Bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm trần minh quang

Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn Giảii tích 12 vẫn là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và tích phân.ỈĐể chuẩn bị cho việc có thể thi trắc nghiệm môn Toán chúng tôi biên so

TRÄN MINH QUANG

ÔN THI TỐT NGHIỆ

MQGHM

TRẦN MINH QUANG

BÀI TẬP

G IẢ I TÍCH 1 2

❖ Theo chưởng trình phân ban của bộ GD & ĐT từ nâm 2008

Tóm tắt lí thuyết - Bài giải tự luộn - Câu hỏi trác nghiệm và trà lởi

(Cấu trúc của chương trình Toán Giải tích 12 có khác với các năm trước Phcần Đại số tổ hợp đã đưa xuống lớp 11, phần Mũ và Logarit dưa lên lớp 12,, bổ sung phần mới là số phức: trên tập sô phức do i2 = -1 nên mọi phuíơng trình bậc n đều có nghiệm Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn Giảii tích 12 vẫn là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và tích phân.

ỈĐể chuẩn bị cho việc có thể thi trắc nghiệm môn Toán chúng tôi biên soạin cả hai phần toán tự luận và câu trắc nghiệm Trong phần toán tự luận các: bài tập được sắp từ cơ bản đến nâng cao (có đánh dấu *), có nhiều bài dược trích từ đề thi tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm

2002 đến 2007

Tác giả xin gởi cuốn sách này như một món quà tinh thần đến các bạn đang chuẩn bị thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại Học và Cao dẳng

Trong quá trình biên soạn chắc chấn §ẽ có những thiếu sót, mong các bạn góp ý và lượng thứ.

TRẦN MINH QUANG

(Chướng I.

VÀ VẼ ĐÓ THỊ HÀM s ò {§1 S ự ĐỒNG BIỂN VÀ NGHỊCH BIEN c ủ a h à m s ố

A/ TTÓM TẮT LÝ THUYẾT

Nếu hàm số y = fĩx), liên tục trên [a; Pb)

b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn pc)

tại ít nhất một c e (a, b) sao cho

Nếu f'(x) = 0 với mọi X € (a, b) thì flx) = c

Định lý: Cho hàm số y = flx) có đạo hàm trêr

• N ếu f'(x) ỉ OV x ễ (a, b) thi f(x) dồng

Vậy hàm số đồng biến trên R (nhận) (1)

• Nếu m * ±1 thl hàm số đổng biến trên R

y s= — X3 - x2sin2a + (4sin2a - 3)x + 1 tăng trên R

Miền xác đinh: D = R

y* = x — 2xsina + 4sin2a - 3 Hàm aố t&ng trẽn R o y* = X2 - 2xsin2a + 4sin2o - 3 > 0 Vx

o (2m + l)sinx - 3 + m s O V x e R

- sinx ' v t 6 Ro

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm n ên X = a e (1, 2) là

B ài 8* Chứng minh phương trình: acos3x + bcos2x ■+ c cosx + sinx = 0

_ luôn có nghiệm trẽn đoạn |0, 2n] vơi a, b, c tùy ý cho trước.

Xét hàm số: F(x) = - asinSx + ịbsin2x + csinx - cơsx

F(x) là hàm số liên tục trên [0, 2n] và có đạo hàm trong khoảng (0, 2*í)

Ta có: F'(x) = acos3x + bcos2x + CCQSX + sinx

2 n - 0

o

2* LU [ ịasin6n + 4bsin4n + csin2n - cos2n - cosO ì2

= acos3a + bcos2a + ccosa + sina

o O s acos3a + bcos2a + ccosa + sina

Vậy phương trình acos3x + bcos2x + cccosx + sinx = 0 luôn cố ngỉhiiệm

Um m để y = X + msinx giảm trên R.

Định m để các hàm số sau đây tăng trên từng khoảng xác định

b/ X5 + (1 - x)6 £

16 Vx

|~8~| Chứng minh:

a/ 2sinx +tgx > 3x Vx e Ịo, — j

[TỊ Cho hàm số y = — - X2 + X + 2 Kết luận nào sau đây là đúng

c / Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng t&ng và 2 khoảng giảm

D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng

21 Cho y = —- kết luân nào sau đây là đúng trên bảng biến thiên?

A/ y tăng trên R

B/ y tảng trên từng khoảng xác định,

c / y có hai khoảng tăng và một khoảng giảm

'D/ y có một khoảng giảm và hai khoảng tăng

Cho y = — Hàm số tăng trên khoảng xác định khi và chỉ kỉhi

2x + m

Cho y = x3 - 4x +1

X* - X + 1 kết luận nào sau đây là đúng:

c / Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng

D/ Trên bảng biến thiên ycó ỉ khoảng tăng và 2 khoảng giảm

I 5 I Hàm số y = —- — đồng biến trên (+2, +*) khi và chỉ khi

A / m < l B / m ỉ l c / m > l D/ m ỉ 1

ỉ Cho hàm số y = X + sinx Kết luận nào sau đây là đúng:

c / y có 1 khoảng tăng và nhiều khoảng giảm

D/ y không tăng và không giảm

~8~| Cho hàmsố y = \Ỉ2 x- X2 Kết luận nào sau đáy là sai:

A/ y đồng biến trên (0; 1) B/ y nghịch biến trên (1; 2)

c / Miền xác định là D = 10; 2] D/ y tâng trên [0; 2]

ơ/ TRẢ LỜI CÂU HỎI TR Ắ C NGHIỆM

2 ^

y" = -cosx - 2cos2x = -4cos2x - cosx + 2

Ta có: y"(kn) s -2 - coskrt < 0 => X = kn là các điểm cực đại

TRUNG tâm T hông ĩjiy ĨHU VIỆN

V'(Xo)

co g(x) = 2x2 + 8x + 8 - m c ó 2 nghiệm phân biệt * -2

Chứng minh với mọi m (Cm) luôn có điểm cực tiểu, cực đại và

khoáng cách hai điểm đó bằng \Ỉ2Õ ■

Gọi A, B là hai điểm cực trị

G iả i

Miền xác định: D = RMrnỊ

Ta có, y' = X 1 - 2mx + ma - 1 g(x)

(x - m)a (x - m)aYêu cẩu bài toán o g(x) có hai nghiệm trái dấu và m

Do A, B 6 (C) => OA = (xA, yA) cùng phương OB = (xB, ye)

o X^B = xByA

Khi m > 0 thì y đạt cực trị tại A, B và đường thẳng AB có phương

trình y = —■— = —'* - ——- (Phải chứng minh lai bài táp 5 trang 21)

AB qua 0(0, 0 ) r > 0 = 0 + m + 2=>m = 2

o c ự c TRỊ CỦA HÀM BẬC BA y = f(x) = ax3 ♦ bx2 •>• cx » d (a * 0)

Ta có f(x) = 3ax2 ♦ 2bx + c

• Nếu A' = b2 - 3ac < 0 thì hàm số đcm diệu trên R

• Nếu A' = b2 — 3ac > 0 thì hàm sô có 2 cực trị Lúc đó lấy hàm số f(x)

chia cho f ’(x) ta được Kx) = A(x).f'(x) + Bx + c

thi phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trí là y = Bx + c

ứ n g dụng: Biện'luận số nghiệm của phương trình bậc 3:

y “

y “

iyCD-ycr<0fhiệm phân biệt ỉđn hơn a

y 'có 2 nghiệm phân biệt x2 > X, > a

ycĐ-ycr < 0 af(a) < 0

Vậy y luôn có hai điếm cực trị

Hàm 8Ố có 3 cực trị

<=> y' có 3 nghiệm phân biệt

» g(x) X 2mx2 + m2 - 9 có 2 nghiệm phân biệt 0

m * 0

A'= 0 - 2m(m* - 9) > 0

Oa m *±3 9) < 0

x - m + ] a) Có 2 cực trị cùng dấu

— Tim m sao eho hàm số:

b) Có cực tiểu hoành độ nhto hom 1.

x' ax2Tìm m sao cho hàm số y = — + Ỉ)X + 1 Có ba cực trị mà hoành

hai điểm đó băng 10

0Cho hàm số y = 4x3 - mx2 - 3x + m Chứng minh răng với mọi m hàm

số luôn có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ cực đại và cực tiểu

luôn trái dấu

(m + l)x2 - 2mx - m 3 + m 2 + 2

Ị & I Cho hàm số y = —1 T —— - — - - với m là tham số * -1 Tìm

m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0, 2).

S ou L1_ X 2 - (m + l)x - m2 + 4m - 2

Xác định tấ t cả các giá trị của tham số m đê hàm số có cực trị Tìm m

để tích các giá trị cực đại và cực tiêu đạt giá trị nhỏ nhất

jlO| Cho hàm số y = X 3 + 2(m - l)x2 - 1 = 0 Chứng minh hàm số có nghiệm

duy nhất

I S Cho hàm số y = fix) = X 3 + ax + 2 (a tham số) Tìm tất cả các giá trị của

tham số a để đồ thị hàm số y = fix) cắt trục hoành tại 1 và chỉ 1 điểm

Il2 | Cho hàm số y = kx4 + (k - l)x2 + (1 - "2k) Tim tấ t cả các giá trị của

tham số k để đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực trị

13 Cho họ đường cong y = - X2 + mx - m 2

và cực tiểu Với m tìm được hãy viết phương trình đường thẳng nối

điểm cực đại và cực tiểu của (Cm)

l u i Cho hàm số y = x * * ^)^-f y + — — (Hm) Tìm tất cả các giá trị của

2 I Cho y = x —•— - - (C) Kết luận nào sau đây là sai:

X *1 ềỉt

A/ y không có cực trị

c/y có hai cực trị

B/ V c ó một C Ư C trịI)/ y cỏ ba cực trị

3J Cho y = X4 - 2x2 - 1 Kết luận nào sau dây là sai:

A/ y có ba cực trị B/ y có một cực đại và 2 cực tiểu

c/ y có một cực tiểu và 2 cực dại D/ y cực dại bằng -1

T~| Cho y = six* Kết luận nào sau đây là sai:

c / y có 2 khoảng táng giảm D/ y đạt cực tiểu tại X = 0

5 (Cho y = mx - — thì y có cực trị khi và ch! khi:

10

y = -2x3 + 3x2 + 1 => y* = -6xz + 6x = 6x(-x + 1)

y' = 0 <=> X = 0 V x = 1

Hai điểm cực trị là: A(0; 1), B(l; 2)

-o y s x + l - > Chọn B

Ta tìm 2 điểm cực trị giống câu 9 hoặc sử dụng kết quả nếu:

y = ^ — k* + c c5 2 điểm cưc trị thì phương trình đường thẳng

dx + cđiểm đó là y = — — -> Chọn c.

Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a, b)

Nếu hàm sế có 1 Cực trị duy nhất là cực dại (hay cực tiểu) th ỉ giá trị

cực đại dó là giá trị lớn nhất (hay gỉổ trị cực tiểu đó là giá trị n h ỏ

nhất) của hàm số trên khoảng (a, b).

X 6 (0, 2) o X = 72y(-2) = -2, y(2) = 2 ,

o <4 - X2 = x 2

X e (0,2)

y(7~2)= 272Vậy: Maxy = 2 72 khí X = 72

y *

49

Do đó: Maxy = 4 khi X = O

f-1.1)

Miny = I khi X = ± ß

1-1 Il 9 V3

O Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = X + cos2x trên I 0;—] b/ y = sm x- trên [O; n]

o Bằi 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhò nhất của: y s sin3x + cos3x

Giải phương trinh bằng cách dùng Max, Min của hàm số.

Xét phương trình fix) = g(x) với X e D

* Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của fix), g(x)

Giả sử tìm được Maxf(x) = M khi X e A c D

o Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = Vx - 2 + s/4 - X.

Sử dụng kết quả đã tìm được giải phương trình

c / CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

fĩ~j Để tìm giá trị nhỏ nhất của y = X2 - 6x + 10 một học sinh đă lặp luật:

mthỏ

:: :)■

\JBước 3:Miny = 0 Chọn kết luận đúng:

*

2!

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của y = X4 - 2x2 + 3 trên [0; 3] là:

y(l) = - 2 ; y (-l) = 2 Vậy M = 2, m = -2 -> chọn B

§4 CUNG LồI, LÕM VÀ DIEM UON

Định li 2: Cho hàm số y = fix) liên tục trên một lân cận nào đó của Xo

và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểmi X)) Nếu dạo hàm cấp hai đổi dấu khi X đi qua Xo thì điểm Mo(xo; flxo))t lả «điểm uấn của đồ thị hàm số đã cho

o Bài 1 Cho y = X3 - 3mx2 + 9x + 1 (C) Tìm m để (C) có điểm «uốn nằm

V ậy: - 2 m 3 + 9m + 1 = m + 1 : 2in3 8in - 0

Ta OỔ: lny* xs 2inL-5————

nhưng đi qua hai giá trị này đạo hàm y" đổi dấu đây vẫn là hoàmhi độ

2 điểm uốn

o Bài 3 Chứng minh đồ thị hàm số y = x + 1

X2 + 1

có ba điểm uốn thảng hàng.

a/ Tìm m đế hàm số đồng biến trong khoảng (-ao; 1) và (1; +ac)

b/ Tìm m đè đường tiệm cặn xièn tạo với trục hoành, trục tung một tam giác cỏ diện tích bằng 8. _

Nên có tiệm cận xión y = X + m + 1

Giao điểm của TCX và trục tung là: AÍO; m + 1)

Giao điểm cua rcx và trục hoành là: B(-(m +1); 0)

Do diện tích ủOAB bằng 8 nên:

- OA.OB = 8 o |yAl Ixnl = 16

<r> (m + l)2 = 16 o m + 1 = ±4

o m = 3 V m = -5 (nhận s o điều kiện m 0)

Do: lim y = ±00 nên tiệm cận đúng X = 2

Do: lim —-— = 0 nên tiệm cận xiên y = -x + 2 o x + y

x->±* m +

V X + m

mx 4 4lim — — — = 00

* “2 7x2 - 4

Vậy (C) có hai tiệm cận đứng X = ±2

A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

P h ư ơng p h á p tổ n g q u á t:

1 Tìm tập xác định, xét tính chất chắn, lẻ, tuần hoàn (nếu có)

2 Tìm các^iới hạn đặc biệt - Tìm tiệm cận (nếu có)

Nếu phương trình y' = 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép (Ay' < 0) thì

hàm số đơn điệu trên R (không có cực trị)

+ y"= 6ax + 26

i 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô" y = X3 - 3x2 + 1

lim y = lim X4 1 1 - -^-1 = +00

z~*±x X~+±x 1 1

a0

ce

bd

ce(dx + e)J

• Nếu phương trình y ' = 0 có 2 nghiệm phán biệt thì hàm số <cd> 2 cụ

*» Nếu phương trinh y'= 0 vô nghiệm hàm số luôn tăng hay giảm trên từng khoảng xác định (không có

Giải

B ài 8 Khảo sầt sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = —— ———

X — 1 X2 + X - 3

X + 2

d /y = - X 8 + 3x2 - 4x + 2 b/ y * - x 4 + 2x2 + 3

d/ y = - X 4 - X2 + 2u/ 2x +1 b/ y =

d /ỹ =

b /y = d/ y =

X + 2 5x - 7 3x + 2 X2 + 2x + 2

X +1 -X2 - 3x - 1

x + 2

CĐU HỎI TR Ắ C NGHIỆM

T | Cho y = X4 - 4x3 + 6x2 + 1 (C)

Mệnh đề năo sau đđy lă đúng:

2 x 1

Y ] Cho y = (C) Kết luận năo sau đđy lă đúng:

B/ (C) luôn luôn lõm

X + 2Ạ/ (C) luôn luôn lồi

c/ Có một điểm uốn

D/ (C) có phần lồi, phần lõm vă không có điểm uốn

~3~| Cho y = (C) Kết luận năo sau đđy lă đúng:

X - 2A/ (C) có tiệm cận đứng X = 2

c/ (C) không có tiệm cận

2

B/ (C) có tiệm cận ngang y = -3 D/ (C) lă một đường thẳng

B/ (C) có tiệm cận đứng X = -3 không có tiệm cận xiín

c/ (C) có tiệm cận đứng X = -3 vă tiệm cận ngang y = 0 •

D/ (C) không có tiệm cận

Cho y x + 2x + 2 Kết luđn năo sau đđy lă đúng:

x + 1A/ (C) có tiệm cận đứng X = -1, tiệm cận xiín y = X + 1

B/ (C) có tiệm cận dứng X = -1 , tiệm cận xiín y = X - 1

c/ (C) có tiệm cận đứng X = -1 , tiệm cận xiín y = - X + 1

D/ (C) có tiệm cận đứng X = -1, tiệm cận xiín y = X - 1

~6~ị Cho y = 7 -x 2 - 4x + 5 (C) Kết luận năo sau đđy lă sai:

A/ Miền xâc định D = [-5, 1] B/ (C) không có tiệm cậh

3

C/ y không có dạo hăm tại X = 1 D/ y khống có cực trị

Cho y = =*■ = (C) Kết luận nằ sau đđy lă đúng:

vx2 - 4A/ (C) có 2 tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B/ (C) có 2 tiệm cận đứng, cố 1 tiệm cận ngang y = 1

C/ (C) có 2 tiệm cận đứng, có 2 tiệm cận ngang

D/ (C) không có tiệm cận

(C) kết luận năo sau đđy lă đúng:

8 Cho y =

x2 - lA/ (C) có 2 tiệm cận đứng vă không có tiệm cận xiín

B/ (C) có 2 tiệm cận đứng vă 1 tiệm cận ngang y = 0

c / (C) có 1 tiệm cận dứng và 1 tiệm cận ngang y = 0

_D/ (C) có 2 tiệm cận đứng và khống có tiệm cận ngang

ị 9 I Cho y s Vx - Vx - 1 (C) kết luận nào sau đây là đúng:

tọa độ nguyên phải có tung độ là:

Kêít luận nào sau đây là đúng khi X < 2 thì (C) và (C') đối xứng nhau qua A/ trục tung B/ trục hoành c/ gốc tọa độ 0 D/ (d) y = X.

19 Cho y = - (C), thì y = 7-7—7 (C') khi X < 0 thì (C'):

X +1 ' |xl + l

A/ Đối xứng (C) qua trục hoành

B/' Đối xứng (C) qua trục tung,

c /' Đối xứng với phần đồ thị (C) mà X > 0 qua y'Oy

kúc lồi, lõm nhưng không có điểm uốn

Câu trả lời đúng là D

T a có y = ——— = — ——— = -3 với x 2

X - 2 X - 2(*C) suy biến thành (d) y = -3 loại bỏ điểm (2, -3) nên không có tiệm cận

Câu trả lời đúng là c

j 4 I T a có lim y = 00 = > * ố tiệm cận đứng X = - 3

llim y = 0 =} có tiệm cận ngang y = 0

Vậy câu trả lời là c

K ết quả chia Homer

Hiển nhiên (C) có 2 tiệm cận dứng X = ±2

Khỉ: X —» +00 thi (C) có tiệm cận ngang y = 1

Khi: X -00 thì (C) có tiệm cận ngang y = -1

Vậy phải chọn kết quả c

1(2, 4 + m) a 1(2, 1) o 4 + m = l o m = -3

-> Chọn B

Đối xứng nhau qua trục hoành khỉ X < 2.

Vậy câu trả lời đúng là B

§7 MỘT S ố BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO HÀM s ố

Chủ đề V S ự TƯƠNG GIAO CỦA HAI Đ ồ THỊ

Phương pháp: Cho hàm số y as f(x) (Ci) và y * g(x) (C2) Muốm x é t 8

tương giao cùa (Ci) và (C2) ta lập phương trình hoành độ giao duểim củ (Ci) và (C2), dó Ịà phương trình (*)

• (Ci) n (C2) = 0 o < * ) vô nghiệm

B à ỉ 1 Cho y = X3 - 3x + 2 (C) Gọi d là đường thẩng qua A(3, 20)) và c

hệ số gổc k Tìm k để d cát (C) tại ba điểm phân biệt. _

hoành độ dương.

G iă i

Phương trình hoành độ giaó điểm (C) và trục hoành:

mxa + X + m ss 0 (*) (điêu kiện X * -1)

Yêu cầu bài toán o (*) có 2 nghiệm phân biệt dương * -1

m * —

« < m < (D2