta có AHHImaxHI A I
Vậy (P) cần tìm đi qua A và nhận AH
là véc tơ pháp tuyến
Ta có
(1 2 ; 9; 3 4 )
( ) : 1.( 1) 10( 2) 2( 3) 0 ( ) : 10 2 15 0
d
Bài 6 Cho 3 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0; c) với a, b, c là ba số dương thay đổi và luôn thỏa mãn
a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0 ; 0; 0) đến mp(ABC) là lớn nhất
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z 1 0
a b c , do đó khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng (ABC) là:
1
d
Ta có BĐT sau:
3
3 max
d
d
Dấu = xảy ra khi a b c 1
Bài 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có
phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất
Trang 4Hướng dẫn giải:
Giả sử M 2 3t; 2t; 4 2t d, dễ thấy AB//d
Gọi A’ đối xứng với A qua d MA’ MA MA MB= MA’ MB A’B
Do đó (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng tức là: MA = MA’ = MB
Từ MA=MB dễ dàng suy ra M(2 ; 0 ; 4)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn