Chu trình Hamilton và chu trình dài nhất trong một số lớp đồ thị có tổng bậc lớn

MỞ ĐẦU Các vấn đề của lý thuyết đồ thị đã có từ vài trăm năm trước (năm 1736 với bài toán 7 cây cầu ở thành phố Konigsber) nhưng phải tới vài chục năm gần đây, theo cùng sự phát triển của công nghệ thông tin, thì lý thuyết đồ thị mới thực sự phát triển mạnh mẽ không ngừng cả về chiều sâu cũng như chiều rộng. Sự phát triển của lý thuyết đồ thị gắn liền với những tên tuổi các nhà toán học lớn như Euler, Gauss, Hamilton, Erdos... Một trong những lý do khiến lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ như vậy là vì lý thuyết đồ thị khá gần gũi với thực tế và có những ứng dụng sâu rộng trong công nghệ thông tin và nhiều ngành khoa học khác. Vấn đề chu trình là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu tới vấn đề này, đặc biệt là chu trình Hamilton với khoảng 400 bài báo khoa học được đăng tải trên các tạp chí khoa học quốc tế có uy tín hàng đầu trong vòng 20 năm gần đây [25], [26], [27]. Hiện nay, các nghiên cứu về chu trình nói chung và chu trình Hamilton rộng trên nhiều khía cạnh, trong đó tập trung chủ yếu tới bậc của đỉnh; ngoài ra còn nghiên cứu trên các đồ thị 1-tough, đồ thị path-tough, đồ thị có tập láng giềng lớn, đồ thị phẳng, đồ thị ngẫu nhiên, đồ thị lưỡng phân và chu trình dài nhất, chu trình Dominating... Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đã tập trung nghiên cứu về chu trình Hamilton trên các lớp đồ thị khác nhau, chẳng hạn như Ngô Đắc Tân nghiên cứu trên lớp đồ thị split và cubic, Vũ Đình Hòa nghiên cứu trên lớp đồ thị 1-tough có tổng bậc lớn… Chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong bài toán người bán hàng, lập kế hoạch, hay trong thiết kế vi mạch, thiết kế đường truyền trong mạng… Bài toán (xác định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong đồ thị) được biết là bài toán [23] nên trong trường hợp tổng quát sẽ không có thuật toán tốt (thời gian đa thức) để giải nó. Do đó, việc tìm ra được các trường hợp thuộc lớp của bài toán cũng như việc thiết kế được thuật toán thời gian đa thức để xác định được chu trình Hamilton có ý nghĩa hết sức quan trọng. Các nghiên cứu hiện nay hầu hết là dựa trên những lớp đồ thị đặc biệt và tập trung vào việc chỉ ra sự tồn tại của chu trình Hamilton trong những lớp đồ thị đó. Có rất nhiều lớp đồ thị được xét tới, trong đó phần lớn các lớp đồ thị này được xác định theo điều kiện tổng bậc (của đỉnh) đủ lớn [15], [17], [18], [20], [22], [29], [30], [31], [36]... Một số tác giả nghiên cứu độ phức tạp của bài toán [3], [15], nghiên cứu đến việc thiết kế các thuật toán để xác định chu trình Hamilton, trong đó có các thuật toán Backtrack, Heuristic và các thuật toán thời gian đa thức áp dụng cho những lớp đồ thị đặc biệt [5], [12], [22], [28], [38], [44]… Trong [15] (Định lý 16), các tác giả đã đánh giá độ phức tạp của bài toán với lớp đồ thị thỏa mãn vẫn còn là bài toán với mọi . Có thể nói rằng kết quả này là tiền đề cho nghiên cứu về chu trình Hamilton của tác giả trong luận án. Thêm vào đó, một số kết quả trong [11], [17], [32], [36] đã khẳng định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện của tổng bậc và đủ lớn, tuy nhiên các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện và là chưa có thuật toán xác định chu trình Hamilton. Cùng với chu trình Hamilton, chu trình dài nhất trong đồ thị cũng được tập trung nghiên cứu tới và có nhiều kết quả đối với chu trình dài được áp dụng cho việc chứng minh sự tồn tại cũng như thiết kế thuật toán để xác định chu trình Hamilton. Trong bài báo [8], các tác giả D. Bauer, G. Fan, H. J. Veldman đã đưa ra một Giả thuyết đánh giá độ dài chu trình dài nhất theo giá trị mà cho tới nay vẫn chưa có chứng minh thỏa đáng nào cho Giả thuyết này. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là:  Nghiên cứu bài toán trên các lớp đồ thị có tổng bậc và lớn, trong đó tập trung vào trường hợp .  Đánh giá độ phức tạp của bài toán theo một tham số . Xác định để bài toán chuyển từ lớp sang lớp .  Xây dựng thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton trong một số lớp đồ thị đã khảo sát.  Đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các thuật toán bằng chương trình thực nghiệm trên các đồ thị lớn.  Đánh giá độ dài của chu trình dài nhất trong lớp đồ thị 1-tough với . Kết cấu của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận.

Trang 1

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Nguyễn Hữu Xuân Trường

CHU TRÌNH HAMILTON VÀ CHU TRÌNH DÀI NHẤT TRONG MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ TỔNG BẬC LỚN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016

Trang 2

Mục Lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh sách các ký hiệu v

Danh mục hình vẽ vii

Danh mục bảng ix

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CHU TRÌNH TRONG ĐỒ THỊ 4

1.1 Một số khái niệm và quy ước 4

1.1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị 4

1.1.2 Một số ký hiệu và quy ước 7

1.2 Chu trình trong đồ thị 2-liên thông 8

1.3 Chu trình Hamilton 9

1.3.1 Độ phức tạp của bài toán 10

1.3.2 Một số điều kiện cần 11

1.3.3 Một số điều kiện đủ đối với bậc của đỉnh 12

1.3.4 Một số thuật toán xác định chu trình Hamilton 14

1.4 Bao đóng đồ thị 15

1.5 Chu trình Dominating 18

1.6 Chu trình trong đồ thị có tập láng giềng lớn 20

1.7 Kết luận Chương 1 21

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN 22

2.1 Giới thiệu bài toán và 22

2.2 Độ phức tạp của bài toán và 22

2.3 Độ phức tạp của bài toán 24

2.3.1 Một số kết quả với 24

2.3.2 Chứng minh cho Định lý 2.3 27

2.3.3 Thuật toán đa thức nhận biết ba dạng đồ thị đặc biệt thỏa mãn 48

2.4 Bài toán 50

Trang 3

CHƯƠNG 3 THUẬT TOÁN ĐA THỨC XÁC ĐỊNH CHU TRÌNH HAMILTON TRONG ĐỒ THỊ VÀ 53

3.1 Thuật toán cho lớp đồ thị 53

3.2 Thuật toán cho lớp đồ thị 57

3.3 Sử dụng bao đóng cho các lớp đồ thị có tổng bậc lớn 59

3.4 Chương trình thực nghiệm 61

3.4.1 Giới thiệu chương trình 62

3.4.2 Bộ dữ liệu đầu vào 63

3.4.3 Đánh giá hiệu năng 64

CHƯƠNG 4 ĐÁNH GIÁ ĐỘ DÀI CHU TRÌNH DÀI NHẤT TRONG ĐỒ THỊ 1-TOUGH VỚI 70

4.1 Giới thiệu Giả thuyết Bauer 70

4.2 Các Tính chất và Bổ đề 70

4.3 Chứng minh cho các trường hợp 79

KẾT LUẬN 92

Những công trình đã công bố liên quan đến luận án 93

Tài liệu tham khảo 94

Trang 4

Số thành phần liên thông của đồ thị

Chỉ số liên thông của đồ thị

Tập láng giềng của đỉnh trên đồ thị

, Đồ thị thu được từ bằng cách bổ sung cạnh nối và

[ ] Đồ thị con sinh của trên tập đỉnh con

⃗⃗⃗ Chu trình theo một chiều quay định hướng

⃖⃗⃗⃗ Chu trình với chiều quay ngược với chiều của ⃗⃗⃗

Đỉnh liền trước và đỉnh liền sau của theo chiều ⃗⃗⃗

, với

Trang 5

, với

⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Đoạn đường trên từ tới theo chiều quay ⃗⃗⃗ Đường đi với các đỉnh cuối là

| | | | Số đỉnh của đường đi , chu trình

Độ dài (số cạnh) của đường đi , chu trình

Chu vi của , hay độ dài của chu trình dài nhất trong Bài toán đường đi Hamilton (Hamiltonian Path)

Bài toán chu trình Hamilton (Hamiltonian Cycle)

Bài toán trong lớp đồ thị thỏa mãn

| |

, với

với là một chu trình dài nhất của

là một chu trình dài nhất của

Trang 6

Danh mục hình vẽ

Hình 1.1 Đồ thị 5

Hình 1.2 Đường đi sau khi mở rộng đến đỉnh 8

Hình 1.3 Đồ thị Petersen 12

Hình 1.5 Quá trình tạo bao đóng đồ thị 16

Hình 1.6 Biến đổi chu trình 18

Hình 1.7 Chu trình Dominating 19

Hình 2.1 Đồ thị ̅ 23

Hình 2.2 Đồ thị ̅ 24

Hình 2.3 Đồ thị Dạng 1, Định lý 2.3 25

Hình 2.6 Minh họa cho chứng minh phần c) Mệnh đề 2.3 30

Hình 2.7 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 2.4 31

Hình 2.8 Đồ thị trong phần chứng minh I, Định lý 2.3 33

Hình 2.9 Minh họa cho Trường hợp 1, phần chứng minh II, Định lý 2.3 34

Hình 2.11 Minh họa cho Trường hợp 2.1, phần chứng minh II, Định lý 2.3 36

Hình 2.12 Minh họa đỉnh kề với và , Trường hợp 2.1 36

Hình 2.13 Đồ thị trong phần chứng minh Trường hợp 2.1, Định lý 2.3 37

Hình 2.14 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.9 37

Trang 7

Hình 3.1 Mở rộng chu trình theo trường hợp thứ 2 và 3 của Thuật toán 3.2 58

Hình 3.2 Một số chương trình tìm chu trình Hamilton khác (nguồn [44]) 60

Hình 3.3 Sơ đồ thuật toán xác định chu trình Hamilton sử dụng bao đóng đồ thị 61

Hình 3.4 Sơ đồ khối thực hiện chương trình 62

Hình 3.5 Biểu đồ thời gian chạy Chương trình 1 và Chương trình 2 theo số đỉnh 64

Hình 3.6 Chu trình ban đầu và vòng lặp mở rộng 65

Hình 3.7 Biểu đồ thời gian chạy Chương trình 2 trên đồ thị S3-2000 theo độ dài chu trình khởi tạo ban đầu 68

Hình 4.1 Minh họa việc thiết lập các đỉnh trên 72

Hình 4.2 Minh họa Trường hợp 1, Bổ đề 4.2 74

Hình 4.3 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.3 74

Hình 4.15 Minh họa cho Trường hợp 2.1 84

Trang 8

Danh mục bảng

Bảng 1.1 Một số thuật toán Backtrack và Heuristic xác định chu trình Hamilton 14

Bảng 3.1 Các chương trình thực nghiệm xác định chu trình Hamilton 62

Bảng 3.2 Danh sách các đồ thị được tiến hành thực nghiệm 63

Bảng 3.3 Thống kê thời gian chạy chương trình khi sử dụng Thuật toán 1.1 64

Bảng 3.4 Tổng hợp thời gian chạy Chương trình 1 trước và sau khi cải tiến 67

Bảng 3.5 Tổng hợp thời gian chạy Chương trình 2 trước và sau khi cải tiến 67

Bảng 3.6 Thống kê thời gian chạy Chương trình 2 trên đồ thị S3-2000 theo độ dài chu trình khởi tạo ban đầu 68

Trang 9

MỞ ĐẦU

Các vấn đề của lý thuyết đồ thị đã có từ vài trăm năm trước (năm 1736 với bài toán 7 cây cầu ở thành phố Konigsber) nhưng phải tới vài chục năm gần đây, theo cùng sự phát triển của công nghệ thông tin, thì lý thuyết đồ thị mới thực sự phát triển mạnh mẽ không ngừng cả về chiều sâu cũng như chiều rộng Sự phát triển của

lý thuyết đồ thị gắn liền với những tên tuổi các nhà toán học lớn như Euler, Gauss, Hamilton, Erdos Một trong những lý do khiến lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ như vậy là vì lý thuyết đồ thị khá gần gũi với thực tế và có những ứng dụng sâu rộng trong công nghệ thông tin và nhiều ngành khoa học khác

Vấn đề chu trình là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu tới vấn đề này, đặc biệt là chu trình Hamilton với khoảng 400 bài báo khoa học được đăng tải trên các tạp chí khoa học quốc tế có uy tín hàng đầu trong vòng 20 năm gần đây [25], [26], [27] Hiện nay, các nghiên cứu

về chu trình nói chung và chu trình Hamilton rộng trên nhiều khía cạnh, trong đó tập trung chủ yếu tới bậc của đỉnh; ngoài ra còn nghiên cứu trên các đồ thị 1-tough,

đồ thị path-tough, đồ thị có tập láng giềng lớn, đồ thị phẳng, đồ thị ngẫu nhiên, đồ thị lưỡng phân và chu trình dài nhất, chu trình Dominating Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đã tập trung nghiên cứu về chu trình Hamilton trên các lớp đồ thị khác nhau, chẳng hạn như Ngô Đắc Tân nghiên cứu trên lớp đồ thị split và cubic, Vũ Đình Hòa nghiên cứu trên lớp đồ thị 1-tough có tổng bậc lớn…

Chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong bài toán người bán hàng, lập kế hoạch, hay trong thiết kế vi mạch, thiết kế đường truyền trong mạng… Bài toán (xác định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong đồ thị) được biết là bài toán [23] nên trong trường hợp tổng quát sẽ không có thuật toán tốt (thời gian đa thức) để giải nó Do đó, việc tìm ra được các trường hợp thuộc lớp của bài toán cũng như việc thiết kế được thuật toán thời gian đa thức để xác định được chu trình Hamilton có ý nghĩa hết sức quan trọng

Các nghiên cứu hiện nay hầu hết là dựa trên những lớp đồ thị đặc biệt và tập trung vào việc chỉ ra sự tồn tại của chu trình Hamilton trong những lớp đồ thị đó

Có rất nhiều lớp đồ thị được xét tới, trong đó phần lớn các lớp đồ thị này được xác định theo điều kiện tổng bậc (của đỉnh) đủ lớn [15], [17], [18], [20], [22], [29], [30], [31], [36] Một số tác giả nghiên cứu độ phức tạp của bài toán [3], [15], [23], [34], [37], hoặc đánh giá số lượng chu trình Hamilton [14]… Một số khác

Trang 10

nghiên cứu đến việc thiết kế các thuật toán để xác định chu trình Hamilton, trong đó

có các thuật toán Backtrack, Heuristic và các thuật toán thời gian đa thức áp dụng cho những lớp đồ thị đặc biệt [5], [12], [22], [28], [38], [44]…

Trong [15] (Định lý 16), các tác giả đã đánh giá độ phức tạp của bài toán với lớp đồ thị thỏa mãn vẫn còn là bài toán với mọi Có thể nói rằng kết quả này là tiền đề cho nghiên cứu về chu trình Hamilton của tác giả trong luận án Thêm vào đó, một số kết quả trong [11], [17], [32], [36] đã khẳng định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện của tổng bậc và đủ lớn, tuy nhiên các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện và là chưa có thuật toán xác định chu trình Hamilton

Cùng với chu trình Hamilton, chu trình dài nhất trong đồ thị cũng được tập trung nghiên cứu tới và có nhiều kết quả đối với chu trình dài được áp dụng cho việc chứng minh sự tồn tại cũng như thiết kế thuật toán để xác định chu trình Hamilton Trong bài báo [8], các tác giả D Bauer, G Fan, H J Veldman đã đưa ra một Giả thuyết đánh giá độ dài chu trình dài nhất theo giá trị mà cho tới nay vẫn chưa có chứng minh thỏa đáng nào cho Giả thuyết này

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là:

 Nghiên cứu bài toán trên các lớp đồ thị có tổng bậc và lớn, trong

đó tập trung vào trường hợp

 Đánh giá độ phức tạp của bài toán theo một tham số Xác định để bài toán chuyển từ lớp sang lớp

 Xây dựng thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton trong một số lớp đồ thị đã khảo sát

 Đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các thuật toán bằng chương trình thực nghiệm trên các đồ thị lớn

 Đánh giá độ dài của chu trình dài nhất trong lớp đồ thị 1-tough với Kết cấu của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận

Chương 1: Tổng quan về chu trình trong đồ thị

Giới thiệu một số vấn đề cơ bản của lý thuyết đồ thị, các khái niệm, các quy ước và ký hiệu sử dụng trong luận án Tiếp đến, giới thiệu tổng quan về vấn đề chu trình trong đồ thị, trọng tâm là chu trình Hamilton Ngoài ra, tác giả đưa ra một số

Trang 11

kết quả nghiên cứu về bao đóng của đồ thị để sử dụng trong một số chứng minh của luận án

Chương 2: Một số lớp đa thức của bài toán

Chương này nghiên cứu về chu trình Hamilton theo hai bài toán và (với nguyên dương, số thực là tham số) như sau:

Chương 4: Đánh giá độ dài chu trình dài nhất trong đồ thị 1-tough với

Trang 12

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CHU TRÌNH TRONG ĐỒ THỊ

1.1 Một số khái niệm và quy ước

1.1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

Trong luận án này, ta chỉ xét tới các đồ thị hữu hạn, đơn, vô hướng và không

có trọng số Các khái niệm, ký hiệu chủ yếu tham khảo trong [16]

Một đồ thị là một cặp , trong đó là tập đỉnh và [ ] là tập

cạnh Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị , được viết là | | Trong luận án

luôn sử dụng ký hiệu là số đỉnh của đồ thị

Hai đỉnh và được gọi là kề nhau nếu là một cạnh của đồ thị Nếu mọi đỉnh của kề nhau từng đôi một thì được gọi là đồ thị đầy đủ Một đồ thị đầy đủ

có đỉnh được ký hiệu là Tập đỉnh con là độc lập nếu mọi cặp đỉnh

thuộc đều không kề nhau Ký hiệu (hay viết đơn giản là nếu không xảy ra

sự hiểu lầm) là số phần tử của tập độc lập lớn nhất trong và được gọi là số ổn

định trong của

Với đỉnh , ta ký hiệu (hay viết đơn giản là ) là tập láng

giềng của trong , Bậc của đỉnh , ký hiệu bởi (hay viết đơn giản là ) là số phần tử của , | |

Đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị , ký hiệu là , nếu

và Với , ta ký hiệu là đồ thị con thu được từ đồ thị bằng cách loại bỏ tất cả các đỉnh thuộc và các cạnh nối tới các đỉnh đó

Ngoài ra, đồ thị con sinh của trên tập đỉnh , ký hiệu là [ ], được định nghĩa là

đồ thị trên tập đỉnh và bảo toàn tập cạnh, tức là hai đỉnh trong [ ] kề nhau khi và chỉ khi chúng kề nhau trong Trong luận án thường viết đơn giản là thay cho [ ]

Với thì ta ký hiệu là tập hợp các đỉnh thuộc và có láng giềng thuộc , tức là: Ta cũng thường viết thay cho nếu không xảy ra sự hiểu lầm

Đồ thị (hoặc ) và (hoặc ) tương ứng được

ký hiệu là đồ thị thu được từ đồ thị bằng cách loại bỏ hoặc bổ sung cạnh nối giữa hai đỉnh và

Trang 13

Đồ thị bù của , ký hiệu bởi ̅, là đồ thị có tập đỉnh là và tập cạnh là [ ]

Hai đồ thị và được gọi là rời nhau nếu Với số nguyên dương cho trước và đồ thị đôi một rời nhau , phép kết

nối đồ thị này là một đồ thị được ký hiệu bởi với tập đỉnh là

và tập cạnh là với mọi Ví dụ, , hay với số nguyên thì là đồ thị được biểu diễn như trong Hình 1.1

Hình 1.1 Đồ thị

Khái niệm đường đi và chu trình trong luận án là đơn, nghĩa là chúng chỉ đi

qua các đỉnh không quá một lần Một đường đi (đơn) là một đồ thị con không rỗng có cấu trúc:

và trong đó, với mọi Các đỉnh được nối bởi , và gọi là các

đỉnh cuối; các đỉnh gọi là các đỉnh trong của Số cạnh của đường đi

gọi là độ dài của nó, ký hiệu là

Nếu là một đường đi và thì được

gọi là một chu trình, khi đó chu trình được viết như sau: Số cạnh của chu trình gọi là độ dài của nó, ký hiệu là Chu trình có độ dài được ký hiệu là Độ dài của chu trình dài nhất trong đồ thị được gọi là chu vi, ký hiệu là

Đồ thị được gọi là liên thông nếu hai đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi một đường đi trong Nếu không liên thông thì sẽ bao gồm các đồ thị con

liên thông và gọi là các thành phần liên thông của Ký hiệu số thành phần liên

Trang 14

thông của là Đỉnh được gọi là đỉnh cắt nếu Tập đỉnh

được gọi là tập đỉnh cắt nếu

Đồ thị được gọi là -liên thông ( ) nếu | | và liên

thông với mọi tập mà | | Số nguyên lớn nhất thỏa mãn là -liên

thông gọi là chỉ số liên thông của , ký hiệu là

Khoảng cách giữa hai đỉnh , ký hiệu là , được định nghĩa như sau: nếu cùng thuộc một thành phần liên thông thì là độ dài của đường đi ngắn nhất nối hai đỉnh đó, ngược lại thì

Với số nguyên dương , ta định nghĩa như sau:

là tập đỉnh độc lập ,

Trường hợp thì đặt Với và chỉ xét tới các cặp đỉnh có khoảng cách 2, ta định nghĩa:

, Trong luận án thường viết lần lượt thay cho và nếu không xảy ra sự hiểu lầm Nếu không là đồ thị đầy đủ, ta định nghĩa giá trị và như sau:

| | , | | Trường hợp là đồ thị đầy đủ thì đặt Ta cũng thường viết đơn giản là lần lượt thay cho và

Đồ thị được gọi là -tough ( ) nếu với mọi tập đỉnh cắt thì

| | Đồ thị 1-tough cũng thường được gọi là đồ thị tough

Lưu ý 1.1

 Việc kiểm tra tính liên thông và tìm các thành phần liên thông của đồ thị chỉ cần

một thuật toán đa thức không quá phép toán thực hiện [1]

 Việc tìm một đường đi giữa hai đỉnh của đồ thị cũng chỉ cần một thuật toán đa

thức không quá phép toán thực hiện [1] Nếu sử dụng phương pháp tìm

kiếm theo chiều rộng (BFS) thì đường đi tìm được sẽ là đường đi ngắn nhất

Trang 15

 Mọi đồ thị tough đều là đồ thị 2-liên thông nhưng điều ngược lại không đúng,

chẳng hạn như đồ thị ̅ (với nguyên dương) là đồ thị 2-liên thông

nhưng không là đồ thị tough

 Việc nhận biết một đồ thị có là 2-liên thông hay không chỉ cần một thuật toán đa

thức không quá phép toán thực hiện nên đây là vấn đề thuộc lớp Tuy

nhiên, việc nhận biết một đồ thị có là tough hay không lại là vấn đề thuộc lớp

[6]

1.1.2 Một số ký hiệu và quy ƣớc

Các ký hiệu khi viết không kèm theo đồ thị tường minh thì hiểu mặc định là

đồ thị Ví dụ, viết tương ứng thay cho

Giả sử là một đường đi và là một chu trình của đồ thị Trong luận án, đôi khi ta có thể xem như là một tập đỉnh con của (tương ứng thay cho )

Một đường đi là mở rộng (theo tập đỉnh) của đường đi nếu

Tương tự, một chu trình là mở rộng của chu trình nếu Với , ta ký hiệu là đoạn đường chạy dọc theo từ đỉnh tới đỉnh Như vậy, nếu là các đỉnh cuối của thì cũng chính là Ngoài ra,

| | quy ước là số đỉnh nằm trên đoạn đường con này

Giả sử chu trình Ta quy định một chiều quay

⃗⃗⃗ theo thứ tự chỉ số các đỉnh và chỉ số các đỉnh được lấy theo Với đỉnh , ký hiệu lần lượt là đỉnh liền trước và liền sau của theo chiều quay

đã định Với tập đỉnh thì , Với số nguyên dương , ký hiệu và Ta ký hiệu đoạn đường trên bắt đầu từ một đỉnh và kết thúc tại theo chiều quay đã quy định bởi ⃗⃗⃗ , đoạn đường đó theo chiều ngược lại

ký hiệu là ⃖⃗⃗⃗ Nếu là một thành phần liên thông của , ký hiệu là tập hợp các láng giềng của trên Một dãy cung ngoại biên nối hai đỉnh trên là một đường đi có các đỉnh cuối là 2 đỉnh đó và các đỉnh trong thuộc Đặc biệt, một cạnh nối 2 đỉnh không liền nhau trên cũng là một dãy cung ngoại biên Đôi khi ta cũng thường không viết dấu phẩy (,) ngăn cách giữa các đỉnh của một chu trình hoặc một đường đi Ví dụ, viết thay cho

Trang 16

1.2 Chu trình trong đồ thị 2-liên thông

Trước hết, ta có một khẳng định quan trọng sau cho đồ thị 2-liên thông:

Mệnh đề 1.1 Mọi đồ thị 2-liên thông đều có chu trình

Việc chứng minh Mệnh đề 1.1 là khá đơn giản và cũng đã được đề cập trong [16] Có thể xây dựng thuật toán đa thức xác định một chu trình bất kỳ cho đồ thị 2-liên thông bằng cách là xuất phát từ một đường đi độ dài 1 (gồm 2 đỉnh kề nhau), sau đó ta sẽ liên tục mở rộng đường đi cho đến khi nào có đỉnh cuối thỏa mãn tính chất có láng giềng thuộc đoạn đường trước đó và | | (Hình 1.2) Khi đó,

ta sẽ có chu trình gồm các đỉnh từ tới dọc theo đường , sau đó quay trở lại

Hình 1.2 Đường đi sau khi mở rộng đến đỉnh

Thuật toán 1.1 Xác định một chu trình trong đồ thị 2-liên thông

Input: Đồ thị 2-liên thông

Output: Một chu trình của

End;

End;

Trang 17

Thuật toán trên là đúng đắn vì trong trường hợp đỉnh cuối không có láng giềng thuộc thì sẽ tồn tại một đỉnh và | | , vì nếu không thì và do đó đồ thị không 2-liên thông (khi ta loại bỏ đỉnh liền trước trên đoạn đường thì số thành phần liên thông của đồ thị sẽ lớn hơn 1) Thuật toán

sẽ kết thúc sau không quá phép toán thực hiện

Nếu là một chu trình dài nhất của , ta có Bổ đề quan trọng sau:

Bổ đề 1.1 Cho đồ thị 2-liên thông với đỉnh và là một chu trình dài nhất của , là một thành phần liên thông của Nếu có không quá đỉnh thì :

(a)

(b) Không có dãy cung ngoại biên nối hai đỉnh của hoặc

(c) Nếu với thì không có ⃗⃗⃗ sao cho đồng thời có

Tương tự, không có ⃗⃗⃗ sao cho đồng thời có

Việc chứng minh các phần (a), (b), (c) của Bổ đề 1.1 là đơn giản và đã trở thành chuẩn (luôn chứng minh bằng phản chứng và chỉ ra mâu thuẫn bằng cách mở rộng được chu trình ) nên ta không chứng minh lại ở đây Với giả thiết là chu trình với không quá đỉnh, ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.2 Cho đồ thị 2-liên thông với đỉnh và là một chu trình của với

không quá đỉnh, là một thành phần liên thông của Nếu

và là tập đỉnh độc lập thì với mọi và với mọi

ta có:

1.3 Chu trình Hamilton

Chu trình đi qua mọi đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần, gọi là chu

trình Hamilton Đồ thị có chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton Tương

tự, đường đi qua mọi đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần, gọi là đường

Hamilton và đồ thị có đường Hamilton gọi là đồ thị nửa Hamilton

Trang 18

Lịch sử phát sinh đồ thị Hamilton được xuất phát từ trò chơi đố vui của

William Rowan Hamilton vào năm 1859 Chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng

trong thực tế, ví dụ như trong bài toán người bán hàng, lập kế hoạch, hay trong thiết

kế vi mạch, thiết kế đường truyền trong mạng… Cho đến nay, vấn đề chu trình Hamilton vẫn còn là mở và trở thành một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị với rất nhiều công trình nghiên cứu Thông qua ba bài tổng quan [25], [26], [27] của Ronald J Gould thì có thể thấy rằng trong vòng 20 năm trở lại đây có khoảng 400 bài báo khoa học nghiên cứu về chu trình Hamilton được đăng tải trên các tạp chí khoa học quốc tế có uy tín hàng đầu

Chu trình Hamilton là một vấn đề được nghiên cứu rộng, các nghiên cứu tập trung phần lớn vào việc chỉ ra sự tồn tại của chu trình Hamilton trong một số lớp đồ thị đặc biệt Có rất nhiều lớp đồ thị được nghiên cứu tới theo nhiều khía cạnh khác nhau, chẳng hạn như bậc của đỉnh, đồ thị tough, đồ thị path-tough, đồ thị có tập láng giềng lớn, đồ thị phẳng, đồ thị ngẫu nhiên, đồ thị lũy thừa, đồ thị lưỡng phân, chu trình dài nhất, chu trình Dominating và đặc biệt là các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện tổng bậc đủ lớn [15], [17], [18], [20], [22], [29], [30], [31], [36]… Một số tác giả nghiên cứu đến độ phức tạp của bài toán (xác định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong đồ thị) [3], [15], [23], [34], [37], hoặc đánh giá số lượng chu trình Hamilton [14]… và một số khác nghiêu cứu việc thiết kế thuật toán để xác định chu trình Hamilton, trong đó có các thuật toán Backtrack, Heuristic và các thuật toán thời gian đa thức áp dụng cho những lớp đồ thị đặc biệt [5], [12], [22], [28], [38], [44]… Trong luận án sẽ nghiên cứu chu trình Hamilton theo hướng sau:

 Nghiên cứu bài toán trên lớp đồ thị có tổng bậc và lớn

 Nghiên cứu độ phức tạp của bài toán và xác định ranh giới để bài toán chuyển từ lớp sang lớp

 Xây dựng thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton trong một số lớp đồ thị đã khảo sát mà bài toán thuộc lớp

1.3.1 Độ phức tạp của bài toán

Bài toán đã được chứng minh trong [23] là các bài toán

(Hamiltonian Cycle Problem)

Instance: Đồ thị

Question: có là đồ thị Hamilton?

Trang 19

(Hamiltonian Path Problem)

Instance: Đồ thị

Question: có là đồ thị nửa Hamilton?

Một số tác giả cũng đã nghiên cứu đến độ phức tạp của bài toán trên những lớp đồ thị đặc biệt, chẳng hạn như trong [37] đánh giá độ phức tạp trên lớp

đồ thị có hướng phẳng, hay trong [3] nghiên cứu trên hai lớp đồ thị dạng lưỡng phân Trong [15], các tác giả đã chỉ ra rằng bài toán vẫn còn là bài toán trên lớp đồ thị thỏa mãn điều kiện với mọi :

Định lý 1.1 [15, Định lý 16] là bài toán với mọi

Kết quả trên là một tiền đề quan trọng để tác giả tiếp tục nghiên cứu đến độ phức tạp của bài toán trên các lớp đồ thị có tổng bậc và lớn

1.3.2 Một số điều kiện cần

Một số điều kiện đơn giản sau đây là cần thiết trong việc phân tích khi nào một đồ thị cho trước có tồn tại hay không chu trình Hamilton:

 Nếu là đồ thị Hamilton, thì là đồ thị 2-liên thông

 Nếu là đồ thị Hamilton, thì chứa một đồ thị con là 2-thành tố (mọi

đỉnh đều có bậc bằng 2)

 Nếu một đỉnh có bậc bằng 2 thì hai cạnh của nó phải nằm trên một chu

trình Hamilton

 Nếu một đỉnh bậc lớn hơn 2 và hai cạnh liền kề của nó nằm trên một chu

trình Hamilton thì các cạnh liền kề còn lại không nằm trên chu trình Hamilton đó

Điều kiện 1-tough cũng đã được Chvátal chứng minh là điều kiện cần cho một

đồ thị là Hamilton:

Định lý 1.2 [13] Nếu không 1-tough thì không là đồ thị Hamilton

Trang 20

Định lý 1.3 [7] Với mọi , luôn tồn tại đồ thị -tough không là đồ thị

nửa Hamilton

1.3.3 Một số điều kiện đủ đối với bậc của đỉnh

Các kết quả nghiên cứu về chu trình Hamilton hầu hết tập trung ở điều kiện

đủ, đặc biệt là điều kiện đủ đối với bậc của đỉnh Ta bắt đầu với một kết quả của Dirac:

Định lý 1.4 [17] Nếu đồ thị với đỉnh và bậc mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn

thì là đồ thị Hamilton

Định lý Dirac là trường hợp riêng của Định lý Ore

Định lý 1.5 [36] Nếu đồ thị với đỉnh và thì là đồ thị Hamilton

Với đồ thị tough, mở rộng cho Định lý Ore, Jung có kết quả sau:

Trang 21

Định lý 1.6 [29] Cho là đồ thị tough với đỉnh và Khi đó,G là

đồ thị Hamilton

Giá trị là tốt nhất có thể trong trường hợp này, vì tồn tại vô số đồ thị tough thỏa mãn nhưng không là Hamilton, chẳng hạn như lớp đồ thị: ( ̅ ) , với và là số lẻ, là đồ thị 6 đỉnh được biểu diễn như trong Hình 1.4

Với đồ thị -liên thông, Bondy đưa ra kết quả tổng quát cho như sau:

Định lý 1.8 [11] Nếu là đồ thị -liên thông thỏa mãn thì là

đồ thị Hamilton

Liên quan đến khoảng cách có các kết quả sau:

Định lý 1.9 [31] Cho đồ thị liên thông với đỉnh Nếu với mọi cặp đỉnh không kề nhau thì là đồ thị Hamilton hoặc lẻ và

̅ ̅ ̅

Định lý 1.10 [32, Định lý 5] Cho là đồ thị 2-liên thông với đỉnh thỏa mãn Khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trang 22

1 là đồ thị Hamilton

2 là số lẻ và ̅ ̅ ̅

1.3.4 Một số thuật toán xác định chu trình Hamilton

Bài toán trong trường hợp tổng quát là bài toán , do đó sẽ không có thuật toán tốt (thời gian đa thức) để giải nó Nếu duyệt toàn bộ thì phải mất thời gian là để có thể xác định được chu trình Hamilton (nếu có) Các nghiên cứu về thuật toán để xác định chu trình Hamilton được tiếp cận theo các hướng sau:

 Thuật toán Backtrack (Quay lui)

 Thuật toán Heuristic

 Thuật toán tìm kiếm chu trình Hamilton cho các lớp đồ thị đặc biệt

Trong [38], Vandergriend đã đưa ra một cái nhìn tổng thể về các thuật toán xác định chu trình Hamilton Các thuật toán Backtrack luôn đảm bảo tìm được chu trình Hamilton (nếu có) hoặc sẽ kết thúc sau khi vét cạn các trường hợp mà đồ thị không có chu trình Hamilton, tuy nhiên khả năng thực hiện hạn chế và thời gian chạy không khả thi trên các đồ thị lớn Các thuật toán Heuristic có sự cải tiến về khả năng thực hiện trên các đồ thị lớn và thời gian chạy tuyến tính hoặc đa thức, tuy nhiên nó không đảm bảo rằng sẽ tìm được chu trình Hamilton, mặc dù được thực hiện trên đồ thị Hamilton Dưới đây là một số thuật toán Backtrack và Heuristic xác định chu trình Hamilton trong đồ thị vô hướng [5], [12], [38]:

Bảng 1.1 Một số thuật toán Backtrack và Heuristic xác định chu trình Hamilton

HAM Bollobas, Fenner and Frieze Heuristic

HideHam Broder, Frieze and Shamir Heuristic

Trang 23

LinearHam Thomason Heuristic

Snakes and Ladders P Baniasadi, V Ejov, J.A Filar, M

Haythorpe, S Rossomakhine Heuristic

MultiPath cải tiến Andrew Chalaturnyk Backtrack

KTC Shufelt and Berliner Backtrack

Một số tác giả khác đã nghiên cứu tới việc xây dựng các thuật toán xác định chu trình Hamilton trong các lớp đồ thị đặc biệt Các thuật toán này thường đảm bảo tìm được chu trình Hamilton, thời gian chạy đa thức và có thể thực hiện trên các đồ thị lớn, tuy nhiên nhược điểm là không thực hiện được trên đồ thị tổng quát Gần đây, trong [28] các tác giả đã đưa ra thuật toán thời gian trên đồ thị Circular-Arc, trong [22] sử dụng phương pháp “tham lam” và 2-matching để xây dựng thuật toán thời gian xác định chu trình Hamilton trong đồ thị ngẫu nhiên… Với đồ thị Ore (đồ thị thỏa mãn ), một số tác giả cũng đưa ra thuật toán đa thức để xác định chu trình Hamilton, chẳng hạn như thuật toán

do Bondy và Chvátal đưa ra, tiếp đến là thuật toán do Albertson đề xuất trong [4]…

1.4 Bao đóng đồ thị

Một trong những phương pháp chứng minh cho sự tồn tại của chu trình

Hamilton là sử dụng bao đóng đồ thị Trước hết ta bắt đầu với một Bổ đề sau:

Bổ đề 1.3 [10] Giả sử đồ thị có bậc và hai đỉnh không kề nhau thỏa mãn Khi đó, là đồ thị Hamilton khi và chỉ khi là đồ thị

Hamilton

Khái niệm bao đóng của đồ thị được Bondy và Chvátal đưa ra lần đầu tiên trong [10] Bao đóng của đồ thị , ký hiệu bởi là đồ thị thu được từ bằng cách bổ sung thêm các cạnh nối các cặp đỉnh không kề nhau có tổng bậc không nhỏ hơn , quá trình này được thực hiện cho đến khi nào không còn cặp đỉnh không kề nhau mà có tổng bậc không nhỏ hơn nữa Bao đóng của một đồ thị luôn xác định duy nhất, không phụ thuộc vào thứ tự cạnh mới được thêm vào [2] Như vậy,

là đồ thị nhỏ nhất thỏa mãn:

Trang 24

 là đồ thị con và chứa tất cả các đỉnh của

 , với mọi cặp đỉnh không kề nhau

Hình 1.5 Quá trình tạo bao đóng đồ thị

Trong việc bổ sung lần lượt các cạnh mới để tạo bao đóng , ta thực hiện việc gán nhãn tăng dần theo thứ tự các cạnh được bổ sung bằng mảng Trước hết, [ ] với mọi cạnh và đặt Khi cạnh mới đầu tiên được bổ sung, ta gán [ ] , và thu được đồ thị mới Tiếp theo, khi cạnh mới thứ hai được bổ sung, ta gán [ ] , và thu được đồ thị mới … Quá trình được thực hiện liên tục cho đến khi không có cạnh nào được bổ sung nữa và thu được đồ thị cuối cùng là Rõ ràng là:

Sau đây là thuật toán thời gian thực hiện việc xây dựng bao đóng cho

For each do [ ] ;

;

Repeat

Trang 25

Stop True;

For each do

If and [ ] [ ] Then Begin

Stop False;

; ; [ ] ; [ ] [ ] ; [ ] [ ] ; End;

Until Stop;

End;

Nếu là một đồ thị con của , ta đặt: [ ] [ ]

Từ Bổ đề 1.3 dễ dàng suy ra kết quả sau:

Mệnh đề 1.2 Nếu thì là đồ thị Hamilton khi và chỉ khi là đồ

thị Hamilton

Thuật toán sau đây có thời gian thực hiện sẽ xác định một chu trình Hamilton của từ một chu trình Hamilton trong đồ thị

Thuật toán 1.3 [2] Biến đổi chu trình Hamilton của đồ thị bao đóng

Input: là một chu trình Hamilton của

Output: Một chu trình Hamilton của đồ thị

Đánh số lại các đỉnh trên theo thứ tự mới:

Trang 26

; End;

End;

Hình 1.6 Biến đổi chu trình

Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán:

Ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp [ ] và [ ] [ ] thì luôn tồn tại sao cho , và [ ] [ ] [ ] [ ] Thật vậy, xét đồ thị :

Lưu ý rằng và [ ] [ ] Đặt

và Khi đó: | |

và | | Vì [ ] , ta có | | | |

Nhận thấy rằng nên và tồn tại Do đó: và [ ] [ ] [ ] [ ]

Hơn nữa, chu trình mới thỏa mãn [ ] Do đó, sau một số hữu hạn bước thì [ ] , khi đó là chu trình Hamilton của đồ thị

1.5 Chu trình Dominating

Chu trình của đồ thị được gọi là chu trình Dominating (hay -chu trình)

nếu đồ thị không có cạnh (hay mọi cạnh của có ít nhất một đỉnh thuộc )

Đồ thị có chu trình Dominating được gọi là đồ thị Dominating

Trang 27

Hình 1.7 Chu trình Dominating

Theo định nghĩa trên thì mọi chu trình Hamilton cũng đều là chu trình Dominating Hơn nữa, một chu trình mở rộng của chu trình Dominating cũng là chu trình Dominating

Đồ thị Dominating hiện nay được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, tuy nhiên việc xác định sự tồn tại của một chu trình Dominating trong đồ thị cũng là vấn đề

(DOMINATING CYCLE)

Instance: là đồ thị vô hướng

Question: Tồn tại chu trình Dominating trong ?

Định lý 1.11 [39] Bài toán thuộc lớp

Sau đây là một số kết quả liên quan đến đồ thị Dominating cho vấn đề chu trình trong đồ thị:

Định lý 1.12 [35] Cho là đồ thị 2-liên thông, đỉnh và Khi đó, mọi chu trình dài nhất trong là chu trình Dominating

Định lý 1.13 [9] Cho là đồ thị 1-tough, đỉnh và Khi đó, mọi chu trình

dài nhất trong là chu trình Dominating

Sử dụng chu trình Dominating, trong [40] Vũ Đình Hòa đã chứng minh một kết quả quan trọng sau cho cận dưới của độ dài chu trình dài nhất:

Định lý 1.14 Cho là đồ thị 1-tough, đỉnh và Khi đó,

Trang 28

Kết quả của Định lý 1.14 là tốt nhất có thể Ta đưa ra một ví dụ với , lẻ bằng việc xây dựng lớp đồ thị từ ̅ bằng cách nối mọi đỉnh của

với mọi đỉnh của ̅ và thêm vào một cặp ghép giữa với 3 đỉnh của ̅ Trong đồ thị (Hình 1.8), ta có: , và

Hình 1.8 Đồ thị

1.6 Chu trình trong đồ thị có tập láng giềng lớn

Trong phần này ta đưa ra một số kết quả liên quan đến giá trị và Giả thuyết nổi tiếng của Bauer, Fan, Veldman

Định lý 1.15 [19] Nếu là đồ thị 2-liên thông và thì là đồ

Vì nên Định lý 1.17 là sự mở rộng của Định lý 1.16 Ngoài

ra, Định lý 1.18 tuy không là mở rộng của Định lý 1.15 nhưng nó dẫn tới Giả thuyết sau:

Trang 29

Giả thuyết 1.2 [33] Nếu là đồ thị 2-liên thông và thì là

đồ thị nửa Hamilton

Để đánh giá sự tương quan giữa và ta có một số kết quả sau:

Định lý 1.19 [24] Cho đồ thị 2-liên thông và không đầy đủ Khi đó: Nếu là lẻ và thì

Định lý 1.20 [8] Nếu là đồ thị 2-liên thông và thì

Mở rộng kết quả cho đồ thị tough có:

Định lý 1.21 [8] Nếu là đồ thị 1-tough và thì

Bauer, Fan, Veldman đã đưa ra Giả thuyết quan trọng sau:

Giả thuyết 1.3 [8, Giả thuyết 27] Nếu là đồ thị 1-tough và thì

1.7 Kết luận Chương 1

Như vậy, chương này đầu tiên đã giới thiệu các khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết đồ thị cần thiết cho luận án Kế đến giới thiệu các Bổ đề, Thuật toán cơ bản, đặc biệt là bao đóng đồ thị làm nền tảng cơ sở quan trọng cho các chứng minh trong luận án Cuối cùng trình bày tổng quan về chu trình trong đồ thị, tập trung trọng tâm tới chu trình Hamilton, các vấn đề nêu ra là: độ phức tạp bài toán của , một số điều kiện cần và đủ cho một đồ thị là Hamilton, một số thuật toán để xác định chu trình Hamilton trong đồ thị Ngoài ra, chu trình Dominating, chu trình trong đồ thị

có tập láng giềng lớn cũng được đề cập tới

Định lý 1.1 của các tác giả trong [15] đã chỉ ra rằng bài toán trong lớp đồ thị vẫn còn là bài toán với mọi là tiền đề để tác giả tiếp tục nghiên cứu bài toán cho lớp đồ thị tổng quát hơn theo các giá trị (với tổng quát) và trong Chương 2 và Chương 3 Giả thuyết 1.3 của các tác giả trong [8] đưa ra đánh giá về độ dài của chu trình dài nhất hiện nay vẫn còn là vấn đề mở, trong Chương 4 tác giả sẽ đưa ra một chứng minh cho Giả thuyết này

Trang 30

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN

Chương này sẽ nghiên cứu đến độ phức tạp của bài toán trên các lớp đồ thị

có tổng bậc đủ lớn thông qua hai bài toán và , từ đó tìm ra những lớp đa thức của bài toán

2.1 Giới thiệu bài toán và

Bài toán trong trường hợp tổng quát là thuộc lớp , vì vậy việc tìm ra những lớp đa thức của bài toán này là có ý nghĩa rất quan trọng Hơn nữa, với mỗi lớp đa thức của bài toán thì ta cũng cần phải đưa ra một thuật toán đa thức để

xác định được chu trình Hamilton trong lớp đồ thị đó

Với số nguyên dương và số thực ta xét bài toán tổng quát sau:

2.2 Độ phức tạp của bài toán và

Từ Định lý 1.1, dễ dàng suy ra Hệ quả sau:

Hệ quả 2.1. là bài toán

Ta sẽ chứng minh rằng với thì bài toán vẫn là với mọi

Định lý 2.1 (tham khảo [A1], [A4], [A5]) là bài toán

Trang 31

Chứng minh Bài toán là bài toán trong lớp đồ thị đặc biệt nên thuộc Để chứng minh là bài toán , ta xây dựng một phép dẫn thời gian đa thức dẫn bài toán về nó

Với đồ thị bất kỳ có đỉnh tùy ý, chọn số nguyên {

} Ta xây dựng đồ thị bằng cách bổ sung thêm vào tập đỉnh

và các cạnh nối tất cả các đỉnh của với tất cả các đỉnh còn lại Bằng cách đó ta thu được đồ thị ̅ (Hình 2.1) Phép xây dựng này có thể tiến hành với máy tính Turing trong thời gian đa thức

Hình 2.1 Đồ thị ̅

Khi đó, đồ thị có số đỉnh là và Do nên , hay

Bây giờ ta chứng minh đồ thị có chu trình Hamilton khi và chỉ khi đồ thị

có đường Hamilton Thật vậy, nếu đồ thị có đường Hamilton thì ta có :

là một chu trình Hamilton của

Ngược lại, nếu có một chu trình Hamilton , do các đỉnh chỉ có láng giềng là nên các đỉnh của tập chỉ kề với các đỉnh của tập trên Vì vậy, nếu bỏ đi các đỉnh thì ta có đúng thành phần liên thông gồm và , mỗi thành phần liên thông này phải có một đường Hamilton (phần còn lại của sau khi bỏ ) Như vậy, phải có đường Hamilton

Như vậy, phép xây dựng trên là một phép dẫn thời gian đa thức biến mỗi dữ kiện của bài toán thành một dữ kiện của bài toán Do

và nên ta có

Trang 32

Định lý 2.2 [A1] là bài toán

Việc chứng minh Định lý 2.2 hoàn toàn tương tự như Định lý 2.1 cho trường hợp nên ta không chứng minh lại

Như vậy, với thì bài toán vẫn còn là bài toán Ta đưa

ra Giả thuyết sau đây cho độ phức tạp của bài toán với :

Giả thuyết 2.1 Với mọi số nguyên dương thì bài toán thuộc lớp

Trong các phần tiếp theo sẽ giải quyết Giả thuyết trên bằng cách xét từng giá trị cụ thể của và tập trung chủ yếu vào trường hợp

2.3 Độ phức tạp của bài toán

2.3.1 Một số kết quả với

Từ Định lý 1.4 (Dirac) và Định lý 1.5 (Ore) ta hiển nhiên có:

Hệ quả 2.2 và là các bài toán thuộc lớp

Từ Định lý 1.8 (Bondy) cho trường hợp , ta có:

Hệ quả 2.3 Mọi đồ thị 2-liên thông thỏa mãn là đồ thị Hamilton

Hình 2.2 Đồ thị ̅

Điều kiện là tốt nhất có thể theo nghĩa là tồn tại vô hạn đồ thị 2-liên thông thỏa mãn nhưng không Hamilton, chẳng hạn các đồ thị ̅ với Trong đồ thị này: , đây là đồ thị 2-liên thông nhưng không tough vì khi bỏ đi đỉnh của ta có thành phần liên thông, do đó ̅ không là đồ thị Hamilton

Trang 33

Hệ quả 2.4 là bài toán thuộc lớp

Chứng minh Giả sử đồ thị thỏa mãn điều kiện Nếu không 2-liên thông thì không có chu trình Hamilton Trường hợp là 2-liên thông, theo Hệ quả 2.3 ta có là đồ thị Hamilton Vì việc xác định một đồ thị có là 2-liên thông hay không là bài toán thuộc lớp nên cũng là bài toán thuộc lớp (Đpcm)

Hệ quả 2.5 là bài toán thuộc lớp

Tiếp theo, ta sẽ giải quyết Giả thuyết 2.1 cho trường hợp Bài toán được phát biểu như sau:

Định lý 2.3 [A5] Cho đồ thị 2-liên thông thỏa mãn Khi đó, hoặc là

đồ thị Hamilton, hoặc và có cấu trúc thuộc một trong 3 dạng sau:

1 Dạng 1: Tồn tại | | sao cho (Hình 2.3)

Hình 2.3 Đồ thị Dạng 1, Định lý 2.3

Trang 34

2 Dạng 2: có ba đồ thị con đầy đủ và một đỉnh sao cho

Hơn nữa, tồn tại ba đỉnh , ,

sao cho Ngoài ra, đỉnh có thể kề với bất kỳ

Trang 35

Hệ quả 2.6 Mọi đồ thị 2-liên thông thỏa mãn và là đồ thị

Hamilton

Định lý 2.4 [A5] là bài toán thuộc lớp

Chứng minh: Giả sử là đồ thị thỏa mãn với , khi đó Nếu không 2-liên thông thì ta khẳng định không Hamilton

Trường hợp là 2-liên thông, theo Định lý 2.3 thì hoặc là đồ thị Hamilton, hoặc là một trong 3 dạng đồ thị đặc biệt của Định lý 2.3, các dạng đồ thị này đều

có thể nhận biết trong thời gian đa thức (xem phần 2.3.3)

Việc kiểm tra một đồ thị có là 2-liên thông hay không chỉ cần một thuật toán thực hiện không quá phép toán (Lưu ý 1.1) Do đó, bài toán là bài toán thuộc lớp (Đpcm)

2.3.2 Chứng minh cho Định lý 2.3

Trong toàn bộ phần chứng minh luôn sử dụng quy ước sau:

Quy ƣớc 2.1 Giả sử không là đồ thị Hamilton Vì 2-liên thông nên luôn có chu trình Lấy là một chu trình dài nhất của và là các thành phần liên thông của

Mệnh đề 2.1 là các đồ thị đầy đủ

Chứng minh Xét mỗi thành phần liên thông Vì | | (do

là 2-liên thông) nên tồn tại ít nhất 2 đỉnh Nếu không là đồ thị đầy đủ thì tồn tại 2 đỉnh phân biệt sao cho không kề với Theo Bổ đề 1.1 (a, b) thì { } là tập đỉnh độc lập Từ giả thiết có: Mặt khác, theo Bổ đề 1.2 có:

và , nên (mâu thuẫn giả thiết) Do đó, là đồ thị đầy đủ, và suy ra là các đồ thị đầy

đủ (Đpcm)

Mệnh đề 2.2 | | | | với mọi

Chứng minh Theo Bổ đề 1.1 (a) có: , nên | |

| | | | Do đó ta có điều phải chứng minh

Trang 36

Vậy không xảy ra trường hợp , do đó

b)

Lấy Ta có các khẳng định sau (Khẳng định 2.1, 2.2, 2.3):

Khẳng định 2.1 Với mọi thì

Khẳng định 2.2 | | | | | |

Chứng minh Nếu | | thì theo Khẳng định 2.1, tồn tại 2 đỉnh sao cho hoặc , khi đó có dãy cung ngoại biên nối 2 đỉnh , mâu thuẫn với Bổ đề 1.1 (b) Do đó,

Khẳng định 2.3 | |

Chứng minh Nếu tồn tại đỉnh sao cho Khi đó: là tập đỉnh độc lập nên theo giả thiết có: Tuy nhiên, | | | | | | , | | , | | , | | nên ta có | | | | | | | | Suy ra là

Trang 37

hay (Vô lý) Do đó, | |, và theo Khẳng định 2.2 suy ra | |

Theo Bổ đề 1.1 (a) và Khẳng định 2.2, dễ dàng nhận thấy | | Tuy nhiên, nếu | | thì theo Bổ đề 1.1 (a) và Khẳng định 2.2, tồn tại dãy cung ngoại biên (các đỉnh trong cùng thuộc hoặc ) nối 2 đỉnh của , mâu thuẫn với Bổ đề 1.1 (b) Do đó, | | (Đpcm)

Nếu | | , hay Không mất tính tổng quát, theo Khẳng định 2.1 và Bổ đề 1.1 (a, b), giả sử: , , Khi đó, và Suy ra là có dãy cung ngoại biên (các đỉnh trong thuộc ) nối 2 đỉnh của , mâu thuẫn với Bổ đề 1.1 (b)

Nếu | | , hay và Không mất tính tổng quát, theo Khẳng định 2.1 và Bổ đề 1.1 (a, b) ta xét 2 trường hợp sau:

(1) Trường hợp , , Khi đó, dễ dàng suy ra là: và Gọi là các đường tương ứng thuộc và nối các cặp đỉnh Khi đó: là một chu trình mở rộng của , mâu thuẫn

(2) Trường hợp , , Dễ dàng suy ra là: và Gọi là các đường tương ứng thuộc và nối các cặp đỉnh Khi đó:

là một chu trình mở rộng của , mâu thuẫn

Như vậy, | | và | | , mâu thuẫn với Khẳng định 2.3 Do đó không xảy ra trường hợp

c)

Không mất tính tổng quát giả sử rằng | | | | | | | | Ta

có các khẳng định sau (Khẳng định 2.4, Khẳng định 2.5):

Khẳng định 2.4 | |

Trang 38

Chứng minh Từ | | , giả sử ngược lại rằng | | Lấy Theo Bổ đề 1.1 (b) thì tồn tại 2 đỉnh Theo Bổ đề 1.1 (a, b) thì { } là tập đỉnh độc lập Từ giả thiết có Theo Bổ đề 1.2 có Mặt khác, | | | | | | | |, | | | | Do đó, , mâu thuẫn Như vậy | | (Đpcm)

Khẳng định 2.5 | |

Chứng minh Lập luận tương tự như chứng minh Khẳng định 2.4, giả sử ngược

lại rằng | | , khi đó tồn tại 2 đỉnh Lấy Theo Bổ đề 1.1 (a, b) thì { } là tập đỉnh độc lập Theo giả thiết có Mặt khác,

là chu trình dài nhất của nên dễ thấy rằng | | , đặt Gọi là đường thuộc nối và Lấy

Hình 2.6 Minh họa cho chứng minh phần c) Mệnh đề 2.3

Trang 39

Nếu kề thì ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là một chu trình mở rộng của (mâu thuẫn) Do đó, không kề và { } là tập đỉnh độc lập Theo giả thiết có Tuy nhiên, theo Bổ đề 1.2 có và nên (mâu thuẫn)

Như vậy, trường hợp không xảy ra

Lưu ý 2.1 Từ các trường hợp a), b), c) xét trên ta hoàn thành việc chứng minh

(Mệnh đề 2.3) Trong các phần tiếp theo ta ký hiệu là thành phần liên

thông duy nhất của , theo Mệnh đề 2.1 thì là đồ thị đầy đủ

Mệnh đề 2.4. | |

Chứng minh Vì 2-liên thông nên | | Giả sử | | Với 2 đỉnh bất kỳ , lấy đỉnh và { } Lấy , theo Bổ đề 1.1 (b) thì { } là tập đỉnh độc lập Theo giả thiết, Mặt khác, theo Bổ đề 1.2 có nên

Vì là 2-liên thông, là đồ thị con đầy đủ nên luôn tồn tại 2 đỉnh

và một đường Hamilton của đồ thị nối và Khi đó ta có ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là một chu trình Hamilton của đồ thị { }, hay

là đồ thị Hamilton Theo Bổ đề 1.3 và thì đồ thị là Hamilton khi và chỉ khi đồ thị là Hamilton, do đó là đồ thị Hamilton, mâu thuẫn giả thiết Vậy | | (Đpcm)

Hình 2.7 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 2.4

Trang 40

Lưu ý 2.2 Trong phần chứng minh tiếp theo, ta gọi là 2 đỉnh thuộc và

là một đường Hamilton của nối hai đỉnh

Mệnh đề 2.5. { }

Chứng minh Giả sử tồn tại sao cho Dễ thấy rằng nên Lấy , khi đó { } là tập đỉnh độc lập Theo giả thiết có Mặt khác có | | | | , suy ra: | | | | Do đó, theo Bổ đề 1.3 thì là đồ thị Hamilton khi và chỉ khi { } là đồ thị Hamilton Dễ thấy rằng ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là một chu trình Hamilton của nên là đồ thị Hamilton, do đó cũng là đồ thị Hamilton, mâu thuẫn giả thiết (Đpcm)

Sau đây, ta xét hai trường hợp theo tính chất tough của đồ thị

I không 1-tough

Theo định nghĩa của đồ thị 1-tough thì tồn tại tập đỉnh sao cho có

Ta có các Khẳng định sau (Khẳng định 2.6, 2.7, 2.8):

Khẳng định 2.6

Chứng minh Nhận thấy rằng vì là đồ thị 1-tough, do

| | Do đó, | | , hay (Đpcm)

Nhận thấy rằng vì nếu không thì | |, mâu thuẫn Như vậy, là một thành phần liên thông của Gọi các thành phần liên thông của là | |

Khẳng định 2.7 | |

Định dạng
Số trang	105
Dung lượng	2,13 MB