Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12

Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12 Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12

TRẦN THỊ VÂN ANH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỰ LUẬN

Hinhhoc —

K=“

Trần Thị Vân Anh

Phương pháp giải toán

tự luận

Hinhhoe {9

Biñi [iplI Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập uà rèn ki năng làm bài

v Chuẩn bị cho các kì thì quốc gia do Bộ GD&ĐT tổ chức

LOI NOI DAU

De dap tmg nhu cau học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên, tác giả dã mạnh đạn viết quyền sách:

Phương pháp giải toán tự luận Hình học giải tích 12 Quyền sách được phân chia thành 2 phan :

A Kiên thức cơ bản

B.Cáo dang bài tập cơ bản

Trong phần này, tác giả đã phân chia thành 9 dạng bài tập cơ bản,bao gồm Dang 1: Các phép toán vẻ véctơ

Dạng 2: Tích có hướng và các ứng dụng

Dang 3: Phương trình mặt phẳng

Dạng 4: Phương trình đường thăng

Dang 5: Vị trí tương đối giữa đường thắng và đường thẳng giữa đường

thang và mặt phàng giữa mặt phẳng mặt phẳng

Dạng 6: Khoảng cách và góc

Dạng 7: Mat cau và các bài toán liên quan

Dang 8: Bài tập tổng hợp

Dang 9: Sw dung tọa độ và véc tơ dé giải toán hình học

Ngoài ra đề giúp ban đọc hình dung được yêu cầu và mức độ của các đề thi đại học, tác giả đã đưa vào một số bài toán trong các dé thi dai hoc những năm gần đây

có lời nhận xét để giúp học sinh tránh các sai lầm cơ bản Các bài tập được lựa chọn từ dé đến khó, có những bài tác giả đã đưa ra nhiều phương pháp khác nhau

để bạn đọc tham khảo Mặc dù đã hết sức cố gắng, Song lời giải các bài toán trong quyề sách này có khi chưa phải là phương án giải hay nhất và cũng có thể còn thiếu sót Tuy vậy, tác giả hi vọng rằng quyển sách này sẽ giúp ích cho các bạn

trong quá trình học tập và giảng dạy, đặc biệt là quá trình tự học

Chúc các em học sinh và các thây cô giáo quan tâm đến quyền sách này thành công trên mọi lĩnh vực Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các em học sinh và các thầy cô giáo, tác giả xin chân thành cảm ơn

Mọi ý kiến đóng gop xin lién hé:

Trung tâm sách giáo dục Anpha, 225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5,

Tp HCM ĐT: 08.62676463, 38547464

Email: alphabookcenter@yahoo.com

Tac gia

1

._ Hệ tọa độ trong không gian

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ tọa độ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ

trục tọa độ vuông góc trong không gian

Nếu ta lấy 3 vecto đơn vị ï,j,k lần lượt nằm trên Ox, Oy, Oz thi:

<2 +? c2

i =j =k =1; ij=jk=ki=0

Tọa độ của điểm và vectơ

Trong không gian Oxyz:

Điểm M(x; y; z) = OM =xi+yj+zk

Vecto u =(x; y;z) > U=xi+yj+zk

Cho A(x,; 15 2%);B (Xp; Yas 22) = AB =(X2- X43 Yo - Yas 2 — %)-

Vectơ bằng nhau Tọa độ của veetơ tổng, hiệu

Cho u= (KuYuZ.);V =(Xa:Ya#;)

d mu+nv =(mx, +nx,;my, +ny,;mz, +nz,),m,neé R

Hai vectơ cùng phương

u,v cùng phương (u//v)( #0)©>k e R:v=ku tức là:

X, =kx,

X, _¥2

Ya =ky, hay— er = = (xX, Yp% #0)

Ly om kz, 1 1 zy

Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ke» MA =kMB (k#1)

6

Đặt biệt, nếu k =~—1 thì M là trung điểm của đoạn AB và

w:[5 +Xy Vị tYy Vị s2)

2 2 2

Tích vô hướng của hai vectơ

Cho vectơu = (Xị; Yị; Z4); V (X;; Yạ; Z¿)

a u.v= lh||t|eos(.v) =XIX; †VyY¿ † i2

Tích có hướng của 2 vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u = (x,;¥,32,); V= (xp Yu; %)

Tích có hướng của hai vectơ u,v, kí hiệu [ u,v ] được xác định bởi:

Ngược lại, phương trình: x + y: +2 + 2ax + , 2by, + 2cz +d=0l

phương trình của một mặt cầu nếu có điều kiện a2+b?+c?>d

11

._ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :

Khi đó I (—a; -b; -c) 1a tam mat cầu và R = va? +b° +c?®—d là bán kính mặt câu

© Néua’ +b? +c? =d, phương trình trên xác định một điểm duy nhất

I (-a ; -b; -c)

© Néua? +b? +c? <d, khdng có điểm nào thỏa mãn phương trình

Chú ý: Trong cuốn sách này, khi nói đến vectơ ï, j, k mà không nói gì

thêm thì ta hiểu đó lần lượt là các vectơ đơn vị của các truc Ox, Oy, Oz trong hệ trục tọa độ OxyZ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

* Vecto n#0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ) nếu nó

nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (œ), viết tắt là n 1 (œ)

* Nếu hai vectơ u = (Xị; y¡; Z4); v = (%;; y;; z„) không cùng phương và

các đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên) một mặt

phang (a) thì vectơ

) là một vectơ pháp tuyến của

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Mặt phẳng có phương trình tổng quát 1a Ax + By + Cz + D = 0 với

A’ +B?+C?#40 (1)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của một

mặt phẳng Nếu mặt phẳng (œ) có phương trình (1) thì vectơ n= (A; B; C) la

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ)

+ Mặt phẳng qua điểm Mạ(X; yo; Zo) và có vectơ pháp tuyến là n= (A; B; C) sẽ có phương trình tổng quát là:

A(x~ xo) + Bứy — yo) + C(Z— 2%) = 0 + Các trường hợp đặc biệt:

Xét mặt phẳng (œ) có phương trình: Ax + By + Cz + D =0

Khi đó:

*D=0©mặt phẳng (a) di qua gốc tọa độ

* C =0, D #0 © mặt phẳng (œ) song song với trục Oz

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

(a) cat (a!) <=> AB hose ® ¢ © hose & eA

(a) 1 (a’) = AA’ + BB’.+ CC’ =0

Chú ý: Trong cách viết trên ta quy ước một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0

4 Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng:

Mặt phẳng (œ) cắt trục Ox tại điểm (a; 0; 0), cắt trục Oy tại điểm (0; b; 0) cắt trục OZ tại điểm (0; 0; c) có phương trình: + Ẵ + : =1, abe#0,

Phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (œ) 7 Góc giữa hai mặt phẳng:

8 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (œ): Ax + By + Cz + D = 0 và một điểm Mụ = (Xo; Yo: Zo),

khi đó d(M,.(œ)) = ĐT A?+B°+C?

1II PHƯƠNG TRÌNH DUONG THANG

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

Ax + By+Cz+D=0

Ax + By+Cz+D'=0

với điều kign = # B hoặc PB z eœ hoặc Œœ sẻ xứ

Mỗi phương trình của hệ biểu thị một mặt phẳng, và điều kiện trên chứng

tỏ hai mặt phẳng cắt nhau Như vậy hệ phương trình cho ta đường, thang giao tuyến của hai mặt phẳng Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thăng

có thể lấy là u = [mm] với n = (A; B; C), n' = (A'; B; C9.

Đường thang đi qua diém Mo(xo; yo; Zo) ¢6 vectơ chỉ phương

+d, d° chéo nhau es |u.u | MạM, z 0

Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của 2 đường thằng d, d' ta cũng

có thể xét vị trí tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ phương trình dé tìm giao điểm

* Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d, d' cắt nhau

* Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d = đ'

* Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d, d` song song hoặc chéo nhau, lúc

đó xét thêm veetơ chí phương của chúng, 2 đường thẳng chéo nhau thì 2

vectơ đó khác phương

VỊ trí tương đối của đường thẳng d đi qua điểm Mu(Xụ; yo; Zo) có

vectơ chỉ phương u = (a;b; c)với mặt phẳng (œ) có phương trình:

$S;

10

Aa + Bb + Cc =0

+ả ere eo aes

+d (a) © u, n, cing phuong © [un, | “sỹ

Cũng có thể xét vị trí tương đối của d và (œ) bằng cách xét hệ phương

~ Viết phương trình mp(œ) qua Mạ và vuông góc với đường thẳng d

~— Tìm tọa độ giao điểm H của d và (a)

~ d(M), d) = MiH

ul

+ Khoảng cách giữa hai đường thang d (di qua Mo với vectơ chỉ phương

u) và đ' (đi qua Mẹ với vectơ chỉ phương u') (d va d` chéo nhau)

B PHAN DANG BAI TẬP CAC PHEP TOAN VE VEC TO

A Phương pháp chung

Đề giải quyết tốt các bài toán ở dạng này, trước hết chúng ta cần nắm

vững các khái niệm và tính chất sau:

1 Hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được goi là hệ trục

tọa độ vuông góc trong không gian Điểm O được gọi là gốc tọa độ, Ox

gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, Oz gọi là trục cao Các mat phẳng chứa hai trong ba trục tọa độ gọi là mặt phẳng tọa độ, ký hiệu là

mp(Oxy), mp (Oyz) , mp (Ox2)

Nếu ta lấy 3 vectơ đơn vị ï,j,k lần lượt nằm trên Ox, Oy, Oz thi :

i =(1;0;0);}=(0;1;0);k =(0,0;1)va 7 =} =k =1; ij-jk=Ki=0

Tọa độ của điểm và vectơ

Trong không gian Oxyz: Điểm M(x;y;z) ©œ OM =xi+yj+zk

nN

Vecto u= (X:y;Z) © u=xi+ yj+ zk

Cho A(x13y1521), B(x23y2322) > AB = (X¿ —Xi;Y¿ — V722 —21)-

Vectơ bằng nhau Tọa độ của vectơ tổng, hiệu

d.mu+nv=(mx, +nx,;my, +ny,;mz,+nz,) ,m,neR

4 Hai vectơ cùng phương

u,v cùng phương (u//v)(u #0) >k e R TIẾN tức là:

x, =kx,;y, =ky9;2, = kz,hay~! sleiteot 71: (xp #0;y, #032, #0)

Xy a

Điều kiện cần và đủ để ba điểm ABC thẳng hàng

A, B, C thing hang<> AC=kAB (ke R.)

11

5 Chia doan thing theo tỉ số cho trước

a Điểm M chia đoạn thăng AB theo tỉ số k <> MA =kMB (k #1)

Khi A(xi; y\; Z0); BGø; y2; Z2) ta có:

6 Tích vô hướng của hai vectơ

Cho u =(Xị;y¡;24); V = (X;; Va;Za)

a uv= |ul.|]-coscu.v) =XIX¿ + VIY¿, +Z42¿

b R|=ía =(x? +9 +22

c AB =|AB]= (xp —X¿)Ÿ +(ÿg —YA)” +(Zp —ZA)”

đ cos(uv) = Xi%2 + Vi¥2 +214 ; ful # 0,|y| #0

x7 ty, +27, /x*, ty", +27, ,

e u.Lv«€©u.v=0<€>X¡X; + ÿ¡Y¿ +Z¡Z¿ =0

Các dạng bài tập thường gặp ở trong phần này là :

' Xác định tọa độ của một vec tơ khi biết một điều kiện nào đó

4 Chứng minh hai vec tơ cùng phương với nhau

Xác định tham số để hai vec tơ cùng phương với nhau

3 Chứng mình hai yec to vuông góc với nhau

Xác định tham số đề hai vec tơ vuông sóc với nhau

4 Xác định hình tính của một bộ ba hoặc bón điểm đồng phẳng

5 Tính góc giữa hai vec ta’

6 ` Chứng mình ba điểm thắng hàng Xác định tham số để ba điểm thắng hàng

12

Vậy với m= -2 thì góc giữa hai vec tơ u và v có số đo bing 45°

Vi du 2: Cho vec to u = (3;-5;6) ,biét tọa độ điểm đầu của vec tơ u là

(0:6:2).Xác định tọa độ điểm cuối của vec tơ u

Ví dụ 3: Đôi với hệ tọa độ (0; i; ik) „ cho vectơ tùy ý u z0 Tính giá trị của biểu thức T'=eos? (6) +cos” (u,3) + cos” (uk) ý

Giải:

Đặt u=(a;b;c), ta có {ul = Va? +b? +?

13

Vậy với k = 40 thì vectơ p =ku+17v vuông góc với vectơ q = 3u - v

Ví dụ 5: Cho hai vectơ a =(4;~8;0) và b=(m +1;—-m;m =3) Tính m để

5 - ( 25 14)

$ m=-5 =B=| Trai “aie

Vay voi m = = thi ||

3 la| =

Lí dụ 6: Cho bốn điểm A(6:0;-4), B(-1;9;~3), C(3:-3;0) và D(10;-5;~1)

Chtmg minh rang ABCD là hình bình hành

Giải

Fa có: AB =(-7;2;1); AD = (4;-5:3); DC =(-7;2;1)

AB va AD khong cùng phương,

a AB = DG, AB.AD =-35 40

Vay ABCD 1a hinh binh hanh „

Chú ý: Trong ví dụ này, tác giả muon loại các trường hợp ABCD là hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi Thực ra trong toán học các hình đó đều

là một dạng đặc biệt của hình bình hành Người ta đã chứng mình được rang: Voi 4 điểm A, B, C, D không thăng hàng, ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC

1í dụ 7: Cho tứ giác ABCD với A(-1;3;4), B(3;1;8), C(—1;-3;10) và

D(-5;—1;6) Tứ giác ABCD là hình gì?

Giải

Ta có : AB =(4;~9;4);AD = (~4;~4;9); DC = (4;~3;4)

> AB=DC; AB=AD=6; AB.AD=0

Suy ra ABCD là hình vuông

Lí dụ 8: Cho tứ giác ABCD với A(0;-3;1), B(3;2;-5), C(5;2;-4) va D(2:~2;2) Tứ giác ABCD là hình gì?

Ví dụ 10: Tìm điểm M trên trục Oy, cách đều hai điểm A(-4:3;:2) và B(-1;2;-3)

Giải

“e y;0) c Oy, ta có

=v16+(y- 3) P44; MB = J1+(y- a): +9

M cách déu hai diém A va B¢> MA = MB

©16+(y~8) +4=1+(y =B) +9 y=

Vậy tọa độ điểm M thỏa điều kiện bài toán là: MÍo si 0| %

Vi du 11: Cho hai điểm M(2;—1;4) và 1(-3;2;5) Tìm điểm M` đối xứng

với M qua I

Cách 1: M'(x:y:z) đối xứng với M(2;~1;4) qua điểm le I(=8;2;5) là

trung điểm của MM"

Vi du 13: Cho tam giác IJK voi 1(2;0;-5), J(-1;5;-4) K(4;2;-9) Tìm tọa

độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK

16

tâm đường tròn ngoại tiệp tam giác [IK là |—:—:—— | âm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ass 3)

Cách 2: Cách giải này có thê sự dụng cho các bài toán dạng này nhưng không ở trường hợp đặc biệt như ví dụ trên

Goi M (x; y, z) là tâm đường tròn ngoại tiếpAIJK khi đó ta có

IM = MU = MK Giải hệ phương trình này ta có tọa độ của điểm M

Ví dụ 14: Cho tam giác ABC với A(2;0;-4), B(-1;0;-7), C(-2;-1;-3) Trực tâm của tam giác ABC có tọa đô là bao nhiêu?

Giải

Tacó AB=(-3;0;-3); BC=(-1;-1;4); CA =(4;1;-1)

= AB=BC =CA = V18, suy ra tam gidc ABC Ia tam giác đều

Do đó trực tâm của tam giác ABC trùng với trọng tâm G của nó, mà tọa

độ của điểm S(-š:-g:- 3): 3 3 3

Vậy trực tâm của tam giác ABC có tọa as(-2:-4,-14),

Vi du 15: Cho ba điểm A(7;5;1), B(4;5;~2), C(3;4;2).Tim tọa độ điểm M

thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều ba điểm A, B, C

Giải:

Ta có M(x;y;0) mp(Oxy) , suy ra :

MA? =(x~7) +(y—5)” +1; MBÊ =(x-4)” +(y~—5)” +4

MŒ? =(x~3)” +(y ~4)” +1; M cách đều ba điểm A, B, C

MA? = MB?

MB? = MC?

oe |(x-4}' +(y-B)°+4=(x-8+(y-4Ÿ'+4 @ 2 2 2 2

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được x=5 ;y =3 Vậy tọa độ điểm M

thuộc mp(Oxy) và cách đều ba điểm A, B, C là M(5;3;0)

c> MA=MB=MEc: |

Tỷ

2 =i,

Ví du 16: Cho tam gidc ABC véi A(m?; m—5;-2), B(-2m; 3m’;

C(3m -2;2m? -1;6) Xác định m để tam giác ABC có trọng tâm G ở

Vậy với m=l thì tam giác ABC có trọng tâm G ở trên trục Öz

Ví dụ 17: Cho vectơ v =(4;-3;2) và O(0;0;0) là gốc tọa độ Gọi M; là ảnh của điểm M(-1;0;~3) qua phép tịnh tiến Ty và M' là ảnh của M, qua

phép đối xứng tâm Ð o: Tọa độ của M" là bao nhiêu?

Ví dụ 18: Cho tam giác ABC với A(-2;0;-3), B(-4;1;-1) va C(-4;-4;1)

AD là phân giác trong tại A của tam giác ABC(DeBC) Tìm tọa độ điểm D

DC va DB là hai vectơ ngược hướng nên từ (1) ta có: DC =-2DB

Vay diém D chia doan thang CB theo ti sé k = -2

Vậy tọa độ điểm p{-4.-2,-4)

3 3 Vidu 19: Xac dinh m dé hai vecto a =(-1;4;-3) và b=(m? -2; 2m~m”;~3m] cùng phương

Vậy giá trị x,y để ba điểm A, B, C thang hang lax = 5; y = 11

Ví dụ 22: Cho hai điểm A(-1;6;6),B(3;-6;~9) Tìm M thuộc mặt phẳng

(Oxy) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

19

Giải:

Vi z, =6;z, =-2 > 2.23 <0= A, B ở hai phía của mặt phẳng (Oxy)

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng

© AM,AB cùng phương S[AM, AB | = )

Goi i Mx; y; Z) thuộc mặt phẳng (Oxy)

Giải hệ phương trình (4) va (5), taco: x=4, y=-5

Thay x và y vào (2), ta có: z=10.Vậy d= (4;-5;10)

Vi du 26: Cho hinh chop A.BCD voi A (3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4),

D(1;-2;6)

a/ Tính tọa độ chân H của đường cao AH của hình chóp

b/ Tính đường cao AH và thê tích khôi chóp

c/ Tinh tọa độ trọng tâm hình chóp

a“ Gọi x, y, z là tọa độ của chân H của đường cao AH trên mặt phăng

(BCD): AH +(BCD)

21

Thay z+2=2(y —1) vào (2), ta có: x=3y

Thay z và x vào (1), ta có:(y —1)(14y -21) =0 <> y=1 hay y=5

Với y =l,ta có x=3 vàz=-9—= điểm A(3;1;-2)

Với y=2,, thes t=! veges điểm 4(3.3;-1)

Ví dụ 27: Cho ba điểm A(4;-3;2), B(-2;m;3), C(n;4;~2) Tính m v¿ n đê:

a/ Điểm G(2;-1;1) là trọng tâm của tam giác ABC

b/ Ba điểm A, B, C thẳng hàng _

e/ Tìm giao điểm E của đường thăng AG và mặt phăng (xOz)

2

Chú ý : Ở bài toán này chúng ta có thê sử dụng cách khác như sau:

A,B,C thăng hàng AC = -kAB (ke R.) Từ đó giải hệ ba phương trình ba ẩn số thì ta có kết quả cần tìm

c/ Cho E(x;0;z) Ta có: AG =(-2;9;~1) và AE = (x -4;3;2—2)

AE cùng phương với AG

Vi du 28: Cho tam giác ABC có A(1;-2;6), B(9;5;1), C(-1;8;4)

a/ Tính tọa độ các chân E và F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của tam giác ABC trên BC

b/ Tính độ dài các đoạn phân giác đó

Ví dụ 29: Cho hình tứ diện ABCD, E va F lần lượt là trung điểm của cạnh

AC va BD, O là trung điểm của EF

1 Chứng minh OA +OB+O€+OD =0

2 G¡ là trọng tâm của ABCD chứng minh AG¡ qua O, từ đó chứng minh

4 đoạn thăng nôi từ đỉnh của tứ diện với trọng tâm của các mặt đôi

diện đồng quy tại O

3 Chứng minh 3 đoạn thẳng nối các cặp trung điểm của các cặp cạnh

đối của tứ diện cũng đồng quy tại O

4 Với M là điểm bất kì hãy chứng minh MA + MB + MÔ + MŨ =4MO,

từ đó hãy xác dinh diém M sao cho MA + MB+ MC + MD =2AC

5 Với ABCD là tứ diện đều cạnh a, tìm tập hợp các điểm M sao cho:

|MA + MB + MG + MD| =av6

24

nén c6 OA +30G, =0 hay OA =-30G, Suy ra A, O, G, thing hang

và O la diém chia doan AG; voi ti số ne =g.Với Go, G3, G4 lan lượt là trong tâm của các mặt ACD, ABD: ABC, ta cũng chứng minh tương tự như trên, suy ra BGạ, CG3, DG, qua O Vay 4 đoạn thăng nói từ đỉnh của

tứ điện với trọng tâm của các mặt đối diện đồng quy tai O

Gọi 1 K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta chimg minh IK qua

0.Ta co: OA +OB=201; OC+OD =90K

Tacó MA+MB=32MÏ; MC+ MŨD =9MK

Do dé MÃ + MB + MÔ + MŨ = 2(MĨ + MK) = 2(2MO) =4MO

M thoa man MA + MB + MG + MD = 2AG

@ 4MO = 2AG © MÔ - x = AB Vậy M là đỉnh của hình Bình hành

AEOM, dựng trong mặt phẳng (ACF)

Với ABCD là tứ diện đêu cạnh a thì AG¡ còn là đường cao của tứ diện

đều do đó:AG, < S5 và 0A = ÝAG, nh =

Tập hợp các điểm M sao cho:

|MA + MB + MỂ + MD|= a6 e |4

MO =®*Ê - 0A - OB=0C =OD

=av6

25

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán là mặt cầu tim O, bán kính R = “ „ ngoại tiếp tứ diện đều ABCD

Ví dụ 30: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác M là trung điểm cạnh AB,

N là trung điểm của cạnh CD, G và G¡ lần lượt là trọng tâm của đáy (*)

và mặt bên SCD

1 Xác định một điểm I sao cho IÄ + IB + IC + IÖ + IS = 0

2 Chứng minh SG và MG¡ qua I, từ đó chứng minh rằng đoạn thang nói

từ đỉnh với trọng tâm của đáy cùng với 4 đoạn thắng nói trung điểm của một cạnh đáy với trọng tâm mặt đối diện thì đồng quy tại I

3 E là trung điểm của SA, đường thắng EI cắt mặt phẳng đáy tại F, chứng minh F là trọng tâm của ABCD

Giải:

._ Vì M,N là trung điểm của AB và CD ta có:

IA+IB=3IM, IƠ+[ID=3ïÑ, IA+IB+I€+ID =2(TM+IN)

Do G là trung điểm của MN nên IM +IN =32IG và

GA +GB+GC+GD =9GM +9GN =0 nên G là trọng tâm của tứ giác

ABCD Do đó IÄ +TB + IỞ + ID =4IG

IA+IB+I€+IÐ+IS=0 © 41G +IS=0 Điều đó chứng tỏ I là điểm

nằm trên đoạn SG và Rel

2 G¡ là trọng tâm ASCD nên có IỔ + ID + IS =31G, do đó:

26

Gia str F là trọng tâm ABCD nên ta có

TA +IB+IC+ID+IS=2IM+3IG, =0 suy ra I la diém trên đoạn MG¡

3

va ‘i => Vay MG, qua I va SG qua I Tuong tu, ta cũng chứng minh được 3 đoạn thăng nói các cặp trung điểm của BC, CD, AD với trong

tâm của ASAD; ASAB; ASBC đều qua I

IB+I€+1ID =3IE E là trung điểm của

SA suy ra IA + IS = 3IE Do đó

IA +IB +I€ + ID + TS =3IE + 3IE =0

IE 3

hay ay I là điểm thuộc đoạn EF vi IF 2 I là điểm thuộc đoạn EF và — ==,

EF qua I, va F là giao điểm của EI với

mặt đáy ABCD và F là trọng tâm ABCD

C Bai tap van dung

Cho vecto v - Ík11J, biết tọa độ điểm cuối của vec tơ v là (214)

Xá: định tọa độ điểm đầu của vec to v

Cho hai vec to a =(-1:3;5); b =(2m° +m +56;m? +2m;m!' + m* - 49) Tìm giá trị m dé a=b

Cho hai vecto u = (3; -6; 2); v= (m? + m)i+ 2m) + (m? + 2m)k

Iìnm để u lv, biết v#Ö

Cho a=(m+ 5;2m;-m);b =(3;6;-2).Tim m dé la| =|)|

Ch› v=(2a —1;a”;a +8) Xác định a để |v| bé nhất và tìm min v

Ch› ba điểm A(9;~-1;1), B(3;-2;-1), C(1;3;4)

1.1im tọa độ giao điểm của đường thắng ` và mặt phẳng (yOZ)

2.Jim điểm N trên x`Ox cách đều A và B

3.1ìm điểm E trên mặt phẳng (xOy) cách đều A, B và C

Cho A ABC có A (1; =3; 0), B (1; -6; 4), C (13; =3; 0) Tìm bán kính

đường tròn nội tiếp A ABC

Ch›u =(m? -4;3m +1;m? + 1) va v = (-2;-4;-4) Tinh m dé v= -2u Cho ba vecto a= (-3;1;-2), b= (-6;-3;3) va c= (-4:3;-5) Có thể

phin tich e theo a và b được không?

Trong (Oxyz) cho M(-1; 3; 2), N(3; 4; 0) và P(0; —1; 3) Tìm toạ độ của điềm Q sao cho MNPQ là hình bình hành

C†lo hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biét A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), DG; -1; 0,

€4; 5; =5) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại

Cho hình hộp ABCD.A'B'C}D' có A(x;; y¡; 2), BE; yz; 22), Cx; Y3; Zs) Va D%x,; yy, z,) Tim toa d6 cae dinh con lai

Cto a =(2;-5;3),b = (0;2;-1),c = (1;7;2)

a.7inh toạ độ cla v = 4a — b+ 3e

b.“ính toạ độ của x thoả: a+x=b+e

Tith tích vô hướng của hai vectơ a, b trong mỗi trường hợp sau:

(Oyz) tại điểm M Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào Từ đó suy ra tọa

2 Tính x và y để (2-1-2) là trọng tâm của tam giác ABC

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', E và F lần lượt là trọng tâm ABDA' và

ACB’D’

1 Chứng minh rằng a đường chéo của hình hộp đồng quy tại O va O là

trung điểm của mỗi đường

2 Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua O

3 Chứng minh rằng E và F là giao điểm của đường chéo AC' với mặt

phăng (BDA') và mặt phẳng (CB'D') , AE = EF = FC’

4 Nếu ABCD.A'B`C'D' là hình lập phương cạnh a, với M là điểm di

động trong không gian sao cho:

'MA+MB+MC+MD+MA'+MB'+ MC'+MD' =k

Hãy xác định k để tập hợp của M là mặt cầu tâm O tiếp xúc với các

cạnh của hình lập phương

5 Nếu ABCD.A"B`C'D' là hình hộp chữ nhật đường chéo là 6d, tìm tập

hợp các điểm N sao cho:

NB? +NCŒ? +ND? +NA ?+NB + NGC?+ ND'®~7NA? = 72d?

D Hướng dẫn và đáp số

.- Tọa độ điểm đầu của vec to v la : (1;0;3)

Ta có: a= (x;y:z):b= (xyz); Khi đó a=b«e€>x=x' SyY=y'z=z'

2m* +m +56=-1

Do đó ta có hệ phương trình: 4m” + 2m =3

mí + mẺ ~49 =5

Tacé v=(2a-1)? +a? +(a +8)? = \j6(a +1)? +59 >59

Dau bang xảy ra © a= — 1 Vậy minv = 59 khia=-1

Goi M(0;y;z) 1a giao diém của đường thăng AB và mặt phẳng (yOZ)

Ta có AM= (-2:y +1;2-1) va AB =(1;-1;-2) cùng phương

BE? of +(y+1JŸ +(-1Ÿ =(x-3} +(y+9) +(1)

AE? =CEP ` |(x-sŸ + (y =1 +(<VŸ =(x= +(y =8) + 4)

(2) 4 m =3 =9(1) va (3) dung Vay v= -2u @&xims58

9 c phân tích theo a và b <> Tòn tại duy nhất cặp số thực (x;y) sao ciho:

-4=-3x-6y (1) c=xa+yb © 3=x-3y (2)

-§ =-2x+3y (3)

Giải hệ phương trinh®2), (3) ta duge x=2 va y = -+ ¡ x=9 Và

y=-5=() ding Vay ¢= 24-20

10 MNPQ 1a hinh binh hanh nén:

Xq —Xm = Xp — Xn Xạ+l=0-3 Xạ=-4 MQ=NP Yq-Ym =Yp-Yn@ Yq -38=-1-4 4 ¥q =-2

Vậy C(2; 0; 2); CC'= (2; 5; -7), do (2) suy ra: A'(3; 5; =6), B'(4; 6; ~5)

vàD (3; 4; =6)

12 Gd II lần lượt là trung điểm của AC, B`D' và K là trung điểm của II"

thiK là trung điểm chung của các đường chéo AC", BD', CA", DB'

rack: lÍ5 T5: KH Xa 5i “| poe 32 134 ait)

a.b=-4+6+3 =5 Nên cos(a Ð)~ TN" T8 " Nhi

cos(AC, BD) = |cos(AC, BD) | (ac) BD” a “g8

suy ra(AB,CD) = arecos{ Ì) AD = (-3;1;-1), BC = (0;-1;1)

Giải lệ phương trình trên ta có: x, =2; Xạ = 7 và xạ = 3

211.A.B,C thăng hàng «s AB cùng phương AC

a,b, -a,b,=0 [-1(y-1)-0(x-3)=0

= ja,b, —a,b, = 0 40(-1)-(-1)(y-1)=0 =|

22

34

1 Goi O là trung điểm của AC", chứng minh B`D qua O

Vì O là trung điêm của AC" nên có:

Từ (1) và (2) = OB' +OD =0 =B`D qua O và O là trung điểm của

B'D Tương tự, ta cũng chứng minh được BD’ va A’C qua O

Qua chứng minh trên ta có

OB' + OD =0;0A + 0C'=0;0B + OD' =0;0C + OA*=0

E, F là trọng tâm ABDA' và ACB'D' nên OB+OD+OA"=3OE_ (3)

Từ (5), (6) tacé AB -=0 >E, A, O thing hang vi AE=" AO = BAC

Tuong tu chimg minh O, F, C’ thang hang va C'F = FAC! 8

Vậy BE =2 AC và C'F =FE =EA “gÁC'.

4 Vị O là trung điểm các đường chéo AC’, B’D, A'C,BD' nên có

OA+O0C'=0; OB'+OD=0;0A'+OCG=0; OB+OD'=0

Do do OA + OB+ OC + OD + OA'+ OB" + OC'+ OD' = 0

Tacé MA =MO+0OA;MB = MO + OB;

MA + MB + MC+ MD + MA‘ + MB! + MC' + MD’ =8|MO =k =|MO|=—

Hình cầu tâm O tiếp xúc với các cạnh của hình lập phương khi bán kính

=

r==—`“ Do đó tập hợp của M là hình cầu tâm O, tiếp xúc với các cạnh của lập phương khi ave ok =4av2

5 Tacé NA=NO+0A > NA? = NO + OA? + 2NO.0A

NB* = NO? + OB’ +2NO.0B; NC? = NO? + OC? + 2NO.0C

ND* = NO* + OD? +2NO.0D; NA*=NO? +0A"+2N0.0A‘

NB® =NO* +OB"+2NO.0B'; NC” = NO? +0C"+2N0.0C'

ND” =NO? + OD"+2NO.0D" Tir do suy ra:

NA’ + NB? + NC? + ND? + NA?+NB"”+NC?+ ND”?

= 8NO? + 80A? = 8NO? + 8(3d)’ = 8NO? + 82d?

Ta thay NB? + NC? + ND? + NA+ NB"+ NC?+ND®-7NA? = 72d?

<> NA? + NB? + NC? + ND? + NA+ NB"+ NC'?+ ND”?- 8NA? = 72d?

<> 8NO? + 72d” -8NA? = 72d? © NO = NA

Vậy tập hợp các diém N là mặt phẳng trung trực của đoạn OA

35

2 TICH CO HUONG VA VECTO DONG PHANG

A Phương pháp chung :

Để giải quyết tốt các bài tập ở dạng này trước hết chúng ta phải nắm vững một số kiến thức sau :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

u=(x,3y15z1);¥ =(x13y1321) Tich có hướng của hai vectơ u,v, kí hiệu

[u,v] duge xác định bởi:

a, [5»!-[ÍƑ 2

= (Yi TZIŸ¿;24X¿ — XiZa;XIY¿ — Y\22)-

b Khi đó : [g,v|Lu; [g,v |Lv; [u,v |=[l||s|sinúa, v)

a Diện tích tam giác ABC : Sanc = 2[^52e] l

b Diện tích hình bình hanh ABCD : Sanco = | AB.AC

e Thể tích khốihộp — Vụpancpawcp= [AB.AD].AA Ï

d Thể tích khối lăng trụ tam giác VAncAwc-= 2[ABAB]AA]

e Thể tích khối tứ điện : Vạpcp= = [ABC] AD|

Từ đó ta thấy rằng các dạng bài tập thường gặp ở đây là :

1 Tinh tích có hướng của hai vectơ

2 Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng, chứng minh bồn điểm đồng phẳng

3 Tỉnh diện tích một số hình phẳng

4 Tính thể tích một số khói đa điện.

B Các ví dụ mình họa:

Lí dụ 1: Cho bốn điểm A(0;3;-2), B(-3;1;-1), C(4;3;0) va D(2;1;-2)

Chứng minh ABCD là một tứ diện và tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD

Giải

Tacé AB=(-3;-1;1); AC=(4;1;2); AD =(2;-1;0)

Ta thay AB va AC khong cùng phương Giả sử AB, AC, AD đồng phăng => Tôn tại hai số thực m van sao cho mAB+nAC = AD

Ta có AB= (2;4;-1); AC =(3;7;-1); AD= (3a + 2;9;-3)

Ta thay AB va AC không cùng phương

Vay A, B, C, D đồng phẳng © AB, AC, AD đồng phẳng

29m +3n =3a+2 q)

«» 3m,neR: mAB+nAC = AD œ 4m +7n =9 (2)

—-m-n=-3 (3)

* Giai hé (2) va (3) taduge m=4 va n=-1

* Thay m=4 và n=-1 vào (]), ta có 8-3=3a+2c>a=1

Vậy giá trị a đê A, B, C, D cùng ở trên một mặt phẳng là a= 1

Ví dụ 3: Cho ba vectơ u=(x?;x;x?-5), v =(-4;2;1), w=(0;-2;3)

Tinh x để u, v, w đồng phẳng

37

Giải

a(x ex" 5); v= (-3;2;1);w =(0;-2;3) =>[v,w |= (8:12:8)

=[v,w w]u= 8x? +12x + 8Íx” ~B)= 16x? + 12x - 40

u,v,w đồng phẳng c>| v,w ].u=0 &>16x?+12x-40=0

Vậy giá trị x để u, v, w đồng phăng là x = -2; x=

Vi du 4: Cho mặt phẳng (œ) qua ba diém A(0;-2;0), B(1;~4:3), C(2:~2:~3)

Tìm một vectơ vuông góc với mặt phẳng (a)

Ma[AB,AG]1 AB; [AB,AC]1 AG nén [AB,AC |= w = (6:9;4) thì

w LAB; w1AC Suy ra wi mp(a)

Vay vectơ vuông góc với mặt phẳng (œ) là w = (6;9;4)

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' (AA’, BB’, CC’, DD’ 1a

các cạnh bên): A (0;-3;1), B(-2;-2;1), C(—4;-6;2), D(-2-7;2), A'(1;-1;11)

Tính thẻ tích khối lăng trụ tứ giác

Giải

(210) ís AB=DC )=(-3; 1) » ABAD=0=ABLAD

[A,AO]=(18/10;3) = [AB,AC |.AA' = 18 +50 +2 =70

` [AB.AG].AA]|=35 (dvtt)

Vay Vane ane:

Độ dài đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B°C' là:

h= x voi V =3 và diện tích tam giác ABC là :

ABC

Swane = AC] = 5 vis? + 107 +2? =/10?

Vậy độ dài đường cao của hình lăng trụ là h = Ee ‘

V107

Ví dụ 7: Cho tứ dign ABCD: A(-1,0;-2), B(-3;2:~1), C(0;1;~4) D(-2-1.3)

Xác định khoảng cách từ D đến mặt phăng (ABC)

Giải

Dé tính khoảng cách từ D đến mặt phăng (ABC), trước hết ta tính thé

tích khói tứ diện ABCD Ta có : V„y¿p = al^5 AG].AP| mà

Vậy Viscn = =[ AB AC] AD|= =) =2 (dvtt)

Khoảng cách từ D dén mp(ABC) la:h = d(D,mp(ABC)) = awe

AABC

Vi Vancp =2; Saanc = 5[AB.AC} =" ah= “a 6

1 sẽ

Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là = h = Ặ

Lí dụ 8: du ổ: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho a= (2; _ 1) b = (5; 7.0), c= (3; 2; -4)

a Chứng minh rằng ba vec tơ a,b,¢ khong đồng phẳng

b Cho véc to d= (4; 12; -3) Hãy phân tích vec tơ đ theo a,b,c

b Phân tích vec to d= (4, 12, —3) theo ba vec tơ a,b,c :

Giả sử đã phân tích vec tơ d theo ba vec to a,b,c ,khi đó tổn tai ba sé x,

4=2x+5y+3z (1)

y, z sao cho d= xa+yb+ze 12=3x+7y+2z (2)

-3 =x-4z (3) Thế (3) x= 4z -3 vào (1), (2),ta có hệ phương trình:

3(4z—3) + 7y + 2z =12 7y+14z=21

ðy +102 = lỗ z=5

Tir do suy ra:x =17 Vay d = 17a-7b+5c

Ví dụ 9: Cho ba vec tơ u =(9;—11),v =(m;3;-1),w =(1;2;1) Tim gid trị m

dé ba vec tơ đã cho đồng phẳng

Xv, w ding phing < [u,v].w =6.<23m+8=0 =m = -5,

Vậy giá trị m dé ba vec tơ đã cho đồng phang là: m = 4 ;

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD có A(3;1;—1),B(3;0;1), C(2;—1;3) va De Oy

Biết rằng thẻ tích của khối tứ diện ABCD bằng 5 Tìm tọa độ điểm D

Giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D có dạng (0;y;0) Theo giả

thiết ta có : A(2;1;-1),B(3;0;1), C(2;—1;3) nên :

AB = (1;-1;2), AD = (-2; y -1;1), AC = (0;-2;4)

=| AB, AC] = (0;~4;-2) va [AB,AC]AD =-4(y-1)-2=-4y +2

Mặt khác Vunep =g|AB.AC ].AB và Vagcp =5 nên :

Ví dụ TT: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(1;2;-1),B(2;-1;3), C(-4;7;5)

1 Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

2 Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ B

°[x=-g: peas i} Vay D|-Š:y: )> pp = 24 3 3 89

Ví dụ 12: Cho bốn điểm A(4;9;3), B(-2;1;-1), C(3;8;7), D(-6;2;z)

a/ Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

b/ Định D để ABD là tam giác cân tại B

c/ Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABD

d/ Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

a/ Ta có:

AB? =(~2—4)” +(1—9)” +(—1—8)Ï =36+1+16=õ3 = AB = 53 AC? = (3-4) +(8-2)' +(7-3)' =1+36+16=53 = AC = 53

Do đó AB = AC Vậy tam giác ABC cân tại A