PHƯƠNG TRÌNH ELIP PHẦN 2 ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 14.. Phương trình Elip Phần 2 thuộc
Trang 1Bài 1: Cho
2 2
9 4
E có 2 tiêu điểm F1; F2 Tìm M thuộc (E) sao cho tam giác F1MF2 vuông tại M
Giải:
Ta có: a2 9;b2 4 c2 a2b2 5 c 5
Suy ra F1 5;0 ; F2 5;0
0; 0 ( ) 1 (1)
9 4
MF MF MF MF 5x0;y0 5x y0; 00
2 2
0 0 5 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
0 0
2 2
2
0 0
0
9
16
5
x
y
0
0
3 5 4 5
x
y
Vậy có 4 điểm M cần tìm
Bài 2: Cho đường thẳng d: 2x y 3 0 và elip (E):
2 2
1
4 1
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác AOB bằng 1
Giải:
- Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
2
1
x y m
x y
y my m
d cắt (E) tại 2 điểm A, B khi và chỉ khi hệ có 2 nghiệm phân biệt 324m2 0 8 m 8 (*)
- Gọi A(2y m y; ), B(2y m y; ) trong đó y1; y2 là nghiệm của (1)
BÀI 14 PHƯƠNG TRÌNH ELIP (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 14 Phương trình Elip (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 14 Phương trình Elip (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 24 ,
2
5(8 )
4
m
2
2
m
5
m
Suy ra:
2
1
AOB
2
m
Vậy phương trình đường thẳng là: : 2 2 0
x y
x y
Bài 3: Cho
2 2
16 9
E và d: 3x4y120 Chứng minh rằng: d luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt
A, B Tìm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6
Giải:
- Tọa độ giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ:
2 2
3
4 (4 ) 1
1
16 9
16 16
4
x
x
d cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A(4; 0), B(0; 3) Ta có: AB = 5
- Gọi C x y( ;0 0), H là hình chiếu của C lên AB
Vì
2 2
0 0
16 9
2 2
( ; )
5
ABC
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
24 3
4
x y
0
24 3 4
x
thế vào (1) ta có: x028x0240 (vô nghiệm)
Trang 3+ Với 0 3 0
4
y x thế vào (1) ta có:
2 0
18 8
2 8
18 8
2
x
Vậy có 2 điểm C cần tìm
Bài 4: TSĐH 2002 D
Trong mặt phẳng hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy , cho elip (E) có phương trình:
2 2
1
16 9
Xét điểm M chuyển động trên Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Giải:
Giả sử M(m; 0) và N(0; n) với m > 0, n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy
Đường thẳng MN có phương trình: x y 1 x y 1 0
m n m n
Đường thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi:
Theo BĐT Côsi ta có:
16 9
25 16.n 9m 25 2 16.9 49 7
Đẳng thức xảy ra
2 2
Kết luận: Với M2 7;0 , N 0; 21 thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7
Bài 5: Cho
2 2
9 4
E , M(1; 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm AB
Giải:
- Đường thẳng x1 đi qua M cắt (E) tại 2 điểm 1;4 2 , 1; 4 2
Ta thấy M không là trung điểm của AB
- Xét đường thẳng d đi qua M(1; 1) với hệ số góc k, tức d có phương trình: yk x( 1) 1 (1)
thay (1) vào phương trình (E) ta được: 2 2
4x 9 k x( 1) 1 36
(9k 4)x 18 (1k k x) 9(1 k) 36 0 (2)
Đường thẳng d cắt (E) tại 2 điểm A, B thỏa mãn M là trung điểm AB khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm x A;x B
thỏa mãn:
Trang 41
M
k
9
k , ta có
2
9
Còn 9k2 4 0 do đó với 4
9
k thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x A;x B thỏa mãn:
2
M
Vậy có 1 đường thẳng đi qua M(1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài ra là d: 4x9y 13 0
Bài 6: Viết phương trình đường tròn đi qua tất cả các giao điểm của 2 elip:
2 2 1
25 4
2 2
2
16 9
Giải:
Gọi M x( M;y M) là một trong số tất cả các giao điểm của 2 elip đã cho, khi đó ta có:
2 2
1
1
2
2 2 2
200
524 161
161
M
M
x
y
Do đó phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2 524
161
x y
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
